ICNA - Epreuve optionnelle 2001 Classe Prepa PC ENAC

Fabrice Colin

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Examen du Supérieur ENAC. Sujet de ICNA - Epreuve optionnelle 2001. Retrouvez le corrigé ICNA - Epreuve optionnelle 2001 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2001
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• Publié le: 13 juillet 2008
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Extrait

ÉNONCÉ

Questions faisant partie d'un même exercice.

[1,2,3,4,5,6] [7,8,9,10,11,12] [13,14,15,16,17] [18,19,20,21,22,23] [24,25,26,27,28] [29,30,31,32,33,34,35] [36,37,38,39,40]

1. considère le circuit représenté par le schéma de la figure ci-contre. Les bobines B On 1 et B 2 ont la même inductance propre L. Les condensateurs C 1  et C 2  la même ont capacité C. Le condensateur C 3 a une capacité C 0 . On désigne par q 1 et q 2  les valeurs instantanées des charges des armatures des condensateurs C 1  et C 2 reliées respectivement aux bobines B 1 et B 2 . B 1 B 2 Initialement, les condensateurs C 1  C et 2  déchargés et l'armature du sont C condensateur C 3 reliée aux deux bobines B 1 et B 2 porte la charge Q 03 . 3 Écrire les équations différentielles couplées auxquelles obéissent les q 1 C 1 C 2 q 2 charges q 1 et q 2 . + + a)  L d 2 q 2 1 + C C 0 0 q C C 1 + q C 0 2 =0 et L  d 2 q 2 2 + C 0 0 C q 2 + q 0 1 =0 dt dt  C C C b)  L d 2 q 2 1 + q 1 + q 2 = − Q 03  L  d  et 2 q 2 2 + q 2 + q 1 = Q 03  dt C C C  dt  C C C d 2 q 1 2 C+C 1 q 2  d Q et 2 q 2 2 C+C 2 q 1 Q c)  L  dt + 0 C 0 q C + C 0 = C 3 0 0  dt  L+ 0 C 0 C q+ C 0 = C 03 0  L d d 2 t q 1 + C C + q C C + C q 2 = Q C 3 d teL d 2 q t 2 + C 0 C + C q C + C q 1 = C Q 03 d) 12 22 00 0 0

2. les pulsations propres CalculerΩ 1 etΩ 2 <Ω 1 du circuit. a)Ω = 2C 0 +  C etΩ = 1 b  1 2 LC 0 C CL )Ω 1 = L C 0 C + 0 t C 2C eΩ 2 = Ω =  +  Ω = 0 c) 1 C L 0 C 0 C C et 2 CL 1 0 d)Ω 1 = C LC + 0 C  C etΩ 2 =

3. Exprimer q 1 ( t ) . a) q 1 ( t) = C 0 Q 03 C 1 2C −cos(Ω 1 t )  + c) q 1 ( t) = 2Q 03 1 C −cos(Ω 2 t )  C 0 +2C

4. q Exprimer 2 ( t ) . a) q 2 ( t) = C 2 0 Q 0 + 3 1 C C −cos(Ω 1 t )  c) q 2 ( t) = Q 03 1 C −cos(Ω 2 t )  C 0

1  LC 1 L ( C 0 +C )

b) q 1 ( t) = C 2 0 Q 0 + 3 C 1 C −cos(Ω 1 t )  d) q ( t) = C Q 30 0 1 C −cos(Ωt )  1 1

b) q 2 ( t) = 2Q 03 1 C −cos(Ω 2 t )  C 0 +2C d) q 2 ( t) = Q C 0 0 + 3 C 1 2C −cos(Ω 1 t ) 



5. Si Q 0 parmi les valeurs initiales proposées ci-dessous quelle(s) estreprésente une charge donnée, (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsationΩ 1 ?

AC

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a) Q 01 = −Q 0 Q 02 =0 Q 03 =Q 0  c) Q 01 =Q 0 Q 02 =0 Q 03 =Q 0 

b) Q 01 =0 Q 02 =0 Q 03 =Q 0  d) Q 01 =Q 0 Q 02 =Q 0 Q 03 =0

ICNA - SESSION 2001

6. est (sont) celle(s) qui correspond(ent) à l'excitation du mode propre de pulsation Quelle(s)Ω 2 ? a) Q 01 =Q 0 Q 02 = −Q 0 Q 03 =0b) Q 01 =Q 0 Q 02 = −Q 0 Q 03 =Q 0  c) Q 01 =Q 0 Q 02 =0 Q 03 =Q 0 d) Q 01 =0 Q 02 = −Q 0 Q 03 = −Q 0 

7. bobine B d'inductance propre L et de résistance r est Une placée dans la branche ab du pont de mesure représenté sur le b schéma de la figure ci-contre. Le pont est alimenté entre les points a et c par un générateur de tension sinusoïdal idéal de  Q B r force électromotrice e(t) et de fréquence f = 1000 Hz. Les branches ad et bc sont constituées de résistors parfaits de résistances respectives P et Q. L La branche cd est constituée d'un résistor de résistance R et d'un  c a D condensateur de capacité C, tous deux réglables et branchés en C dérivation. m Da es n u s re l  a l  a di d a i g ff o é n r a e l n e c  e b  d d , e u p n o  te v n o t l i t e m l ètr U e = Dd V− i'm V d terep p t d e é m n  a e ec d infinie P R détecter l'équilibre du pont défini par la condition U = 0. L'équilibre du pont est réalisé pour les valeurs suivantes des d éléments réglables : e(t) P = 100Ω, Q = 200Ω, R = 2300Ω, C = 2,080µF. Calculer L. a)L = 37,2 mHb)L = 53,7 mHc)L = 41,6 mHd)L = 8,4 mH  8. r. Calculer a)r = 8,7Ωb)r = 12,3Ωc)r = 17,6Ωd)r = 52,1Ω 9. Deux bobines B 1  et B 2  de résistances négligeables et d'inductances propres respectives L 1  L et 2  sont connectées en série et couplées par mutuelle induction. On désigne par M lavaleur algébriquede l'inductance mutuelle. Ce circuit est placé entre les bornes ab du pont en remplacement de la bobine B. Dans une première étape, on couple les bobines de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobiness'ajoutent. La mesure de l'inductance propre L e de la bobine équivalente donne la valeur L e  = 20,8 mH.Sans modifier la position relative des deux bobines, on les couple maintenant de façon à ce que le flux propre et le flux dû au couplage à travers chacune des bobines s'opposent ' L. La mesure de l'inductance propre e  de la bobine équivalente donne la valeur L ' e = M de l'inductance mutuelle des deux bobines.14, 4mH . En déduire la valeur absolue a)  M=1, 6mH b)  M=12,1mH c)  M=3, 7mH d)  M=4, 2mH

10.Sans modification de leur position relativeles deux bobines sont maintenant connectées en, parallèle. Exprimer l'inductance propre L" e de la bobine équivalente en fonction de L 1 , L 2 et de lavaleur algébriquede M. ) " L 1 L 2 b)  L" e = L L 1 L 2 L +M 2 2 M aL=  e L 1 +L 2 +2M 1 + 2 + 2 L L−M 2 c)  L" e = L 1 L L 1 2 + + L 4 2 M d)  L" e = 1 + 2 L−2M L 1 2

11.le flux propre et le flux de couplage à travers les bobines sont couplées de façon à ce que  Lorsque les bobiness'ajoutent, on mesure L" e =5,1mH . Calculer L 1 > L 2 . a) L 1 =18, 2mHb) L 1 =10mHc) L 1 =8mHd) L 1 =15, 7mH 12. Calculer L 2 < L 1 . a) L 2 =7, 6mHb) L 2 =3,8mHd) L 2 =4, 2mHd) L 2 =5, 9mH

AC

ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

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13. cylindre C, de centre G, d'axe horizontal Gz, de masse m et de rayon a, roule sans glisser sur Un un guide circulaire S fixe de centre O, d'axe horizontal Oz et de rayon R. La position du centre G du cylindre est repérée par l'angle orienté O e θ θ = (Ox,OG ) . On définit également un angle e z e r orienté ϕ = (Gx,GJ )  amenant la verticale Gx en sur une direction fixe GJ de C. g θ C Montrer que la condition de roulement sans R  G J glissement de C sur S impose entreθ = t d d θ  et S ϕ ϕ  = dt d taoin:alrle I x  a)ϕ  =−    R a θ    b)  ϕ   =  a− a R     θ x c)   =−ϕ   a+R a     θd)ϕ    −=  a R θ     

14. J donne le moment d'inertie On=a 2 m 1 2  de C par rapport à l'axe Gz. Exprimer le moment cinétiqueL ( I, C /R ) du cylindre par rapport au point géométrique de contact I de C sur S. a)L ( I, C /R) =a 2 m 3 2 ϕ  e z b)L ( I, C /R) = 1 ma 2 2 θ  e z  c)L ( I, C /R) =ma 2 ϕ  e z d)L ( I, C /R) = 5 2 am 2 ϕ  + θ  e z 

15. Dans ce cas, le théorème du moment cinétique s'applique au point mobile I comme en un point fixe. Écrire l'équation différentielle à laquelle obéit l'angleθ et en déduire la période T 0  petites des oscillations de C autour de sa position d'équilibre stable. a) T 0 =2π R 2 +  a g b) T 0 =2π 5R  2 c) T 0 =2π a2  g d) T 0 =2π 3 ( 2 R g −a )  g 3

16. On désigne respectivement parT=Te θ etN=Ne r de la réaction de S sur C les composantes dans la base (e r ,e θ ,e z ). Donner l'expression de N dans le cas des petits mouvements. 3 a)= −mg 2 b)  N= −mgθ c)= − 2 gm 3 θd)  N= −mg

17. Exprimer T dans les mêmes conditions. a) T= a3 gm R θb) T= −g R m 3a θ

c) T  mg θ= 3

d)T = 0

18. considère l'écoulement incompressible  Onlaminaire en régime stationnaire d'un fluide visqueux de masse volumiqueρ, de viscosité dynamiqueη, dans un tube cylindrique à section droite circulaire, de longueurAet de rayon R. On négligera les effets de la pesanteur sur l'écoulement. On admettra que le champ des vitesses est de la formev=v ( r, z ) e z oùe z est un vecteur unitaire porté par l'axe z'z du tube et r repère la position d'un point par rapport à z'z. On notera respectivement p 1 et p 2 les pressions en amont (z = 0) et en aval (z =A) du tube et p(z) la pression dans le fluideen tout pointd'un plan orthogonal à z'z à la cote z. L'écoulement étant incompressible, on peut déduire que : a)Le champ des vitesses ne dépend pas de z.b)Le champ des vitesses est uniforme. c) divLa relationv= vérifiée.0 estd)On a nécessairement rot v=0 .

AC

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19. Lerayon r est soumis de la part du fluide extérieur à une force fluide contenu dans un cylindre de surfaciqueδF ( r ) dont la résultante, pour une longueur dz de cylindre, s'écrit : δFr=2πηr dz ∂v  e ( )  ∂r   r z ∂v ielle . La quantité ∂ ∂ r v    r la valeur en r de la dérivée partreprésente ∂r En considérant le fluide contenu dans un volume défini par deux cylindres de rayons r et r+dr et deux plans de cotes z et z+dz, déterminer l'expression de laforce volumiquede viscositéf v . a)f v ∂ ∂ =η r    r ∂ ∂ v r    e z b)f v = η r∂ ∂ r    r ∂ ∂ r v    e z  c) f v = r    η ∂  2 ∂ ( r r 2 v   )   e z d) f v = r η 2 ∂ ∂r    r 2 ∂ ∂ v r    e z 

20.pression p à la vitesse v. déduire l'équation aux dérivées partielles liant la  En a) ∂ ∂z p∂ ∂ η−= r    r ∂ ∂r v    b) ∂ ∂ p z = r η 2 ∂ ∂ r    r 2 ∂ ∂r vr  )    c) ∂ ∂ z p = − r   η  ∂ ∂ r 2 2 v    d) ∂ ∂ p z = r ∂ ∂r    r ∂ ∂r v    

21. la loi d'évolution p(z) de la pression p en fonction de z. Exprimer a) p ( z=    ) p 2 A −p 1    z 2 +p 1 b) p ( z  =− )   p 2 − A p 1    z+p 1  c)  p ( z   ) =  p 2 A −p 1    z+p 1 d)  p ( z) =2    p 2 A −p 1    z+p 1 

22.en fonction de r sachant que la vitesse du fluide est la loi d'évolution v(r) de la vitesse v  Exprimer nulle sur les parois du tube. − a) v ( r    = ) p 1 4η − A p 2    R 2 −r 2 b) v ( r   = )  p 1 2ηA p 2    R 2 +r 2 c)  v ( r   =  ) p 1 η − A p 2    R 2 +r 2 d) v ( r) =    4 p 1 − ηA p 2 2    R 2 −r 2 

23. le débit volumique Q du fluide. Calculer a) Q = ( p 1 2η − A p 2 π ) R 2 b) Q = ( p 1 − ηA p 2 ) 2πRc)  Q= p 1 − ηA p 2 2 ) πR 4 d) Q= 4

p 1 −p 2 ) πR 4  8ηA

24. système optique est constitué d'une lentille mince Un convergenteLde centre optique O, de distance focale image L M f ' et d'un miroir plan M disposé en arrière deL, orthogonalement à son axe optique et à une distance OS=d=50cm (voir figure ci-contre). A o F o O F i S Un objet ponctuel A o  est placé initialement au foyer de la lentille. Trouver la position OA i1 de l'image A i1 qu'en donne d le système. a) OA i1 = −f 'b) OA i1 =2f ' c) OA i1 =dd) OA i1 =d / 4 25. est maintenant placé au point A L'objet o2  de S conjuguépar rapport à la lentille. Trouver la position OA i2 de l'image A i2 qu'en donne le système.

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ÉPREUVE OPTIONNELLE DE PHYSIQUE - ÉNONCÉ

a) OA i2 =OF o 

b) OA i2 =OF i 

c) OA i2 =OS

d) OA i2 =OA o2 

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26. de ' f Calculer la distance focale imageL Asachant que i2 A i1 = ∆ =25cm . a) f '=25cmb) f '=15cmc) f '=12cmd) f '=19cm 27. miroir plan est maintenant remplacé par un miroir sphérique Leconcavedont le sommet est placé en S. Lavaleur arithmétique de son rayon de courbure vaut R = 50 cm. L'objetréel placé à une est distance égale à 2f ' du centre optique deL. Quelle doit être la valeur d 1  que OS pour la distance de l'image définitive qu'en donne le système soit confondue avec l'objet lui-même et demême sensque lui ? a) d 1 =2f 'b) d 1 =f 'c) d 1 =4f 'd) d 1 =2R

28. Quelle doit être la valeur d 2 de la distance OS pour que l'image définitive soitrenverséeet que son plan soit confondu avec celui de l'objet ? a)d 2 = 75 cmb)d 2 = 45 cmc)d 2 = 100 cmd)d 2 = 125 cm

29. Unea parois adiabatiques est divisée en deux compartiments (1) et (2) par une cloison enceinte diathermaneC munie d'une petite ouvertureF l'on peut ouvrir que ou fermer sans travail. L'enceinte est fermée à l'une de ses extrémités par un piston adiabatiqueP qui peut coulisser mobile (1) F (2) p a sans frottement. Dans l'état initial, l'ouvertureF fermée, le compartiment (1) de est C P volume V 1  est vide et le compartiment (2) de volume V 2i  contient une mole de gaz parfait à la pression atmosphérique p a . Les deux compartiments sont mis en communication. On suppose dans un premier temps que V 1 est tel que dans l'état d'équilibre final, le piston ne vienne pas en butée surC. On désigne par R la constante des gaz parfaits et parγ = c p le rapport des capacités thermiques molaires c V à pression constante c p et à volume constant c V W du piston en fonction de p. Calculer le travail a , V 1 , V 2i  et de la température finale T f du gaz dans le récipient. a) W=p a ( V 1 +V 2i ) −RT f b) W=p a V 1 +V 2i ) +RT f  c)  W=p a ( V 1 −V 2i ) −RT f d)  W=p a V 1 −V 2i ) +RT f 

30. Enprincipe de la thermodynamique, en déduire la température finale T appliquant le premier f du gaz en fonction de p a , V 1 et V 2i . a 2i  1 a) T f = R Vp    1  γ −γ   + 1    V V    b) T f = p a V R 1    1   −γ  − γ 1    V V i2 1     2i c) T f = p a V R 2i     1  +   V V 1 2i    γ −1     d) T f = p a V R 2i    1  − +  γ  γ 1    V V 1     2i

31. la valeur V Calculer 1m que devrait avoir le volume du compartiment (1) pour que le piston vienne juste en butée sur C. a) V 1m = γV 2i b) V 1m −γ = γ 1 V 2i c) V 1m γ− = γ 1 V 2i d) V 1m = 1 γ V 2i 

32. Calculer, dans ce dernier cas, l'entropie produite S p . a)  S p = ( γ− γ 1 ) nl R  γ−  γ  1    b) S p − = 1 nl R γ   −γ  1     c) S p = −γ γR ln 1 γ () d) S p = γR lnγ −1 ) 

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33. On se place maintenant dans le cas où le volume V ' 1 du compartiment (1) est plus grand que le volume V 1m calculé précédemment, de sorte que dans l'état final le piston soit en butée surC. Calculer la température finale T ' f du gaz en fonction de p a , V 2i ,γet R. γ d a 2 = a) T ' f  − γ= (1 ) p a R V 2i b) T ' f = γ p a R V 2i c) T ' f γ −1 p a R V 2i )T ' f γ γ − = R 1 V i 

34. Exprimer p la pression finale ' f ofnezadnoitcnV,paedug 2i , V ' 1 etγ. ' γ − 1 V a) p ' f = γp a V V 2 ' i 1 b) p ' f  γ −= (1 ) p a V V 2 ' 1 i c) p ' f = γ −γ1 p a V V 2 ' 1 i d) p f =p a 2i γV ' 1

35. l'entropie produite Calculer  ' S p . −1 a) S ' p = γR nl   V '   γ  1 γ −1  V 2i    γ −1 c) S ' p = γR ln   V V 2 ' 1 i   

b) S ' p = R − ln    V 2 ' 1 i   γ  γ1 V  =    −1   d)  S ' p γ R − n 1 l    γ V V 2 ' i 1  γ      

36. Uneen spires jointives sur un tore circulaire à bobine est constituée d'un fil conducteur bobiné sectio a et de ci-con n t  r c e). yone aottrembnoelNrapengisédnO yarmnoaéerredtécôρ ld (v e o  i s r p  i f r i e g s u  r e e t   y par I le courant qui les parcourt. Calculer la norme B du champ magnétique qui règne en I un point P(x,y) quelconque du plan xOy à l'intérieur du tore. a ) B= 2π µ x 0 2 I +y 2 b) B = µ 2 0 π I x  P O x c) B = µ 2 0 I d)B= 2π µ 0 x 2 I +y x 2  a ρ πy 37. l'énergie électromagnétique CalculerE em de la bobine. = µ 0 NI 2 a ln  +ρ  a    0 2 I 2 a a) em E 8 ρ −π a  b)E em = µ 4π  c) E em = µ 0 4 N π 2 I 2 a ln    2 2ρ− +a a    d) E em = µ 0 NI 2 nl a     8  πa 38. Exprimer l'inductance propre L de la bobine. a)L = µ 0 N 2π 2 a nl −ρ   +ρ  2 2 a    b) L = µ 0 2π 2 a a dL 0 N 2 a 2  a c) L = µ 0 N 4π 2 a nl ρ   + −  ρ a a    )= 2π ln    2ρ− +ρ a     39. On dispose suivant l'axe y'y de la bobine un fil rectiligne que l'on peut considérer comme infini et parcouru par un courant I 0 . Calculer le fluxϕmagnétique créé par le fil à travers le circuit de ladu champ bobine et en déduire l'inductance mutuelle M entre les deux circuits. a) M = µ 0 2π ln aN   2 2 ρ− ρ+ a a    b) M= 0 4 N π 2 ln a +ρ    ρ−2 a2     a c) M = µ 0 2π l aN n  −ρ  +ρ  a a    d)  M = µ 0 4 N π 2 ln a    a     40. fil est parcouru par un courant i Le 0 t) =I 0 cosωt ) tandis que le circuit de la bobine est fermé sur un ampèremètre. La résistance totale de ce circuit est alors égale à R.

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