Mathématiques 2003 Classe Prepa HEC (ECS) EDHEC Lille

Description

Examen du Supérieur EDHEC Lille. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

Sujets

• Mathématiques
• 2003

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 18 mars 2007
• Nombre de lectures: 90
• Langue: Français

Extrait

ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD Concours d'admission sur classes préparatoires ___________________ MATHEMATIQUES Option scientifique Mardi 20 mai 2003, de 8h à 12h __________ La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Exercice 1 m k å k Pdésignant un polynôme de IR[X] tel queP= a X , on rappelle que, pour toute matrice k=0 m Ade s (IR),P(A) =a 0 I+a 1 A+ ... +a m A, oùIdésigne la matrice unité de s (IR). M M On admet que siPetQsont deux polynômes de IR[X] et siAest une matrice de s (IR), alors: M (P Q)(A) =P(A)Q(A). On se propose de déterminer explicitement le terme général de la suite (u n ) définie par : u 0 = 0,u 1 = 1,u 2 et la relation, valable pour tout= 1nde IN,u n+3 = 4u n+2 – 5u n+1 + 2u n . æ u n+2 ö ç ÷ Pour ce faire, on pose, pour toutnde IN,X n =u. ç ÷ n+1 ç ÷ è u ø n 1) a.Écrire la matriceAde 3 :(IR), indépen,X n+1 =A X n . ndante den, telleque" ÎIN M 2  b.Vérifier que (A–I) (A– 2I) = 0. 2 2) On considère le polynômePde IR[X] défini parP(X) = (X– 1)(X– 2).  a.Justifier l’existence et l’unicité d’un couple (Q n ,R n ) de IR[X]´IR 2 [X], tel que : n "nÎIN,X=P Q n +R n .  b.Montrer que pour tout entier natureln, il existe des réelsa n ,b n etc n tels que : 2 R n (X) =a n +b n (X– 1)+c n (X– 1). n  c.Établir que :"nÎIN,a n = 1,b n =netc n –= 2n– 1.

1

n 3) a.Utiliser la question précédente pour écrire, pour toutnde IN,Acomme combinaison 2  linéairedeI,A–Iet (A–I) . n  b.Pour toutnde IN, donner la troisième ligne de la matriceA. æ 1 ö ç ÷ n 4) a.Montrer que :"nÎIN,X n =A 1 . ç ÷ ç ÷ è 0 ø  b.En déduire, pour toutnde IN,u n en fonction den. Exercice 2 Soitpun entier naturel etfune fonction continue, strictement positive, décroissante sur +¥ [p, +¥[ et telle quef(t)dtconverge. ò p n å Pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp, on poseS n =f(k) . k=p 1) a.Utiliser la décroissance defmontrer que, pour tout entier naturel pournsupérieur ou n  égalàp, on a :S n –f(p)£f(t)dt. ò p  b.En déduire que la série de terme généralf(n) est convergente. +¥ On pose désormais, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp,R n = f(k ) . å k=n+1 2) a.Montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur ou égal àp, on a : +¥ +¥ f(t)dt–f(n)£R n £f(t)dt. ò n ò n +¥  b.En déduire une condition suffisante portant surf(n) etf(t)dtpour que : ò n +¥ R n  ~f(t)dt. ò + ¥ n 1 3) Dans cette question, pour tout réelx+de [2,¥[, on posef(x) =. 2 x( lnx)  a.Montrer que cette fonction vérifie les quatre hypothèses de l’énoncé ainsi que la  conditiontrouvée àla question 2b). +¥ 1 å 2  b.En déduire un équivalent, lorsquenest au voisinage de +¥, deR n = . k( lnk) k=n+1  c.La série de terme généralR n (n³1) estelle convergente ?

2

Exercice 3 t Pour toute matriceAde 3 (IR), on noteAla matrice transposée deAet tr(A) la trace deA, M c’estàdire la somme des éléments diagonaux deA. On noteI lamatrice unité de 3 (IR) eton considère la matriceJ, élément de 3 (IR), définie M M æ 0 1 0 ö ç ÷ parJ= 0 0 1. ç ÷ ç ÷ è 0 0 0 ø t À tout couple (A,B) de 3 (IR)´ 3 (IR), on associe le réel <A,B(> = trA B). M M 1) Montrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur 3 (IR). M Dans toute la suite, on se place dans l’espace euclidien 3 (IR) muni de ce produit scalaire. M 2 2) Montrer que (I,J,J) est une famille orthogonale. 2 3) On noteEle sousespace vectoriel de 3 (IR) engendré par (I,J,J). M  a.Déterminer une base orthonormale deE, notée (K 0 ,K 1 ,K 2 ) telle que, i0  pourtoutide {0, 1, 2},K i  soitproportionnelle àJ(avec bien sûrJ=I).  b.SoitAune matrice quelconque de 3 (IR) dont le terme situé à l’intersection M ème ème  delailigne et de lajcolonne est notéa i,j .  Pourtoutide {0, 1, 2}, déterminer <K i ,A> en fonction de certains des éléments deA.  c.On notepla projection orthogonale surE. Exprimerp(A) en fonction deK 0 ,K 1 ,K 2 et  decertains éléments deA.  d.En déduire une base de Kerp. Problème Partie 1 Dans cette partie,rdésigne un entier naturel etxdésigne un réel de ]0,1[. ème 1) Pour tout entier naturelknon nul, calculer la dérivéekde la fonctionf, 1  définiesur ]0,1[, par :f(x) =. r+1 (1-x) r n n 2) Montrer que, lorsquenest au voisinage de +¥,C~ . n+r r! r+1n 3) Montrer quelimn x= 0. n® +¥ x-t 4) Soitj x la fonction définie sur [0,x] parj x (t) =. 1-t  Montrerque :"tÎ[0,x], 0£j x (t)£x. 5) a.Écrire la formule de Taylor entre 0 etxavec reste intégral pour la fonctionfà l'ordren. n x dt k kn n  b.En déduire que : 0£f(x) –C x£ (n+r+ 1)C x. å r+2 ò 0 k+r n+r (1-t) k=0 +¥ 1 k k  c.Montrer finalement que :"xÎ]0, 1[,"rÎIN,C x= . å r+1 k+r (1 - x) k=0

3

Partie 2 Dans cette partie,ndésigne un entier naturel non nul. On effectue une suite d’épreuves de Bernoulli indépendantes telles que pour chacune d’entre elles, la probabilité de succès soit égale àp, avec 0 <p< 1. On noteX n le nombre d’épreuves qu’il faut réaliser pour obtenir, pour la première foisn succès, pas forcément consécutifs (X n est donc le numéro de l’épreuve où l’on obtient le ème nsuccès). On convient queX n = 0 si l’on n’obtient pasnsuccès. 1) Dans cette question seulement, on considère le casn= 1.  a.Reconnaître la loi deX 1 .  b.Donner l’espérance et la variance deX 1 . Dans toute la suite, on suppose quen³2. 2) a.DéterminerX n (W).  b.Pour tout entier naturelk, calculer la probabilité que l’on obtiennen– 1 succès au cours  desn+k– 1 premières épreuves. n-1n k  c.Déduire de la question précédente que :"kÎIN,P(X n =n+k) =C p(1-p) . n+k-1 +¥ å  d.Utiliser le résultat de la partie 1 pour vérifier que P(X=n+k 1.) = n k=0  EndéduireP(X n = 0). On dit queX n suit la loi binomiale négative de paramètresnetp. n-1n 3) a.Montrer que :"nÎIN * ,"kÎIN, (n+k)C=nC. n+k-1n+k +¥ + = ,  b.En utilisant le fait que, pour tout entier natureln, å P(X +1 =n+1k) 1 n k=0  montrerqueX n possède une espérance et donner sa valeur en fonction denetp. n-1 n-1n-2 4) a.Montrer que :"n³2,C=C. n+k-1n+k-2 n+k-1  b.Utiliser le théorème de transfert pour montrer que, pour tout entier naturelnsupérieur n-1n-1  ouégal à2, possèdeune espérance et queE( )=p. X-1X-1 n n n 5) a.Justifier quepossède une espérance (on n’en demande pas le calcul). X n n n  b.Montrer, sans calculerE( ),queE>( )p. X X n n 6) Dans cette question, on suppose que le paramètrepest inconnu. n-1n  Pourtoutn³2, on pose :Y n =etZ n = . X-1X n n  Desdeux suites (Y n ) n³2 et (Z n ) n³2 , laquelle est un estimateur sans biais dep? On ne se  préoccuperapas de l’éventuelle convergence de ces estimateurs.

4