2ème épreuve de mathématiques Option A 2005 ISFA

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Examen du Supérieur ISFA. Sujet de 2ème épreuve de mathématiques Option A 2005. Retrouvez le corrigé 2ème épreuve de mathématiques Option A 2005 sur Bankexam.fr.

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• 2005
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• Publié par: bankexam
• Publié le: 05 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

I. S. F. A. _________

20052006  _________

 Concoursd'Entrée  _______________ DEUXIÈME ÉPREUVE DE MATHÉMATIQUES _________________________________________ Durée : 4 heures Calculatrice interdite OPTION A EXERCICE 1 Le but de cet exercice est le calcul des deux intégrales +∞ +∞ dt dt −t−t C ( x ) =ecos ( xt )  etS ( x ) =esin ( xt ) . ∫ o t ∫ o t 1 1)Etabli : r les relations C' ( x ) = −xS' ( x ) −S ( x ) 2 1 S' ( x ) =xC' ( x ) +C ( x ) . 2 1 2)En déduire queCetSsont deux fonctions, de classeC, vérifiant sur \ le système différentiel : ⎛ ⎞ ⎧ 2 ⎜ 1+ ⎟ u' ( x ) +xu ( x ) =−v ( x ) 2 ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ 2 2 ⎜ 1+ ⎟ v' ( x ) +xv ( x ) =u ( x ) . ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ 2 2 −1+t x 2 ( ) x 2 1 ⎛ ⎞ e −t constante sur \ . 3)Montrer que la fonction G ( x ) = ⎜ e dt ⎟ +dt vaut cette constante ?est Que ∫ o ∫ o 2 ⎝ ⎠ 1+t ( ) +∞ 2 −t En déduire la valeur de l’intégrale e dt puis la valeur de C ( 0 ) . ∫ o 4)Montrer que si α ( ) etβ ( x ) sont deux fonctions dérivables vérifiant sur \ : ⎧ 2 ⎧ 0 π 2 1+ α' ( x ) =− ( x ) α = ⎪ ( ) ⎪ ( ) ⎨  et ⎨ 2 2 1+ β' ( x ) =α ( x ) β ( 0 ) =0 . ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 2 2 Alors α ( x ) + ( x ) = π pour toutxde \ . En faisant un changement de fonction inspirée par ce résultat, trouver α ( ) etβ ( x ) . 5)Trouver C ( x )  etS ( x ) pour toutxréel. PROBLEME k \ ( k=noup ) est muni de la structure euclidienne standard. On utilise les conventions usuelles du calcul ⎡ ⎤ 1 ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥ matriciel un vecteurx estécrit spontanément en colonne x= . Si on veut l’écrire en ligne, on écrit ⎢ ⎥ # ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ k ⎦ TkT T , , , calaire dexpar = ( x 1 x 2 …x k ) sorte que si. Deyest un autre vecteur de \ , y=y x désigne le produit s T yet=x xla norme (euclidienne) du vecteurx.

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SoitX unematrice à coefficients réels ayantp lignesetn colonnes,on note aussiXl’application linéaire de n p T \ dans\ ayantXla matricepour matrice relativement aux bases canoniques.n lignespcolonnes, p n transposée deXest encore identifiée à l’application linéaire de \dans\ correspondante. I T T 1.Justifier le fait que les valeurs propres de X et de XX sont positives ou nulles et l’existence d’une base orthonormée de vecteurs propres de chacun de ces endomorphismes. T 1 2.Si λ ≠ 0 est une valeur propre de X etuvecteur propre unitaire correspondant, montrer que unv=Xuest λ 1 T T T aussi un vecteur propre unitaire de X associé à λ valeur propre de X . Montrer queu=X v. λ T 3.Montrer que 0 est valeur propre de X si et seulement si ker ( ) n’est pas réduit à 0 . On note α l’ordre de T multiplicité de 0 en tant que valeur propre de X et on poser=n− α, montrer que r=rg ( X ) (la dimension de T Im ( ) ). En déduire que sip eststrictement supérieur àr:0 est aussi valeur propre de X . Quel est l’ordre de T multiplicité de 0 en tant que valeur propre de X ? T 4.On désigne parλ,i=1 … n,les valeurs propres deX, classées par ordre décroissant, répétées autant de fois i que leur ordre de multiplicité. Par définition der, sir<n:λ =λ = … = λ=0. r +1 r +2 n A chaque valeur propre on associe une base orthonormée du sous espace propre correspondant ; de sorte que l’on n obtient une base orthonormée u,u,…,u de \ satisfaisant, pour i=1…n , u i est un vecteur propre unitaire de 1 2n T X associée à la valeur propre λ . i T I Montrer que u,u,…,u est une base de ker ( ) , que u,u,…,u est une base de m ( ) et que r+1r+2n1 2r 1 pelons q v,…v est une base de Im ( ) (Rap ue v i =Xu i  i=1…r ). 1 r λ i T Enfin on note v…v une quelconque base orthonormée de ker permettant de compléter v,…v en une r+1p ( ) 1r p base orthonormée de \ . r r T nT T 5.Montrer queu uest le projecteur orthogonal de \ surImet quev vest le projecteur orthogonal ∑ ( ) ∑ i ii i i=1i=1 p p de \  surIm ( ) . Montrer que pour toutbde \ 2 P 2 T in Xx−b=v b. n ∑ ( ) i x∈\ i=r+1 r T 6.Montrer que= σv uoù l’on a poséσ =λ pouri=1…r. ∑ i i ii i i=1 Lesi1 … rs’appe ompositionen valeurs σ i ( = ) llent les valeurs singulières deXet la somme précédente la déc singulières deX. ⎡ 2 20 ⎤ 7.Pour la matrice X= . Trouver λ,λ,λ ;u,u,uv,v . ⎢ ⎥ 1 21 2 31 2 3 −01 1 ⎣ ⎦

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3 II p 1.Pour chaque y de \ on note X ( y )  rojectio p la pn orthogonale de y sur Im ( ) . −1n Montrer que p ( y ) est un sous espace affiné de \ . A quel sous espace vectoriel estil parallèle ? Montrer ( X ) ⊥ −1 qu’il existe un uniquey’dans l’inte X py∩kerX . Montrer que l’application →y'  est rsection { X ( ) ) ( ( ) ) ( } + +−1+ linéaire. On la note. SiXest bijective, montrer que =X appelée la pseudo inverse de. estX. r + 1 T ∑ 2.Montrer que =u v . i i σ i i =1 On désigne par M p , n l’espace vectoriel des matricesp lignes,n colonnesà coefficients réels et pour ( ) ∈Mp,n ) la norme de Frobenius deon note (classiquement) A c'estàdire s i A=a ligne1 indice ( ( ij ) i=…p F j=1…n indice colonne 2 2  ona A=a (sommedouble) . F ∑ ( ) ij j=1…n i=1…p 2 2 22 3. MontrerqueX++ σ= σ … + σalors que l’on sait que X= σ(oùX=supX) / 1 2r 1x F 2 2 x=1 Ce résultat n’est utilisé que dans la partie IIIde la suite. +p+  déduire X∈M est solution du 4.Montrer que X le projecteur orthogonal de est \ sur Im ( ) que. En n,p ) ( problème d’optimisation in XY − I P F  où I la matrice identité est p x p  .On notera que la norme de Frobenius utilisée dans cette p Y ∈M ( n,p ) question est celle de M ( p,p ) ! III

Dans cette partie on suppose que r = rg ( X ) est supérieur ou égal à 2. 1.On note U la matrice orthogonale (pourquoi ?) n x n ⎡ ⎤ U= ⎡ u u…u ⎤ etVla matrice orthogonale V=v v…v et pour k=1…r , ∑ la matricenxpdont 1 2n1 2 p k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ tous les termes sont nuls sauf les k premiers termes diagonaux qui valentσ ( i=1…k ) , soit donc i ⎡ σ"0"0 ⎤ 1 ⎢ ⎥ #σ# 2 ⎢ ⎥ T ⎢ ⎥ ∑= #σ# . Montrer que si l’on pose =V∑U , on a k k k k ⎢ ⎥ #0# ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0" " "0 ⎣ ⎦ rg X = kk =1… r  ; X = X  et X − X = σ pour k =1… r −1 . ( k )) ( r kk+1 ( ) 2 2. On note Y une quelconque matrice ( p x n ) de rang k  ( k=1… ( r−1 ) ). x, ,de ker puis Montrer qu’il existe une base orthonormée ,…x n−k ( Y ) un vecteur non nul z appartenant 1 2 à kerY vectu,…,u,u . ( ) 1k k+1 ∩

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z 2 2 En posant ζ = montrer que ( X−Y ) ≥ σ . k +1 z 3. En déduire que ( k=1…r ) est solution du problème d’optimisation : k Min X−Y 2 { Y∈ M ( p , n ) , rg ( Y ) =k } .

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