L'estimation statistique linéaire pour les nuls -

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Rappels de probas
Estimation linéaire
Quelques remarques
L’estimation statistique linéaire pour les nuls
30 mai 2007
GT MOISE, 30 mai 2007 Rappels de probas
Estimation linéaire
Quelques remarques
Plan
1 Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Loi normale
2 Estimation linéaire
Cas d’école
Généralisation
Avec le formalisme de l’assimilation de données
3 Quelques remarques
Filtrage de Kalman
Et la loi normale dans tout ça?
Difficultés pratiques
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1 Rappels de probas
Variables et vecteurs aléatoires
Loi normale
2 Estimation linéaire
Cas d’école
Généralisation
Avec le formalisme de l’assimilation de données
3 Quelques remarques
Filtrage de Kalman
Et la loi normale dans tout ça?
Difficultés pratiques
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Définition
Variablealéatoire : résultat d’une épreuve aléatoire
v.a.discrète X à valeurs dans{x ,...x} :1 n
nX
P(X = x ) = p avec p = 1i i i
i=1
v.a.continue X à valeurs dans [a,b] : P(x≤ X≤ x +dx) = f(x)dx
Z b
où f(x)dx = 1
a
Définition
Deux v.a.r. X et Y sontindépendantes ssi
P((X∈ I)∩(Y∈ J)) = P(X∈ I).P(Y∈ J) ∀I,J⊂RI
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Estimation linéaire
Loi normale
Quelques remarques
Moments d’une variable aléatoire
Définition

nX xp si X discrète i i
i=1Espérance : ...
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L’estimation statistique linéaire pour les nuls
30 mai 2007
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Plan 1Rappels de probas Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
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Quelques remarques Filtrage de Kalman Et la loi normale dans tout ça ? Difficultés pratiques
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
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Quelques remarques Filtrage de Kalman Et la loi normale dans tout ça ? Difficultés pratiques
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
Définition Variable aléatoire: résultat d’une épreuve aléatoire
v.a. discrète
Xà valeurs dans{x1 . . .xn}: n
P(X=xi) =piavecXpi=1 i=1 v.a. continueXà valeurs dans[ab]:P(xXx+dx) =f(x)dx Zbf(x)dx=1 a
Définition Deux v.a.r.XetYsontindépendantesssi P((XI)(YJ)) =P(XI).P(YJ)
IJIR
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques Moments d’une variable aléatoire
Définition
Espérance:
E(X) =
n
Xxipi i=1 Zbx f(x)dx
a
La v.a.r.XestcentréessiE(X) =0.
Définition Variance:Var(X) =Eh(XE(X))2i Ecart-type:σ(X) =pVar(X)
siXdiscrète
siXcontinue
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Covariance
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Définitions SoientXetYdeux v.a.r.
Covariance
:
Cov(XY)
Cov(XX)
Coefficient de corrélation
Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
=E(XY)E(X)E(Y)
=E[(XE(X)) (YE(Y))]
=Var(X)
:ρ(XY) =Cov(XY) σXσY
Propriété XetYindépendantes=Cov(XY) =0
La réciproque est fausse en général.
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Rappels de probas Estimation linéaire Quelques remarques Vecteur aléatoire
Définition Vecteur aléatX1 oire:X=.Xn
Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
où chaqueXiest une v.a.r.
Définitions Matrice de covarianceC= (Cov(XiXj))1i,jn
Matrice de corrélation(ρ(XiXj))1i,jn
(Cii=σ2(Xi))
(1 sur la diagonale)
Propriété Toute matrice de covariance est symétrique semi-définie positive. (définie si les v.a.r. forment une famille libre)
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
Définition N(m σ2): loi normale de moyennemet de varianceσ2
Propriétés
2σ2 f(x) =21π σe(x m)2
SiX1,→ N(m1 σ21)etX2,→ N(m2 σ22)sont indépendantes, alorsX1+X2,→ N(m1+m2 σ12+σ22) SiX,→ N(m σ2)etλIR, alorsλX,→ N(λm λ2σ2)
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Variables et vecteurs aléatoires Loi normale
L’importance de cette loi provient du (des)théorème(s) central-limite, i.e. toute proposition qui indique que, sous certaines conditions, la somme de v.a.r. individuellement petites converge vers une v.a.r. de loi normale lorsque le nombre de termes croît.
Conséquence: si l’issue d’une expérience aléatoire dépend d’un grand nombre de facteurs aléatoires, chacun d’eux ayant une petite influence, le résultat peut être bien approximé par une loi normale. Exemple : taille des arbres pour une espèce donnée dans une zone donnée
C’est pour cette raison que beaucoup d’erreurs aléatoires sont modélisées par des lois gaussiennes.
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