Parkettierungen der Ebene

Behrends Ehrhard

Description

Mathematik der Symmetrien und Parkettierungen

Ausführlich erklärt mit zahlreichen farbigen Abbildungen

Für Mathematiker und alle weiteren Interessierten mit einem mathematischen Hintergrund (Studierende, Naturwissenschaftler, Lehrende an Schulen und Hochschulen)

Ziel des Buches ist das Studium von Symmetrien und Parkettierungen, die Künstler und Mathematiker schon seit langer Zeit interessieren. Berühmte Beispiele sind die von den Arabern in der Alhambra geschaffenen Werke und die Bilder des holländischen Malers Maurits Escher. Die Mathematiker haben sich erst im 19. Jahrhundert des Themas intensiv angenommen. Dabei führt die Visualisierung der mathematischen Zusammenhänge zu sehr ansprechenden Bildern. Drei Ansätze werden in diesem Buch beschrieben.
In Teil I wird dargestellt, dass es 17 prinzipiell verschiedene Möglichkeiten von Parkettierungen der Ebene gibt, die so genannten "Ebenen Kristallgruppen". Ergänzend dazu werden Ideen von Harald Heesch beschrieben, der zeigte, wie diese theoretischen Ergebnisse praktisch umgesetzt werden können: Er gab einen Katalog von 28 Verfahren an, die man selbst - sozusagen auf den Spuren von Escher - kreativ zur Schaffung künstlerisch anspruchsvoller Parkettierungen verwenden kann.
Bei den entsprechenden Untersuchungen für die komplexe Ebene in Teil II werden Bewegungen durch bijektive holomorphe Abbildungen ersetzt. Das führt in die Theorie der Gruppen von Möbiustransformationen: Kleinsche Gruppen, Schottkygruppen usw. Dort gibt es auch interessante Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie.
Schließlich wird in Teil III noch ein dritter Aspekt des Themas behandelt, die Penroseparkettierungen. Dabei geht es um Ergebnisse aus den siebziger Jahren, als erstmals einfach zu beschreibende und beweisbar nichtperiodische Parkettierungen der Ebene angegeben wurden. 

Teil I: Escher über die Schultern gesehen.- Teil II: Möbiusstransformationen.- Teil III: Penroseparkettierungen.

Sujets

• Sciences et techniques
• Mathematics
• A
• Penrose
• Moebius
• Escher

Informations

• Publié par: Springer Fachmedien Wiesbaden
• Date de parution: 12 décembre 2018
• Nombre de lectures: 0
• EAN13: 9783658232702
• Langue: Deutsch
• Poids de l'ouvrage: 13 Mo

Extrait

Ehrhard Behrends
Parkettierungen der Ebene Von Escher über Möbius zu Penrose
Mit zahlreichen farbigen Abbildungen

Ehrhard Behrends

Fachbereich Mathematik und Informatik, Freie Universität Berlin, Berlin, Berlin, Deutschland
ISBN 978-3-658-23269-6 e-ISBN 978-3-658-23270-2
https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2
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Vorwort

Das vorliegende Buch beschäftigt sich mit drei speziellen Aspekten des Themas „Parkettierungen der Ebene“, die einen interessanten mathematischen Hintergrund haben. Dabei versteht man unter einer Parkettierung eine lückenlose und überlappungsfreie Überdeckung der Ebene, bei der die einzelnen Bausteine durch ein „einfaches“ Bildungsgesetz – etwa durch die Wirkung einer Bewegungsgruppe – auseinander hervorgehen.
Im ersten Teil geht es um die Geometrie der Ebene. Wir betrachten Bewegungen der Ebene, die Abstände erhalten und studieren dann Objekte, die unter gewissen Bewegungen invariant sind: Das führt zum Begriff der Symmetrie . Als ganz einfaches Beispiel zur Illustration könnte man etwa den Buchstaben „M“ betrachten: Wenn man ihn an der Mittelsenkrechten spiegelt, geht er in sich über. Weit interessanter sind natürlich Beispiele aus der Architektur (Rotations- und Spiegelsymmetrie) oder der Kunst: Allgemein bekannt sind die Bilder des holländischen Grafikers Maurits Cornelis Escher, der sich von den Mustern in der Alhambra in Granada inspirieren ließ und dann verschiedene Aspekte der Symmetrie in seinen Grafiken meisterhaft realisierte. Wir werden Escher sozusagen „über die Schulter sehen“ und diejenigen mathematischen Ergebnisse und Konstruktionsverfahren herleiten, die er Kraft künstlerischer Intuition finden konnte, ohne jemals eine mathematische Ausbildung gehabt zu haben.

Eine Rosette aus dem Museum für angewandte Kunst in Wien
Im zweiten Teil wird das Thema Symmetrie aus Sicht der Funktionentheorie interpretiert. Die natürlichen „Bewegungen“ der komplexen Zahlenkugel sind diejenigen, die erstens holomorph und zweitens bijektiv sind. Sie sind leicht zu beschreiben, sie haben die Form , wobei komplexe Zahlen mit sind. Heute werden sie Möbiustransformationen genannt. Wir werden Möbiustransformationen klassifizieren und sehen, wie sie und die von ihnen erzeugten Gruppen zu interessanten Parkettierungen der Ebene Anlass geben.

Eine Visualisierung einer speziellen Möbiustransformation
Der dritte Teil schließlich ist Penrose-Parkettierungen gewidmet. Da geht man von zwei einfach zu beschreibenden Dreiecken aus, bei deren Seitenverhältnissen die Zahl des goldenen Schnitts eine wichtige Rolle spielt. Wenn man beliebig viele von dieses Dreiecken zur Verfügung hat und einige Anlegeregeln postuliert, so zeigt sich: Man kann die Ebene auf überabzählbar prinzipiell verschiedene Weisen mit diesen Dreiecken parkettieren, aber keine dieser Parkettierungen ist periodisch, kann also nicht durch eine nichttriviale Translation in sich überführt werden. Dadurch wird das jahrzehntelang offene Problem gelöst, ob es im Fall einer Parkettierung mit gewissen Bausteinen auch eine periodische Parkettierung mit diesen Bausteinen geben muss.

Eine Penroseparkettierung (Ausschnitt)
Das Buch ist sehr ausführlich geschrieben und deswegen nicht nur als Vorlage für eine Vorlesung oder ein Seminar, sondern auch zum Selbststudium geeignet. Durch zahlreiche Bilder werden die mathematischen Sachverhalte visualisiert, und die Leserinnen und Leser werden vielleicht angeregt, ein Bild à la Escher selbst herzustellen, ein attraktives Bild unter Verwendung einer Gruppe von Möbiustransformationen selbst zu erzeugen oder sich an einer Penroseparkettierung zu versuchen.
Im Rahmen von Proseminaren und Seminaren habe ich die verschiedenen Aspekte des Themas „Parkettierungen“ mehrfach aufgegriffen, und im Wintersemester 2017/18 gab es eine Vorlesung dazu, die mit dem Titel des vorliegenden Buches angekündigt wurde. In ihr habe ich viele Anregungen von den Teilnehmern erhalten, denen ich an dieser Stelle herzlich danken möchte.
Ehrhard Behrends
Berlin, Deutschland
2018

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

Teil I Escher über die Schulter gesehen 9

2 Symmetrien und Fundamentalberei​che 11

2.​1 Was ist Symmetrie?​ 11

2.​2 Welche Bewegungen gibt es?​ 13

2.​3 Gruppen von Bewegungen 19

2.​4 Diskontinuierlic​he Gruppen und Fundamentalberei​che 24

3 Die diskontinuierlic​hen Symmetriegruppen​ der Ebene 27

3.​1 Wie viele verschiedene Gruppen von Bewegungen gibt es?​ 27

3.​2 Endliche Gruppen von Bewegungen 33

3.​3 Die Untergruppe der Translationen 38

3.​4 Die 7 Friesgruppen 41

3.4.1 : nur Translationen 45

3.4.2 : nur Spiegelungen vom Typ 1 ( ) 45

3.4.3 : nur Spiegelungen vom Typ 2 ( ) 47

3.4.4 : echte Gleitspiegelungen ( ) 48

3.4.5 : nur Rotationen ( ) 49

3.4.6 : Rotationen, Typ-1- und Typ-2-Spiegelungen ( ) 50

3.4.7 : echte Gleitspiegelungen, Typ-2-Spiegelungen und Rotationen ( ) 52

3.​4.​8 Zusammenfassung 53

3.​4.​9 Klassifikation:​ Ein Test 53

3.​4.​10 Hinweise für Künstler 55

3.​5 Die 17 ebenen Kristallgruppen 55

3.​5.​1 Die kristallographis​che Restriktion 56

3.​5.​2 Translationen, Spiegelungen:​ 4 Gruppen 58

3.​5.​3 Translationen, 2-Rotationen, Spiegelungen:​ 5 Gruppen 71

3.​5.​4 Translationen, 3-Rotationen, (Gleit-)Spiegelungen:​ 3 Gruppen 79

3.​5.​5 Translationen, 4-Rotationen, Spiegelungen:​ 3 Gruppen 86

3.​5.​6 Translationen, 6-Rotationen, Spiegelungen:​ 2 Gruppen 91

3.​5.​7 Klassifikation:​ Ein Test 93

4 Die Heesch-Konstruktionen 103

4.​1 Gitter und Netze 104

4.​2 Die Heesch-Konstruktionen:​ Motivation 111

4.​3 Die Heesch-Konstruktionen:​ 28 Verfahren 114

Teil II Möbiustransformationen 145

5 Möbiustransforma​tionen 147

5.​1 Komplexe Zahlen:​ einige Erinnerungen 147

5.​2 Möbiustransforma​tionen:​ Definitionen und erste Ergebnisse 149

5.​3 Möbiustransforma​tionen und Kreise 153

5.​4 Fixpunkte von Möbiustransforma​tionen 159

5.​5 Äquivalente Möbiustransforma​tionen 161

5.6 Charakterisierung: Fixpunkte in 162

5.​7 Charakterisierun​g:​ der allgemeine Fall 170

5.​8 Wunschzettel/​Visualisierung 175

6 Gruppen von Möbiustransforma​tionen 179

6.​1 Erste Beispiele für Gruppen von Möbiustransforma​tionen 180

6.​2 Fundamentalberei​che und diskrete Gruppen 181

6.​3 Spezielle Möbiustransforma​tionen 184

6.​4 Exkurs:​ hyperbolische Geometrie 193

6.4.1 Hyperbolische Geometrie I: die obere Halbebene 194

6.4.2 Hyperbolische Geometrie II: der Einheitskreis 200

6.​5 Die modulare Gruppe 201

6.​6 Gruppen mit zwei Erzeugern 206

6.​7 Schottkygruppen 208

6.​8 Das Mysterium des parabolischen Kommutators 221

6.​9 Die Struktur Kleinscher Gruppen 229

6.​9.​1 Die isometrischen Kreise 229

6.​9.​2 Die Limesmenge 233

6.​9.​3 Ein Fundamentalberei​ch 237

6.​10 Parabolische Kommutatoren:​ Konstruktion 241

Teil III Penroseparkettierungen 249

7 Penroseparkettie​rungen 251

7.​1 Nichtperiodische​ Parkettierungen:​ Das Problem 252

7.​2 Die „goldenen“ Penrose-Dreiecke 255

7.​3 Welche Parkettierungen sind möglich?​ 259

7.​4 Indexfolgen erzeugen Parkettierungen 265

7.​5 Isomorphien von Penroseparkettie​rungen 274

7.​6 Ergänzungen 278
Sachverzeichnis 283
© Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2019 Ehrhard Behrends Parkettierungen der Ebene https://doi.org/10.1007/978-3-658-23270-2_1

1. Einleitung

Ehrhard Behrends 1    

(1)
Fachbereich Mathematik und Informatik, Freie Universität Berlin, Berlin, Berlin, Deutschland
 

 
Ehrhard Behrends
Email: [e-mail]

Meine Spezialgebiete sind eigentlich Funktionalanalysis und Wahrscheinlichkeitstheorie, doch immer einmal wieder waren auch die Themen „Parkettierungen“ und „Symmetrie“ ein Interessenschwerpunkt. Es fing vor mehreren Jahrzehnten mit der im Freundeskreis gestellten Frage an: „Du bist doch Mathematiker. Wie kann man eigentlich selber ein Tapetenmuster entwerfen?“
Darum hatte ich mich nie vorher gekümmert, und ich fand es faszinierend zu lernen, wie man alle prinzipiell verschiedenen derartigen Muster klassifizieren kann: Das sind die ebenen Kristallgruppen, die im Englischen übrigens „wallpaper groups“ (Tapetengruppen) heißen.
Es gibt auch künstlerisch anspruchsvolles Anschauungsmaterial, denn in den Werken