Mathématiques 2001 Classe Prepa HEC (S) Concours Ecricome

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Concours du Supérieur Concours Ecricome. Sujet de Mathématiques 2001. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2001 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2001

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 168
• Langue: Français

Extrait

Ecricome 2001, option scientifique.

EXERCICE 1 Soientaetbmentictetifsposi,drxuelee´rtssXetYdueailbvxraat´eales´esdreoirusseinfiemeˆmnu espaceprobabilis´e,ind´ependantes,suivantchacuneuneloiexponentielledeparam`etresrespectifs aetb. 1),e´talediravelban,ioispuedunsienal´eatoirenofalrenimrete´Ditrtpa´eerndioct−X. 2)Montrer queY−Xee´daemnsdenetuot,n´eithe´d,rapeinfi ab ab −bt at h(t) =e pourt >0 eth(te pour) =t≤0 a+b a+b Onconsid`erelavariableale´atoireZ=|X−Y|. −as−bs be +ae 3)Soits:´eitaleg’´lrilbatE.fitisopunr´eelP(Z≤s) = 1−. a+b 4)a)Montrer queZenet´eitunernndo´tisnede.etuneesablevaritaiolae´edsnera` b)Montrer queZlecur.admetuneepse´arcneeltcala

EXERCICE 2 Soientnun entier≥2 etEerdro’dsee´rraceotcavee’pslcescatridesmrieln`.sel´esrntiefficoeac t Iamrtciieetsaldedentit´eE. On noteApsnae´sortalme´ent’uedeln´AdeE. SiA= (a i,j ) appartient`aE, on appelle trace deAet on note tr(A), la sommea 1,1 +a 2,2 +∙ ∙ ∙+a n,n des e´le´mentsdiagonauxdeA. Onconsid`erel’applicationgdeE×EdansRriatxmeuadi`qu,ecsAetBdeEfait correspondre t ler´eelg(A, B) = tr(AB). 1)ementdetout´el´tnqriua`lpcitaoiuerqapl’MorentEatrace,eassociesemil´naetsnuferoeir surE. t 2)a)SoitMune matrice deE. Montrer que tr(M) = tr(M). b)couttourpoe,quredeiunE´d(elpuA, B) de matrices deE, on ag(A, B) =g(B, A). 3)SoitAle´neme´edtnuE. Montrer queg(A, Amoemltsara´redcsscoeesdentsdfficieees)A. 4)eteenqus,´epredc´noM(a`,rertsqdedeainsiostuegest un produit scalaire surE. n n SoitB= (e 1 , e 2 , . . . , e n ) la base canonique deRetfl’endomorphisme deRnipad´efi:r f(e 1 ) =e n et, pour tout entierktel que 2≤k≤n, f(e k ) =e k−1 n 5)a)Montrer quefest un automorphisme deR. n−1 t b)SoitUla matrice defdans la baseB. Montrer queU=Iet queU=U. On suppose, pour les deux questions suivantes, quen= 4. 2 32 3 6)CalculerUetUet montrer que (, UI, U, U) est une famille orthogonale pour le produit scalaireg. 2 3 7)On noteFle sous espace vectoriel deEee´rdnegnamafrlpa(leil, UI, U, U) etVla matrice deEre`igileseennoctitsteeu´1edeestldontlapremalreluclaC.0edntmeueiqunestrau projection orthogonaleWdeVsurF.

` PROBLEME

Danstoutleproble`me,nest un entier positif ou nul,arieuup´eegalrou´entnuiasreiprte4a`p n−1 unre´eltelque0< p <ec1s´turiiifimrpslloeue.rPes,seropnoa n = 2a. Unjeuestunesuccessiondejetsd’unepie`cequifaitpileaveclaprobabilit´ep. Un joueur dispose initialement d’une fortunea. On noteF n a`rueuojeussi’lavliaarlbae´laeotri´egeale`alafortunedu dunivnecnnoqteume`e-i.OernclaF 0 asela`eea´reigattalianvle´ceerabtloeiara. On obtient la fortuneF n+1 ap`edritraF n namaledvante:i`eresui avant le lancernle joueur mise une partie+ 1,X n `itn,eree,,el’auleetartitrepoftredasruipnuse F n −X n , sur face. Si le lancernfait apparaˆıtre pile, la fortune+ 1F n+1 ge´t`ela2aesX n , s’il fait apparaˆıtre face, la fortuneF n+1 (2a`elage´tseF n −X n `atonsi,).Aioftr,taltsnatuniedunu joueurestunentierpair,´eventuellementnul. One´tudie,dansceproble`me,deuxexemples(parties1et2)danslesquelslesmisesX n , sont desairaselbe´laiotasrevsscoeiuavxraailbesal´eatoires.etAceteffna,oF n seopylˆnmosedG n dontlespropri´et´esge´ne´ralessont´etabliesenpre´liminaire.Cespolynˆomesservent`aobtenirdes informationssurl’´evolutiondelafortunedujoueurtoutaulongdujeu. E(X) etV(Xeednciaar,tnenauqe´d)ngisnt,listeesexdellltvacneee´are’psX.

R´esultatspre´liminaires. 1)Pour tout entier positif ou nuln, montrer queF n prend ses valeurs dans{0,2,4, . . . ,2a n }. a n X k Pour tout entier positif ou nulnitle´efinnˆompolyo,ednG n par :G n (x) =P(F n = 2k)x. k=0 2)a)CalculerG n (1). b)´rseneetuQrepetenemetr`nccoG n auqlets,eibilorabentprgum’unaideda’la`,rertnoM?)0( suitedetermege´n´eralG n (0) est croissante et convergente. E(F n ) 0 00 2 c)Montrer queGe()1=.EtablirdemˆemequV(F n ) = 4G(1) + 2E(F n )−E(F n ) . n n 2 3)polyuelererqMonteˆnmoG n est convexe surR + . Partie 1 Sortnun entier positif ou nul etkun entier tel que 0≤k≤a n . On suppose dans cette partie que la loi conditionnelle deX n sachant (F n = 2k) est une loi uniforme sur[0,2k]]. 1)Etablir, pour tout entierjtel que 0≤j≤2k,’le´agil´t:e   1 P(F n+1 = 2j)∩(F n = 2k) =P(F n = 2k) 2k+ 1 (Onpourrautiliserlesyste`mecompletd’e´ve´nementsconstitu´eparlesdeuxre´sultats possibles du lancern+ 1.) 2)´edtdtenieuierrp,uotrnuEojtel que 0≤j≤a n+1 , une expression sommatoire de P(F n+1 = 2j). a n X 2k+1 x−1 3)Montrer que pourxant`rtenappa0[a,1[,G n+1 (x) =P(F n = 2k). (2k+ 1)(x−1) k=0 Z 1 2 4)rnE´ddeiuerp,uoxaprtpaanenat`R´’l,lagee´ti1(:−x)G n+1 (x) =G n (t) dt(1) x 5)erd´enr,eutdanivtecsiofxilage´ettruotuo,ueo´etvpeurqPn≥0, on aE(F n ) =a. Partie 2AetBsontspartiesdsuesxuo(eL)setnadnepe´dni On suppose maintenant que la loi conditionnelle de la variableX n sachant (F n = 2k) est une loi binomialedeparam`etres2ketr,re´attnldeer´un0e],1[. 2