Propriétés géométriques exceptionnelles du triangle

François Lobit

Description

Quand on pense triangle surgissent dans nos esprits les traditionnels théorèmes de Thalès et de Pythagore... Il y a pourtant plus à connaître de cette figure. En compagnie de F. Lobit, petite revue de détail donc de ces propriétés multiples, des notions de base aux problèmes d'extremum, en passant par les droites et points remarquables du triangle ou les triangles particuliers. Ouvrage à deux niveaux, constitué premièrement d'un exposé et d'une démonstration synthétiques des propriétés du triangle, et complété par des annexes qui permettent d'approfondir ses connaissances, ce vade-mecum trouvera naturellement sa place dans les bibliothèques des férus de mathématiques et de géométrie.

Sujets

• Géométrie
• Triangle
• Démonstration
• Propriété
• Mathématiques
• Sciences et techniques

Informations

• Publié par: publibook
• Date de parution: 13 août 2015
• Nombre de lectures: 371
• EAN13: 9782342040869
• Langue: Français
• Poids de l'ouvrage: 32 Mo

Extrait

Propriétés géométriques
exceptionnelles du triangle






François Lobit










Propriétés géométriques
exceptionnelles du triangle























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Cet ouvrage a fait l’objet d’une première publication aux Éditions Publibook en 2015
Introduction
Un de mes professeurs de mathématiques m'avait dit dans ma
jeunesse combien il trouvait regrettable d'avoir passé autant de
temps à étudier le triangle. Si en effet on peut sʼétonner de consacrer
et d'avoir consacré tant dʼefforts à cette figure, force est de constater
quʼelle réunit un nombre considérable de propriétés quʼil semble bon
dʼappréhender.
J'avoue avoir été déçu de ne pas avoir trouvé d'ouvrage à la fois
simple et complet résumant toutes ces propriétés. Aussi ai je été
tenté dʼexposer, dans une certaine logique, les différentes propriétés
du triangle qui, de mon point de vue, méritaient d'être connues. La
plupart des démonstrations ont été volontairement omises dans la
partie principale pour alléger ce petit ouvrage qui se veut accessible
au plus grand nombre ; pour la plupart d'entre elles, elles sont
développées en annexes correspondantes.
***
Après un premier chapitre (chapitre 0) concernant les différentes
définitions et éléments de vocabulaire concernant le triangle, j'ai
essayé de résumer dans le premier chapitre (chapitre 1), les trois
notions à la base de toutes les démonstrations concernant cette
figure : sommes des angles dans un triangle, triangles semblables,
angles inscrits et points cocycliques. A la différence des autres
chapitres, j'ai souvent détaillé dans la partie principale les
démonstrations fondamentales qui servent de manière continue dans
la suite de l'ouvrage.
Le triangle dispose de propriétés remarquables par rapport à certains
de ses points fondamentaux ainsi que sur les points de concours de
céviennes caractéristiques de cette figure. Cette partie (chapitre 2)
est complétée par les notions fondamentales de droites isogones et
isotomiques.
3Divers cercles attachés au triangle lui offrent des propriétés
singulières. Ils constituent l'objet du chapitre 3. Des droites et points
attachés à ces cercles viennent compléter ce descriptif.
La partie suivante (chapitre 4) essaie d'apporter un éclairage aussi
complet que possible sur la manière de repérer un point par rapport
à un triangle. Une synthèse finale vient présenter les échanges
possibles entre ces cinq possibilités de repérage.
Trois catégories de triangles particuliers occupent une place
importante dans la géométrie plane ; le chapitre 5 résume les
propriétés les plus fondamentales de ces trois types de figures
(isocèle, rectangle, équilatéral).
La trigonométrie est alors abordée dans la partie suivante (chapitre
6). Après les définitions fondamentales, l'apport de la géométrie
vectorielle est abordé. Les propriétés analytiques générales des
fonctions trigonométriques y sont enfin rapidement évoquées.
Le triangle de manière générale fait l'objet de nombreuses relations
métriques et trigonométriques qui facilitent une approche quantitative
de la figure (chapitre 7). Certaines inégalités importantes y sont
également introduites. Enfin, la possibilité de traduire
géométriquement les opérations numériques élémentaires y est
abordée.
De nombreux problèmes d'extrémums sont basés sur la figure
géométrique du triangle. Le théorème d'Erdös Mordel vient conclure
cette partie plus courte (chapitre 8) dans sa partie principale que ses
homologues.
Enfin, quelques propriétés aussi remarquables que curieuses sont
présentées dans le chapitre 9. Certaines de ces pistes sont à
l'origine de "géométries particulières" qui font l'objet de
développements récents.
Les annexes correspondantes à ces chapitres permettent de
développer, la majeure partie du temps, les démonstrations
nécessaires aux propriétés et notions introduites.
4La fin de l'ouvrage vient résumer les notations utilisées, quelques
données de repérage des principaux points décrits et présenter un
index, une table des matières et la bibliographie utilisée.
***
J'espère ainsi avoir mis à la portée de tous des connaissances
singulières et utiles.

---------------Précision
Les définitions des diverses notions introduites sont surlignées pour
la première fois qu'elles sont évoquées, en gras.
Les propositions et théorèmes cités sont indiquées en italiques.
5 Chapitre 0
quʼest-ce quʼun triangle ?
Un triangle est un polygone formé de trois cotés. Autrement dit, trois
droites non parallèles deux à deux se coupent en trois points appelés
sommets entre lesquels se trouvent les cotés du triangle. Chaque
sommet définit entre deux droites un angle intérieur et un angle
extérieur qui se mesurent en radians (ou en degrés ou en grades).
!Deux droites perpendiculaires définissent un angle de radians 2
soit 90° (degrés) ou 100 gr (grades) qui est un angle droit. Un angle
!inférieur à radians est aigu ; à lʼinverse, il est obtus. Deux 2
!angles sont complémentaires quand leur somme est égale à 2
radians, supplémentaires quand leur somme est égale à ! radians.
Ainsi à un sommet noté A correspond à un angle intérieur nommé a,
un angle extérieur nommé aʼ et un coté opposé de longueur a. Les
angles a et aʼ sont supplémentaires. Et ainsi de suite pour les
autres sommets.
fig. 0,1
7Quelques triangles ont des vertus particulières :
Un triangle équilatéral dispose de trois cotés et donc de trois
angles égaux.
A lʼinverse, un triangle scalène a ses trois cotés inégaux et par voie
de conséquence, ses trois angles différents.
Un triangle isocèle a deux de ses côtés de longueur égale et donc
deux angles égaux.
Un triangle rectangle comporte un angle droit. Le coté opposé à cet
angle droit se dénomme hypoténuse et les deux autres cotés,
cathètes.
!Enfin, un triangle qui tous ses angles aigus (inférieurs à radians) 2
est appelé acutangle. A lʼinverse, il sera obtusangle.
Nous le verrons, un triangle est parfaitement défini soit
par les coordonnées de chacun des trois sommets•
par la longueur des chacun des trois cotés (au •
positionnement dans le plan près)
par deux angles et la longueur dʼun coté ou lʼinverse •
(toujours au positionnement dans le plan près)
Par contre, la valeur des trois angles ne donne quʼun série de
triangles semblables entre eux. (mêmes angles mais cotés
proportionnels).
8Chapitre 1
Les grands théorèmes et les outils
La