Mathématiques 2 2005 Classe Prepa MP Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI)

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Concours du Supérieur Concours Instituts Nat. Polytechniques (INP - ENSI). Sujet de Mathématiques 2 2005. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2 2005 sur Bankexam.fr.

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 01 mars 2007
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• Langue: Français

Extrait

RACINES CARREES DE MATRICES Notations. Dans ce sujet,nest un entier naturel non nul et on note : M n ialle)al(`gbelaatsmderearsccerie´rsee´rtedsellen. R R M()elvectorieespacesecia`sedlrtamnlignes et une colonne. R R n,1 GL( )le groupe des matrices inversibles deM( ). R R n n I n edet´nieuictrmalaM n ( ). R n I ditacdinoitnede´te.’allipp R t Pour une matriceA M( ),A.ee´sestceriatamosspantr R n ∈ S( )le sousespace vectoriel des matrices sym´etriques deM( ). R R n n + Sle sousespace vectoriel des matrices sym´etriques positives de( )M n esediradt`esc’),(ciseamrtA n R R t deS n uartrtiotu:tpeomiancve´er()X M n,1 ( ), XAX0. R R ∈ ≥ Si. . . , xx ,so´esrdentonno,sleetdiag(. . . , xx ,) la matrice diagonale deMqui admet pour( ) R 1n1n n coefficientsdiagonauxlesr´eels. . . , xx ,dans cet ordre. 1n p Sipest un entier naturel non nul, on notera.nie surla norme in R k k ∞ Six= (x 1 , . . . , x p ),x= max 1i p x i . p k k ∞ | | Siaetr >0, on noteB(a, r) la boule ouverte de centreade rayonrp ourla norme.. R ∈ ∞ k k ∞ Objectifs. 2 SoitAune matrice deM n on dit qu’une matrice( ),RdeM n esd(eee)´rracenicarenutsAsiR=A. R R 2 On noteRac(Acarrcineesrabledsnmel)e’see´edAse’cda`teir,Rac(A) =R M n ( )/ R=A R { ∈} Leproble`meproposeded´eterminerlesracinescarr´eedeAdnadsxeselemp´eiffntrearro(,suopn constaterqu’unematricepeutparfoisadmettreuneinnite´deracines)ete´tudierquelquespropri´et´es topologiques deRac(A). Lestroispartiesduproble`mesontind´ependantes. Les trois premiers exemples de la partieIsont tousenepntdasd´in. I.De´terminationdeRac(A)dans quelques exemples. Exemple1:caso`uApede`ssonvaleurs propres distinctes. On suppose que la matriceA M( )admetnveualprrsreoprse´leels< λλ <. . .λ <. R n1 2n ∈ 1 1. Justi erl’existence d’une matriceP M n ( )inversible telle queA=P DP − o`uD=diag(λ 1 , λ 2 , . . . , R ∈ 1 puis montrer queReed´errcanecirautenseA, si et seulement si la matriceS=P − RPest une racine carr´eedeD. 2.Racinescarre´esdeD. SoitSaricuenrre´enacesdeD. a. MontrerqueDS=S D. b.Ende´duirequelamatriceSest diagonale. 2 c. Onnote alorsS=diag(s ,. . . , svaut). Queslorsquei1, . . . , n? ∈ {} 1n i d. Quepeuton dire deRac(A) siAcietsertorrpueprevaletunadmivate?ntmeegn´ e. Sion suppose toutes lesvaleurs propres deAtiviseuopsoe´seacsrleerrrcaesind,sellunnimrete´ de la matriceDposer. On pourraε1,+1 pouri1, . . . , n. i ∈ {−} ∈{ } 3.Ecriretouteslesracinescarr´eesdeA`al’aidedelamatricePoCbmeidnrecaniserrcaes´e.Aadmet elle ?(On discutera selon le signe des valeurs propres deA). 11 55 −  − −  Application:Ecriretouteslesracinescarre´esdeAOn donnera explicitement= 53 3 5 33 lescoefficientsdessolutionstrouv´ees.   − Exemple 2 :cas ou`Aest la matrice nulle deM n ( ). R Danscetexemple,oncherchea`d´eterminerlesracinescarr´eesdelamatricenulle. SoitR M,)(nicarenur´eeecarmatrdelaluelcine. R n ∈

n n 5. Soitfl’endomorphisme dedontRest la matrice dans la base canonique de. On noterle rang R R def. n a. ComparerIm(f) etK er(f) puis montrer quer. 2 b. Onsupposefnon nul, doncr1. Soit(. . . , ee ,) une base deIm(f)quecetvalpe`cnmoleo’ 1r ≥ (e r+1 , . . . , e n r ) pour former une base deKer(f). Pouri1, . . . , r, on noteu i le vecteur tel − ∈ {} quef(u i ) =e i . n Montrer que la famille= (, . . . , u, u. . . , ee ,) est une base depuis ´ecrire la matrice de R 1n r1r B − f. On noteradans la baseMcette matrice. r B 6.a.Ecriretouteslesracinescarre´esdansM n amaled)(ededl’aile`aenultricM r et d’une matrice R inversibleP. b. Application : d´eterminerdansM´reedslematairecnulle.(Onnechercareh(raes,l)arscneci R 4 pas`acalculerexplicitementlescoefficientsdeR) Exemple 3 :cas ou`A=I n .

7. SoitRacerunit´enu’ledee´rraceniI. n

a.V´erierqueRest une matrice inversible. b. MontrerqueRonagdicel’ueeqala`elbalbirtamenucseeirnmoe´sdtar. 8.De´terminerRac(I). en s’inspirantde la question 6a. n Exemple4:caso`uAnematricesym´etre.lleer´useeiuqt Danscetexemple,touteslesmatricesquel’onconsid´ereraappartiennent`aM( ). R n 9.Unematricesym´etriqueadmetellene´cessairementuneracinecarr´ee? 10.Montrerqu’unematricesym´etriquepositiveadmetaumoinsuneracinecarr´eequiestellememe syme´triqueetpositive. II. Etude topologique deRac(A). SiAest une matrice deM n ( )qui apour coefficients (a i,j ) 1i,j n poenmeorntsadne´o,nunentiN(A) = R max 1i,j n a i, j . On munitM n ( )de cette normeN. R | | 11. FermeturedeRac(A). SoitAune matrice deM n ( ).Montrer queRac(Apanetues)ee´deefmrtreiM n ( ). R R 12. Etudedu caract`ere born´e deRac(I). n —:a. un exemple instructif 1 0 µ − ¶ Pour tout entier naturelqon poseS q = ;calculerS q .Rac(I 2 ) estelle une partie q1 borne´edeM( ) R n b.Rac(Ie)edee´nrobrtienepalleusteM( )pourn3 ? R n n ≥ c. Application: pourcette question,n2. ≥ Montrer qu’il n’existe pas de norme.“surmultiplicative” surGLri´eevirnta(,)`tda’cse R n k k pour tousAetBdansGL n ( ),. BAB A. R k k≥ kk kk

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III.Z´erosdefonctionspolynomiales.Application`alad´eterminati del’inte´rieurdeRac(A). p Soitpun entier naturel non nul. On munitde la norme innie.. R p k k ∞ On notel’ensemble desonctfselaimonylopsnoiiradt`esc’urs:eisP , il existeNentier R p p ∈ natureletunefamilledere´elsa ,0i ,. . . , iNtels que i 1 ,...,i p 1p { } p ii 1p (. . . , xx ,), P(x ,. . . , x) =. . . xa x R 1p1p i,... ,i p ∀ ∈ 1 X 0Ni ,...,i 1p 2 53 3,P(xx ,x ,) = 5x x Par exemple sip= 1 2 3 + 3x 1 x 2 x 3 + 4 2 lopnoitcnofeenuts.uresalmioyn 1 R Sip= 1, 1 usse.rylopmonneests’leionsonctdesfmble R p En n,sip ,on poseZ(P) =(. . . , xx ,)/ P(x ,. . . , x) = 0(Z(P) est’eldelbmesnsore´zse R p1p1p ∈ {∈ } delafonctionpolynomialeP). p p Si - est une partie de, un vecteurambnor´releeedtseunpointint´erieu`r-a’slixesietnur R R strictement positif tel queB(a, r) -.steetiarmbseenl’psesedeltnistnioeurs´eri.L’ni´treeiru’dnupe ∞ ⊂ L’objectifdecettepartieestd’e´tudierl’int´erieurdeZ(P),etmrnireadndee´ieurdel’int´erRac(A).

13.Questionspre´liminaires:

a. Si- est un ouvert deEeirnite´usrtdle’-u?eleq p b. Soita= (a ,. . . , a) etr >que0. MontrerB(a, redcommrireduiteprop)stuece´’p R 1p ∈ ∞ intervalles. c. SoitFledeusensembeuottuosoMtnerqrire´tni’.edivrueunedtiarepFestrueiedivni’dre´t

14.Exemplesd’ensemblesdez´erosdefonctionspolynomiale.

a. Dans cettequestion,pSoit= 1.PcasquelfoneupoontincsemonylsnaD.ruZ(P) estil R in ni? 2 b. Dans cette question,p= 2.On consid`ereP(xx ,. 1 x 2 ) = 2x 1 x 2 1 etQ(x 1 , x 2 ) =x 1 2 2 − −− Repre´sentergraphiquementdansleplanlesensemblesZ(P) etZ(Q).Z(P) etZ(Q) sontil R in nis?

15.Int´erieurdel’ensembledesz´erosd’unefonctionpolynomiale. SoitP p . ∈ a. SoientI 1 , . . . , I p olnpoynalmieecuqselifanotcoitrerparr´ecurreneinnisenoM.edstiarspde R Ps’annule surI 1 . . .I p , alorsPest la fonction nulle. × × b.Ende´duirequesiPrtpanerusulenuan’snvide,reeiruonei’dni´tPest la fonction nulle. c. Sil’on suppose quePn’est pas la fonction nulle, que vaut l’int´erieur deZ(P) ?

16.Application`al’e´tudedel’int´erieurdeRac(A). 2 n Dans cette question, on confondra les espaces vectorielsMPar exemple, on prendra laet .( ) R R n 2 n libert´ed’´ecrirequepourM M n ( ),M= (m i,j ) 1ni, j , sans se soucier de l’ordre des termes. R R ∈∈ SoitAune matrice deM n ( ). R 2 n a. EcrireRac(Ae´´ldeseixtsi’elerquontruismpbmesedel’demnenuou)sorsftsenem. . . , PP , 2 R 1n 2 n de 2 tels queRac(A) =Z(P). n l l=1 T b.D´eterminerl’inte´rieurdeRac(A).

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