Mathématiques 3 2007 Classe Prepa HEC (ECO) HEC

Description

Examen du Supérieur HEC. Sujet de Mathématiques 3 2007. Retrouvez le corrigé Mathématiques 3 2007 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2007
• HEC

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 14 juin 2007
• Nombre de lectures: 52
• Langue: Français

Extrait

H.E.C. 2007 ´ OPTION : ECONOMIQUE ´ MATHEMATIQUES III

Lapre´sentation,lalisibilit´e,l’orthographe,laqualit´edelare´daction,laclarte´etlapre´cisiondes raisonnementsentrerontpourunepartimportantedansl’appre´ciationdescopies. Lescandidatssontinvite´sa`encadrerdans{se´ratluedstrueledurosupblsieselsecsaalmculs. Ilsnedoiventfaireusaged’aucundocument:l’utilisationdetoutecalculatriceetdetoutmate´riel e´lectroniqueestinterdite. Seulel’utilisationd’uner`eglegradu´eeestautorise´e.

EXERCICE 3 3 1.Onconsid`ereRmuni de sa base canonique (e 1 , e 2 , e 3 soit) ;tl’endomorphisme deR, dont la matriceassocie´eTlernemevitat`acettebases’´ercti:   1 1 1   T = 01 0 0 1 0

Calculer les valeurs propres detedseelssnireetmrD.e´roprcespespaous-te,se´icossarneontd une base de chacun d’entre eux. L’endomorphismet?? Est-il bijectifest-il diagonalisable L’objetdesquestionssuivantesestuneg´ene´ralisationdesre´sultatspr´ece´dents. ∗2n+1 2. Soitnun entier deNlee’pscaveceotir.Onconsid`erleR1 muni de sa base canonique 2n+1 (e 1 , e 2 ,∙ ∙ ∙, e 2n+1 ). Soittl’endomorphisme deR´dinfier:pa – pourtout entieride [1,2n+ 1],aveci6=n+ 1 :t(e i ) =e 1 ; –t(e n+1 ) =e 1 +e 2 +∙ ∙ ∙+e 2n+1 . a)D´eterminerlamatriceTehismmorpendoee´i’la`acosstre(sealabtna`evemalite 1 , e 2 ,∙ ∙ ∙, e 2n+1 ) b)De´terminerlerangdet, ainsi que la dimension du noyau det. c) Justifier que 0 est valeur propre detetmrD.e´ladiineriondmensse-suosuporpecapre associ´e`alavaleurpropre0,ainsiqu’unebasedecesous-espace. 2n+1 3. Montrerque Im(t◦t)⊂Im (t(Im`u,o)unu’degami’lengis´e)dehismmorpendoudeR ˜ ˜ 4. Soittslunei’m(rImodnhproemsifie´dt) par : pour toutxde Im(t),t(x) =t(x)  P 2n+1 ´ ´ ˜ Etablir queB=e 1 , e i (constitue une base de Imtlamarireeeea`sastorcii´c.cE)t i=1 relativementa`labaseB 5. a)Soitλune valeur propre non nulle det, etxvecteurpunco´i`eaorrpaessλ. Montrer que x(mIpaapeitra`tnt). b)Ende´duiretouteslesvaleurspropresdet. L’endomorphismetest-il diagonalisable?

` PROBLEME Touteslesvariablesal´eatoiresquiinterviennentdansceproble`mesontconside´re´escommed´efiniessur desespacesprobabilis´esnonn´ecessairementidentiques,maisqui,parsoucidesimplification,seront tousnote´s(Ω,A,P)

HEC III 2007 eco

Page 1/ 4

Partie I 1 −|x| 1.Onconside`relafonctiong´dfieurniesRpar :g(x) =×e 2 R R 0 +∞ a)Montrerquelesint´egralesg(x)dxetg(x)dxeestodnetmcˆoenmvergentes −∞0 valeur. ´ b) Etablirquegr´esubabotilie´tirpednetunsdeesR. SoitYotri´laelbaeraaiunevtnattemdaselleer´rseualave`geruopedsntie´O.dntiuqYsuit la loi L(0). ´ 2. Etudierles variations degsentpr´engraatiolaulre’lasereredt´orppraeadeuqihpnalpelsnetactr a`unrep`ereorthonorme´. 3. a)Montrer, pour toutrdeN, l’existence du momentm r (Y) d’ordreraravelderiotae´laelbai Y. b) Calculer,pour toutrdeN,m r (Y) en fonction der.leuQssletlonvaesurledslee’pse´arcne E(Y) et de la varianceV(Yled)lbairavatoeal´eaeirY? 4.a)De´terminerlafonctionder´epartitionGdeY. ´ b) EtablirqueGest une bijection deRsur ]0;1[. 1 c)Montrerquel’´equationG(x.amretreni’oel´endtiluquonnuqieuosdaemuten)= 2 ´ d)Etablirquelafonctionqui,`atoutr´eelxassocieG(x) (1−G(x)), est paire. −1 5.a)Montrerquel’applicationr´eciproqueGdeGiefinr:pasee´dt  ln (2x) si0< x≤1/2 −1 G(x) = −ln (2 (1−x)) si1/2≤x <1

´ b)EcrireunefonctionPascaldontl’en-teˆteestLaplacequi permet de simuler la loiL(0). On rappelle que la fonctionrandompermet de simuler en Pascal une loi uniforme sur ]0;1[. ∗ 6. Pourtout entierndeNofcnitnoon,nsco`eidlareg n epar:´dfiein   −n|x| g n (x) =g(x+) 1xe

Montrer queg n snede´tirpedbaboitilsu´erd´efinituneR. ∗ Pour toutndeNargnepe´iso,dnY n ae´laelbdederiotet´sienariaunevg n , et on noteG n la fonction der´epartitiondeY n . 1 ´ 7.a)Etablirpourtoutre´elx, la majoration suivante :|G n (x)−G(x)| ≤×G(x) ne b)Ende´duirequelasuitedevariablesale´atoires(Y n ) convergeen loi vers la loiL(0) n≥1

Partie II Soitθnuonncliet`marapnuee´rerteXnsit`adendit´e.Oellairbaioere´tavaneuequXsuit la loiL(θ), −|x−θ| e siunedensite´fdeXtp:uotruonn´eeparestdox´ree,lf(x) = 2 Soitn2(reunid`econsl.Onerutanreitnenuntnliocle(anh)1´-+X 1 , X 2 ,∙ ∙ ∙, X 2n+1 ) de variables ale´atoiresre´ellesinde´pendantesetdemˆemeloiL(θ) 1.a)D´eterminerlafonctiondere´partitionFreatoial´eableladerivaX.

HEC III 2007 eco

Page 2/ 4

b)End´eduirequelavariableale´atoire(X−θ) suit la loiL´efin(0)dnslaieda.Ieitrap c)Calculerl’esp´eranceetlavariancedelavariableale´atoireX. d)Re´soudrel’e´quationF(x) = 1/2 2. Soitxuotuotre´P.elfixnr´euide [[1,2n+ 1]], on noteZ i ae´laelbairavalriotBedeonreillulltee que P(Z i (= 1) = PX i ≤x) ´ a)Etablirl’ind´ependancedesvariablesale´atoiresZ 1 , Z 2 , . . . , Z 2n+1 P 2n+1 b) SoitS 2n+1 iefinr:pairto´eedarialavl´eableaS 2n+1 =Z i .Quelle est la loi de proba- i=1 bilite´deS 2n+1 ? Pr´eciserl’espe´ranceetlavariancedeS 2n+1 . P 1 2n+1 3. OnposeX 2n+1 =X i i=1 2n+ 1 a) MontrerqueX 2n+1 esteupsdaibitr`eamaramitsenusnasruetθ b) Calculerle risque quadratique deX 2n+1 enθ.

Partie III Lecontextedecettepartieestidentiquea`celuidelapartiepre´c´edente. Pour toutωsiastnelrordceordonnepar,onr´eorΩed´esrselX 1 (ω), X 2 (ω),∙ ∙ ∙, X 2n+1 (ω), et on b bb bb noteX 1 (ω), X 2 (ω),∙ ∙ ∙, X 2n+1 (ωd-a`qerieuseonl)asnibmerng´esiraest-s,c’X 1 (ω)≤X 2 (ω)≤ b bb b ∙ ∙ ∙≤X 2n+1 (ω.)nO´dfieinatinsi(2nesirtoeal´sale+1)variabX 1 , X 2 (ω),∙ ∙ ∙, X 2n+1 , telles que b bb X 1 ≤X 2 ≤∙ ∙≤ ∙X 2n+1 qentunrtucouitinsnemeraptrae´gnarissantdeordrecroselae´taivoserraasilb h i b bb X 1 , X 2 ,∙ ∙ ∙, X 2n+1 . On admet que PX 1 < X 2 <∙ ∙ ∙< X 2n+1 = 1. b Ons’inte´ressedanscettepartie`alavariableale´atoireX n+1 . h i b 1.a)Pourtoutr´eelx:ene´entmeuissntvagelatie´nert´eve,justifierl’´X n+1 ≤x= [S 2n+1 ≥n+ 1]. b b b)End´eduirelafonctiondere´partitionF n+1 deX n+1 en fonction deF(on exprimera cette fonctionsousformed’unesommequel’onnechercherapasa`calculer).   b b b 2. Onnotef n+1 ue´edsntienedX n+1 , etgb n+1 ´eitdedensuneX n+1 −θ.    2n+1 2n+1 ´ a) Etablirpour toutj2de [[0;n(e:]],l’e´agil´tseiuavtnj= (2+ 1)n−j+ 1). j+1j b)End´eduire,pourtoutxr:tli,e´´’eg´ellea (2n+ 1)! n n b f n+1 (x() =F(x)) (1−F(x))f(x) 2 (n!) ´ c) Etablir,pour toutxuivante:galit´esee,l’le´´r (2n+ 1)! n n gb n+1 (x() =G(x)) (1−G(x))g(x) 2 (n!) o`ugetGtee´no´tinse´dfiepalansdaI.iert b d) Enutilisant la question I.4.d), montrer queX n+1 etsnudsiarapue`maerttiestemasaurbins θ.   b 3.Danscettequestion,one´tudielecomportementdelasuiteX n+1 , lorsquentend vers n∈N +∞.   √ b b Ond´esigneparh n+1 2reoiatedsntie´uenableal´edelavarin+ 1X n+1 −θ.

HEC III 2007 eco

Page 3/ 4