MATHÉMATIQUES DES SYSTÈMES ACOUSTIQUES

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Les problèmes d'accord et de tempérament sont depuis toujours une des préoccupations majeures des théoriciens de la musique. Si Pythagore est le premier à établir une correspondance entre les nombres et les sons, des événements comme la découverte des logarithmes renouvellent en profondeur le calcul des intervalles musicaux. Pour mesurer l'enjeu des questions d'accord, percevoir leur structure et faciliter la comparaison des synthèses entre eux, il fallait une théorie mathématique unifiée capable de rendre compte des anciens systèmes comme des nouveaux.
Publié le : vendredi 1 mars 2002
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EAN13 : 9782296283411
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Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains

Collection Univers Musical dirigée par Anne-Marie Green

La collection Univers Musical est créée pour donner la parole à tous ceux qui produisent des études tant d'analyse que de synthèse concernant le domaine musical. Son ambition est de proposer un panorama de la recherche actuelle et de promouvoir une ouverture musicologique nécessaire pour maintenir en éveil la réflexion sur l'ensemble des faits musicaux contemporains ou historiquement marqués.

Dernières parutions

GARANT Dominic, Tristan Murai! : une expression musicale modélisée, 2001. DALLET Sylvie et VEITL Anne, Du sonore au musocal, cinquante ans de recherches concrètes (1948-1998), 2001. GIACCO Grazia, La notion de «figure )) chez Salvatore Sciarrino, 200 I. CICCONE Louis, Les musiciens aveugles dans l 'histoire, 2001. VICHERA T Mathias, Pour une analyse textuelle du rap français, 2001. GILLES Clotilde, Un univers musical martiniquais: les swarès bèlè du Nord atlantique, 2001. MAS Christian, CI. J. Rouget Lisle: une interprétation politique, entre lettres et musique, 2001. ROSSELOT Bernard, Aventuriers et griots, de la galère à la profession, 2001. GUILLON Roland, Le jazz de quatre cités, hard boppers de Chicago, Detroit, Pittsburgh et Philadelphie, 2000. BARA T Sylvie, Jorge Donn par le ballet du XXème siècle, 20001. PECOT-DOUA TTE Sylvie, A la recherche d'£delmann, le musicien guillotiné, 2001. FAURE Michel, José Serebrier, Un chef d'orchestre et compositeur à l'aube du XXlème siècle, 2002. Leiling Chang Melis, Métissages et résonances, 2002.

Franck JEDRZEJEWSKI

Mathématiques des systèmes acoustiques.

Tempéraments et modèles contemporains.

L'Harmattan 5-7, rue de l'École Polytechnique 75005 Paris

FRANCE

L'Harmattan Hongrie Hargita u. 3 1026 Budapest HONGRIE

L'Harmattan Italia Via Bava, 37 10214 Torino IT ALlE

@ L'Harmattan,

2002 ISBN: 2-7475-2196-6

Sommaire

Introduction

13 23 23 26 29 32 37 38 39

1 Mathématiques musicales 1.1 Rapports acoustiques et unités. . . . . 1.2 Fractions continues. . . . . . . . . . . . 1.3 Approximation des systèmes acoustiques. 1.4 Groupes libres. . . . . . . . . . . . . . 1.5 Langages formels - Transpositions. . . . 1.6 Groupes pseudo-cycliques . . . . . . . . 1.7 Représentations des systèmes acoustiques.

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2 Théories générales du tempérament 45 2.1 Théorie générale des systèmes de douze sons. 46 2.2 Le système tempéré. . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Le tempérament égal. . . . . . . . . . 48 2.2.2 Approximations du tempérament égal 49 2.3 Les systèmes mésotoniques .............. 50 2.3.1 Le système mésotonique général. . . 51 2.3.2 Le système mésotonique classique. . . . . . . 53

2.4

2.5

2.3.3 Approximations des systèmes mésotoniques 2.3.4 Mésotonique de Verheijen . . . . . . 2.3.5 Mésotonique de Gibelius . . . . . . . . . . . Les systèmes zarliniens . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Le système zarlinien diatonique. . . . . . . 2.4.2 Le système zarlinien chromatique. . . . . . 2.4.3 Le système de Delezenne. . . . . . . . . . . Les systèmes pythagoriciens. . . . . . . . . . . . . 2.5.1 La spirale des quintes. . . . . . . . . . . . 2.5.2 Le système pythagoricien à douze degrés. . 2.5.3 Le système pythagoricien à dix-sept degrés. 2.5.4 Le système pythagoricien à dix-neuf degrés.

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54 55 56 56 57 58 59 60 61 62 64 64

3

La Grèce ancienne 3.1 L'école pythagoricienne 3.2 La théorie musicale. . . . 3.3 Les genres d'Archytas. . 3.4 Les genres d' Aristoxène . 3.5 Les genres d'Eratosthène. 3.6 Les genres de Didyme. . 3.7 Les genres de Ptolémée. 3.8 Lesespècesd'octave .. 3.9 Le système de Perrett. . 3.10 Le système de Schlesinger. Les 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

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67 68 71 73 74 76 77 77 79 . . . . . . . 80 . . . . . . . 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 86 86 87 90 92 92 93 94

4

systèmes orientaux Le système de al-Mausili . . . . . Le système de al-Kindi . . . . . . Le système d' Avicenne. . . . Les systèmes de al- Farabî . . . . Le système de Safi-al-Din . . . . Le système de Mikhail Musaqa . Le système de Raouf Yekta Bey. Les systèmes indiens. . . . . . .

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5 Les 5.1 5.2 5.3 5.4

tempéraments allemands Le tempérament de Schlick. . . . . . . . . . . . Le tempérament d'Agricola . . . . Les tempéraments de Képler . . . . Les tempéraments de Werckmeister . . . . . . . .
8

97 .. 98 .. 99 . . 100 . . 102

5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11 5.12 5.13 5.14 5.15 6 Les 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

Les tempéraments de Bendeler .. . Les tempéraments de Neidhardt. . . Le système de Suppig Les tempéraments de Sorge. . . . . Les tempéraments de Marpurg Le tempérament de Silbermann . . . Les tempéraments de Kirnberger . . Les tempéraments de von Wiese. . Le tempérament de Kellner. . . . . Le système de Joachim von Oettingen Le système de Helmholz . . . . . . . tempéraments anglais L'accord de Dowland. . . . Les tempéraments de Malcolm Les tempéraments de Young. . . . Le tempérament de Stanhope . . . Le tempérament de Herschel. . . . tempéraments italiens Le système de Pietro Aaron. . Les tempéraments de Fogliano. Le tempérament de Ganassi . . Les tempéraments de Colonna. Les tempéraments de Rossi. . Le tempérament de Riccati . . Le tempérament de Martini. . Le tempérament de Vallotti . . Le tempérament de Barca. . . Le tempérament de Schiassi . . Le tempérament de Sievers tempéraments ibériques et Le tempérament de Ramas de Le tempérament de Bermuda Les systèmes de Salinas. . . Le système de Ban. . . . . . Le tempérament de Varella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . 106 . . . . . . . . . 109 126 . . . . . . . . . 127 . . . . . . . . 129 . . . . . . . . . 141 . . . . . . . . . 142 . . . . . . . . . 145 . . . . . . . . . 151 . . . . . . . . 153 . . . . . . . . . 154 155 156 157 159 161 162 165 166 167 170 171 173 174 175 176 177 178 180 181 182 183 184 185 186

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7 Les 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 7.7 7.8 7.9 7.10 7.11 8 Les 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5

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flamands Pareja. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Les tempéraments français
9.1 Le tempérament d'Arnault de Zwolle.

189 . . . . . . . . 190

9

9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 10 Les 10.1 10.2 10.3 10.4

Le tempérament de Salomon de Caus. . Les systèmes de Marin Mersenne. . . . La partition de Jean Denis. . . . . . . . Le tempérament de Lambert-Chaumont. Le tempérament de Sauveur. . . . . . . Le tempérament de Vincent. . . . . . . Les tempéraments de Rameau. . . . . . Le tempérament de Montvallon . . . . . Le tempérament de l'Anonyme de Caen. Les tempéraments de Gallimard. . . . . Le tempérament de d'Alembert. . . . . Le tempérament de Corrette. . . . . . . Le tempérament anacratique de Romieu Le tempérament de Béthisy . . . . . . . Le tempérament de Rousseau. . . . . . Le tempérament de Dom Bédos . . . . . Le tempérament de Mercadier . . . . . . Le tempérament de Louët . . . . . . . . Le système de Montucla . . . . . . . . . Le système de Blanchet. . . . . . . . .

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191 192 198 199 202 203 204 206 206 207 209 211 212 213 214 217 218 219 222 223

systèmes contemporains Les systèmes harmoniques. . . . . . Les systèmes dorés. . . . . . . . . . . . Les systèmes cycliques. . . . . . . . . . Les systèmes non-octaviants . . . 10.4.1 Le tempérament de Serge Cordier. 10.4.2 Les systèmes de Wendy Carlos. 10.4.3 Les systèmes de Bohlen-Pierce. 10.5 Les systèmes de Harry Partch. . . . . . 10.5.1 Le losange de tonalité . . 10.5.2 Le système de limite 5 . . 10.5.3 Le système de limite 7 . . . . . . 10.5.4 Le système de limite 9 . . 10.5.5 Le système de limite 11 . . . . . 10.5.6 Le système de limite 13 . . . . . 10.5.7 Le système monophonique. . . . 10.6 Les réseaux de Ben Johnston. . . . . . 10.7 Les systèmes de l'intonation juste. . . . 10.7.1 Pelog et slendro. . . . . . . . . . 10

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10.7.2 Les systèmes dodécaphoniques. 10.7.3 Les systèmes justes à 19 degrés. 10.7.4 Les systèmes justes à 24 degrés. 10.7.5 Les systèmes justes à 31 degrés. 10.7.6 Les systèmes justes à 53 degrés. 10.8 Les systèmes de Ervin Wilson. . . . . 10.9 Les systèmes microtempérés . . . . . . 10.9.1 Le système de Luc Etienne. . 10.9.2 Le tempérament égal. . . . . . 10.9.3 Le système à 17 degrés. . . . . 10.9.4 Les tiers de ton. . . . . . . . . 10.9.5 Le système à 19 degrés. . . . . 10.9.6 Les quarts de ton. . . . . . . . 10.9.7 Le système de Fokker . 10.9.8 Les sixièmes de ton. . . . . . . 10.9.9 Le système de Holder. . 10.9.10 Les neuvièmes de ton. . . . . 10.9.11 Les dixièmes de ton. . . . . . 10.9.12 Les onzièmes de ton. . 10.9.13Les douzièmes de ton. . . . . 10.9.14Les seizièmes de ton. . . . . . Bibliographie Index

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Introd uction

Le tempérament musical connaît aujourd'hui un regain d'intérêt. Cet intérêt est motivé par la redécouverte des instruments anciens et les recherches actuelles sur les problèmes d'accord et de justesse. Le phénomène n'est pas seulement limité à l'hexagone. Aux Etats-Unis, les adeptes de l'intonation juste développent des théories de plus en plus sophistiquées. En Autriche, de nouveaux traités théoriques accompagnent les compositions de musique ekmelique. Aux Pays-Bas, le système trentunisonique (à trente et un degrés par octave) connaît une diffusion sans cesse croissante. Un ensemble de théories nouvelles se met en place autour des problèmes liés au choix des fréquences. Car pour composer un morceau de musique ou pour accorder un instrument, il faut choisir un ensemble de fréquences, ou système acoustique. Dans la musique du XVIIIe au XXe siècle, le choix traditionnel s'effectue selon le système tempéré classique, système dans lequel tous les intervalles sont égaux. Mais ce système d'accord n'est pas l'unique possibilité, et les musiques ethniques nous enseignent bien d'autres solutions. Aujourd'hui de nombreux ouvrages ont été publiés sur le tempérament, mais peu étudient les problèmes mathématiques qu'il suscite. L'originalité de notre travail réside dans l'interprétation des systèmes acous-

tiques selon la théorie des groupes libres et pseudo-cycliques et selon la théorie des langages formels. La représentation graphique des tempéraments que nous proposons permet de comprendre la différence que l'on fait dans les cours d'harmonie entre degrés forts et degrés faibles, et qui fondent l'ensemble du discours musical de l'ère tonale. Car si les degrés principaux I, IV et V sont des degrés forts pour le système tempéré, il en va tout autrement des autres tempéraments. L'analyse musicale des pièces antérieures à Jean-Sébastien Bach devrait en tenir compte. Il est facile de voir qu'il existe des interactions entre systèmes acoustiques et compositions, non seulement dans les musiques modales ou tonales, mais aussi dans les musiques atonales et les musiques qui privilégient le timbre. Les théories du xxe siècle qui se sont développées autour des micro- intervalles ont essayé de réfléchir sur ces inter-relations entre les différents paramètres musicaux. On comprend dès lors l'importance qu'il y a d'étudier les propriétés mathématiques des systèmes acoustiques pour l'ensemble des études musicales. Notre connaissance des tempéraments historiques se fondent en premier lieu sur les multiples traités qui ont été publiés sur l'accord des épinettes, des clavecins, des orgues, des luths et des violes. Mais la tâche de l'accordeur est difficile car il doit maîtriser de nombreux paramètres. De ce fait, l'accord ne correspond pas toujours à la théorie. Pour contrôler les multiples cordes de la table d'harmonie, le positionnement des étouffoirs, la correspondance des chevilles et des touches, l'accordeur doit utiliser un matériel adapté. Pour l'accord du piano forte, il faut, nous dit Louët, "une espèce de petit marteau, dont le bout creux est formé de manière à contenir la tête des chevilles, à l'effet de les tourner soit à gauche ou à droite, pour faire baisser ou monter le ton; soit tout-à-fait à gauche, comme si on vouloit les dévisser et en les tirant alors en dehors perpendiculairement, pour les ôter tout-à-fait de place: opération nécessaire, lorsqu'on veut raccommoder des cordes cassées, ou en rattacher de nouvelles. D'où l'on voit que cette partie creuse du marteau, doit être dans de justes proportions avec les chevilles: afin que d'une part elle puisse les retenir suffisamment lorsqu'on veut les enlever, et que de l'autre elle ne s'y attache pas trop, quand on ne veut que les tourner pour l'accord de l'instrument" [Louët, pp. 8]. Les orgues doivent être accordées plusieurs fois par an. Comme les tuyaux à bouche varient peu, on accorde les jeux d'anches sur les

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tuyaux à bouche et pour l'accord des jeux d'anches, on règle la longueur de la languette en la soulevant ou en l'abaissant de quelques fractions de millimètre. Pour l'accord des tuyaux à bouche, que l'on peut assimiler fonctionnellement à des siffiets, il faut évaser ou au contraire refermer l'extrémité du tuyau. Cette opération est faite à l'aide d'un accordoir spécial, constitué d'une tige de métal pourvue à une extrémité d'un cône plein et de l'autre, d'un cône creux. Anciennement, les tuyaux étaient" coupés au ton". Mais cette technique, qui laissait peu de marges à l'accordeur, a de ce fait été abandonnée. Pour égaliser la longueur des tuyaux, l'accordeur les place sur le mannequin. C'est une sorte d'orgue réduit à sa plus simple expression, constitué d'un clavier, d'un sommier et d'une soufflerie. Si l'observation des orgues ne permet pas de déterminer le tempérament employé, il permet toutefois, par sa morphologie, d'écarter certains types d'accords impraticables. En Europe, le tempérament est né du problème de la fermeture du cycle des quintes. Ce problème qui ne peut être résolu exactement a donné naissance à une série de solutions de compromis fondées sur la préservation de l'octave. Il semble que les systèmes d'accords utilisés au Moyen-âge étaient des systèmes pythagoriciens basés sur la résonance naturelle et la quinte juste. C'est ce qu'enseigne le manuscrit latin laissé par Henri Arnault de Zwolle (ca. 1400-1466) qui a été médecin de Charles YII et de Louis XI, et qui a aussi travaillé à la cour de Bourgogne. Au Moyen-âge, les premiers essais pour "régler les sons de I'harmonie" se font au monocorde, instrument qui aurait été inventé, selon Boèce, par Pythagore et qui dérive vraissemblablement du kanôn des Grecs. Le monocorde, appelé aussi clavicorde, ne possède pas toujours une seule corde. Johannes de Muris décrit dans son Musica speculativa (1323) un monocordum à 19 cordes et Conrad von Zabern évoque dans son Opusculum de monocordo (1474) un instrument à clavier. Le monocorde décrit par Arnault de Zwolle est doté d'un clavier de trois octaves, 35 touches et 18 cordes. Les expériences faites sur les monocordes et les clavicordes sont aussi faites en grandeur nature sur les orgues qui pénètrent dans les églises à partir de IXe siècle, mais n'y sont admis officiellement qu'au XIye siècle. Rappelons que l'orgue est d'abord portatif, puis posé au sol. L'organum plenum ou blockwerk de Halberstadt date de 1361. Les registres qui permettent l'expression de certains tuyaux principaux ne sont découverts que

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vers 1450. Au xve siècle, l'orgue est doté de ses éléments constitutifs. Au XVIe siècle se développent les systèmes mésotoniques "tono medio", aux tons moyens, et les systèmes apparentés. Pierre Attaignant, mort en 1552, édite les chansons de l'école parisienne et publie deux livres d'orgue (1531) sans doute pour ce tempérament. On pense que les chansons du répertoire français, de Clément Janequin (1485-1558), de Claudin de Sermisy (1495-1562), d'Eustache Du Caurroy (1549-1609) étaient écrites pour le tempérament mésotonique. Ce système, encore appelé tempérament moyen aux huit tierces égales, a été inventé en Italie par Pietro Aaron (ca. 1485-1545) et publié en 1523 dans son livre Toscanello in musica. On discute de savoir s'il a existé un tempérament de transition entre les systèmes pythagoriciens et les systèmes mésotoniques. Mais nous n'avons aucune preuve qu'un tel tempérament transitoire ait existé. Arnold Schlick (1460-ca. 1521), organiste à Heidelberg, a donné dans son livre, Spiegel der Orgelmacher und Organisten (1511), un tempérament mésotonique qui n'a pu être reconstitué avec certitude. Au XVIe siècle et dans les siècles suivants, la facture d'orgues est une affaire de famille. Pierre Dugué (mort après 1557) est facteur d'orgues. Ses fils sont luthistes du roi et sa fille, qui épousa Antoine Dargillières, "faiseur d'orgues de la Chapelle royale" , aura trois fils, Gabriel, Jean et Rach, tous trois facteurs d'orgues. A la fin du XVIe siècle, Nicolas et son fils Pierre Pescheur subissent l'influence des théoriciens et organiers flamands. Pierre Pescheur est d'ailleurs l'élève de P. Maillart, théoricien et facteur ci'orgues flamand. A côté de nombreuses pièces pour orgue, le répertoire du luth s'enrichit de la transcription d'œuvres vocales et de compositions pour plusieurs luths, comme celles du flamand Emmanuel Adriaensen, mort en 1604, qui devaient nécessiter un accord particulier. Au XVIIe siècle, Jean Denis (1600-1672) est fabricant d'épinette et organiste à Saint-Séverin. Il écrit un "Traité d'accord de l'Espinette" qui inclut un "Prélude pour sonder si l'accord est bon". Jean Titelouze (1563-1633), organiste à Rouen, compose pour les huit tons de l'église et échange une importante correspondance avec Marin Mersenne (1588-1648). Ce dernier publie en 1636 son Harmonie universelle, qui est une somme sur l'accord des épinettes, des orgues, des théorbes et des luths. Mais au XVIIe siècle, des instruments nouveaux apparaissent qui nécessitent un accord juste et

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précis. Le violon apparaît vers 1600. Monteverdi le nomme le violino alla francese. Le violon le plus ancien qui soit parvenu jusqu'à nous est un modèle de 1560 qui fut fabriqué à Brescia. Mais à cette époque la viole de gambe est encore très utilisée dans toute l'Europe, en Angleterre où W. Lawes et M. Locke composent de nombreuses fantaisies, mais aussi en France où l'œuvre de Marin Marais, élève de Sainte Colombe et de Lully est particulièrement célèbre. La famille Ruckel's et la famille Couchet, successeurs des Ruckel's, portent la facture flamande à un haut degré de perfection. Les transpositions des huit tons d'église posent de nouveaux problèmes aux facteurs d'instruments et plus particulièrement aux facteurs d'orgues. Des sons nouveaux apparaissent dont l'accord avec les autres notes n'est pas toujours ajusté. De nouveaux tempéraments naissent, qui apportent une solution aux problèmes d'accord. On assiste aussi à des solutions matérielles comme le clavier transpositeur, qui a peut-être existé dès le XVIe siècle. Les tonalités majeures et mineures s'individualisent progressivement. Louis Couperin (1626-1661), organiste à Saint Gervais, écrit une Pavane sur le "ton de la chèvre" (fa dièse mineur) qui témoigne de l'emploi d'une tonalité inhabituelle. Au XVIIe siècle, on restaure et on construit de belles orgues. Etienne Enocq (mort en 1682) commence la restauration du grand orgue de Reims, en 1647, après avoir restauré celui de la cathédrale de Chartres. Sa fille Anne épouse Henri Lesclappe (1655-1702) qui termine la construction de l'orgue de Narbonne. Pierre Thierry (1604-1665) construit l'orgue de Saint Germain des Prés (1661) et Alexandre Thierry (1646-1699) celui de Saint Eustache (1687). Henry du Mont (1610-1684), claveciniste du duc d'Anjou, puis de la reine, entre à la Chapelle royale et introduit la basse continue. Nicolas de Grigny (1672-1703) publie son Livre d'orgue à la fin du XVIIe siècle (1699). Bartolomeo Cristofori (1665-1732) substitue au sautereau du clavecin un petit marteau qui frappe la corde et invente le premier "gravicembalo col piano e forte" ou "cembalo a martelletti" (1698) : le piano était né. Au XVIIIe siècle, la facture d'orgues est dominée par de grandes familles: Thierry, Clicquot, Dallery, Isnard, Silbermann. Les élèves succèdent à leurs professeurs. Elève de A. Raison, Louis Nicolas Clérambault (1676-1749) prend la suite de Nivers à l'orgue de Saint Sulpice. Jean-François d'Andrieu (1682-1738) succède à Jean-Baptiste Buterne (1650-1727) à la Chapelle Royale. Louis Marchand (1669-1732) joue sur les orgues de la cathédrale de Strasbourg,

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récemment construites par André Silbermann et forme toute une génération d'organistes: Pierre Du Mage (1674-1751), Louis-Claude Daquin (1694-1772), Jean-Adam Guilain etc. Malgré un bon nombre d'orgues construites au XVIIIe siècle, il ne reste que quelques instruments comme les orgues de Poitiers (Clicquot, 1787), de Saint Maximin du Var (Isnard, 1770), de l'Abbatiale d'Ebersmunster (J.A. Silbermann, 1715) ou de l'Abbatiale de Marmoutier (J.A. Silbermann, 1720). En Allemagne, les orgues de Charles Joseph Riepp (1710-1775) construites à Ottobeuren en 1757 et 1766 sont dans un bel état de conservation. Malheureusement, l'examen de ces orgues ne permet pas de reconstituer le tempérament utilisé. Toutefois les œuvres composées à cette époque nous permettent d'établir certains faits importants dans l'évolution des accords. L'armure des compositions du XVIIe siècle ne dépasse pas trois ou quatre dièses ou bémols. On emploie une quinzaine de tonalités en restant dans les tonalités voisines (de mi bémol majeur à mi majeur ou aux relatives mineures). Des tonalités comme fa mineur ou mi majeur sont rares, voire exceptionnelles. Au milieu du siècle, Carl-Philipp Emmanuel Bach compose les Sei sonate per cembalo (1742) dans lesquelles il emploie des tonalités rares et des enharmonies inusitées. Mais déjà en 1738, Domenico Scarlatti dans ses Exercices de Clavecin avait employé des altérations rares et des tons éloignés. Dans la Sonate K. 371, il utilise des tonalités à l'armure chargée comme fa dièse majeur ou sol dièse mineur. A la fin du XVIIIe siècle, les modulations aux tons éloignés sont plus fréquentes. Le tempérament égal apparaît vers 1730, mais les orgues restent accordées sur l'ancien tempérament. Michel Corrette (1709-1795) organiste rouanais, propose dans Le maître de clavecin, paru à Paris en 1753, une partition dont l'interprétation est difficile. Jean-Philippe Rameau, partisan du tempérament inégal, prend position, à partir de la Génération harmonique publiée en 1737, pour le tempérament égal. Il avait été précédé par Andréas Werckmesiter (1645-1706), qui dès 1691, avait choisi pour le tempérament égal. Au XIxe siècle, les progrès techniques des instruments se poursuivent et l'accord se stabilise autour de l'égal. Des familles de facteurs (Callinet, Dallery, etc.) restaurent et construisent de nouveaux instruments. Joseph Callinet érige l'orgue de MoHau (1832) et quelques années plus tard celui de Sermersheim (1836). C'est vers 1840, qu'Aristide Cavaillé-Coll (1811-1899) donne à l'orgue une nouvelle dimension symphonique en lui apportant de nouveaux

18

perfectionnements: soufflerie à diverses pressions, levier pneumatique, jeux d'harmonies, etc. Les Erard inventent le piano à double échappement. On assiste à la généralisation de l'emploi du tempérament égaL Au xxe siècle, la question du choix de l'accord et des fréquences réapparaît dans une nouvelle problématique. Il ne s'agit plus de construire un tempérament capable de moduler dans toutes les tonalités sans notes disgracieuses, mais de prolonger les ressources du tempérament égal par ajout de nouvelles fréquences ou d'utiliser des systèmes acoustiques plus proches de la résonance naturelle ou répondant à certains critères fixés par le compositeur. De nombreux instruments capables de produire des micro-intervalles ont été construits, mais peu on réussit à satisfaire complètement à la fois les compositeurs et les interprètes. A Moscou, les premières recherches ont été orientées très tôt vers les instruments électroniques. Au début du XXe siècle, Evgeni Mursin développe un synthétiseur à commandes optiques sur la base des travaux de Arseni Avraamov qui explore les douzièmes de ton. A Saint-Pétersbourg, Georges Rimsky-Korsakov (1901-1965), le petit fils du célèbre compositeur, fonde une société pour la musique microtonale, édite une brochure théorique (Bases du système musical des quarts de ton, en russe, De musica, Léningrad, 1925) et organise concerts et conférences. Il est à l'origine de l'Emeriton, un instrument construit par A.A. Ivanov, V. L. Kreystern et V. P. Dzerzhkovitch. En Allemagne, plusieurs facteurs développent des instruments microtonaux. Willi Mollendorff construit un harmonium bichromatique à quarts de ton dès 1917. Baptisé à l'origine Elektrophon, le Sphérophone de Jorg Mager, inventé en 1921, est présenté au Festival de musique de Donaueschingen en 1926. C'est le premier instrument de l'histoire capable de produire des quarts, sixièmes et huitièmes de ton. Le son est généré par interférence de deux tensions à haute fréquence et sa hauteur est controlée par un condensateur variable à manivelle (Sphérophone à manivelle). Dans les versions ultérieures, Mager relie directement les touches du clavier à une série de condensateurs (Sphérophone à clavier). A la même époque, la société August Forster fabrique plusieurs pianos à quarts de ton selon le modèle des trois claviers proposé par Wyschnegradsky, pour Haba et Wyschnegradsky, ainsi que des harmoniums à quarts et sixièmes de ton. V. Kolhert fabrique des clarinettes à quarts de ton selon un modèle déposé par Richard Stein. AloÏs Haba commande également des

19

guitares, des trompettes et des cors à quarts de ton au facteur Fr. Haëckel installé à Dresde. A Leipzig, le compositeur et violoniste d'origine mexicaine, Julian Carrillo, violon solo de l'orchestre du Gewandehauss, construit lui-même ses propres instruments sur lesquels il expérimente les micro-intervalles (cithares en tiers de ton et harpes en seizièmes de ton). Il fait également construire en 1957 une série de quinze pianos metamorfoseadores accordés sur une division particulière du ton (demi, tiers, quarts etc. jusqu'aux seizièmes de ton) par la maison Sauter. Le compositeur Mordecai Sandberg (1897-1973) fait construire en 1926 par la société Straube un harmonium à quarts de ton doté d'un clavier de cinq octaves et possédant vingt-quatre notes par octave. Thais années plus tard, la même maison fabrique un harmonium à douzièmes et seizièmes de ton, équipé d'un clavier ordinaire à douze touches par octave s'étendant sur cinq octaves. L'ensemble du clavier a un ambitus total d'une quarte juste. A Salzburg, le compositeur Franz Richter-Herf (1920-1984), directeur du Mozarteum, fait construire en 1974 un orgue ekmelique à douzièmes de ton. C'est à l'opéra de Paris que sont présentées les ondes musicales de Maurice Martenot, le 20 avril 1928, dans un poème symphonique de Dimitrios Levidis. L'instrument à clavier est muni d'un ruban métallisé qui se déplace latéralement. L'index de la main droite s'insère dans un anneau et permet de guider le ruban en regard de repères disposés le long du clavier. Le ruban offre la possibilité de produire des micro-intervalles jusqu'au cinquantième de ton, ou des glissando quasi-continus par balayage latéral. Sur la gauche se trouve un petit tiroir où sont disposés des boutons de registrations qui règlent les combinaisons de timbres et une touche d'intensité qui commande le volume sonore. Avec une étendue de sept octaves, le Martenot est un des rares instruments électroniques du début du siècle qui a trouvé sa place dans la musique classique. La commercialisation de l'instrument est entreprise par la maison Gaveau dès 1929. En 1947, à l'initiative de Claude Delvincourt, est créée une classe d'Ondes Martenot au Conservatoire de Paris. La version proposée en 1991 est une version entièrement numérisée, qui intègre tout type de micro-intervalles. Le Martenot 91 couvre une étendue de neuf octaves avec seulement six octaves de clavier et permet de produire des micro-intervalles jusqu'au 1/112 de ton. Quatre

20

pédales modifient le timbre et atténuent les diffuseurs (Principal, Métallique, Résonance, Palme, ...). Aux Etats-Unis les instruments se sont développés en relation avec les recherches sur l'intonation juste. Harry Partch (1901-1974) adapte plusieurs instruments aux nouvelles échelles, guitares, altos et marimbas. Il développe à partir de 1941, un orgue fondé sur le système monophonique à 43 degrés, appelé le chromelodeon. Un peu plus tard, Ivor Darreg construit une série d'instruments de la famille de la megalyra. George Secor invente le scalatron un orgue à claviers modulables comprenant trente et une touches par octave. Les instruments électroniques ont progressivement intégrés les micro-intervalles. Du premier dynamophone inventé par l'américain Thaddeus Cahill et présenté à Washington en 1900, qui est considéré comme le premier instrument électronique de l'histoire musicale, aux réalisations les plus récentes, un long chemin a été parcouru dans l'acquisition, la maîtrise et le rendu des sons musicaux. Le timbre des instruments s'est progressivement amélioré. Le Therminvox inventé par Lev Thermin est un instrument monodique qui s'étend sur trois octaves. La hauteur du son monte lorsque la main droite de l'utilisateur approche une antenne connectée à un condensateur variable; plus la main s'en éloigne, plus le son baisse. De la main gauche, l'instrumentiste règle le volume sonore. Le Therminvox fut présenté à l'Hotel Esplanade de Berlin en 1923, puis à Francfort et Paris en 1927. Emigré aux EtatsUnis, Thermine perfectionna son instrument et lui ajouta un clavier. En 1929, la firme RCA se chargea de le produire en série. La même année fut créée à Cleveland la First Airphonic Suite pour Therminvox et orchestre de Joseph Schillinger (1895-1943). Un an plus tard, Friedrich Trautwein (1888-1953) présentait le trautonium au Festival Neue Musik à Berlin. Après quelques améliorations, le trautonium devint un instrument polyphonique, qui fut rebaptisé pour l'occasion le Mixtur- Trautonium. L'instrument fut commercialisé en 1932 par la firme Telefunken mais peu d'exemplaires furent vendus. Paul Hindemith a écrit un Concerto pour trautonium (1931), Harald Genzmer un Concerto pour trautonium (1940) et un Concerto pour Mixtur-Trautonium (1952). D'autres compositeurs, Werner Egk, Paul Hoffer, Helmut Riethmüller, Richard Strauss, Julius Weismann ont aussi écrit des pièces pour cet instrument. Dédicataire et interprète de nombreuses œuvres, Oskar Sala a passé sa vie à défendre l'instrument. Mais c'est dans des instruments plus

21

récents encore que les micro-intervalles furent intégrés à cette nouvelle lutherie. Inventé par Jean-Etienne Marie, le CERM (Complexe Expérimental de Recherches Musicales) est un synthétiseur dédié aux travaux sur les micro-intervalles. Le Mutabor (Mutierende Automatisch Betriebene Orgel) a été construit sous la direction de Rudolf Wille par Bernhard Ganter et Harmut Henkel du groupe "Musique et Mathématique" de la Technische Hochschule de Darmstadt. L'Unité Polyagogique et Informatique du CEMAMu ( UP/C) a été inventée par Iannis Xenakis. Enfin, la 4X, qui est un instrument développé en 1980 par G. Di Giugno pour l'IRCAM, marque un sommet et un tournant dans l'élaboration de la nouvelle lutherie.

22

1
Mathématiques musicales

Comme la quadrature du cercle, la complétion du cycle des quintes est un problème qui ne peut être résolu. C'est pourquoi il y a eu, au cours des siècles, une multitude de systèmes acoustiques visant à exprimer, tant bien que mal, la justesse des intervalles naturels. Dans leur grande majorité, les sytèmes proposés offraient une solution de compromis sur la base de la quinte ou de la tierce tout en préservant la structure d'octave. Mais au début du XVIIIe siècle, le système tempéré s'imposa et mit fin - pour un temps - à toutes discussions. Au xxe siècle, avec l'émergence des micro-intervalles et la redécouverte des instruments d'époque, l'intérêt pour les systèmes acoustiques a pris un nouvel essor.

1.1

Rapports acoustiques et unités

Pour apprécier numériquement l'écart entre deux sons, on forme le rapport des fréquences de ces deux vibrations. On définit le rapport acoustique comme étant le rapport numérique des fréquences modulo le rapport d'octave du système acoustique dans lequel on travaille. Ce rapport ne tient pas compte des redoublements d'oc-

tave et prend ses valeurs dans un intervalle fini borné par la valeur du rapport de l'unisson (1) et la valeur du rapport d'octave (en général 2). Le rapport acoustique caractérise l'intervalle musical: dans le système tempéré, toutes les octaves ont un rapport 2; dans le tempérament égal à quintes justes (TEQJ) de Serge Cordier, le rapport d'octave excède de peu le rapport d'octave naturelle (3/2)12/7 == 2.003875... Dans le système harmonique, les rapports acoustiques des intervalles sont des nombres rationnels simples issus de la résonance naturelle: l'unisson (1), l'octave (2), la quinte (3/2), la quarte (4/3), la tierce maj eure (5/4), la tierce mineure (6/5), le ton majeur (9/8), le ton mineur (10/9). Pour mesurer et exprimer l'intervalle musical, on utilise des représentations logarithmiques car, selon la loi de Fechner, la sensation varie comme le logarithme de l'excitation. De là, dérivent les principales unités de mesure le savart et le cent. La valeur en savarts de l'intervalle séparant les notes de fréquences VI et V2 vaut
1000 In(2)" In( VI savarts V2)

et en cents
1200 VI .ln( cents V2) In(2) Le savart est le plus petit intervalle perceptible par l'oreille humaine. Il vaut environ quatre cents et se note par la lettre a. Le cent est le centième d'un demi-ton du système harmonique ou tempéré. Il se note par le symbole c . L'octave naturelle vaut 1200 cents ou 301.03 savarts (soit environ 300 savarts). D'autres unités plus anciennes (commas, diésis, leimma, schisma,...) servent à dénommer des intervalles particuliers.

. Le schisma est la différence entre un comma pythagoricien comma zarlinien. Il vaut 1.954 cents ou 0.490 savart.
schisma
==

et un

1 S ch

==

1 comma pythagoricien 1 comma syntonique

_ 38.5 _
-

32805

215 - 32768

.

Le comma syntonique (Cs) ou comma zarlinien ou comma de Didyme est la différence entre une tierce majeure pythagoricienne 24

(81/64) et une tierce naturelle (5/4). Il vaut 21.506 cents ou 5.395 savarts. 1 tierce pythagoricienne 1 tierce naturelle

Comma syntonique

_

==

34 81 - - 24.5 80

_

.

Le comma holdérien est l'intervalle élémentaire du tempérament

égal à 53 degrés par octave. Il vaut 22.642 cents ou 5.680 savarts.
comma holdérien
== 21/53

Il correspond approximativement au neuvième de ton et est adopté par la majorité des manuels de théorie musicale dans lesquels il est expliqué que le ton est formé de neuf commas, le demi ton chromatique de cinq commas et le demi ton diatonique de quatre commas.

. Le comma pythagoricien est la différence entre douze quintes naturelles (3/2) et sept octaves. Il vaut 23.460 cents ou 5.885 savarts.
comma pythagoricien
==

1 Cp
312

12 quintes naturelles
==

7 octaves

531441 219 - 524288

.

Le comma septimal est la différence entre la septième mineure

pythagoricienne (16/9) et la septième mineure naturelle (7/4). Il vaut 27.264 cents ou 6.839 savarts.
comma septimal
==

septième mineure pythagoricienne septième mineure naturelle 26 64 - 63 32.7
élémentaire du système trice-

.

Le diesis de Fokker est l'intervalle

simoprimal dans lequel l'octave est divisée en trente et une parties égales. Il vaut 38.710 cents ou 9.711 savarts.

diesis de Fokker
25

==

21/31

entre l'octave et trois tierces majeures naturelles 41.059 cents ou 10.300 savarts. . comma enharmonlque
==

.

Le comma

enharmonique,

diesis ou grand diesis, est la différence

(5/4). Il vaut 27 53 128 125

Le leimma est la différence entre trois octaves et cinq quintes naturelles. Il correspond à la seconde mineure pythagoricienne. Il vaut 90.225 cents ou 22.634 savarts.
leimma

.

1 octave 3 tierces naturelles

==

==

=

3 octaves

28

5 quintes naturelles

=

35

=

256

243

. L'apotome est la différence entre sept quintes naturelles et quatre octaves. Il correspond à un leimma augmenté d'un comma pythagoricien. Il vaut 113.685 cents ou 28.519 savarts.
apotome
==

7 quintes naturelles 4 octaves

==

37 2 11

==

2187 2048

1.2

Fractions continues

La théorie des fractions continues permet d'approcher un nombre réel quelconque a par une suite de nombres rationnels. L'approximation obtenue est intéressante pour les valeurs irrationnelles de a comme certains rapports acoustiques dont l'expression est complexe et qui peuvent être avantageusement remplacées par une valeur ra-

tionnellle simple de la forme p / q. Soit a un nombre réel non entier. On note [a] la partie entière de a et on définit la suite (xn) de nombres irrationnels par la relation de récurrence Xo == a

{
Si on note an
==

Xn+l

=

Xn

~ [Xn ]
de Xn, tout nombre réel non

[xn] la partie

entière

entier a s'écrit sous la forme d'une somme 1 a ==ao + 1 al + 1 a2 + a3 + . . . 26

où les (ai) sont des nombres entiers naturels. Cette expression est finie si le nombre a est rationnel et infinie si le nombre a est irrationnel. On l'appelle fraction continue de a. Pour caractériser la suite des approximations définit les suites (Pn) et (qn) par les relations Po == ao successives de a, on

qo == 1
ql
==

{

Pl == aOal + 1 Pn+l == Pnan+l +

al

Pn-l

{ qn+l ==qnan+l + qn-l

On appelle convergentes ou réduites d'ordre n de a, les nombres rationnels r n définis par rn
== Pn

qn

== [ao, al, ..., an] == aO +

1
al+

1 +1 an

On démontre alors les propriétés suivantes:

. .
. .

La '\ln '\Ik La

suite (qn) est strictement croissante et tend vers +00 E N, Pn+lqn - Pnqn+l == (-l)n E N, r2k < a < r2k+l suite (r2k) est croissante. La suite (r2k+l) est décroissante.

.

'\ln E N,
I

a--

pn

qn

<J

1 qnqn+l

Puis on démontre le théorème des fractions continues, qui affirme que les suites de rationnels ainsi construites sont les meilleures approximations possibles d'un nombre réel donné. Avec les notations précédentes, la suite (rn) converge vers a. Pour n fixé, rn réalise la meilleure approximation de a parmi toutes les fractions p/q de dénominateur q :S qn. Plus précisément, pour toute fraction irréductible p/q minimisant l'écart
la - ~ I ~ la -

::

I

on a nécessairement P > Pn et q > qn. Exemple. Pour mieux comprendre le mécanisme de calcul de la décomposition en fractions continues, prenons l'exemple de la quarte 27

du système tempéré. Le rapport acoustique de la quarte tempérée

vaut a == 25/12 == 1.334839
douzième de 25. Pour chaque

), nous allons chercher la valeur du rationnel rn approchant a. Pour n == 0, la partie entière de Xo est 1 donc ao == 1. Pour n == 1, on calcule Xl par la relation de récurrence. xl
La partie

C'est un nombre irrationnel, valeur de n (n == 0,1,2,3,

racine

=

1 Xo -

[J = Xo Xo

1 ao

= 2.986502....

entière de Xl est 2 donc al == 2. On calcule de la même manière les autres valeurs x2, x3, x4, etc... On forme enfin les rapports rn en divisant Pn par qn. On obtient les résultats suivants

Xo == a == 1.334839... 1 Xl == == 2.986502... Xo - ao X2 == Xl - al X3 == X2
X4 ==

ao == 1 al == 2

Po == a == 1 qo == 1 Pl ==POal + 1 == 3 ql == al == 2

1

== 1.01368...

a2 == 1

P2 ==Pla2

+ Po == 4

1

q2 == ql a2 + qo == 3 == 73.08678... a3 == 73 P3 ==P2a3 + Pl == 295

1
-

a2

q3
==

==

q2a3 + ql

==

221

X3

11.52273...

a4

a3

==

Il

P4 ==P3a4 + P2 == 3249
q4 == q3a4

+ q2

== 2434

d'où les rapports p/ q : ro == 1, rI == 3/2, r2 == 4/3, r3 == 295/221, r4 == 3249/2434, etc. Le rapport acoustique de la quarte du système tempéré peut donc se mettre sous la forme de la fraction continue infinie
25/12

=

[1,2,1,73,11,

...J

= 1+
2+ 1+

1 1 1

73+ . . .
==

et être approché par les réduites
r3 == 295/221, etc.

ro

-

1, rI

3/2,

r2

-

4/3,

28

1.3

Approximation

des systèmes

acoustiques

Le développement en fractions continues donne une appoximation d'un nombre irrationnel par une suite de nombres rationnels. Ainsi, un nombre qui n'a pas d'expression mathématique simple, peut être introduit dans une texture musicale en lui substituant une expression fractionnaire dont l'approximation est suffisante. C'est le cas, par exemple, du nombre 1r == 3,141592654... dont les réduites ra r3
3, rI == 22/7, r2 ==333/106,

355/113,

r4 == 103993/33102,

...

s'emploient comme nombre équivalent à 1r dans les combinaisons rythmiques. C'est aussi le cas du nombre d'or w==-

1+V5
2

qui intervient dans de nombreuses oeuvres d'art, dans la suite de Fibonacci et dans divers phénomènes naturels et qui peut être approché par ses réduites ra r4
1, 8/5, rI ==2, r2 ==3/2, r3 == 5/3,

rs == 13/8,

r6 ==21/13, acous-

Les premières réduites du nombre d'or sont des rapports tiques naturels: unisson, octave, quinte, sixte majeure.

On peut aussi utiliser le développement en fractions continues pour rechercher une approximation de la complétion du cycle des quintes c'est-à-dire résoudre le problème qui consiste à placer "au mieux" q quintes naturelles de rapport 3/2 dans p octaves, ce qui revient à chercher la fraction p / q qui donne une approximation suffisante de l'équation:

(r=
~

2P

qui n'admet pas de solution pour des valeurs entières de p et q. En prenant le logarithme de l'équation précédente nous obtenons un nombre
!!.

q

= log(~/~) = 0.5849625.... log 2
29

qui admet

pour réduites ro r4

0, rI 7/12,

==

1,

r2

==

1/2,
r6

r3 == 3/5,
== 31/53,

r5

== 24/41,

...

Le dénominateur qn de chaque réduite représente le nombre de quintes qu'il faut parcourir pour revenir dans un voisinage du son de départ et Pn le nombre d'octaves parcourues. Ayant parcouru cinq quintes naturelles, on se trouve trois octaves plus haut dans un voisinage du son de départ, ce qui autorise à construire un système acoustique formé de cinq notes engendrées par la progression des quintes: c'est le système pentatonique chinois. De la même façon, après douze quintes naturelles, on est sept octaves plus haut dans un voisinage de la note initiale. On peut donc construire un système acoustique fondé sur la progression des quintes: c'est le système pythagoricien à douze degrés. Avec les divisions en 41 et 53 degrés, on peut construire d'autres systèmes: ce sont respectivement le système de Janko (41 degrés) et le système de Holder (53 degrés). De manière plus générale, on peut chercher à approcher un système acoustique rationnel quelconque (R) par un système à tempérament égal à k degrés (8). On se donne pour cela un système rationnel (R) dont les rapports acoustiques rationnels sont connus et on cherche un système à tempérament égal dont tous les intervalles sont des puissances de l'intervalle élémentaire de rapport 2I/k. Autrement dit, on cherche à partager le demi-ton chromatique (c) du système (R) en p intervalles élémentaires et le demi-ton diatonique (d) en q intervalles élémentaires. On a donc
c soit à résoudre l'équation
==

2p/k

d

==

2q/k

plog(d) ==qlog(c) Le ton (c + d) du système (R) est formé de (p + q) intervalles élémentaires du système (8). L'octave comprend 5 tons et 2 demitons diatoniques soit (5p + 7q) intervalles élémentaires. La relation précédente peut être développée en fractions continues et conduit à un système tempéré à k degrés avec k == 5p + 7q. Exemple 1. Dans le système pythagoricien, le ton (9/8) est partagé

en demi-ton diatonique (d == 256/243) et en demi-ton chromatique
30

(c

==

2187 /2048). Le rapport

E ==
q
etc. Donc, d'après

log(2187/2048) log(256/243)

==

1 .2600167 53 ....
==

admet pour réduites les nombres p/q
ce qui précède,

1, 4/3, 5/4, 29/23, 63/50,

les nombres

k == (5p + 7q) ==12, 41, 53, 306, 665,... sont de bonnes approximations système tempéré à k degrés. du système pythagoricien par un

Exemple 2. Pour le système mésotonique, on développe en fractions continues le nombre Iog 2187 ( 2048 256 ( 243

p q -

log Dans le cas classique (n

() ()
81 80

81 80

-7n

) )
"au mieux" le système

5n

==

réduites p/q == 0/1,1/1,1/2,2/3,11/17,13/20,50/77, de degrés du système tempéré approchant mésotonique est donc

1/4), le nombre précédent admet pour ... Le nombre

k

==

(5p + 7q) == 7,12,19,31,174,205,789,

...

Comme le système mésotonique est engendré par une quinte (Q) de rapport acoustique ~(81)_n 2 80 une autre façon de procéder est d'approcher, de la même manière que dans le cas de la complétion du cycle des quintes, le nombre q de quintes mésotoniques (Q) qu'il faut pour parcourir p octaves, ce qui revient à résoudre l'équation
q Qq ==

~(81)_n
[ 2 80 31 ]

== 2P

qui n'admet pas de solution pour des valeurs entières développement en fractions continues de

de p et q. Le

p q

log
-

( 2 (80) )
log (2)

3

B1

-n

donne une approximation rationnelle de cette solution. Le dénominateur qi de chaque réduite Pif qi représente le nombre de quintes mésotoniques qu'il faut parcourir pour revenir après Pi octaves dans un voisinage du son de départ. C'est aussi le nombre de degrés k du système tempéré approchant le système mésotonique. Dans le cas classique (n == 1/4), les réduites 0/1, 1/1, 1/2, 3/5, 4/7, 7/12, 11/19, 18/31, 101/174, 119/205, 458/789, ... montrent que les meilleures approximations sont les systèmes tempérés à 7, 12, 19, 31, 174, 205, 789, ... degrés. On retrouve ainsi un résultat déjà obtenu. Envisageons maintenant le problème inverse. Partant d'un système acoustique irrationnel (8), comment construire un système rationnel (R) approchant au mieux le système (8). Là encore, on procède à un développement en fractions continues. Pour cela, on calcule les réduites de chaque rapport acoustique du système (8). Une fois ce travail effectué, on est alors confronté à un problème de choix, étant donné que chaque réduite est un candidat potentiel au rapport acoustique du système (R). On s'impose alors un certain nombre de critères pour choisir la réduite qui convient le mieux. C'est ce qu'ont fait des théoriciens comme Ellis, Williamson et Hammond pour construire des approximations du système tempéré. Le critère de choix de la réduite peut être un critère de proximité ou un critère de primalité. La décomposition en nombres premiers du numérateur et du dénominateur de la réduite conduit à ne retenir des nombres qui ne font intervenir que les n premiers nombres premiers. Ce critère a été utilisé par Harry Partch dans la construction de son losange de tonalité (tonality diamond).

1.4

Groupes

libres
de groupe cyclique. 8i on

Le système tempéré a une structure

note r ==21/12 le rapport acoustique du demi-ton, on constate que
32

toutes les fréquences peuvent être obtenues par élévation à la puissance du rapport r : l'ensemble {rD, rI, r2, r3, , r12} correspond exactement à l'ensemble {do, do#, ré, , do}. Cette remarque se généralise à un système acoustique quelconque à condition d'ajouter des relations de congruence qui permettent de clore le cycle. C'est précisément la structure de groupe libre défini par des générateurs et des relations. Examinons quelques exemples: Exemple 1. Etudions le groupe libre

G ==<
Ce groupe a un générateur

9

laquelle le nombre u

==

37/211 est un rapport de 114 cents environ,

"8' r == 9/8 et une relation u == 1, dans

37 211 ==1 >

qui est assimilé à l'unité. Le groupe de n éléments est constitué des éléments rD,r, r2, r3, , rn modulo la relation u. Les fréquences
Xi
==

riuk (où i ==1,2, ..., n et k est un nombre relatif) forment une

suite croissante Xl < X2 < X3 < < Xn limitée à l'octave, dans laquelle chaque nombre est compris entre 0 et 1. Autrement dit, on peut diminuer ou augmenter chaque fréquence ri par un multiple de 114 cents. Comme il y a plusieurs possibilités de choisir l'entier k, prenons l'élément de hauteur minimale, c'est-à-dire le nombre qui, parmi tous les rapports possibles de la forme Pif qi, est celui

qui a la plus petite hauteur h == max(Pi, qi)
hmin == i~fmax(Pi,qi)
'L

Développons

l'exemple.

Partant

de la note do de rapport

rD

==

1,
==
==

multiplions ce rapport par le générateur, nous obtenons Xl == r 9/8. Multiplions de nouveau ce rapport par r, nous obtenons r2
81/64 ou 408 cents. Mais ce rapport n'est pas de hauteur car il peut être divisé par u (assimilé à l'unité). X2 == 34 211 25 32 == 26 37 == 33 == -:;; 27 r2 minimale,

Ce nouveau rapport (32/27) est plus simple que le rapport précédent (81/64). Nous choisirons donc cet élément X2 == r2/u comme élément

constitutif du système acoustique. Multiplions maintenant veau rapport X2 par r nous obtenons
X3 ==X2r == 4 == 33 23 3 25 32

ce nou-

33

Multiplions encore par r, nous obtenons un nouveau rapport X4 == x3.r == 3/2 correspondant à la note sol. Nous construisons ainsi un

système acoustique par multiplication du générateur r modulo la relation de groupe. Plaçons les résultats dans le tableau suivant.
Notes do ré ml fa sol la
SI

do

Fréq. 1 9/8 32/27 4/3 3/2 27/16 16/9 2

Cents 0 204 294 498 702 906 996 1200

Rapports
XQ == rU == 1

Xl X2 X3 X4 Xs X6 X7

== rI ==x1.r ==X2.r ==x3.r ==x4.r ==xs.r == x6.r

lu == r'2lu == r3/u == r4/u == r5/u /u == rO /u'2 == r7/u2

Le système ainsi obtenu est composé de sept notes. Les systèmes de hauteurs non minimales sont aussi caratérisés par les mêmes générateurs et relations. Le système {l, 9/8, 81/64, 4/3, 3/2, 27/16, 243/128, 2} n'est pas de hauteur minimale. La relation de congruence u == 1 lorsque chaque membre est mutiplié par r, équivaut à la relation 9 256 --- 243 8 qui exprime que, dans le système acoustique considéré, le demi-ton naturel (256/243) est confondu avec le ton naturel (9/8). Exemple 2. Considérons le groupe
9 G==<S' 37 211=1, 34 24=5>

La nouvelle relation exprime le fait que dans le système acous-

tique associé le comma syntonique (81/80 == 34/(24.5) = 1) est négligé. Les deux relations U1 == 37/211 = 1 et u2 == 34/5.24 = 1
sont utilisées simultanément pour déterminer un élément de hauteur minimale. La troisième fréquence est diminuée d'un comma syntonique 81 80 5 2 X2 == r / U2 ==

64 81 =="4

34

Le système acoustique obtenu est {I, 9/8, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 15/8, 2}. C'est le système zarlinien diatonique. Exemple 3. Modèles à deux générateurs. Considérons un groupe libre à deux générateurs, par exemple le groupe
312

G

==<

10/9,

9/8,

219 ==

1

>

Désignons par r et s les deux générateurs, r == 10/9 et s == 9/8, et notons u == 1 la relation de congruence. Les éléments générateurs engendrent tous les produits de la forme ri s{ c'est-à-dire les nombres r, s, r2, r s, s2, r3, r2 s, r s2, s3, etc... Ces produits sont soumis aux relations de congruence pour donner des éléments de hauteur minimale. On pourra vérifier que le système acoustique ainsi obtenu est formé de 26 degrés: 1, r == 10/9, s == 9/8, r2 == 10/81, etc... Exemple 4. Considérons le groupe G
28
==<

34

10/9,

9/8

35 ==

1

24 ==

5

>

qui correspond au modèle précédent avec des relations différentes. Ce modèle engendre un système acoustique de neuf degrés seulement, car de nombreuses relations conduisent à une même fréquence. On a par exemple r3 == r2.s == r.s2 == s3 == 3/2. Ces rapports sont présentés dans la table suivante.
Fréq. 1 Cents 0 Rapports
rU
== SU

10/9 9/8 5/4 4/3

3/2
5/3 27/16 16/9 15/8 2

182 204 386 498 702
884 906 996 1088 1200

r s rs
r'2 r4
== s'2

r3 == r'2 s == rs'2 == s3
==

rs3

s4 r4s
r5

== r3s == rs4 r3 s'2

r'2s'2
==

s5 == r'2 SO ==

Désignons par Pl, P2, P3,..., Pn des nombres ordre croissant, et par r le nombre _ ao bo Co lo r - Pl P2 P3 Pn 35

premiers,

rangés

par

Soit H le groupe
Pn et K le groupe

engendré
engendré

par les n nombres
par les n relations

premiers

Pl,

P2, P3,...,

ai bi li Pl P2 ...Pn - 1 ==

avec i == 1, ..., n

On démontre le résultat suivant. Le nombre r est un générateur du
groupe quotient H / K si et seulement si le déterminant an bn
Cn
==

~ vaut :i::1

ao
bo ~== Co lo

al b1
CI

a2 b2
C2

::i: 1

Il

ln

Exemple

1. Pour le groupe

libre 9 37 1 > 211 =
==

G

==< "8'

les différents paramètres s'écrivent sous la forme r
et la relation 2-11.37 = 1, ce qui conduit

2-3.32

==

9/8,

au déterminant

~

=
I

-;3

-il

1= -21 + 22 = 1
II associé au groupe

Exemple 2. Le tempérament Iibre
28 G==<35'

de Kirnberger
312 219=1,

34 24=5>

On a trois nombres

permiers

3. Le générateur

du groupe r

et Co == O. La première nombres

b1 == 12 et CI == O.La deuxième relation 2-4.34.5-1 = 1 conduit aux a2 == -4, b2 == 4 et C2 == -1. Ces paramètres conduisent au déterminant
8 -19 -4

(2, 3, 5) donc un déterminant d'ordre 28.3-5.50 d'où ao == 8, bo == -5 == relation 2-19.312.50 = 1, donne al == -19,

~

==

-5

12

4

== 1

o

0

-1

!5 ~~9
1

==

-(96 - 95)

==

-1

36

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