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La question du détail et l'art fractal

De
279 pages
La question du sens du détail en art, récurrente dans l'histoire de l'esthétique occidentale, se pose de manière nouvelle lorsqu'elle est confrontée à la géométrie fractale et surtout l'art fractal qui s'en inspire. C'est pourquoi l'œuvre plastique de Carlos Ginzburg, artiste international aux origines de l'art fractal contemporain dont il est le représentant emblématique, constitue "la toile de fond" de ce livre sur le détail.
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La question du détail et l’art fractal

Histoires et Idées des Arts
Collection dirigée par Giovanni Joppolo

Cette collection accueille des essais chronologiques, des monographies et des traités d'historiens, critiques et artistes d'hier et d'aujourd'hui. À la croisée de l'histoire et de l'esthétique, elle se propose de répondre à l’attente d’un public qui veut en savoir plus sur les multiples courants, tendances, mouvements, groupes, sensibilités et personnalités qui construisent le grand récit de l'histoire de l'art, là où les moyens et les choix expressifs adoptés se conjuguent avec les concepts et les options philosophiques qui depuis toujours nourrissent l'art en profondeur. Déjà parus RIBON Michel, L’art, miroir de vies et créateur de mondes, Essai sur la peinture, 2010. Sonia DELEUSSE-LE GUILLOU, Eugène Ionesco, de l'écriture à la peinture, 2010. Océane DELLEAUX, Le multiple d'artiste. Histoire d'une mutation artistique. Europe-Amérique du Nord, de 1985 à nos jours, 2010. Olivier DESHAYES, Le désir féminin ou l’impensable de la création, 2009. Isabelle DOLEVICZENI-LE PAPE, L’esthétique du deuil dans l’art allemand contemporain. Du rite à l’épreuve, 2009. Dominique DEMARTINI, Le processus de création picturale. Analyse phénoménologique, 2009. Aline DALLIER-POPPER, Art, féminisme, post-féminisme. Un parcours de critique d’art, 2009. Nathalie PADILLA, L’esthétique du sublime dans les peintures shakespeariennes d’Henry Füssli (1741-1825), 2009. Jean-Claude CHIROLLET, Heinrich Wölfflin. Comment photographier les sculptures 1896, 1897, 1915, Présentation, traduction et notes suivies du fac-similé des textes en allemand de Heinrich Wölfflin, 2008. Mathilde ROMAN, Art vidéo et mise en scène de soi, 2008. Jean-Marc LEVY, Médecins et malades dans la peinture européenne du XVIIe siècle (Tomes I et II), 2007. Stéphane LAURENT, Le rayonnement de Gustave COURBET, 2007. Catherine GARCIA, Remedios Varo, peintre surréaliste, 2007.

Jean-Claude CHIROLLET

La question du détail et l’art fractal

(à bâtons rompus avec Carlos Ginzburg)

Du même auteur
Esthétique du Photoroman, Édilig, Paris, 1983. Esthétique et Technoscience, Mardagag, Wavre (Belgique), 1994. Les Mémoires de l’art, PUF, Paris, 1998. Philosophie et Société de l’information – Pour une philosophie fractaliste, Ellipses, Paris, 1999. Publié en portugais : Filosofia E Sociedade Da Informaçao – Para uma filosofia fractalista, Lisbonne, 2001. Numériser, Reproduire, Archiver les images d’art, L’Harmattan, Paris, 2005. Art fractaliste – La complexité du regard, L’Harmattan, Paris, 2005. Photo-archaïsme du XXe siècle, L’Harmattan, Paris, 2006. L’Art dématérialisé – Reproduction numérique et argentique, Mardaga, Wavre (Belgique), 2008. Heinrich Wölfflin – Comment photographier les sculptures (1896, 1897, 1915), Présentation, traduction de l’allemand et notes (avec fac-similé des textes originaux), L’Harmattan, 2008.

© L’Harmattan, 2011 5-7, rue de l’Ecole polytechnique ; 75005 Paris http://www.librairieharmattan.com diffusion.harmattan@wanadoo.fr harmattan1@wanadoo.fr ISBN : 978-2-296-13718-9 EAN : 9782296137189

Avant-propos
Du détail au fractal

Détail, fractal : deux notions distinctes, que rapproche néanmoins l’idée de fragmentation ou celle de partie d’un ensemble. Par une sorte d’extrapolation tacite, ces deux notions renvoient aussi, corrélativement, à cette autre idée générale selon laquelle la partie représente ou contient, logiquement, « moins que le Tout » – bien que le moindre « atome » d’un ensemble soit nécessaire et indispensable pour pouvoir penser l’idée de la totalité à laquelle il appartient. Cependant, la notion de « fractal » ou de fractalité, appartient initialement au registre (scientifique) de la géométrie fractale, inventée dans les années 1960-1970 par le mathématicien Benoît Mandelbrot1. Cette géométrie non-euclidienne – véritablement géniale – mit au premier plan l’irrégularité absolue, à une infinité potentielle d’échelles de grandeurs, de certaines catégories de figures brisées, d’apparence chaotique, dont les variétés morphologiques innombrables, engendrées par des équations du second ou troisième degré répétées indéfiniment (« itératives » ou « récursives », disent les mathématiciens), sont décomposables à volonté en leur moindre « partie de partie ». Elles furent, dès la fin des années 1970, abondamment popularisées par les publications infographiques – notamment l’emblématique « ensemble de Mandelbrot ». Au-delà de la pure géométrie abstraite, la théorie de Mandelbrot démontra la structure fractale régie par la dynamique du hasard et les lois de la complexité informationnelle 2 – le « chaos » fractal –, propre aux phénomènes physiques et humains les plus variés : météorologie et climatologie, géographie, phénomènes tourbillonnaires (cyclones, ouragans, vortex, etc.), rythmes biologiques, structure des poumons et du système vasculaire, mouvements boursiers, réseaux informatiques, démographie, microphysique, cosmologie, etc. Pour résumer à grands traits, intuitivement,
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Les grands principes de la géométrie fractale du mathématicien Benoît Mandelbrot (né en 1924) sont exposés au cours du premier chapitre de ce livre. 2 Il s’agit de la théorie mathématique de l’information – développée à partir de la fin des années 1940 aux États-Unis par les mathématiciens Shannon et Weaver –, étendue à la notion de « complexité » des phénomènes aléatoires ou semi-aléatoires, telles les fractales semi-indéterministes (ou stochastiques) engendrées informatiquement par des algorithmes répétitifs (dits « récursifs » ou « itératifs »).

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l’idée-force qui sous-tend la pensée fractaliste appliquée aussi bien à la géométrie pure qu’aux phénomènes complexes physiques ou humains les plus divers, on peut dire qu’en toute forme et tout phénomène observables à différentes échelles de grandeur, il existe une imbrication de détails morphologiques entrelacés, de micro-événements inextricables qui contiennent en puissance, en fonction de la pluralité des échelles d’examen, de plus en plus fines, auxquelles ils sont observés, une quantité innombrable d’autres détails inédits – parfois différents entre eux seulement d’un iota – qui émergent en cascade, par le jeu sans fin des « loupes de grossissement ». On évoque d’ailleurs, à ce propos, un processus de « magnification » fractale, terme provenant de l’anglais « to magnify » : amplifier, agrandir, accroître – l’expression anglaise « magnifying glass » désigne la loupe, le verre grossissant. Cette définition intuitive de la fractalité concerne, à vrai dire, les formes fractales géométriques résultant de processus calculatoires considérés comme indéterministes (aléatoires), tout au moins en partie, et non les formes fractales strictement déterministes, qui se répliquent mécaniquement à l’identique mais à plus petite échelle ou, inversement, à plus grande échelle (fractales « scalantes »), comme il sera expliqué dans le premier chapitre de cet ouvrage. L’idée centrale de notre définition du fractal, c’est donc le processus indéfiniment réitéré de l’agrandissement en chaîne des détails de détails… etc., chaque micro-zone du plan géométrique, aussi infime (infinitésimale) soit-elle, contenant virtuellement une infinité de nouveaux détails inédits, amplifiés par le calcul intensif de la magnification informatique. Alors pourquoi relier le détail au fractal ? D’abord parce que la notion de détail prise en compte sous l’angle élargi de la pensée fractaliste, fournit un cadre extensif à la conception du détail en art, enrichie car plus compréhensive que la simple considération du rapport de la partie finie à l’ensemble, au Tout non moins fini, fermé, clos sur lui-même, auquel elle appartient. Les artistes fractalistes internationaux des années 1980 à 2000, Carlos Ginzburg en tête, ont bien compris, à cet égard, qu’explorer plastiquement l’univers « baroque » du détail pulvérisé, brisé, irrégulier, pouvait conduire le regard et la conscience à naviguer dans un labyrinthe de détails proliférants, enchevêtrés et ramifiés, dont les œuvres plastiques ne peuvent fournir qu’une approche finie, matériellement limitée, mais symbolique de l’infinitude pluriscalaire qui caractérise le concept de fractal

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géométrique3. Le fractal, modèle de référence pouvant servir la pratique créatrice des artistes plasticiens ou numériciens (adeptes de l’imagerie et de la musique fractales), constitue une théorie féconde de la complexité gigogne et pluriscalaire du détail formel. Mais un autre aspect intéressant du rapprochement entre, d’une part le détail artistique « ensembliste », significatif de la fonction du détail dans l’art classique (la partie finie rattachée à la loi unificatrice de l’ensemble clos), et d’autre part le détail fractal (une particule, un « atome » qui recèle un univers d’atomes gigognes et différenciés, ad infinitum), c’est le fait que nous ne pouvons plus regarder les œuvres d’art de toute nature (anciennes ou contemporaines), à la lumière du fractal, comme des ensembles figés qui seraient constitués de sous-parties prédéterminées une fois pour toutes par la vision organisatrice d’un artiste. L’exigence cognitive de « creuser » toujours plus loin dans le cœur du visible, à l’exemple de la théorie géométrique du fractal, met le regardeur en quête de détails imprévisibles, qu’il engendre de toutes pièces par l’exercice même de son regard haptique instrumenté – loupes, photographie rapprochée, macrophotographie, reproductions en gros plan, agrandissements numériques, radiographie et microscopie électronique servant aux analyses des peintures, etc. –, sans pouvoir attribuer de limite précise à la taille minimale du détail observable ou intéressant, significatif. L’observateur attentif, simple amateur ou expert, fait ressortir les détails, les construit ; il en établit pour ainsi dire la « cartographie » selon des échelles d’examen particulières, de même que l’artiste a inscrit intentionnellement ses détails iconiques et ses signes plastiques au sein de l’œuvre picturale ou sculpturale, pour les faire concourir à l’effet d’ensemble. L’œuvre artistique de Carlos Ginzburg, représentant exceptionnel, pour ainsi dire emblématique, du courant de l’art fractal international des années 1980 à 2000, dont la démarche créatrice persévérante n’a cessé de puiser ses sources d’inspiration dans les thématiques conjointes de la complexité fractale et de la théorie scientifique du chaos, témoigne d’une recherche de grande envergure, tant par le nombre important des œuvres créées et exposées dans différents pays à l’occasion de grandes expositions, que par l’approfondissement intellectuel et plastique continu de sa démarche de créateur – y compris sous forme d’articles publiés (ou non) et parfois de
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Cf. Jean-Claude Chirollet, Art fractaliste – La complexité du regard, éd. L’Harmattan, collection Champs Visuels, Paris, 2005.

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conférences publiques –, depuis les années 1970 en Argentine, aux ÉtatsUnis et en Europe4. Cette œuvre plastique d’envergure, évoquée de manière précise à plusieurs endroits de cet ouvrage, constituera en grande partie la toile de fond de notre « enquête » sur le détail en art, sous ses deux aspects complémentaires que sont le détail comme partie finie d’un Tout lui-même fini et cohérent, et le détail fractal en tant que partie instable, provisoire, ouverte à la multiplication incohérente – car elle est pluriscalaire – du détail transitoire, révélé au gré des investigations instrumentées du scrutateur. Les tableaux de Carlos Ginzburg offrent simultanément ces deux aspects complémentaires du détail. Toute parcelle regardée de très près, abstraite de l’œuvre complète, forme un tableau à elle seule ; reproduite par agrandissement, elle pourrait passer pour une œuvre intégrale à part entière. Pourtant, à plus grande distance, l’observateur s’éloignant de l’œuvre, celuici reconstitue un nombre indéterminé de sous-ensembles iconiques plus ou moins vastes et difficilement délimitables, qui possèdent également leur valeur esthétique propre, tout comme le tableau entier, observé dans sa globalité en prenant du recul. L’œil doit partir, de manière récurrente, à la recherche des détails innombrables qui parsèment la surface de l’œuvre ; il doit, dans ce but, décider de se fixer de manière quasi arbitraire sur certaines zones indécises, aux contours indéterminés, afin de constituer à sa guise le puzzle mouvant de l’œuvre, sous une variété de combinaisons possibles, ouvertes à l’imprévu du détail. Chaque détail de ces œuvres, noyé dans le Tout du tableau, est donc constitué librement par le regardeur, mais il n’en demeure pas moins un détail qui possède sa place bien établie et reliée à la composition de l’ensemble, en dépit du fait que le langage iconique de Carlos Ginzburg simule le chaos indéterministe (ou plutôt, pour être exact, semi-aléatoire), propre aux images fractales numériques. C’est la raison pour laquelle l’art fractal de Carlos Ginzburg est capable de nous faire réfléchir sur la signification du détail, à la fois comme détail fini, partie fixe d’un Tout achevé, et comme détail indéfini – indéfiniment fractalisable –, ouvert en permanence à la déconstruction possible des formes assemblées en un « Tout » incertain, dont l’unité instable contredit l’idée même de totalité. Le détail : entre le cristal et la fumée5.
4 5

Cf. la partie « Documents » située à la fin de ce livre, après la Conclusion. Allusion au livre du biophysicien, théoricien de la complexité et de l’auto-organisation du vivant, Henri Atlan : Entre le cristal et la fumée, Éditions du Seuil, Paris, 1979.

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I. Détail(s) / Fractal(es)
Relativité d’échelle

1. Détail(s)
Question de point de vue Chacun sait que ce qui passe pour un détail insignifiant, une vétille, aux yeux des uns, prend au contraire une importance subjective considérable, voire déterminante, au regard des autres. L’expression « ce n’est (jamais) qu’un détail » veut dire, de manière habituelle, que l’objet ou le fait considéré est, dans le fond, tout à fait secondaire, accessoire, voire superfétatoire, sans réelle valeur ou signification, en comparaison avec quelque chose jugé essentiel ou de plus grande importance. Le jugement sur la prétendue insignifiance d’un détail procède d’une hiérarchisation, plus ou moins explicite, de certains critères personnels d’évaluation. Mais nous savons bien, également, que le détail est aussi ce qui « fait toute la différence », selon l’expression courante. Le moindre détail, pouvant ordinairement passer complètement inaperçu, peut soudainement revêtir une signification primordiale pour qui le remarque ou l’interroge. Encore faut-il vouloir le remarquer, comme un policier qui traque un indice. La distinction entre le détail – jugé accessoire ou insignifiant – et l’essentiel relève, bien souvent, autant du sentiment spontané que du raisonnement. Mais remarquer un détail est rarement le seul fruit du hasard : le regard est guidé par une quête de preuve au moins implicite, ou bien par un pressentiment insistant qui met l’attention en alerte. La différence entre le détail et l’essentiel ne relève jamais d’une évidence immédiate ni définitive, car le détail se transforme parfois en indice porteur d’un sens capital, en regard duquel ce que l’on croyait fondamental apparaît, inversement, comme très relatif et de moindre valeur. En tout cas, il est impossible de parler du détail sans envisager sa place au sein d’un tout, d’un ensemble de choses ou de faits, ainsi que sa relation avec d’autres éléments constituant cet ensemble. Ainsi, lorsque nous croyons remarquer un travers psychologique chez un être humain, cet aspect 9

caractériel monopolise et absorbe, aux yeux de celui qui le remarque, les autres aspects de sa personnalité. Sur Terre, les milliards d’individus qui circulent à chaque instant comme des fourmis, disparaissent brutalement et se renouvellent sans arrêt depuis les premiers ancêtres de l’homme (à peu près quatre millions et demi d’années). Ils peuvent apparaître comme des « détails » sous l’œil de Sirius qui survolerait les centaines de millions d’années d’existence de la vie sur Terre, en constante évolution. Mais la Terre elle-même (environ quatre milliards et demi d’années) ne semble, au fond, qu’un mince détail en regard des seize milliards d’années d’existence (ou plus) de l’Univers insondable, dont le sens et les origines nous demeurent incompréhensibles. Pourtant, si l’on redescend sur Terre jusque dans le vécu intime de chacun des êtres vivants (humains et animaux), la souffrance, les peines, l’angoisse et la mort ne sont pas seulement de petits détails, pas plus d’ailleurs que les joies et les bonheurs. Sous le regard singulier de chaque être humain, tout événement vécu, même infiniment banal pour autrui, peut être émotionnellement ressenti comme essentiel, voire extraordinaire. Un « détail » n’existe pas en soi, mais seulement par rapport à un point de vue qui l’englobe, le résorbe, l’occulte, ou bien au contraire le fait se révéler et surgir dans sa singularité absolue, lui conférant ainsi une importance irréductible. Le mot « détail » est apparenté, sémantiquement, au verbe « détailler » : littéralement, tailler, trancher dans un tout pour en extraire ou mettre à jour une partie spécifique, comme le boucher qui coupe en morceaux sélectivement une pièce de viande, ou le sculpteur traditionnel qui taille un bloc de marbre ou de bois, pour révéler des formes insoupçonnées au sein de la matière brute. Révéler, extraire des aspects particuliers d’un objet, d’un fait, d’un être humain, d’une scène visuelle, notamment d’une œuvre d’art spatiale (peinture, sculpture, architecture), cela revient à faire des choix et donc des sélections, des discriminations plus ou moins fines. L’esprit de discernement préside à la révélation du détail, mais cela implique également d’utiliser, si nécessaire, certaines techniques adéquates. Au moyen de loupes, de télescopes, de microscopes, l’œil humain voit les choses beaucoup plus en profondeur, de manière toujours plus précise et détaillée ; il accroît considérablement son acuité spatiale, invente des proximités optiques artificielles. L’acquisition instrumentée du détail est devenue le souci majeur de la physique de la vision, depuis l’invention, en Hollande, du premier microscope optique, à la fin du seizième siècle (vers 10

1595), et celle de la lunette astronomique (en 1608)6. Agrandir les détails pour révéler leur structure intime, invisible à l’œil nu ; grossir et rapprocher les objets vus à grande distance, pour mieux les distinguer : la conquête technique de la vision du détail prolonge et augmente l’acuité naturelle du regard, mais surtout elle lui fournit le pouvoir artificiel de faire émerger le détail dans le détail, l’infime dans l’imperceptible, l’infiniment petit au creux du minuscule. Échelles « microscopiques » À l’ère des nanotechnologies, les échelles d’examen de la matière sont repoussées quasi indéfiniment. En grec, « nanos » signifie nain, et l’expression métrologique « nanomètre » désigne le milliardième de mètre (millionième de millimètre). Mais pour le physicien, les « nanomondes » s’emboîtent les uns dans les autres, telles des poupées russes, et s’enfoncent potentiellement très en-deçà de l’échelle nanométrique. Les éléments de la matière sont organisés en sous-structures gigognes, détails enchâssés dans des détails, virtuellement à l’infini… Cependant, les nanomondes demeurent invisibles à l’œil nu ; ce sont avant tout des constructions conceptuelles, des représentations symboliques de la technoscience. L’échelle nanométrique correspond, à peu près, à la taille moyenne d’une molécule, tandis qu’un atome – de l’ordre du dixième de nanomètre – comprend des constituants encore beaucoup plus minuscules que lui. Nos facultés habituelles de représentation des grandeurs, à cette échelle et a fortiori à toute échelle inférieure, usitée en physique, sont ici totalement mises en défaut. C’est d’ailleurs également vrai pour des échelles supérieures au nanomètre, comme le micromètre par exemple (le micron : millième de millimètre), ou même le centième de millimètre. Cette terminologie relative aux mesures scalaires, désignant le monde des infraréalités gigognes, invisibles et impalpables, constitue une hiérarchisation standardisée des détails constitutifs de la matière. Mais en physique tout comme en biologie, il n’existe pas de détail infra-matériel plus fondamental qu’un autre : à toute échelle, chaque élément microscopique de la matière possède son importance spécifique, en relation avec tous les autres niveaux (particules, protons, neutrons, noyaux,
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On attribue l’invention du microscope optique aux fabricants de lentilles hollandais Hans et Zacharias Janssen (respectivement père et fils), vers 1595. – L’invention de la lunette astronomique est attribuée, généralement, à l’opticien hollandais Hans Lippershey (1608).

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électrons, atomes, molécules). Le détail significatif se trouve là où le physicien porte son attention instrumentée, dénuée d’image sensible immédiate. Le discours de la science n’exhibe qu’un monde de détails en cascade, en une hiérarchie virtuelle sans fin, par conséquent, aussi, sans niveau prédominant, car tout détail y devient essentiel. Le minuscule détail inclus dans l’intimité de la matière, recèle en lui une quantité énorme de micro-détails virtuels, à l’image d’une cellule biologique composée de multiples organites intracellulaires (noyau, nucléole, chromosomes, cytoplasme, mitochondries, etc…). Chaque niveau ou détail est indispensable à tous les autres, en interaction avec tous. Cependant, l’égale importance scientifique des structures détaillées de la matière physique ne s’explique, à vrai dire, qu’en raison de l’absence de regard sensible qui leur donnerait le statut de détail, important ou secondaire. Pour un peintre de figures abstraites, qui trouverait son inspiration esthétique dans des images microscopiques agrandies de cellules vivantes, certains organites intracellulaires projetés en grand format sur la toile pourraient posséder, à ses yeux d’artiste, une valeur plastique originale dont il s’inspirerait. La focalisation du regard Le détail formel devient remarquable pour celui qui l’extirpe de l’ensemble auquel il appartient, pour l’exhiber en lui-même, et lui attribuer une valeur esthétique insoupçonnée. C’est, notamment, le travail du peintre, du photographe ou du dessinateur, qui sélectionnent des détails visuels par le trait cursif, le coup de pinceau synthétique, l’angle de vue original, le cadrage serré, la vue en plan rapproché, ainsi que de multiples artifices de perspective. Tout type d’art crée ses méthodes de sélection, en raison du principe d’élimination du superflu, car l’expression esthétique implique l’élimination de l’excès, du trop-plein, au seul profit des éléments visuels indispensables. Le brouillage communicationnel guette l’art hypersaturé de détails, sauf, bien entendu, si le but esthétique consiste, précisément, à saturer de détails iconiques la composition visuelle ou plastique – aspect caractéristique de nombreux artistes contemporains, comme Erró7, ou les

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Erró, artiste plasticien d’origine islandaise, né en 1932, l’un des représentants majeurs du courant artistique de la « Figuration narrative » des années 1960-1970.

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artistes fractalistes8 dont Carlos Ginzburg est le représentant pour ainsi dire « historique ». Mais cet aspect esthétique est aussi le fait d’artistes du passé, comme dans certaines œuvres de Pieter Bruegel l’Ancien (v. 1528-1569) ou Pieter Bruegel le Jeune (v. 1564-1638), ou celles de Jérôme Bosch (v. 14501516), par exemple. Ce sont les artistes, depuis les peintures préhistoriques couvrant les parois des cavernes, qui montrent comment le détail peut prendre, ou non, une réelle signification esthétique, soit en lui accordant une valeur primordiale, soit en le résorbant plus ou moins résolument, au profit des lignes et des masses de la composition d’ensemble. Certains artistes se plaisent avant tout à exprimer minutieusement les détails plastiques ou photographiques ; d’autres, au contraire, préfèrent les rendre plutôt secondaires, subordonnés, dépendants de la loi d’organisation des formes, et prendre comme motif essentiel l’effet d’ensemble. Bien entendu, les deux préoccupations peuvent aussi coexister à des degrés divers, mais elles représentent deux tendances principales de l’expression artistique de toute époque. La focalisation du regard sur les détails significatifs dépend de l’intention des artistes. Mais elle ne dépend pas moins de celle du regardeur : c’est l’observateur qui effectue sa « découpe » personnelle, en parcourant les formes peintes ou photographiques de façon plus ou moins aléatoire, éventuellement au moyen d’une loupe, d’une caméra vidéo ou d’un objectif photographique. S’attardant plus longuement, plus exclusivement, sur certains éléments de la composition, l’observateur veut les détacher du tout, en vertu de motifs plus ou moins conscients. Face au tableau ou devant la décoration sculptée d’un édifice architectural, le regard se fait plus proche, s’attarde sur des motifs plastiques curieux, énigmatiques, voire trop évidents. Un détail visuel, plastique ou photographique, prend soudain du relief pour l’observateur ouvert à la surprise, à la déstabilisation du regard ; ce détail inattendu – « découpe » du regard – donne un sens particulier au tableau, à l’ensemble sculpté ou à l’image photographique. Il en devient, pour ainsi dire, le maître-mot, le point de ralliement.

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Cf. Jean-Claude Chirollet, Art fractaliste – La complexité du regard, éd. L’Harmattan, collection Champs Visuels, Paris, 2005.

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Changement d’échelle et résolution L’accommodation du regard joue, à sa façon, le même rôle que le changement d’échelle d’examen en physique, lorsqu’un microphénomène matériel est examiné au moyen d’une loupe de grossissement, d’un microscope optique, d’un microscope électronique, d’un microscope à balayage, ou de tout autre moyen technologique qui rend l’œil encore plus perspicace, plus acéré. Les lunettes grossissantes entraînent un changement d’échelle d’examen, ce qui revient à faire varier la résolution à laquelle est observé le phénomène. La notion de résolution désigne la finesse quantitative avec laquelle est analysé un objet ou un phénomène spatial. La résolution spatiale des images numériques en est un exemple très explicite. Ainsi, scanner une image photographique selon une résolution de trois cents points par pouce (abréviation anglo-saxonne : 300 dpi – « dots per inch »), signifie détecter trois cents pixels sur une grandeur valant un pouce (soit 2,54 cm). La même image, scannée à six cents points par pouce, possédera deux fois plus de détails sur la même longueur de référence, et donc quatre fois plus sur une surface d’un pouce carré9. Elle pourra donc être agrandie beaucoup plus largement que la précédente, sans effet d’escalier (pixellisation), puisqu’elle détient quatre fois plus d’information. Il en va de même pour un film argentique de format 24 x 36 mm, scanné au choix avec une résolution optique de 2500 dpi, ou bien avec une résolution très supérieure de 4000 à 5000 dpi. Dans le premier cas, le nombre de détails analysés par le système de numérisation autorise un agrandissement dont la qualité maximale n’excède pas le format d’impression A4, tandis que la seconde solution autorise un agrandissement comportant beaucoup plus de détails chromatiques continus, supérieur au format d’impression A310.
Une image dont la surface est d’un pouce carré (2,54 cm x 2,54 cm), scannée avec la résolution de 300 dpi, possède au total une définition de 300 x 300 pixels, soit 90 000 pixels. La même surface scannée beaucoup plus finement à la résolution optique de 600 dpi, possède une définition de 600 x 600 pixels, soit 360 000 pixels. Le changement de résolution introduit un changement d’échelle d’analyse de l’image, qui procure donc au total quatre fois plus de détails sur une surface d’un pouce carré (le rapport des définitions respectives étant égal à 4). 10 En imprimerie, le format de papier A4 est égal à 21 x 29,7 cm, le format A3 étant exactement le double du format A4, soit 29,7 x 42 cm. La numérisation d’un film argentique 24 x 36 mm à 4000 ou 5000 dpi, permet d’atteindre un agrandissement comportant un maximum de détails continus, au moins jusqu’au format d’impression A2 (double du format A3), soit 42 x 59,4 cm.
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Un autre exemple typique de changement d’échelle d’examen d’objets spatiaux, en fonction du changement de résolution de la capture photographique, est celui des prises de vues aériennes du territoire géographique, comme celles réalisées en France par l’Institut Géographique National (IGN) pour la fabrication des cartes. Les prises de vues aériennes fragmentées couvrant l’ensemble du territoire, faites au moyen de caméras numériques embarquées à quatre mille mètres d’altitude, s’effectuent habituellement avec des résolutions correspondant à 50 cm au sol par pixel. Une surface minimale au sol de 50 x 50 cm, peut donc être décelée et reconnue distinctement par le système de capture numérique volant à cette altitude. Une telle résolution photo-numérique s’avère nécessaire pour effectuer une représentation cartographique suffisamment « précise » des détails (jugés importants) du territoire, avec une échelle de réduction de l’ordre du 1/25 000è. La notion de « précision » est donc intrinsèquement relative au degré de résolution optique-numérique du système de capture, à l’échelle de représentation qui en découle, ainsi qu’au point de vue photographique adopté. Cependant, certains systèmes de photographie numérique plus précis permettent d’obtenir des résolutions bien supérieures, de 10 à 3 centimètres au sol par pixel, soit des carrés spatiaux, nettement descriptibles, ayant une surface pouvant descendre jusqu’à 3 x 3 cm. À ce niveau de résolution, la précision accrue de capture permet de distinguer très nettement les détails des bâtiments et de l’environnement naturel, pour des cartographies à grande échelle, supérieure au 1/25 000è – des cartes régionales au 1/1000è ou des plans détaillés au 1/100è, par exemple –, selon la finalité pratique recherchée par le photo-cartographe. La modification de la résolution optique entraîne, de facto, un changement de l’échelle d’observation des phénomènes ; en conséquence, leur description ainsi que leur appréciation qualitative s’en trouvent également modifiées. Les stratèges qui préparent leurs interventions militaires à partir de diverses cartes du territoire, connaissent bien ce lien, à la fois quantitatif et qualitatif, existant entre la résolution d’image, l’échelle d’observation et l’évaluation des risques, en fonction de la configuration spatiale au sein de laquelle se développera l’action militaire sur le terrain. L’exemple de l’image numérisée – et, plus généralement, de la capture numérique d’objets spatiaux – est représentatif d’une « loupe informatique », semblable à un microscope électronique qui fait varier l’échelle d’examen en changeant la résolution d’analyse de l’objet. 15

L’augmentation quantitative de la résolution entraîne, de fait, un changement d’appréciation qualitative portant sur un objet ou phénomène. Ainsi, regarder de loin un grand tableau exposé dans un musée, permet d’en saisir globalement les grandes masses chromatiques, ainsi que les figures principales. S’approcher de l’œuvre peinte entraîne une perception plus détaillée, qui met en relief les nuances, la touche et le geste de l’artiste. Tandis que l’usage éventuel de la loupe rendra visible, pour le regard instrumenté, le détail intra-matériel, les aspérités de la toile, le grain de la matière picturale. Quant au regard scientifique du restaurateur ou de l’historien, faisant usage de gros plans photographiques agrandis, et même de procédés radiographiques – mis en œuvre dans les laboratoires des grands musées du monde –, il ira chercher les détails cachés sous la surface, dans la profondeur du support lui-même. La modification de l’échelle d’observation, guidée par un questionnement diffus ou explicite, engendre une nouvelle appréhension qualitative, ignorée aux échelles inférieures. Remarquer un détail, c’est l’extirper de l’ensemble auquel il appartient, c’est littéralement le « détailler », autrement dit le circonscrire et l’extraire, dans le but de le souligner, de l’exhiber de manière autonome. Il n’existe pas de détail indépendamment d’une visée intentionnelle qui l’isole en se focalisant sur lui. Là où certains remarquent une infime particularité, car ils ont l’œil curieux, interrogatif ou exercé, d’autres ne voient rien, car ils ne veulent rien découvrir ou bien en sont incapables, ne disposant d’aucun outil adéquat pour cela. Regarder les choses « par le petit bout de la lorgnette11 » signifie, communément, focaliser toute son attention sur un événement particulier, un petit morceau de réalité qui prend soudain une valeur significative, parfois exagérément. L’inverse de l’examen visuel d’une chose ou d’une scène « par le petit bout de la lorgnette », c’est au contraire le point de vue large, distant, panoramique. Ainsi, le panorama photographique, à l’inverse du gros plan étroitement focalisé sur les différences morphologiques et leur discontinuité, contracte et résorbe les
Une « lorgnette » est une petite lunette d’approche permettant, avant l’invention moderne des jumelles, de voir de plus près et de manière détaillée, des scènes ou des choses éloignées. Cet instrument d’optique – parfois rétractable – comprenait, d’un côté, un oculaire de faible diamètre, tandis que l’autre bout portait une lentille de plus large diamètre. L’observateur devait regarder à travers l’oculaire de petit diamètre : le « petit bout de la lorgnette », pour viser un objet. Si cet objet est très proche de la lorgnette, l’observateur n’en perçoit qu’une toute petite partie, agrandie démesurément en tous ses détails. L’ensemble de l’objet n’est donc plus visible à cette distance.
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détails en de vastes surfaces continues, pouvant englober un très large espace circulaire (jusqu’à trois cent soixante degrés). Porter son attention sur un détail, c’est en quelque sorte l’apprivoiser, venir se placer à son échelle, par l’intermédiaire d’un outil d’observation – en premier lieu, le regard nu rapproché, patient, guidé par un questionnement au moins diffus, implicite. En science, tout comme en esthétique, ce qui définit l’échelle relative d’appréhension d’un phénomène, ce sont les instruments utilisés par le chercheur pour percevoir le niveau significatif de détail concernant ce phénomène, relativement à un certain ordre de grandeur (mesurable physiquement). Mais ce qui différencie le physicien de l’esthéticien, à cet égard, c’est la visée intentionnelle : en esthétique, elle relève exclusivement de la perception sensible – le regard naturel, immédiat, ou éventuellement ses extensions techniques –, ainsi que de la recherche qualitative à propos du visible. Relativité d’échelle On peut légitimement parler d’une esthétique des points de vue, tandis qu’il serait pour le moins problématique d’évoquer une esthétique des échelles physiques hiérarchisées de la nature, étudiées mathématiquement par le physicien ou l’astronome, de « l’infiniment petit » à « l’infiniment grand »12. Avec pour conséquence logique – en science autant qu’en esthétique – que ce qui est appréhendé relativement à une certaine échelle de grandeur, c’est-à-dire à un niveau particulier de révélation des détails, entraîne le renoncement (provisoire) à percevoir ce qui existe à une échelle supérieure ou inférieure. La prise de distance excessive, par l’utilisation instrumentée d’une trop grande échelle d’appréhension, exclut la saisie des détails significatifs d’un phénomène, au profit exclusif de la compréhension d’ensemble. Inversement, l’attention plongée dans la complexité des plus

Ces notions, couramment utilisées en science ou en philosophie des sciences (infiniment grand, infiniment petit), ne désignent en fait aucune réalité précise explicitement désignable. Il n’existe pas de réel infiniment petit ou infiniment grand, dans le champ étudié par la physique et la cosmologie, mais seulement des « infinis » relatifs. Ce que la science peut concevoir, mesurer et désigner avec les nombres demeure, à jamais, du domaine du fini, aussi « grand » ou aussi « petit » soit-il. Car c’est toujours le calcul opératoire et la mesure humaine qui expriment la hiérarchie des ordres de grandeur physiques.

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infimes détails, par l’intermédiaire d’une échelle d’observation hyperfine, devient incapable de saisir l’ensemble d’où ils sont déracinés. S’intéresser à un minuscule organite cellulaire n’est, évidemment, pas suffisant pour comprendre le fonctionnement physiologique d’une cellule vivante, de même que l’explication précise du mécanisme de la reproduction cellulaire est insuffisante pour comprendre le fonctionnement coordonné des organes d’un être vivant, mais elle est encore bien plus inapte à rendre compte de l’existence personnelle et collective, propre à chaque individu. Semblablement, l’attention aiguë portée indépendamment à de mini-détails picturaux (la touche locale, le matériau, la nuance chromatique, le trait, un fragment de figure, etc.), rend la perception momentanément aveugle à l’égard de la composition d’ensemble de l’œuvre peinte, de ses masses principales, de ses grandes lignes, de son sujet. Et vice-versa. Le champ du regard esthétique, comme l’œil de la caméra cinématographique, est forcément partiel, toujours sélectif ; pour cette raison, il procède de façon discontinue, en raccordant bout à bout – avec un certain degré d’aléatoire – des champs de vision hétérogènes. Il passe d’une échelle de vision à l’autre, en « cadrant » de manière plus ou moins serrée, plus ou moins rapprochée, l’objet de son appréhension. L’impuissance d’une échelle d’examen (trop fine ou, inversement, trop extensive), relativement à un niveau de description ou d’explication, constitue, en sens inverse, sa force et sa pertinence à l’égard d’un niveau descriptif ou explicatif différent. Il en va ainsi aussi bien pour le regard esthétique, que pour l’analyse scientifique des phénomènes. Il n’y a pas d’échelle absolue ou exhaustive d’examen ou de vision, mais seulement des échelles sélectives, mieux adaptées que d’autres, définies en fonction d’une intention du regard instrumenté, et de la volonté de comprendre certains aspects particuliers des choses qui nous entourent, au moyen de représentations ad hoc : figures géométriques, graphiques et schémas, plans et cartographies, descriptions, concepts (en sciences et philosophie). Définir une échelle d’observation soi-disant « absolue » pour décrire un phénomène, n’a aucun sens : seuls les rapports comparatifs entre échelles différentes possèdent une signification, pour décrire les phénomènes de la nature tout autant que ceux de la création humaine, artistique notamment. En géométrie fractale, les rapports d’échelles sont directement associés aux résolutions

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spatiales comparées, utilisées pour la description des formes, physiques ou mathématiques13. Regarder de très (ou trop) près une œuvre d’art plastique constitue, certainement, un handicap pour en saisir synthétiquement la signification ou la valeur esthétique ; mais cela permet aussi, inversement, de révéler le détail figuratif ou plastique exceptionnel qui lui donne son sens caché, ou la trame secrète qui témoigne de sa genèse et du style secret de l’artiste. En science tout comme en esthétique, une échelle d’observation hyperfine engendre une description pointilleuse, excessivement complexe ; par conséquent, l’information qui en rend compte est pléthorique. Une échelle d’examen trop « grossière », c’est-à-dire trop large, panoramique ou schématique, génère une description sommaire, peut-être simpliste. Cependant, l’extrême simplicité, poussée jusqu’au schématisme, s’avère souvent indispensable pour résumer une situation trop complexe...

2. Fractal(es)
Échelles de complexité – Dimension fractale Nous retrouvons en avant-plan, dans le domaine scientifique et artistique des fractales14, la question de l’échelle et celle de la résolution qui lui est étroitement associée. C’est même à partir de la notion d’échelle d’examen des phénomènes naturels à diverses résolutions, que s’est constituée la science des « objets fractals », plus brièvement appelés « fractals » ou « fractales », développée par le mathématicien et informaticien franco-américain Benoît Mandelbrot (né en 1924 à Varsovie,
Appliqué à la physique de la Nature et à la cosmologie, le concept de « rapports d’échelles », fonction de la résolution métrologique des systèmes de référence utilisés, devient essentiel pour comprendre la structure fractale de l’Univers entier. Le physicien français Laurent Nottale, au courant des années 1990, a développé ce concept sous le terme de « relativité d’échelle » (ou relativité fractale), en donnant à la résolution le rôle de variable essentielle de l’espace-temps. Cf. notamment : Laurent Nottale, La Relativité dans tous ses états – Au-delà de l’espace-temps, éd. Hachette Littératures, Paris, 1998. 14 Sur le rapport de la géométrie fractale et des diverses formes d’art fractaliste qui s’en inspirent (art numérique, peinture, sculpture, musique, etc.), cf. Jean-Claude Chirollet, Art fractaliste – La complexité du regard, éd. L’Harmattan, collection Champs Visuels, Paris, 2005.
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Pologne), dès la fin des années 1950, puis surtout au courant des années 1960 et 1970. À l’origine – c’est-à-dire au point de vue géométrique –, la notion de « fractal » ne relève plus de la vision sensible, mais de la définition mathématique de la complexité morphologique des phénomènes naturels irréguliers, discontinus à toute échelle d’observation, ou de celle des figures géométriques dynamiques, en métamorphose scalaire15 continue – non-euclidiennes16 –, obtenues au moyen de fonctions algébriques récursives17, programmées sur ordinateur. Ces figures complexes, aux formes très irrégulières, chaotiques, enchevêtrées, ramifiées, sont appelées couramment « fractales ». Les publications scientifiques, les revues d’art numérique et d’infographie (surtout depuis la fin des années 1970 et les années 1980), ainsi que les nombreux sites spécialisés et les forums sur

Le terme « scalaire » – du latin « scala » : escalier, échelle, degré –, renvoie ici à la notion d’échelle de grandeur et d’échelle d’observation variable. 16 En géométrie euclidienne, le mathématicien ne connaît que les dimensions topologiques classiques, excluant les idées de transformation d’échelle et d’irrégularité. Le point, selon Euclide (Alexandrie, vers 325-265 av. J.-C.), est « ce qui n’a pas de partie », donc il possède la dimension D = 0, n’étant pas mesurable. La ligne possède la dimension D = 1 (c’est une longueur sans épaisseur). La surface, délimitée par une ligne immatérielle, possède la dimension D = 2. Enfin le volume, délimité par une surface sans épaisseur, possède la dimension D = 3. Entre ces dimensions entières, il n’existe aucun intermédiaire. La géométrie fractale vient bouleverser ce classement des dimensions, en apportant des dimensions non-entières, fractionnaires (le corps Q des nombres rationnels p/q) ou, plus généralement « réelles » (appartenant au corps R des nombres réels décimaux). 17 Une fonction récursive (non-linéaire) se calcule par itération indéfinie (ad infinitum, c’est-à-dire, littéralement, « à l’infini ») du même algorithme de calcul, en réinjectant systématiquement (en boucle), chaque valeur précédemment calculée, dans le processus de calcul séquentiel de la valeur suivante. Tout calcul récursif doit, cependant, s’arrêter à un moment donné. Les fonctions polynomiales génératrices de figures fractales, reposent toutes sur le principe mathématique de récursivité algébrique. – Exemple de fonction récursive simple : (Z² + C)  Z  (Z² + C)  Z  (Z² + C)  …, où C représente une constante complexe (un nombre complexe fixe du type « a  ib » où i²  1), et Z un nombre réel dont la valeur initiale Z0 est choisie arbitrairement (elle peut varier de  à +, et éventuellement être nulle). Exemple : Z0 = 0,2 et C = 1,1  3i. On calcule d’abord (Z0)² + C = Z1, valeur réinjectée dans le calcul suivant de Z2 = (Z1)² + C. Puis la valeur Z2 est réinjectée dans le calcul suivant de Z3 = (Z2)² + C ; et ainsi de suite en boucle récursive. La séquence potentiellement infinie des valeurs [Z0, Z1, Z2, Z3, Z4, …], réalise progressivement une configuration fractale en remodelage continu, en fonction des paramètres Z0 et C fixés initialement. – Il existe une variété infinie de fonctions récursives, pouvant produire des figures fractales étranges et fascinantes dans le plan complexe, par calcul itératif en boucle récursive.

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Internet, en regorgent de très originales. Aussi sont-elles généralement bien connues du grand public un peu curieux d’imagerie numérique. Le néologisme « fractal », utilisé par le mathématicien Benoît Mandelbrot dans la première édition française de son livre célèbre : Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension18, implique l'abandon du concept mathématique de symétrie spatiale19 (hérité de l’Antiquité grecque), qui est un concept fondamental de la géométrie euclidienne, au profit d'un autre type d'organisation – un « ordre chaotique20 » – régissant, de manière dynamique et imprévisible, les formes spatiales irrégulières, morcelées et discontinues en tous leurs éléments, à toutes les échelles auxquelles elles sont appréhendées (dans l’espace plan, autant que dans l’espace tridimensionnel, simulé par ordinateur). Ce nouvel « ordre fractal » est défini au moyen d’un indice chiffré d'irrégularité morphologique, s’appliquant aussi bien aux objets de la nature qu’à ceux de la géométrie. Cet indice est la « dimension fractale », nombre absolu ne désignant pas une mesure de grandeur euclidienne au sens habituel, mais une mesure théorique (abstraite) de la complexité formelle des configurations infiniment

Benoît Mandelbrot, Les Objets fractals – Forme, hasard et dimension, 1è éd. 1975, 4è éd. revue, 1995, Paris, Flammarion. 19 La « symétrie », au sens euclidien du terme grec, désigne la commune mesure entre deux ou plusieurs grandeurs, que le géomètre peut donc comparer avec la même unité de référence : l’unité de mesure commune. Ainsi, on peut comparer les dimensions de deux (ou plusieurs) murs, ou de deux (ou plusieurs) portes, au moyen d’une seule mesure de grandeur commune : le mètre-étalon, ou l’une de ses subdivisions, le décimètre (10 cm) par exemple. Les grandeurs, ainsi obtenues par comparaison avec l’unité de mesure de référence commune – qui sont donc de même nature (longueurs spatiales) –, sont dites « symétriques », sans aucune considération d’échelle d’examen. 20 La notion scientifique de « chaos » ne signifie pas l’absence d’ordre. Au contraire, le chaos possède ses lois propres, seulement appréhensibles de manière statistique et probabiliste. Les lois du chaos sont indéterministes : elles incluent une grande part de hasard. De nombreux phénomènes physico-chimiques, économiques, sociologiques, biologiques, etc., ne sont appréhensibles que par des lois probabilistes. Le concept de chaos désigne donc, de manière générale, un état du monde inexplicable en dehors d’évaluations statistiques et probabilistes. D’autre part, bien que régi par des lois probabilistes, le chaos est souvent dit « déterministe » ou « semi-déterministe », pour signifier que les mécanismes qui l’engendrent sont parfaitement connus. Ainsi, un algorithme récursif (itération indéfinie) qui engendre une image fractale, est en soi fort simplement descriptible. Il agit selon un principe entièrement déterministe, bien que l’évolution de la fonction récursive qu’il commande demeure imprévisible, à l’origine d’images fractales morphologiquement très complexes, explorables à une infinité (potentielle) d’échelles de grandeur.

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ramifiées, brisées, irrégulières. Le participe passé latin « fractus » résume ces acceptions, en exprimant l'idée de moudre, de broyer et de fracturer. Quelles formes naturelles peut-on considérer comme infiniment irrégulières, ramifiées, discontinues ou encore dissymétriques ? Les exemples puisés dans la nature sont omniprésents, et la physique découvre qu'ils sont en extension continuelle. La structure des nuages en mouvement, une tornade, la forme des montagnes, un ciel étoilé, l'expansion infinie des centaines de milliards de galaxies de l’Univers (accessible à l’homme), les vagues d’une mer déchaînée, le mouvement brownien des particules, tout comme une simple feuille de châtaignier ou de fougère, un fragment de rocher ou d’écorce d’arbre, autant que l’arbre entier, un chou-fleur, un morceau de métal ou une cellule biologique – humaine, animale ou végétale –, l’anatomie des poumons et du système digestif, un électrocardiogramme ou un électroencéphalogramme, analysés selon des micro-fréquences temporelles, etc., tous ces éléments naturels sont affectés d'innombrables zones d'irrégularité et de dissymétrie, en fonction des niveaux d'observation auxquels on les soumet. Le mérite de la géométrie fractale est précisément d'avoir permis de caractériser ces degrés ou niveaux d'irrégularité relative qui signent l'hétérogénéité morphologique de la matière, de la vie et de l'Univers tout entier. Selon le point de vue propre à la géométrie fractale – qui rejoint là celui de la géométrie euclidienne –, les objets de la nature, observés à grande distance, peuvent apparaître globalement comme des formes simples, régulières, descriptibles au moyen des catégories de la traditionnelle géométrie euclidienne : des cercles, des triangles, des parallélépipèdes, des cubes, des sphères, des cônes, des cylindres, des polyèdres, et toute combinaison de ces formes élémentaires primitives. D’ailleurs, Paul Cézanne (1839-1906) disait qu’en peinture il faut traiter les formes de la nature par ces figures géométriques élémentaires, mises en perspective. Pourtant, observées de plus en plus près, ces formes naturelles apparaissent beaucoup plus compliquées, plus morcelées et fragmentées, moins linéaires, moins « euclidiennes ». Elles présentent des contours brisés, discontinus, rugueux, fractionnés, et des structures ramifiées, enchevêtrées, remplies de micro-détails. Si le niveau de résolution, toujours plus exigeant, continue de s'affiner par l'intermédiaire de la loupe et du microscope, le moindre détail apparaît alors comme étant composé d’une myriade de détails plus fins, toujours plus riches de microformes dispersées, 22

elles-mêmes saturées à l’infini – en théorie, car la nature ne peut être sondée « à l’infini » ! – de nouvelles microformes emboîtées, hyper-détaillées, aux aspects imprévisibles. Telles des poupées gigognes, les microstructures de la nature s’imbriquent l’une dans l’autre, selon une hiérarchie multiscalaire (c’est-à-dire à une multiplicité d’échelles emboîtées) pourvoyeuse à l’infini de structures morphologiques nouvelles, irrégulières et enchevêtrées. Ce sont les différents niveaux d’échelles d'examen de l'objet, naturel ou géométrique, qui définissent les degrés variables de discontinuité et de dissymétrie. Le thème, évoqué en physique quantique, de l'interrelation opératoire de l'observateur avec l'objet observé, se présente dans le champ de la géométrie fractale, comme le principe même du calcul de la dimension fractale. Il existe, en effet, une forte analogie entre la géométrie fractale et la mécanique quantique : dans les deux cas, la présence de l’observateur modifie le résultat de l’expérience en cours. Cependant, pour conserver la justesse du raisonnement, l’analogie s’arrête là, car en mécanique quantique, la présence même de l’observateur et de ses instruments de mesure, comme éléments de la réalité physique, constitue un facteur de perturbation et donc de variation de la mesure. Dans le cas des objets fractals, le résultat se modifie seulement en fonction du point de vue défini géométriquement par programmation, c’est-à-dire selon le niveau d’échelle mésoscopique auquel on décide de s’arrêter : intermédiaire (sens du préfixe grec « méso ») entre un niveau « macro » supérieur, et un niveau « micro » inférieur. Les deux situations sont, pour cette raison, très différentes. Fractales déterministes / Hyperfractales (stochastiques) Il existe une multitude d’objets fractals (« fractales ») plus ou moins complexes et irréguliers, les plus simples – dits « auto-identiques » ou « scalants »21 –, se répliquent exactement à l’identique à toutes les échelles de grandeur, et possèdent pour ce motif la propriété géométrique baptisée « autosimilitude ». Tout détail (local) réplique exactement à l’identique, le
Les fractales « scalantes » (ou auto-identiques), obtenues par un procédé opératoire déterministe, répètent à l’identique le même motif de base, à toute échelle de grandeur. Par conséquent, toute partie et le tout dont elle « provient », sont morphologiquement identiques, mais à un facteur de réduction scalaire près (le « coefficient de réduction homothétique »). C’est le cas bien connu, par exemple, de la courbe en « flocon de neige » de Von Koch. On peut construire un nombre infini de fractales scalantes, au moyen de procédés opératoires répétitifs plus ou moins complexes.
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tout (global) à partir duquel il est construit, seule l’échelle de grandeur varie (c’est la loi d’homothétie interne de Benoît Mandelbrot). Les objets fractals « scalants » sont obtenus par des opérations géométriques répétitives, strictement déterministes, sans aucun mécanisme aléatoire, telle la courbe en « flocon de neige » de Von Koch22, ou bien, parmi une infinité possible, l'ensemble triadique de Cantor23, encore appelé « poussière de Cantor », car il est fait d'une myriade de points en fragmentation continue 24. La figure de base en est un segment de droite fini dont on extrait le tiers central : l'échelle de réduction étant égale à 1/3, il reste 2 segments de longueur 1/3. L'opération d'extraction du tiers central est réitérée pour les deux tiers restants : de chacun d'eux ne subsistent que les deux autres tiers. La même opération est ensuite réitérée indéfiniment pour la série de tous les tiers restants. En poursuivant le raisonnement « à l'infini », il ne subsiste plus qu'une « poussière » de points infinitésimaux, dont la dimension fractale : D = (log 2 / log 3) = 0,6309…, est intermédiaire entre la dimension topologique du point (D = 0) et celle de la ligne idéalement continue (D = 1), alors que le segment initial a pourtant été pulvérisé une infinité de fois !25 [ill. 1] La courbe en « flocon de neige » de Von Koch (1904) – sans doute la plus populaire des fractales déterministes – est obtenue « à l’infini » par un algorithme itératif, comme toute les fractales. Son périmètre théorique est infini, mais sa longueur réelle demeure finie 26. On l’obtient – de manière
Helge Von Koch, mathématicien suédois, 1870-1924. Georg Cantor, mathématicien allemand d’origine russe, 1845-1918, créateur avec Richard Dedekind (mathématicien allemand, 1831-1916) de la théorie des ensembles. 24 Cf. ci-dessous : Chapitre IV, 3, § Poussière de points fractale. 25 Le calcul de la dimension fractale est, dans ce cas, le rapport entre les logarithmes décimaux des nombres 2 et 3. Le logarithme décimal (log) d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10, pour obtenir ce nombre. Le calcul dimensionnel de l’ensemble triadique de Cantor : (log 2 / log 3) = 0,630…, montre que cette « poussière » infinitésimale, intuitivement négligeable, est loin de posséder une dimension nulle ou voisine de zéro, comme l’intuition pourrait le suggérer. – D'autres modes de dissection du segment de droite sont possibles, en particulier des dissections simulant le hasard dans l'ordre des découpages successifs. Il s'agit d'ensembles de Cantor « randomisés » (l'anglais « random » signifie l’aléatoire, le hasard). Dans tous les cas, les poussières de points obtenues par l'application ad infinitum du processus de pulvérisation, possèdent des dimensions fractales variables, toujours comprises entre 0 et 1. 26 Comme toutes les courbes fractales, elle n’est pas « rectifiable ». Il est en effet mathématiquement impossible de calculer sa dérivée en un point quelconque de son périmètre, discontinu à toute échelle de calcul.
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approchée – en opérant sur chaque côté d’un triangle équilatéral, une suppression de son tiers central, pour construire à la place 4 segments de valeur 1/3. Chacun des anciens côtés de valeur 1 devient donc égal à 4 fois 1/3 soit 4/3, et le triangle équilatéral de base a pour longueur, après la première transformation, 3 fois 4/3, soit 12/3 = 4. À la première étape, la figure ainsi transformée comprend donc 12 côtés de valeur 1/3. En réitérant indéfiniment la double opération de suppression du tiers central, et de remplacement de chaque côté par 4 côtés égaux à 4 fois 1/3, on obtient un contour hyperdentelé qui paraît tendre vers une courbe continue, sans jamais s’y réduire. Cette courbe en forme de flocon de neige dentelé possède, géométriquement, un périmètre de longueur infinie, bien que sa surface fermée soit finie ! On démontre que la dimension fractale de la courbe de Von Koch est égale à D = (log 4) / (log 3) = 1,261..., donc supérieure à la dimension topologique d’une courbe idéalement continue de la géométrie euclidienne (D = 1), mais inférieure à la dimension d’une surface plane (D = 2)27. [ill. 2a] et [ill. 2b] Les objets fractals les plus complexes, appelés « multifractals » ou « hyperfractals », dotés de la propriété d’autosimilarité – les plus riches en irrégularité et différences morphologiques –, proviennent de systèmes dynamiques semi-déterministes, dont les trajectoires, calculées point par point en boucle récursive, génèrent des formes aléatoires hyperdétaillées à toute échelle (par exemple, le « bonhomme fractal » de Mandelbrot – ou « ensemble de Mandelbrot » –, le plus connu parmi d’innombrables fractales dynamiques). Une image fractale calculée à une certaine échelle d’exploration avec le « microscope informatique », recèle une extrême densité de détails chaotiques, caractérisés par des dimensions très voisines statistiquement à cette échelle. Les innombrables images « multifractales » – statistiquement autosimilaires –, générées par des algorithmes récursifs (itération), peuvent être recalculées indéfiniment en chacun de leur point, pour produire des zooms numériques illimités. Chaque détail obtenu au cours du processus de calcul itératif, peut donner lieu indéfiniment à de nouvelles explorations en cascade (effet de zoom), selon des échelles de grandeur toujours inférieures. De nouveaux micro-détails fractals « inclus dans le détail », apparaissent en chaîne à chaque exploration scalaire nouvelle, révélant à chaque fois une minuscule
L’écriture du calcul de la dimension fractale : (log 4) / (log 3), désigne le logarithme décimal de 4, divisé par le logarithme décimal de 3. – Rappel : le logarithme décimal (log) d’un nombre est la puissance à laquelle il faut élever 10, pour obtenir ce nombre.
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copie, mais légèrement déformée, de la forme originale. Chaque réplique est donc toujours originale du point de vue morphologique – avec sa légère différence de dimension fractale –, bien que globalement analogue à la forme primitive d’où elle provient. Il s’agit de la propriété géométrique appelée, par simplification, « invariance d’échelle » ; il serait cependant plus juste de parler d’invariance dimensionnelle ou structurale globale, par changement d’échelle en série, puisque tout changement d’échelle d’examen révèle une invariance morphologique (dimensionnelle) générale, mais à de minimes transformations locales près28. L’invariance morphologique (dimensionnelle) globale des fractales semi-déterministes, définit l’autosimilarité fractale par « renormalisation », terme qui désigne un processus itératif de calcul des points d’une même zone du plan complexe29, selon une infinité d’échelles potentielles de plus en plus fines, donc avec des grossissements informatiques de plus en plus élevés (zooms numériques successifs). Lorsque le calcul itératif est arrêté à un certain stade de la programmation (au bout de dix-mille étapes, par exemple), tous les détails pour cette échelle peuvent alors être à nouveaux recalculés à des échelles inférieures, révélant de nouveaux détails imprévisibles. À leur tour, ces nouveaux fragments pourront devenir des terrains d’exploration pour de multiples autres agrandissements, et ainsi de suite à l’infini. Le plan complexe, gigantesque tableau de nombres hyperdenses30, détient une luxuriance morphologique virtuellement infinie, que révèlent en partie les fractales autosimilaires.
À la différence des fractales semi-déterministes (stochastiques), les fractales entièrement déterministes, comme le « flocon de neige » de Von Koch, présentent une invariance d’échelle stricte, à la fois globale et locale, car tout détail y réplique exactement à l’identique, le tout à partir duquel il est construit, seule l’échelle de grandeur varie (il s’agit de la « loi d’homothétie interne » des fractales auto-identiques, selon l’expression de Benoît Mandelbrot). 29 Le plan complexe est l’ensemble infini (non-dénombrable) des couples de nombres de coordonnées réelles (a,b), représentant tous les points du plan au sein d’un repère géométrique orthonormé. Possédant leurs règles spécifiques de calcul algébrique, les nombres complexes s’écrivent (a + ib), où i² = -1. Le nombre "a" est la partie réelle ; le nombre "ib" est la partie imaginaire (exemple : 5 + 7i). Le corps algébrique C des nombres complexes est une extension du corps algébrique R des nombres réels. À ce titre, ils ont des propriétés mathématiques différentes de ces derniers. Les fonctions récursives servant à calculer les images fractales, sont formées de nombres complexes de ce type. 30 Entre deux nombres complexes – couples de réels (a,b) –, aussi voisins soient-ils dans le plan, il existe une infinité potentielle d’autres nombres complexes (a,b). C’est pourquoi le « microscope numérique » peut s’exercer à une infinité d’échelles potentielles.
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L’autosimilarité fractale est aussi appelée autosimilarité stochastique ou statistique, car elle met en jeu l’idée de hasard semi-déterministe31. Les objets de la nature sont à l’image des multifractals, car ils sont modélisés par des objets fractals dynamiques (semi-déterministes) ayant la propriété d’autosimilarité. Dans la nature physique, cependant, les niveaux d’observation ne sont pas réellement infinis, à la différence d’une fractale mathématique (objet géométrique), qui peut être étudiée selon des niveaux scalaires virtuellement infinis. Néanmoins, dans la pratique informatique du calcul dynamique en boucle récursive, on retrouve des limites physiques inexorables, dues aux contraintes de temps, de rapidité de calcul des microprocesseurs, et de capacité de mémoire disponible. Déjà, dans les années 1915-1920, les travaux des mathématiciens français Gaston Julia (1893-1978) et Pierre Fatou (1878-1929), relatifs au calcul récursif (itération) appliqué aux fonctions algébriques du second degré (fonctions quadratiques), avaient permis de relier la théorie de la dimension fractale à la science des systèmes dynamiques. Julia et Fatou ont démontré, en particulier, qu’il est possible d’engendrer par récursion algorithmique, des trajectoires géométriques dans le plan complexe qui traduisent une imbrication subtile, en très grande partie imprévisible, d’ordre et de chaos. Or, de tels systèmes géométriques – fondés sur des équations quadratiques ou de degré supérieur – conduisent à décrire des valeurs dimensionnelles non-entières (fractales), localisées irrégulièrement dans le plan (ou l’espace) complexe. Les travaux mathématiques de Julia et Fatou sur l’itération indéfinie des polynômes algébriques dans le plan complexe, ont fourni une solide base théorique aux concepts qui soustendent la technoscience des figures fractales. D’ailleurs, les innombrables « ensembles (fractals) de Julia », obtenus aujourd’hui par ordinateur, sont considérés comme apparentés au plan morphologique, en tous leurs infinis détails, à l’ensemble de Mandelbrot. Dans son livre fondateur de la physique moderne, Les Atomes (1913), le physicien français Jean Perrin (1870-1942) fit remarquer l'importance majeure que revêt l'échelle d'observation des phénomènes
Les fractales semi-déterministes – dits « multifractals » ou « hyperfractals » –, simulant l’aléatoire, possèdent la propriété d’autosimilarité statistique, à ne pas confondre avec le concept « d’autosimilitude » (ou auto-identité) qui caractérise les fractales géométriques purement déterministes, dont toute partie réplique exactement le tout à n’importe quelle échelle d’observation, avec une unique et invariante dimension fractale (comme la courbe de Von Koch, ou l’ensemble triadique de Cantor).
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