Mathématiques II 1999 Classe Prepa HEC (ECE) ESSEC

Description

Examen du Supérieur ESSEC. Sujet de Mathématiques II 1999. Retrouvez le corrigé Mathématiques II 1999 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 1999
• ESSEC IRENE

Informations

• Publié par: bankexam
• Publié le: 17 mars 2007
• Nombre de lectures: 119
• Langue: Français

Extrait

ESSEC M B A

CONCOURS DADMISSION

Option économique

MATHEMATIQUESIII

Année 1999

La présentation, la lisibilité, lorthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans lappréciation des copies. Les candidats sont invités àencadrerdans la mesure du possible les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage daucun document; lutilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.Seule lutilisation dune règle graduée est autorisée. Si au cours de lépreuve un candidat repère ce qui lui semble une erreur dénoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil sera amené à prendre.

Lobjectif de ce probléme est létude de la modélisation de laccroissement dune population, tant par les naissances que par limmigration.

Cette étude est e¤ectuée dans la partie II, tandis que, dans la partie I, on établit un résultat probabiliste préliminaire.

Partie I 1. Etudedes séries dérivées de la série géométrique. Dans toute cette question, on désigne parxun nombre réelxtel que06x <1. (a) Calculerpour tout nombre entier naturelnles deux sommes suivantes: n n X X k k1 xetkx k=0k=1 n n (b) Déterminerla limite dexet denx, et des deux sommes précédentes quandntend vers+1. On admettra alors quil est licite, pour06x <1de dériver terme à terme légalité classique: +1 X 1 m x= 1x m=0

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autrement dit, que lon a pour tout nombre entier naturel non nulkla relation suivante(R): +1   X k d1 mk m(m1): : :(mk+ 1)x= k dx1x m=k 1 (c) Exprimerainsi sousla forme dune série. 3 (1x) 1 ieme (d) Expliciterla dérivéekde la fonctionx7!. (1x) E¤ectuer dans la relation(R)le changement dindicen=mket déduire de ces résultats lexpression +1 P k n deC xen fonction deketx. n+k n=0 2. Applicationà létude de la loi binomiale négative. On considére une suite dépreuves de Bernoulli identiques, indépendantes et menant au succés avec la probabilitép(0< p <1). Pour tout nombre entierk>1, on désigne parX k la variable aléatoire indiquant le numéro de lépreuve où intervient lek-iéme succés (etX k prend donc des valeurs supérieures ou égales àk). (a) Onsupposek= 1la loi de. PréciserX 1 , la probabilitéP(X 1 =n+ 1)pour tout nombre entier naturel net lespéranceE(X 1 )de la variable aléatoireX 1 . (b) Onsupposek >1la probabilité dobtenir. Déterminerk1succés enn+k1épreuves, puis en déduire la probabilitéP(X k =n+k)pour tout nombre entier natureln. P (c) Alaide des résultats précédents, vérier que la sérieP(X k =n+k)a pour somme1, puis calculer lespéranceE(X k )de la variable aléatoireX k en fonction depetk. Comment peut-on interpréter ce dernier résultat? On dit alors que la variable aléatoireX k suit la loi binomiale négative de paramétrespetk.

Partie II On étudie dans cette partie la croissance dune population au cours du temps.A cet e¤et, on introduit pour tout nombre réel positiftla variable aléatoireX(t)indiquant le nombre des individus de la population à linstantt, et lon suppose que lon aX(0) =k, autrement dit que la population comptekindividus (k>0) à linstant initial t= 0. 1. Croissancede la population par les naissances (k >0). On suppose dans cette question quil existe un nombre réel strictement positiftel que lon ait pour tout couple(t; h)de nombres positifs avech >0et pour tout nombre entier natureln:

P(X(t+h)< n+k=X(t) =n+k) = 0(où la notationP(X(t+h)< n+k=X(t) =n+k)désigne la probabilité conditionnelle de lévénement "X(t+h)< n+k" sachant "X(t) =n+k"). 0 P(X(t+h) =n+k+ 1=X(t) =n+k) =(n+k)h+h"(h) n 00 P(X(t+h)> n+k+l=X(t) =n+k) =h"(h) n 0 00 oùh7!"(h)eth7!"(h)désignent deux fonctions de la variableh(indépendantes det) tendant vers n n 0lorsquehtend vers0.

Ces hypothéses signient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité pour quune naissance se produise pendant une courte duréehest proportionnelle à cette duréehet au nombren+kdes individus présents à linstantt, et quenn la probabilité pour que plusieurs naissances se produisent pendant une courte duréehest négligeable devant la probabilité dune seule naissance. On précisera dans ce contexte la probabilité conditionnelleP(X(t+h) =n+k=X(t) =n+k).

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(a) Etablirà laide de la formule des probabilités totales le résultat suivant: P(X(t+h) =k) = (1kh)P(X(t) =k) +h" 0 (h) oùh7!" 0 (h)désigne une fonction tendant vers0lorsquehtend vers0. + En déduire que la fonction dénie parP k (t) =P(X(t) =k)est dérivable à droite surRet que lexpression de sa dérivée à droite entest: 0 p(t) =kp k k (t) On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonctionp k . +kt (b) Dériverla fonction dénie surRpart7!e p k (t)puis, en tenant compte de la valeur dep k (0) = P(X(0) =k), en déduire lexpression dep k (t)en fonction dek,ett. (c) Etablirle résultat suivant pourn >1: P(X(t+h) =n+k) = (1(n+k)h)P(X(t) =n+k) +(n+k1)hP(X(t) =n+k1) +h" n (h) oùh7!" n (h)désigne une fonction tendant vers0lorsquehtend vers0. + En déduire que la fonction dénie parp n+k (t) =P(X(t) =n+k)est dérivable à droite surRpour k>1et que lexpression de sa dérivée à droite entest: 0 P(t) =(n+k)P n+k (t) +(n+k1)p n+k1 (t) n+k

On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonctionp n+k . +(n+k)t (d) Dériverla fonction dénie surRpart7!e p n+k (t)et en déduire par récurrence surnle résultat suivant: k1 ktt n P n+k (t) =P(X(t) =n+k) =C e(1e) n+k1 (e) Reconnaîtreà laide des résultats de la partie I la loi de la variable aléatoireX(t)et déterminer son espéranceE(X(t))en fonction de,kett.

2. Croissancede la population par limmigration. On suppose dans cette question quil existe un nombre réel strictement positiftel que lon ait pour tout couple(t; h)de nombres positifs avech >0et pour tout nombre entier natureln:

P(X(t+h)< n+k=X(t) =n+k) = 0 0 P(X(t+h) =n+k+ 1=X(t) =n+k) =h+h"(h) n 00 P(X(t+h)> n+k+ 1=X(t) =n+k) =h"(h) n 0 00 oùh7!"(h)eth7!"(h)désignent deux fonctions de la variableh(indépendantes det) tendant vers n n 0lorsquehtend vers0. Ces hypothéses signient que la population ne peut pas diminuer, que la probabilité darrivée dun immigré pendant une courte duréehest proportionnelle à cette duréeh(mais indépendante du nombren+kdes individus déjà présents à linstantt), et quenn la probabilité darrivée de plusieurs immigrés pendant une courte duréehest négligeable devant la probabilité darrivée dun seul immigré. On précisera dans ce contexte la probabilité conditionnelleP(X(t+h) =n+k=X(t) =n+k). (a) Etablirà laide de la formule des probabilités totales le résultat suivant: P(X(t+h) =k) = (1h)P(X(t) =k) +h" 0 (h) oùh7!" 0 (h)désigne une fonction tendant vers0lorsquehtend vers0. + En déduire que la fonction dénie parq k (t) =P(X(t) =k)est dérivable à droite surRet que lexpression de sa dérivée à droite entest: 0 q(t) =q k (t) k On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonctionq. k

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+t (b) Dériver la fonction dénie surRpart7!e q k (t)puis, en tenant compte de la valeur deq k (0) = P(X(0) =k), en déduire lexpression deq k (t)en fonction deett. (c) Etablirle résultat suivant pourn>1:

P(X(t+h) =n+k) = (1h)P(X(t) =n+k) +hP(X(t) =n+k1) +h"(h) n

oùh7!" n (h)désigne une fonction tendant vers0lorsquehtend vers0. + En déduire que la fonction dénie parq n+k (t) =P(X(t) =n+k)est dérivable à droite surRpour k>1et que lexpression de sa dérivée à droite entest:

0 q(t) =q(t) + n+ k n+k q n+k1 (t)

On admettra que cette formule est en fait valable pour la dérivée de la fonctionq n+k . +t (d) Dériverla fonction dénie surRpart7!e q n+k (t)et en déduireq n+k (t)pourn= 1;2et3, puis dans le cas général. (e) Reconnaîtrela loi de la variable aléatoireX(t)ket donner lespéranceE(X(t))en fonction de,k ett.

** FIN **

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