Mathématiques 2003 Concours FESIC

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Concours du Supérieur Concours FESIC. Sujet de Mathématiques 2003. Retrouvez le corrigé Mathématiques 2003 sur Bankexam.fr.

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• Mathématiques
• 2003

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 25 juillet 2008
• Nombre de lectures: 70
• Langue: Français

Extrait

Concours d’entr´ee FESIC
Exercice 1
On consid`ere la fonction f d´ efinie sur R et repr´esent´ee par la courbe
ci-dessous:
6
5
4
[ [[[[[
3
2
1
0
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6
-1
a) f est d´erivable au point d’abscisse x = –2.
b) f est continue au point d’abscisse x=1.
c) limf(x)=4.
x→2
d) Sur l’intervalle ]–2 ; 1[, la fonction f,d´eriv´ee de f sur cet intervalle,
est croissante.
Exercice 2
xe − 1
On consid`ere la fonction f d´ efinie par: f(x)=ln =1.
xe +1
On d´esigne parD l’ensemble de d´efinition de f.
a) On aD =]0 ;+∞[.
x2e
b) f est d´erivable surD et, pour tout x∈D,f(x)= .
2xe − 1
c) Pour tout x∈D,f(x) < 0.
e+1
d) L’´equation f(x)=–1poss`ede l’unique solution x=ln .
e− 1Concours FESIC 2003 2
Exercice 3
→− →−Le plan est muni d’un rep`ere orthonormal (O, ı,  ).
Soit f la fonction d´efinie surR par:
–xf(x)=–(1+x)e .
On appelleC la courbe repr´esentative de f dans le rep`ere cit´e.
a) f r´ealise une bijection deR dansR.
–xb) La fonction F,d´efinie surR par: F(x)=(x+2)e , est une primitive
de f surR.
c) Soit t ∈ R . L’aire du domaine plan limit´eparlacourbeC et les+
droites d’´equations x=0,x= t et y = 0 se calcule, en unit´es d’aires, par:
t
f(x)dx.
0
d) L’aire d´efinie `alaquestionc) est finie quand t tend vers +∞.
Exercice 4
n1 t
Pour tout n∈N,onposeI = dt.n 20 1+t
a) I =ln2.1
∗b) Pour tout n∈N ,ona:I 0.n
1 1
∗c) Pour tout n∈N ,ona: I .n
2(n+1) n+1
∗d) La suite (I ) est croissante.n n∈N
Exercice 5
n 2lnt
Pour tout entier naturel n non nul, on pose: I = dt.n
n−1 t
∗a) Pour n∈N,I =2n–1.n
b) La suite (I ) est born´ee.
∗n n∈N
In
c) La suite est convergente.
n
∗n∈N
∗ 2d) Pour n∈N ,ona:I+I +···+I = n .1 2 n
Exercice 6
a) 17 + 20 + 23 +···+ 62 = 632.
4 5 6 10
1 1 1 1 1 127
b) + + +···+ = × .
2 2 2 2 8 128Concours FESIC 2003 3
∗c) Soit n ∈ N .Onconsid`ere la fonction f d´ efinie sur ]1 ; +∞[par:
n+11−x
f(x)= . f est d´erivable sur ]1 ; +∞[etpourtoutx>1, on a:
1−x
2 3 n–1f (x)=1+2x+3x +4x +···+nx .
d) Si une suite n’est pas arithm´etique, alors elle est g´eom´etrique.
Exercice 7
On consid`ere les suites (u )et( v )d´efinies surN par:n n
1 1 1 1
u =1+ + +···+,v = u −1+ .n n n
1! 2! n! n!
a) Pour n ∈ N,u est la somme des n premiers termes d’une suiten
1
g´ eom´etrique de premier terme 1 et de raison .
n+1
b) La suite (u )estd´ecroissante.n
c) La suite (v )estcroissante.n
d)Lessuites(u )et( v )sontadjacentes.n n
Exercice 8
Dans le plan complexe, on consid`ere les points M et M d’affixes respec-
tives z et z telles que:
z = zz+(1+i)z+3z− 2.
On pose z = x+iy et z = x +iy,avecx, y, x et y r´eels.
2 2a) x = x +y +4x–y–2 et y = x–2y.
b) L’ensemble E des points M tels que z soit r´eel est une droite.1
c) L’ensemble E des points M tels que z soit imaginaire est un cercle.2
d) E et E ne sont pas s´ecants.1 2
Exercice 9
Dans le plan complexe, on consid`ere le point d’affixe 1, puis le cercle Γ
de centre et de rayon 2, et enfin les points A, B, C et D d’affixes respectives
z ,z,z et z ,ou:`A B C D
√
z =1+2i,z =1+ 3+i,z = z ,z = z .A B C B D A
√z −zD B
a) = 3.
z −zA B
Ω
ΩConcours FESIC 2003 4
π
b) D est l’image de A par la rotation de centre B et d’angle .
2
c) Les points A, B, C et D appartiennent au mˆeme cercle Γ.
2d) Soit θ∈R.Onconsid`ere l’´equation:z –2(1+2cosθ)z+5+4cosθ=0.
Les solutions de cette ´equation sont les affixes de deux points qui appar-
tiennent tous les deux au cercle Γ.
Exercice 10
Le plan complexe a pour origine O. Soit M le point dont l’affixe a pour
5π
module 1 et pour argument .
6
π
On appelle r la rotation de centre O et d’angle et on appelle h l’ho-
3
moth´etie de centre O et de rapport –3. 3.
6
5π 5π
a) On a: cos +isin =−1.
6 6
b) L’image de M par la rotation r est le point M de coordonn´ees1
√
3 1
; .
2 2
c) L’image de M par l’homoth´etie h est le point M dont nl’affixe a pour2
5π
module –3 et pour argument .
6
3d) r (M)=r◦r◦r(M)estlepoint M ,sym´etrique de M par rapport `a3
O.
Exercice 11
Soit x∈R.Onconsid`ere la suite g´eom´etrique (u (x)) de premier termen n
–xu (x)=1etderaisonq = 1–2e .0
–x 6a) Dans le d´eveloppement de u (x)=(1–2e ) , le terme correspondant6
–4x –4x`ae est 240e .
b) Pour x fix´esup´erieur `a 1, on a: lim u (x)=0.n
n→+∞
c) Pour un entier naturel n fix´e, on a: lim u (x)=0.n
x→+∞
d) Un lanceur s’exerce `a tirer sur une cible situ´ee `aladistancex (x en
–xm` etres, x 1). La probabilit´e qu’il atteigne sa cible est p=2e . Le lanceur
tire n fois vers la cible de fa¸ cons suppos´ees ind´ependantes.
La probabilit´e que ce lanceur atteigne k fois exactement la cible (k ´etant
n kn−kun entier compris entre 0 et n)est ×u (x)× (1−u (x)) .11kConcours FESIC 2003 5
Exercice 12
On note x(t)lenombred’atomesderadiumd’unesubstanceradioactive
pr´esents `a l’instant t (exprim´eenann´ees)danscettesubstance,etonadmet
que la vitesse d’´elimination x (t)est proportionnelle `a x(t):ilexistedonc
une constante r´eelle k, telle que x (t)=kx(t).
On appelle x le nombre d’atomes pr´esents `a l’instant t=0.0
a) Le nombre d’atomes diminue quand t augmente, donc k est n´egatif.
kt`b) A chaque instant t,ona:x(t)=x e .0
c) On note T la p´eriode (ou demi-vie ),c’est-a-`dire le nombre d’ann´ees
pour lequel le nombre d’atomes a diminu´edemoiti´e par rapport `a l’instant
initial t=0.
− ln2
On a T = .
k
d) A l’instant t=3T,ilrestelesixi`eme des atomes dans la substance.
Exercice 13
La dur´ee en ann´ees du bon fonctionnement d’un composant ´electronique
est mod´elis´ee par une variable al´eatoire de loi exponentielle. Des tests garan-
tissent une dur´ee moyenne de 10 ans.
a) Le param`etre de la loi exponentielle est 10.
b) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne correcte-
1
ment moins de 10 ans est 1− .
e
c) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne pendant au
–2moins 10 ann´ees est e .
d) La probabilit´e pour que l’un de ces composants fonctionne entre 10 et
–1 –1,5e − e
15 ann´ees est .
–11− e
Exercice 14
60% des candidats au concours de la FESIC sont des filles. Parmi elles,
30% ont suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale.
Par ailleurs, 20% des candidats sont des gar¸ cons qui ont suivi l’enseignement
de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale.
a) On interroge un candidat au hasard. La probabilit´e que ce soit une
fille qui ait suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale
est de 30%.
✮✮
✭✭Concours FESIC 2003 6
b) On interroge un gar¸ con qui est candidat. La probabilit´e qu’il ait suivi
l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques en terminale est de 20%.
c) 38% des candidats ont suivi l’enseignement de sp´ecialit´edeMath´ematiques
en terminale.
d) On interroge un candidat qui a suivi l’enseignement de sp´ecialit´ede
9
Math´ematiques en terminale. La probabilit´e qu’il s’agisse d’une fille est .
19
Exercice 15
→−
−→ →−L’espace est rapport´e`aunrep`ere orthonormal O, ı,,k .
On consid`ere les droitesD etD donn´ees par les ´equations param´etr´ees sui-
vantes :
x =2 t− 1 x =3 t
D y = −3t+2,t∈R D y = t+2,t∈R
z = t z =3 t− 2
a)D etD sont orthogonales.
b) On trouvera les points d’intersection ´eventuels entreD etD en r´esolvant
le syst`eme:
2t−1=3t
−3t+2 = t+2
t =3 t+2
c) Le plan normal `aD passant par O a pour ´equation: 2x–3y +z =0.
d)D est parall`ele `a tout plan normal `aD.
Exercice 16
−→
→− −→L’espace est rapport´e`aunrep`ere orthonormal O, ı,,k .
On consid`ere les points A(0 ; 4 ; –1), B(–2 ; 4 ; –5), C(1 ; 1 ; –5), D(1;0;–4)
et E(2 ; 2 ; –1).
a) Une ´equationduplan(ABC)est:2 x+2y–z–9 = 0.
b) Le point E est le projet´e orthogonal de D sur (ABC).
c)Lesdroites(AB)et(CD)sontorthogonales.
d) Lepoint(–1; 2; –3)est lecentred’une sph` ere passant par A, B,
CetD.
Ω