DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures
2000-2001 _________
Concours d'Entrée _______________
OPTION A L’exercice et le problème sont indépendants. Les calculatrices sont interdites. EXERCICE 2 Onconsidère dansIRles deux domaines suivants : 2 22 u D=(u,v)∈IR2<u<4et1<v<Δ =(x,y)∈IR2<x+y<4etxy>1etx<y ;. 4 2 2 1°)Montrer queDetΔsont deux ouverts bornés deIRet que l’applicationdeΔdansIR: u=x+y ∞ (x,y)→(u,v)=(x,y)avec estune bijectionCdeΔsurD. v=xy Calculerson jacobien. 2°)En utilisant le résultat précédent, calculer l’intégrale 2 2 I=(x−y) cos(xy)dxdy. ∫∫ Δ 3°)Calculer à nouveauI, mais en utilisant cette fois la formule de Green Riemann. (On ne s’attardera pas à justifier la légitimité du changement de variables dans I, ni la légitimité d’application de la formule de Green Riemann). PROBLEME 1n I.On considère une applicationW declasseCdeIR dansIRconvexe, c’est-à-dire vérifiant pour tout couple n (x,y)deIRet toutλ ∈[0,1]W((1− λ)x+ λy)≤(1− λ)W(x)+ λW(y). n Pourhetxfixés dansIR,h≠0 ettréel on poseϕ(t)=W(x+th) . (h,x) 1°) Montrerqueϕest aussi convexe deIRdansIR, en déduire que (h,x) ϕ(0)≤ ϕ(1)− ϕ(0) . ′(h,x) (h,x) (h,x) n 2°) En conclure que, pour tout couple(x,y)deIR, on a l’inégalité : gradW(x),y−x≤W(y)−W(x) . 1n n On rappelle que pourW applicationCdeIR dansIR,gradW(x)est le vecteur deIR decomposantes ∂W∂W∂W (x), (x),, (x) . ∂x∂x∂x 1 2n n II.On suppose maintenant queWstrictement convexe, c’est-à-dire vérifie, pour tout couple est(x,y) deIR, x≠y, et toutλ ∈]0,1[2000
2 W((1− λ)x+ λy)<(1− λ)W(x)+ λW(y) 1n et enfin queWest toujoursCsurIRet vérifieW(0)=0etgradW(0)=0. n 1°) Montrerque∀x∈IRon a0=W(0)≤W(x). n 2°) Montrerque∀x∈IR ,x≠0 , on a0<W(x). 3°) Justifierl’existence de, valeur minimale deW(x)pourx=1 .Montrer que>0et que pourx≥1 x≤W(xlim) . En déduireW(x)= +∞. x→ +∞ n nn III.On note(q,p)l’élément générique deIR×IR,Ila matrice identité deIR,Jla matrice 2n×2n définie par n la décomposition en blocs 0I n J= −I0 n et on considère le système différentiel, dit système hamiltonien : ′ q(t) (H)=Jgrad H(q(t),p(t)) p′(t) n n où l’on suppose queHest une application deIR×IRdansIRde la forme 2 1 H(q,p)=p+W(q). 2m mest une constante strictement positive. n la norme⋅est la norme euclidienne deIR. 2n West une application de classeCdeIRdansIR. 1°) Montrerque sit→(q(t),p(t))est une quelconque solution de (H) définie surIintervalle réel, on a un pour touttdeIH(q(t),p(t))=K(oùKest une constante). Ondit queHest une intégrale première de (H) . n On suppose de plus queWest strictement convexe deIRdansIRet satisfaitW(0)=gradW(0)=0. 2°) Montrerque(0,0)est un point d’équilibre de (H), c’est-à-dire que la solution de (H) à la condition initiale n n (q(0),p(0))=(0,0)est la fonction définie surIRà valeur dansIR×IR, identiquement nulle. + + 3°) Ondéfinit la fonctiondeIRdansIRpar 2 2 2 (0)=0et pours≠0ψ( )=Inf H(q,p)s≤(q,p) où(q,p)=q+p. 22 Montrerque estcontinue en 0. 4°) Onse donneε >0 ,justifier l’existence de, 0< <ε telque (q,p)< δimplique 2 0≤H(q,p)<(ε). On noteϕ(t,q,pvaleur en) latla solution de ( deH) qui ent=0 satisfait 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 n n Montrer que si(q,p)< δet si la solutiont→ ϕ(t,q,p) sort de la boule deIR×IRde centre 0 et 0 0 2 telle quet,q,p) . de rayonεil existet>0 (1 00= ε 12 2000
3 Montrerqu’on aboutit à une contradiction. Onen déduit que pour touttdu domaine de définition de la solutiont→ ϕ(t,q,p) 0 0 (q,p)< δimpliqueϕ(t,q,p)< ε. 0 00 0 2 2 Ondit que(0,0)est un équilibre stable de (H). 2 1 IV.Dans cette partie on considère encore le système hamiltonien (H) oùH(q,p)=p+W(q) maiscette fois 2m W(q)=T(q,q,q)n n n oùT(q,r,s)est une forme trilinéaire non identiquement nulle surIR×IR×IR. 1°) Montrerque l’on a encoreW(0)=gradW(0)=0. Hprésente-t-elle encore un minimum en(0,0)? n n 2 ∂H1∂H 2°) Etablirles relations :(q,p)p=pet (q,p)q=3W(q) . ∑i∑i ∂p m∂q i i i=1i=1 Onposef(q,p)=JgradH(q,p) etv(q,p)=H(q,p)q,p1 n oùq,pest le produit scalaire standard deIRentreqetp. 1 Onnote n n U=(q,p)∈I R×HI R(q,p)<0et q,p>0 . 1 n n MontrerqueUest un ouvert deIR×IRdont(0,0)est un point adhérent. Montrer que pour toutq,pdeU:gradv(q,p),f(q,p)<0 oùX,Yest le produit scalaire standard 2 2 n n deIR×IRentreXetY. 3°) Ondésigne encore parϕ(t,q,pvaleur en) lat dela solution de (H) qui ent=0 vaut 0 0 ϕ(0,q,p)=(q,p) . 0 00 0 On prend(q,p)∈Uet on suppose que cette solution est définie sur[0,+∞[ (*)et qu’elle reste dans 0 0 B=(q,p)∈U(q,p)< ε oùεest un nombre réel strictement positif quelconque. 2 ε 2 Montrerque si l’on notev(t)=v(ϕ(t,q,p)) on a pour toutt≥0v(t)≤ −3CoùC=H(q,p) . 0 0′000 0 Endéduire quelimv(t)= −∞ce qui est une contradiction. Pourquoi ? t→+∞ En déduire que pour toutε >0 toute solution de (H) partant d’un point deU, finit par sortir de la boule de n n IR×IRde centre 0 et de rayonε. Expliquerpourquoi ceci montre que(0,0)est un équilibre instable de (H). ---
(*) Ce que l’on peut démontrer rigoureusement si la solution reste bornée.