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Philosophies des mathématiques et de la modélisation

De
365 pages
Comprendre le rôle économique que jouent les mathématiques est essentiel pour situer les enjeux de la formation des jeunes et des futurs ingénieurs. L'auteur montre que la recherche mathématique consiste à faire le travail inverse de celui d'un ordinateur. Cette intéressante image s'appuie sur les travaux les plus récents des logiciens. De plus, la modélisation, qui est devenue l'activité principale de l'ingénieur, permet d'utiliser les mathématiques directement, sans qu'elles soient la servante des disciplines traditionnelles.
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PHILOSOPHIE

DES

, MATHEMATIQUES

, ET DE LA MODEUSATION

@ L' Harmattan, 1999 ISBN: 2-7384-8125-6

Nicolas BOULEAU

,
PHILOSOPHIES DES MATHEMATIQUES , ET DE LA MODEUSATION

Du chercheur

à l'ingénieur

L'Harmattan 5-7, rue de l'École Polytechnique 75005 Paris FRANCE

-

L'Harmattan Inc. 55, rue Saint-Jacques Montréal (Qc) - CANADA H2Y IK9

Du même auteur Dialogues autour de la création mathématique Librairie Interférences, Paris, 1997 Martingales et marchés financiers Odile Jacob, 1998.

AVANT-PROPOS

UNE CARACTERISATION PHILOSOPHIQUE RECENTE DES MATHEMATIQUES ET SES CONSEQUENCES VIS-A-VIS DE L'INFORMATIQUE ET DE LA MODELISATION Compter des objets pour les disposer ou les répartir, tracer des lignes pour donner forme à la matière sont des activités dont l'origine est aussi reculée que celle du langage lui-même. Elles font partie du savoir à transmettre,

mathema [J.la81lJ.la] instruction provient de la racine math,
manth, agiter, d'où penser, apprendre. Depuis l'aube des civilisations il y eut un souci "d'apprentissage de la pensée" matière à enseignement qui fut la source commune de la philosophie et des mathématiques. L'histoire nous montre alors entre ces deux disciplines un jeu à rebondissements de dissociations et de retrouvailles, les spécificités de chacune enrichissant les méthodes et les questionnements de l'autre. Chez les Grecs, depuis les Eléates jusqu'à Archimède, les mathématiques, quoiqu'ayant des exigences propres, sont accueillies tout naturellement au sein même de la philosophie. Platon parle de l'irrationalité de racine de 2 et s'appuie sur la géométrie pour faire comprendre sa théorie des Idées. Par ce texte célèbre de La République où il rappelle que les géomètres construisent des raisonnements sans avoir à l'esprit les figures qu'ils tracent "mais les figures parfaites dont celles-ci sont les images", il tente de faire entrevoir l'Idée de justice au dessus des justices particulières et partisanes. Cette analogie eut une influence si considérable sur la façon de penser les mathématiques que celles-ci furent longtemps et sont encore souvent assimilées 7

aux Idées platoniciennes. Pourtant des problématiques nouvelles, venues des Arabes, apparaissent au seizième siècle, inconnues des Grecs, liées aux notations symboliques. Une formule est découverte pour résoudre l'équation du troisième degré. L'algèbre se développe durant les dix-septième et dix-huitième siècles, splendide période européenne des mathématiciens - philosophes et des philosophes - mathématiciens.Elle viendra féconder la géométrie par la géométrie analytique et le calcul différentiel. C'est aussi l'époque des grands amateurs de Francis Bacon à l'abbé Mersenne durant laquelle la pensée mathématique n'a pas de cadre général ni de frontières précises. Sous le vocable de métaphysique les questions ontologiques, relatives aux entités abstraites telles que les nombres imaginaires et les infiniment petits, y ont pleinement droit de cité. Cette vision graduelle est celle que brossera d'Alembert dans L'Encyclopédie qui caractérise bien, a posteriori, la période prémoderne en mathématiques. Après le Révolution française cependant, mathématiques et philosophie prennent des chemins divergents. En France, l'importance donnée aux sciences dans la formation de l'élite sous la Convention et sous l'Empire joue un rôle déterminant mais le phénomène est européen. A partir de cette époque le développement des mathématiques se présente comme un jaillissement tumultueux d'une fécondité extraordinaire, en particulier pour la physique, mêlé de controverses vives et passionnées (géométries non-euclidiennes, nombres transfinis de Cantor) et de deux crises à propos des fondements: celle du paradoxe de Russell au début du vingtième siècle écartant la possibilité d'une base philosophique simple aux mathématiques telle que l'avait souhaitée Frege, puis celle de l'échec du programme de Hilbert dans les années trente imposant de penser la stabilité de l'édifice de façon définitivement risquée. Cette période mouvementée engendre une succession fort 8

intéressante de courants philosophiques propres aux mathématiques, logicisme (Russell), intuitionnisme (Brouwer), etc. Mais pendant ce temps la grande philosophie s'est emparée de problèmes plus importants. Avec Hegel dont la logique n'est plus mathématique, Schopenhauer, Nietzsche, puis Heidegger, elle se détourne, parle d'histoire, du bien des hommes, en ce lieu où était la religion précédemment. Elle s'intéresse aux forces et aux pouvoirs qui orientent l'avenir des peuples. Elle n'a que faire des mathématiques pour cela surtout si difficiles et si techniques. D'ailleurs les philosophes ne connaissent plus si bien les mathématiques. Même Husserl, qui avait débuté comme assistant de Weierstrass, se tournant à la fin de sa vie à nouveau vers les mathématiques, prône pour celles-ci des fondements nomologiques c'est-à-dire sans équivoque, alors que vingt ans auparavant les logiciens avaient montré que seules des théories sans intérêt mathématique pouvaient avoir de telles propriétés. A cet égard la philosophie d'Albert Lautman puis le vaste projet structuraliste de Bourbaki au milieu du vingtième siècle peuvent être vus comme des retrouvailles avec la philosophie à travers les préoccupations méthodologiques des sciences humaines. Mais l'édifice bourbachique débouche sur une sorte de formalisme structural qui sera lui-même caricaturé par les excès d'abstraction formelle des "maths modernes" dans les lycées et collèges. La volonté unitaire puis la dérive formaliste de Bourbaki peuvent être mises en parallèle avec la problématique de la ville avec la Charte d'Athènes et l'urbanisme opérationnel d'après guerre qui dérive lui aussi vers des formes vides de sens, les grands ensembles, que dénonceront les initiateurs du post-modernisme Henri Lefèbvre et Robert Venturi, en réclamant des significations au lieu de rationalisations schématiques de besoins et de fonctions. Autant l'œuvre de 9

Bourbaki reste pour les mathématiciens contemporains une référence de première grandeur par le talent exceptionnel des membres du groupe, autant la période "maths modernes" qui s'en inspira pour rénover la pédagogie fut une catastrophe dont on n'a pas encore fini de mesurer l'ampleur tant elle traumatisa la génération qui fait aujourd'hui l'opinion. Nouvelle divergence. Les cheminements de la philosophie mathématique qu'ont évoquée chacun à sa manière, Auguste Comte, Léon Brunschvicg et d'autres et qui s'est grandement enrichie au vingtième siècle, constituent maintenant une des plus belles épopées qu'ait produites la civilisation. Elle se déroule en une symphonie authentique dont les historiens nous font revivre des passages en les interprétant comme de bons musiciens. Les épisodes récents n'effacent pas, en vérité, les problématiques séculaires qui restent présentes sous d'autres formes comme des reprises ou des contrepoints d'airs anciens. Au demeurant, dans le dernier tiers du vingtième siècle, l'ensemble de ce patrimoine culturel s'est vu confronté à un ordre de faits nouveau: l'informatique avec toute la force et la fulgurance de son développement technique. Ce bouleversement social, considérable à bien des égards, portait notamment atteinte aux relations entre les mathématiques et les méthodes d'ingénieurs dans la vie économique. Aussi les logiciens-mathématiciens, mus par le désir de mieux comprendre les spécificités de cette nouvelle pratique dont ils s'estiment (non sans arguments si l'on pense à Turing et à Von Neumann) les inventeurs, se sont penchés sur l'algorithmique et les langages de programmation. Il en est résulté ce qu'on peut appeler véritablement une découverte philosophique: une contribution majeure à l'édifice culturel de compréhension des mathématiques qui nous propose une image de l'activité mathé10

matique, issue de la logique et portant en elle les questionnements les plus vivants des travaux contemporains. Pour qu'une image soit pertinente, il faut qu'elle porte la trace des diverses oppositions, dualités ou concepts dégagés par la philosophie. A cet égard l'image syntaxique fournie par le logicisme est très pauvre car elle confond les mathématiques actuellement connues et leur système formel complètement décliné. L'image des preuves et des réfutations proposée par Lakatos est déjà plus intéressante. Celle-ci présente l'activité mathématique comme un jeu d'hypothèses et de conjectures où alternent tentatives de démonstration et de réfutation. Elle donne place à la problématique de la représentation et s'accorde, dans une certaine mesure, au travail non-automatisé du chercheur. Sa principale faiblesse est de faire croire que les avancées mathématiques se font exclusivement par la résolution de conjectures, alors que l'histoire nous montre plutôt cellesci comme des scories laissées sur le côté par les théories dans leur cheminement. Les renouvellements qui constituent des apports historiques significatifs apparaissent davantage comme des idées éclairantes qui viennent simplifier la combinatoire relationnelle des situations rencontrées. L'image récemment découverte est plus subtile, plus profonde aussi, elle est liée à l'informatique. On sait que la plupart des langages de programmation, comme le Pascal par exemple, sont dits "de haut niveau" parce qu'ils doivent subir une opération appelée "compilation" avant d'être exécutables. L'utilisateur écrit un programme, le programmesource, en Pascal, travail qui reste assez proche de la pensée mathématique. Puis ce programme est compilé, opération qui s'apparente au codage d'un message, et qui fournit le programme-code que la machine peut exécuter, composé de zéros et de uns et incompréhensible pour quiconque n'est pas un spécialiste du compilateur. Ainsi le proIl

gramme-source écrit en langage de haut niveau est compréhensible, et le compilateur le transforme en un programme-code exécutable mais incompréhensible. L'image proposée du travail du mathématicien est alors la suivante: il a pour tâche, à partir d'un programme code, de reconstituer un programme-source. Autrement dit, en observant ce que fait la machine avec ce code incompréhensible, tenter de reconstituer des procédures et des instructions qui restent en relation de rigueur avec le code et soient intelligibles. C'est un décryptage mais dans un langage à inventer: un décryptage interprétatif et créatif. Ce n'est pas une philosophie des mathématiques, il ne s'agit que d'une image. Au demeurant elle fournit d'abord un argument nouveau contre le déterminisme de la connaissance, car elle montre que le travail peut se faire de diverses façons suivant le talent interprétatif du chercheur. Ensuite, partant du fait que la situation mathématique à décrypter est déjà partiellement interprétée, elle réhabilite le rôle du passé. Or les mathématiciens savent bien, malgré les tentatives des logicistes et des formalistes pour le dissimuler, que les notions apparaissent toujours reliées à des problématiques historiques. En effet, comment procède le travail mathématique? Dans la plupart des situations qu'on appelle concrètes parce que les signifiés en sont déjà posés, la difficulté vient de ce qu'on se trouve devant l'inextricable. Que les notions viennent de la physique, des sciences de l'automatique, de l'économie, des problèmes d'ordonnancement, ou de modélisation de l'environnement, des symbolisations ayant été effectuées à partir des représentations fournies par les disciplines concernées et issues de leur histoire propre, on débouche non pas sur une vision claire mais sur un enchevêtrement de signes et de relations. Faite de bribes de compréhension, de déductions naturelles qui s'entrelacent et se répercutent les unes sur les autres, cette complexité 12

est une désolation, le constat de notre impuissance à maîtriser la situation. Elle est une provocation et un appel vers la mathématique: le sens actuel ne suffit pas à faire comprendre les relations. Le travail du mathématicien est exactement inverse de celui de l'ordinateur, il est créateur de sens et de simplicité. Tout questionnement sur des combinatoires symboliques complexes à simplifier est légitimement mathématique. Pour cela l'outil principal est sémantique: inventer des idées simplifiantes. C'est ce qu'ont fait les mathématiques au cours des siècles et c'est la raison pour laquelle elles rendent service aux autres disciplines. Les exemples sont innombrables. Nous en expliciterons un grand nombre dans cet ouvrage. Cette image nous suggère également qu'il doit y avoir plusieurs façons de comprendre les syntaxes. C'est bien d'ailleurs ce que nous enseigne la logique, les mathématiques ont plusieurs interprétations. C'est grâce à l'une de ces interprétations non-standard qu'Abraham Robinson réussit au vingtième siècle à revivifier l'intuition des infiniment petits de Leibniz délaissée depuis plus de trois siècles. Mais l'histoire avait déjà fournit des interprétations multiples d'une même théorie mathématique. Un cas typique est celui de la théorie du potentiel qui s'interprète par la gravitation newtonienne, l'électrostatique, la théorie de la chaleur et aussi les probabilités. Cela modifie radicalement la vision courante des mathématiques. Nous arrivons à une conception polysémique, fort éloignée de toute forme de réalisme, qui rapproche les mathématiques des ontologies relativistes de Nietzsche, de Feyerabend et de Latour mais surtout de Quine dont les idées prennent une ampleur et une portée immenses dans les applications. En effet, du côté de l'usage des mathématiques par l'ingénieur, ce qu'on appelle souvent les mathématiques appliquées et que nous préférons appeler, pour de multi13

pIes raisons, mathématiques mixtes, selon l'expression de Bacon, l'informatique a été un bouleversement encore plus grand: c'est la révolution de la modélisation. Celle-ci consiste à représenter, grâce aux symbolismes mathématisés des sciences et des sciences de l'ingénieur (qui en sont des versions simplifiées utiles) des situations rencontrées dans l'industrie, en économie ou dans les questions d'environnement et de les calculer pour en dégager des propriétés ou en prévoir l'évolution, grâce à des procédures algorithmiques. L'art de la modélisation, ses enjeux, ses méthodes de validation, sa pertinence pour préparer les actions des agents économiques se comprennent grâce à des exemples. Aussi analyserons-nous les problématiques de modèles dans de nombreux champs d'activités afin d'illustrer la variété des discours semi-artificiels et leurs enjeux sociaux. La modélisation est aujourd'hui appréhendée de façon ambiguë tant par ceux qui la font que par ceux qui la rencontre dans l'élaboration des décisions. Elle pâtit des avatars de la pensée moderne sur la science et en particulier de la conception des mathématiques comme vérité apodictique, qui imprègne encore profondément les mentalités. Or l'examen des talents que requiert cette activité dans les situations opérationnelles fait ressortir des caractéristiques fort différentes de celles que la quête d'objectivité avait données à la grande science, parangon du savoir dans les productions disciplinaires classiques: a) La pluralité des façons de modéliser une même situation n'est pas une virtualité épistémologique mais la donnée concrète immédiate des modélisateurs tant au niveau des catégories paradigmatiques dans lesquelles la représentation s'élabore qu'à celui des outils syntaxiques extraits des corpus scientifiques ou pré-scientifiques qui vont permettre de construire le discours semi-symbolisé. La validation et la confrontation au réel par les mesures ne 14

permet pas de dissiper cette pluralité d'approche. Par l'augmentation du nombre des paramètres chaque théorie est indéfiniment perfectible et reste en lice avec ses rivales. La problématique relève typiquement de la philosophie quinienne. Les théories popperiennes c'est-à-dire réfutable par l'expérience, sont non seulement rares, mais si exceptionnelles que se restreindre à cette norme revient à s'interdire les représentations les plus utiles aux acteurs sociaux. b) La pertinence d'un modèle, sa valeur dans tous les sens de ce terme, dépend de l'usage qui en est fait au point que son élaboration ne saurait se faire en oubliant cette référence. Dans de nombreuses situations, l'intelligence ne peut pas se mettre en œuvre et n'a pas prise sur le réel si on ne sait pas à qui le modèle va servir. L'analogie avec un projet d'architecture est assez correcte pour servir de canevas à une pragmatique des modèles. Pour aller plus loin dans l'analyse, il convient de penser de façon nouvelle le rôle des mathématiques dans les représentations utilisées: il est celui d'une linguistique de représentations symboliques utilisant des éléments sémantiques des grandes sciences, des sciences de l'ingénieur et des éléments spécifiques du modèle, en un langage de même nature que le langage ordinaire, augmenté de possibilités syntaxiques et sémantiques nouvelles. Son usage social est moins celui des individus que des agents économiques et politiques (entreprises, collectivités, administrations). Autant dire qu'il est de toute première utilité. Par rapport à la langue vernaculaire la modélisation n'est pas un métalangage mais un récit fait de matériaux plus élaborés que les mots, soumis aux mêmes risques de tricherie, de contagion, de conclusions partisanes que tout discours utile au sujet qui l'énonce. Je décrirais volontiers la situation présente engendrée par le développement de la modélisation comme appelant une philosophie qui reste à faire, comme un chantier de la 15

pensée, indispensable pour surmonter les contradictions de l'environnement. Au moment où le jeu historique complexe de la science et de la philosophie prenait des allures de discorde et de bouderie, Heidegger ayant pu dire que les sciences ne pensent pas, et Habermas lui ayant emboîté le pas en ajoutant qu'elles ne savent pas ce qu'elles font, voilà un troisième personnage qui entre en scène: une jeunette, la modélisation, qui, elle, pense utile et agit. Pense-t-elle vraiment? Sait-elle ce qu'elle fait? Dans un premier temps elle élabore un langage différent et pour cela il suffit qu'elle serve, ce qui est beaucoup. Avec un certain sourire à la grande science et à la philosophie, elle a la spontanéité et la force de ce qui est vivifiant.

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* * *

Les matériaux de cet ouvrage proviennent d'une part de discussions avec des collègues mathématiciens notamment Laurent Schwartz, Gustave Choquet, Paul Malliavin, Paul-André Meyer, David Nualart, Nicole El Karoui, Richard Gundy, Masatoshi Fukushima, Denis Feyel et Gabriel Mokobodzki qui sont réunis dans Dialogues autour de la création mathématique, 1997, (librairie Interférences), d'autre part d'un cycle de conférences "Modèles et sciences de l'ingénieur" qui s'est déroulé de 1995 à 1997 à l'École des Ponts. De nombreuses idées sont donc des traductions par mes soins provenant d'origines variées. Je suis particulièrement redevable pour leurs échanges de vues à Dominique Bourg, Vidal Cohen, Michel Cohen de Lara, Amy Dahan-Dalmedico, Robert EYlnard, Jean-Louis Krivine, Daniel Sibony et Bernard Walliser. L'accueil fait à la conférence "Les mathématiques langage de la cOlnplexité" que j'eus l'occasion de prononcer lors de la journée recherche du Groupe des Écoles d'Ingénieurs de Paris placée sous le thèlne "Quelles mathématiques pour l'industrie et la recherche de demain ?" me résolut à réunir ces idées sous une forme plus explicite.

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PREMIERE

PARTIE

FONDEMENTS DES MATHEMATIQUES ET PHILOSOPHIE

La fécondité est en effet nécessaire, c'est aussi en la matière le tribunal qui juge en dernier ressort, celui devant lequel tout le Inonde s'incline. David Hilbert, Sur l'infini, traduction d'André Weil.

S'agissant de mathématiques, les propos qui suivent seront-ils compréhensibles par un non spécialiste? Parlerai-je d'analyse harmonique, d'algèbre extérieure, de nombres p-adiques, de variétés et de faisceaux? Les mathématiques nous accablent d'un ésotérisme tel, que plus aucun mathématicien n'en comprend la totalité. Jean Dieudonné fut probablement le plus encyclopédique des mathématiciens de la seconde moitié du vingtième siècle, encore ne s'est-il pas intéressé autant qu'au reste à la logique ni aux probabilités. Au dix-huitième siècle, des esprits de cette envergure étaient capables d'embrasser toute la science de leur temps. Il est peu vraisemblable qu'il se trouvera un tel savant dans la génération à venir pour les seuls mathématiques. Faut-il le regretter? Est-ce un enjeu indispensable? Incontestablement - c'est un fait d'expérience que

chacun peut vérifier - il nous est plus désagréable de mal
comprendre des considérations mathématiques que des textes philosophiques ou psychanalytiques. Pourtant ceuxci ne sont pas de reste, à l'occasion, quant à l'opacité et l'hermétisme. La raison tient probablement au fait que nous savons qu'en mathématiques si on perd le filon perd tout. Cette frustration empêche de se laisser aller à la suggestion et prive du plaisir d'apprécier la beauté. Aussi, la réflexion que je propose sur les mathématiques d'aujourd'hui n'est pas un état des lieux ni une expé-

dition dans un domaine spécialisé. C'est - suivant une
démarche qui a fait ses preuves - de faire une présentation critique des principales thèses philosophiques concernant les mathématiques et leur développement historique

puis, de tenter une lecture claire - et j'espère motivante de la problématique contemporaine. Ceci ne nous entraînera dans aucune technicité, sauf, il est vrai, celle que l'on 20

rencontre dans la question des fondements. Elle est inévitable pour la compréhension philosophique, nous la limiterons aux phénomènes essentiels. Ayant pris le parti pour la clarté de ce livre de séparer les mathématiques pures des mathématiques appliquées, je dois préciser un tant soit peu ces catégories. Il s'agit d'un vieux débat philosophique qu'ont abordé Aristote, Bacon et d'autres, marqué par la fameuse thèse de Kant des énoncés synthétiques a priori qui donna à cette question une résonance métaphysique: "Il faut remarquer tout d'abord que les propositions vraiment mathématiques sont toujours des jugements a priori et non empiriques, puisqu'elles comportent la nécessité qu'on ne peut tirer de l'expérience. Que si l'on ne veut pas admettre cela, eh bien! je restreins ma proposition à la mathématique pure dont le concept exige déjà qu'elle ne contienne aucune connaissance empirique mais une connaissance pure a priori"l. Nous reviendrons à plusieurs reprises sur cette thèse kantienne qui fut au cœur des discussions épistémologiques durant la première moitié du vingtième siècle. En tout état de cause, elle ne fournit pas, par elle-même, un critère, elle renforce simplement l'intérêt d'une démarcation. Les Anciens ne voyaient pas les choses ainsi et s'accommodaient plus naturellement du fait que les mathématiques pussent être liées aux applicatiol1s, à l'architecture, aux machines, et néanmoins utiliser des déductions rigoureuses. Archimède reste ingénieur lorsqu'il montre, et force la conviction par un argument d'approximation - à epsilon près dirait-on aujourd'hui -, que la surface de la sphère est égale à la surface latérale du cylindre circonscrit. Fort heureusement nous n'avons besoin pour l'instant que d'une définition pragmatique nous permettant d'avan1

Critique de la raison pure, introduction.

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cere Les questions philosophiques touchant à la distinction mathématiques pures / mathématiques appliquées apparaîtront au fur et à mesure que le paysage épistémologique des mathématiques se construira. J'appellerai donc ici mathématiques pures les travaux mathématiques visant à perfectionner les mathématiques elles-mêmes et, mathématiques appliquées ceux dont les buts sont différents, qu'ils concernent la physique ou d'autres sciences ou les problèmes que rencontrent les ingénieurs et les gestionnaires. Par exemple le triangle 3, 4, 5 utilisé par les Egyptiens pour avoir l'angle droit avec la grande précision qu'exigeait l'appareillement sans ciment des pierres de leurs temples, relève des mathématiques appliquées et le théorème de Pythagore des mathématiques pures, auxquelles se rattache aussi Pascal pour son traité de la cycloïde, alors que Huygens utilisant la cycloïde pour obtenir une oscillation isochrone du pendule est dans les applications. C'est donc l'intention de l'auteur qui nous servira de démarcation, pour autant qu'elle soit d'un côté ou de l'autre. Si le mathématicien anglais Godfrey Harold Hardy s'est rendu célèbre par ses prises de position en faveur des mathématiques pures, d'autres grands mathématiciens tels John Von Neumann ou Norbert Wiener ont allié les deux aspects dans toute la richesse de la tradition archimédienne. Dès maintenant je précise également qu'au lieu de mathématiques appliquées, même si cette expression est aujourd'hui consacrée, je parlerai de mathématiques mixtes, reprenant les termes de Francis Bacon qui, pour de nombreuses raisons qui apparaîtront au cours de cet ouvrage, sont plus neutres et plus ouverts pour aborder les problématiques contemporaines. Reste une question préalable qui est celle de la manière d'envisager les mathématiques. La difficulté vient de ce qu'elles ne font plus partie, aujourd'hui, de la culture, au point qu'on parle de deux cultures. 22

Une voie possible est de présenter les mathématiques selon une synthèse encyclopédique. C'est celle suivie par Auguste Comte. Les onze leçons du Cours de philosophie positive consacrées aux mathématiques constituent une vue synoptique remarquable où Comte révèle sa profonde connaissance du sujet. Sa discussion dans les 6e et 7e leçons de trois interprétations du calcul différentiel auxquelles il attache les noms de Leibniz, de Newton et de Lagrange, est justement célèbre. Il y explicite une situation où trois points de vue différents coexistent en mathématiques, ce qui est très intéressant nous y reviendrons. La méthode synthétique fut reprise, récemment, par Jean Dieudonné
dans son Panorama des mathématiques pures
2.

Au demeurant, de telles synthèses sont-elles philosophiquement neutres? En induisant une sorte d'arbre nomenclateur ou de flore dans laquelle toutes les idées peuvent se mettre en place les unes à côté des autres, elles tendent à le faire croire. Pourtant si l'on y regarde bien, elles plaident, par leur démarche même, pour une pensée unifiée. Ce n'est pas la seule façon de penser les mathématiques. Nous verrons au contraire dans les prochains chapitres que la pratique mathématique n'impose pas naturellement une telle unification et qu'il s'agit plutôt d'un souhait dont la légitimité relève de la culture et dépend de l'époque. Un tel vœu prend son origine dans un des traits du modernisme, admirablement exprimé dans les belles phrases de Condorcet: "on a pu croire que l'homme ne pouvant jamais connaître qu'une partie des objets auxquels la nature de son intelligence lui permet d'atteindre, il doit cependant rencontrer, enfin, un terme où le nombre et la complication de ceux qu'il connaît déjà, ayant absorbé toutes ses forces,
2

Gauthier-Villars, 1978. 23

tout progrès nouveau lui deviendrait réellement impossible. Mais comme à mesure que les faits se multiplient, l'homme apprend à les classer, à les réduire à des faits plus généraux; comme les instruments et les méthodes qui servent à les observer, à les mesurer avec exactitude, acquièrent en même temps une précision nouvelle; comme à mesure que l'on connaît, entre un plus grand nombre d'objets des rapports plus multipliés, on parvient à les réduire à des rapports plus étendus, et les renfermer sous des expressions plus simples, à les présenter sous des formes qui permettent d'en saisir un plus grand nombre, même en ne possédant qu'une même force de tête et n'employant qu'une égale intensité d'attention; comme à mesure que l'esprit s'élève à des considérations plus compliquées, des formules plus simples les lui rendent bientôt plus faciles, les vérités dont la découverte a demandé le plus d'efforts, qui d'abord n'ont pu être entendues que par des hommes capables de méditations profondes, sont bientôt après développées et prouvées par des méthodes qui ne sont plus audessus d'une intelligence commune"3. Cette foi, car c'est ainsi qu'il faut nommer un tel élan du cœur, est pleine d'espoir, de générosité et de joie. Plus récemment avec moins d'emphase, Jean Dieudonné, écrit dans l'introduction de l'Abrégé d'histoire des mathémati-

ques 4 :
"A l'heure actuelle, le progrès des mathématiques ne semble pas connaître de ralentissement. Le nombre des chercheurs dans le monde s'est accru de façon considérable depuis 20 ans, et il ne se passe guère d'année où ne se révèle un jeune mathématicien aux idées puissamment originales, apportant une solution aux problèmes où ont échoué ses aînés; on s'est parfois
3

Esquisse d'un tableau historique des progrès de l'esprit humain. 1793-1794. 4J. Dieudonné (sous la direction de) Abrégé d'histoire des mathématiques, 1700-1900, Hermann 1978. 24

demandé si cette expansion ne finirait par étouffer les progrès ultérieurs [...] Il existe heureusement de puissantes tendances unificatrices qui réduisent ces dangers, concentrant souvent, en quelques pages, par une analyse plus poussée des concepts fondamentaux, ou par la découverte de nouvelles méthodes, de longs et verbeux développementsdus à une technique périmée". Et il ajoute avec une note d'optimisme "Les mathématiciens n'ont donc pas de sérieuse raison de douter de la prospérité de leur science, tout au moins tant que dureront les formes actuelles de civilisation". On peut partager cet optimisme et ne pas souscrire cependant à la thèse que cela résulte de "puissantes tendances unificatrices". Car c'est déjà une philosophie des mathématiques. Cela mélange les questions d'enseignement, les questions de classification des bibliothèques ou des bases de données et les questions relatives à la recherche, à son fonctionnement et ses relations avec l'intérêt social. Au contraire, je suivrai comme seul principe méthodologique celui de rendre compte des idées et courants principaux dans leurs contenus et par les controverses historiques qu'ils ont suscitées, en restituant son importance à la pratique de la recherche, mais en menant la réflexion d'une façon telle qu'il ne soit pas nécessaire de trancher dès le départ la question de savoir si les mathématiques perdent leur statut scientifique en ne faisant pas l'objet d'un traitement unifié. Cette plus grande liberté nous sera indispensable pour cheminer en toute indépendance.

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A. REGARDS SUR LE DEVELOPPEMENT HISTORIQUE ET LOGIQUE: LE ROLE DES METHODES IMPURES ET DES EXCURSIONS

1. Le tournant du modernisme
Il faut imaginer ce qu'étaient les mathématiques au dix-huitième siècle et antérieurement. Pour nous qui les avons entendues de nos maîtres comme si elles ne pouvaient être autrement qu'elles ne sont, la chose est malaisée. C'est un vécu différent que nous avons à reconstituer. On s'y promenait sans carte, d'où une toute autre appréhension. Lorsqu'on marche en campagne, on part d'un lieu familier en suivant une lisière ou un vallon, on se repère aux éléments marquants qu'on a vus ou dont on a entendu parler, on se renseigne aussi, les gens savent les chemins, les passages. Imaginons comment vivaient les peuples d'Europe avant que les Romains ne viennent la trianguler selon leur aménagement du territoire rigoureux. L'inconnu était partout, partiellement apprivoisé par des significations utiles. Aujourd'hui comment procéderionsnous si nous n'avions ni cartes routières ni au 25000e pour nous déplacer en plaine ou en montagne. Nous serions contraints de tenir compte des savoirs vécus, pour nous forger une représentation générale: deux grandes vallées contournent un massif et se rejoignent à l'ouest, il est possible de passer ici, ça a été fait, par là, on ne sait pas. Puis, armés de ces cohérences et de ces incertitudes, il nous faudrait avoir la volonté d'avancer, en essayant de comprendre, les pentes, les villages, les hameaux, les temps de parcours, la nature de la végétation, l'agrément est aussi lié à 27

ce déchiffrement, la beauté d'une plante, la silhouette d'un clocher, s'arrêter, revenir, et poursuivre une autre fois... Mais sont venus les arpenteurs et les géodésiens qui ont tout compris, et ont montré qu'il était plus commode d'oublier tous ces mythes et légendes, de n'en garder trace qu'à travers les toponymes et de décrire le monde par une seule légende d'une vingtaine de signes. Jean Le Rond d'Alembert avait une vue large des mathématiques du milieu du dix-huitième siècle, très pénétrante aussi si l'on en juge par la clarté remarquable des articles Différentiel et Limite qu'il rédigea dans l'Encyclopédie. Pourtant, il ne les considère pas comme étant parfaitement uniformément rigoureuses. Il y voit une "espèce de gradation" où la rigueur est dans les notions simples et se perd ensuite vers d'autres parties où se mêlent des vérités d'expérience. "A l'égard des sciences Inathématiques [...] leur nature et leur nombre ne doivent pas nous en imposer. C'est à la simplicité de leur objet qu'elles sont principalement redevables de leur certitude. Il faut mêlne avouer que comme toutes les parties des Mathématiques n'ont pas un objet également simple, aussi la certitude proprement dite, celle qui est fondée sur des principes nécessairement vrais et évidents par eux-mêmes, n'appartient ni également ni de la Inêlne manière à toutes ses parties. Plusieurs d'entre elles, appuyées sur des principes physiques, c'est-à-dire, sur des vérités d'expérience ou sur de simples hypothèses, n'ont pour ainsi dire, qu'une certitude d'expérience ou même de pure supposition. [...] Plus l'objet qu'elles embrassent est étendu, et considéré d'une manière générale et abstraite, plus aussi leurs principes sont exelnpts de nuages; c'est pour cette raison que la Géométrie est plus sitnple que la Méchanique, et l'une et l'autre moins simple que l'Algèbre" 5.

SDiscours préliminaire des éditeurs, tome premier de l'Encyclopédie, 1751.

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Les mathématiques de l'époque comportaient des développements douteux. Il faut abandonner notre point de vue actuel où le premier critère de sélection d'un article dans une revue est sa correction qui est un préalable à toute considération d'intérêt. Ces travaux redevables de moins de "certitude" faisaient partie intégrante des mathématiques. Il ne serait pas venu à l'esprit de d'Alembert de contester l'intérêt des séries qu'on utilisait abondamment sans se soucier de leur convergence depuis le dix-septième siècle car elles fournissaient des expressions pour les intégrales indéfinies et les fonctions transcendantes, ni celui des infiniment petits si utiles en mécanique. Le coordonnateur de l'Encyclopédie classe mais ne fait montre d'aucun sectarisme, ce qui, pour les mathématiques, revient à accorder la primauté à l'intérêt devant la rigueur. C'est, en vérité, ce que fait l'histoire des matl1ématiques depuis toujours et il ne s'est jamais trouvé d'idée ou de méthode apparemment féconde qui fût définitivement disqualifiée lors de ses mises en formes rigoureuses. Très récemment encore, pour citer un exemple, les intégrales de Feynman introduites par ce célèbre physicien américain en mécanique quantique, n'avaient aucun sens mathématique car elles faisaient intervenir une forme indéterminée % ou plutôt une idée qui ressemblerait à prendre un entier au hasard, chaque entier ayant la même probabilité! Les mathématiciens ont bien été forcés de se mettre au travail, de nombreux articles ont été écrits, personne n'aurait songé à exclure cette question des mathématiques. D'ailleurs chez les Grecs, la fameuse crise des irrationnelles ne s'est pas présentée comme une crise, ni au sens de modification historique de nature dialectique selon les philosophies de Hegel ou de Marx ni au sens de révolution sémantique dont parle le sociologue contemporain Thomas Kuhn. Elle fut vécue plutôt comme une curiosité semble-t-il, un plaisant sujet de réflexion, analogue aux 29

nombreux paradoxes qui parsemaient, d'Épiménide aux Eléates, les philosophies présocratiques Cela n'empêchait pas de continuer à raisonner correctement ainsi que les livres d'Euclide en témoignent. Au fond, il suffisait de s'acclimater à l'idée que les grandeurs étaient commensurables ou incommensurables. Ce que nous appelons en langage moderne l'irrationalité de -fi et qui concernait la mesure de la diagonale du carré est un beau raisonnement sÏ1npleet très ancien (mentionné par Platon, évoqué par Aristote, rédigé dans Euclide) qui ne nécessite que très peu de connaissance en arithmétique. Si -fi pouvait s'écrire comme quotient de deux entiers!!.. en divisant haut et bas par q des facteurs communs tant que c'est possible on pourrait l'écrire , E- avec p' et q' sans diviseur commun. Dès lors on aurait p'2 = q' 2q'2 donc p' serait pair. C'est à dire p' = 2p", d'où 2p"2= q'2 et q' devrait être pair également, ce qui est impossible puisque p' et q' n'ont pas de diviseur commun.6 Le cas de l'introduction des nombres imaginaires par Jérome Cardan et son école dans l'Italie du seizième siècle est, à mon sens, encore plus intéressant parce qu'il s'agit au fond de la situation inverse. La découverte des incommensurables se présente chez les Grecs comme une carence, il manque un ratio pour mesurer la diagonale du carré, mais on sait bien que cette diagonale existe et les raisonnements
Certains auteurs émettent l'hypothèse que les grecs auraient plutôt découvert l'irrationalité à propos du pentagone. L'idée est séduisante l'incommensurabilité du côté et de la diagonale du pentagone régulier (dont le rapport est le nombre d'or) peut s'établir par des arguments géométriques; en cherchant géométriquement le dénominateur inconnu on retombe sur le même problème pour le pentagone plus petit au centre du pentagone étoilé formé par les diagonales, il y a donc à l'évidence une quête sans fin (qui donne le développement en fraction continue du nombre d'or). cf. Bourbaki, Histoire des mathématiques, Hermann, cf. aussi Notices of the AMS, vol6, n° l, 1999, pp 43-46. 30
6

des géomètres ne sont pas en cause. Toute autre est l'au-

dace d'introduire un nombre

-1=1

dont le carré est -1, être

imaginaire, dont on ne sait s'il a une quelconque légitimité, a priori aucune. La logique d'Aristote 7, dit que du faux résulte n'importe quoi. Il s'agit donc d'un saut dans l'inconnu, d'une transgression qui aurait bien pu, en cette période d'inquisition, être assimilée à de la sorcellerie, et considérée comme diabolique, le procès de Galilée peu après le montre clairement. Aujourd'hui les imaginaires et les nombres complexes qu'on forme avec eux sont très faciles à expliquer par la correspondance avec les points du plan (explicitée rigoureusement par Gauss). Notant u et v les vecteurs unitaires de deux axes perpendiculaires du plan, tout point s'écrit de façon unique z=xu+yv adoptant l'addition ordinaire des vecteurs z+z' = xu + yv +x'u + y'v = (x+x')u + (y+y')v et la multiplication particulière suivante z z = (xu + yv) (x'u+y'v) ==(xx'-yy')u + (xy'+ xy)v on obtient pour les points du plan des lois de composition qui étendent c.elles des nombres réels, (on a un corps). On peut donc convenir d'identifier le réel x et le nombre complexe xu . Si finalement on note i le nombre complexe 1v ana z = x +iy expression qui se manIe avec la seule règle nouvelle i2 = -1. Mais l'idée n'est pas apparue ainsi, le point qui déclencha l'idée de Cardan est que la formule que Scipion deI
7

On l'appelleaujourd'huile calcul propositionnel.Il donne la vérité ou

la fausseté d'un énoncé formé à partir d'autres énoncés dont on connaît la vérité ou la fausseté avec les connecteurs "et", "ou", "non", "implique" . 31

Ferro professeur à Bologne avait découverte au début du seizième siècle pour résoudre l'équation du troisième degré x3 + ax = b à savoir
(!!..)2 + (a)3 3 2 2 3 n'avait de sens que si (É.)2 + (a) 3 >0 qui est le cas où 2 3 l'équation n'a qu'une racine. Or Cardan savait que dans le cas (É.)2 +(a)3 < 0 elle a trois racines qu'il exprima, 2 3 avec des précautions de style, grâce à des racines de nombres négatifs. Puis ses élèves Bombelli et Ferrari tentèrent de manier plus systématiquement les idées du maître, ils ne rencontrèrent pas d'absurdité, et résolurent ainsi l'équation du quatrième degré. .. Cette hardiesse vers l'inconnu fut d'une immense fécondité pour toutes les mathématiques à partir du dixhuitième siècle. Non seulement nous savons maintenant que l'introduction de -1=1, noté i aujourd'hui, est correcte mais cette idée est extraordinairement simplifiante. Par exemple elle dissipe tout l'embrouillamini des formules de trigonométrie, nous y reviendrons. L'époque des élèves de Cardan est aussi celle du grand humaniste Francis Bacon. Le jugement qu'il porte sur les mathématiques concerne l'éducation et la culture, mais il prédit un grand avenir aux mathématiques appliquées. Ce qu'il écrit en 1605, est d'une actualité saisissante: "Les mathématiques sont soit pures soit mixtes [c'est-à-dire mêlées de matière]. Appartiennent aux mathématiques pures les sciences qui traitent de la quantité définie, absolument séparée de tout axiome de philosophie naturelle; il Yen a deux, la géométrie et l'arithmétique. La première traite de la quantité continue, la seconde de la quantité discrète. Les mathématiques mixtes ont pour objet quelques axiomes ou parties de la philosophie naturelle, et elles s'occupent de la quantité déterminée en

x

=

3 !!..

2

+

(É.

2

i

+(a)3 +3!:.

_

32

tant que celle-ci leur est annexe et secondaire. Car nombreuses sont les parties de la nature qui ne peuvent être découvertes de manière suffisamment sagace, ni mises en évidence de manière suffisamment fine, ni adaptées à l'utilité d'une manière suffisamment adroite, sans l'aide et l'intervention des mathématiques. De cette espèce sont l'optique, la musique, l'astronomie, la géographie, l'architecture, la science des machines, et quelques autres. Pour les mathéInatiques, je ne relève aucune lacune. A ceci près que les hommes ne cOInprennent pas assez quel usage excellent les mathématiques pures peuvent avoir en ce qu'elles apportent remède et guérison à de nombreux défauts de l'esprit et des facultés intellectuelles. Car si l'esprit est trop obtus, elles l'aiguisent; s'il a trop tendance à vagabonder, elles le fixent, s'il est trop plongé dans le sensible, elles le rendent abstrait. Ainsi, il en est des mathématiques comIne du tennis, qui est un jeu en lui-même sans utilité, Inais qui est fort utile en tant qu'il rend l'œil rapide et le corps prêt à se plier à toutes sortes de postures; l'utilité qu'ont les mathématiques, de façon accessoire et latérale, a tout à fait autant de valeur que leur utilité principale et voulue. Quant aux mathématiques Inixtes, je me permettrais simplement cette prédiction: de plus nombreuses espèces de ces mathématiques ne peuvent Inanquer d'apparaître à mesure que la nature sera davantage découverte". 8

On remarquera que d'Alembert un siècle et demi plus tard a abandonné la distinction tranchée entre mathématiques pures et "mathématiques mixtes" malgré la grande admiration qu'il voue à celui qu'il appelle "l'immortel chancelier d'Angleterre". C'est que le dix-septième siècle qu'on peut appeler le siècle du calcul différentiel et le dixhuitième qui voit l'essor des développements en séries, vont réaliser ce paradoxe de vivifier les mathématiques

pures par des idées impures - tirées de la mécanique- et

8

F. Bacon, Du progrès et de la promotion des savoirs, (1605), trade
1991.

Le Dœuff, Gallimard,

33

mal assurées si on les compare à l'arithmétique et à la géométrie antiques. Si l'on tente de se représenter le travail des mathématiciens au dix-huitième siècle et avant, on est porté à croire que les mathématiques étaient plus plaisantes qu'aujourd'hui. L'accumulation des travaux rend maintenant le trajet du néophyte bien long avant d'aborder du nouveau, et surtout par leur nature même, elles étaient parsemées de beaucoup de choses intrigantes, inachevées, à préciser, les formules nouvelles étaient nombreuses et les grandes théories formalisées qui les réduisent à des évidences n'existaient pas. Pour reprendre notre analogie géographique, les promenades étaient des aventures émouvantes parce que les cartes étaient lacunaires ou médiocres, et faire un chemin signifiait explorer et risquer des idées nouvelles9. * * *

Mais une nouvelle ère commence avec Gauss et Cauchy. Des professionnels. Leurs prédécesseurs paraissent des dilettantes en comparaisonlo. Deux œuvres colossales. D'une rigueur, d'une profondeur et d'une puissance au-delà
9

Michel Serres dans Le passage du Nord-Ouest (Editions de Minuit,

1980) montre admirablement que l'élaboration des cartes par les navigateurs est la métaphore même de la connaissance. 10 Poincaré écrit dans Science et Méthode, "En mathématiques la rigueur n'est pas tout, mais sans elle il n'y a rien, une démonstration qui n'est pas rigoureuse, c'est le néant. Je crois que personne ne contestera cette vérité. Mais si on la prenait trop à la lettre, on serait amené à conclure qu'avant 1820, par exemple, il n'y avait pas de mathématiques; ce serait manifestement excessif: les géomètres de ce temps sous-entendaient volontiers ce que nous expliquons par de prolixes discours; cela ne veut pas dire qu'ils ne le voyaient pas du tout; mais ils passaient là-dessus trop rapidement, et pour le bien voir, il aurait fallu qu'ils prissent la peine de le dire". 34

de toute comparaison si ce n'est avec les Antiques. Carl Friedrich Gauss était de douze ans plus âgé qu'Augustin Louis Cauchy qui naquit avec la Révolution Française, ils moururent presque en même temps au début du Second Empire. Pas des aristocrates, Gauss était de milieu ouvrier pauvre et Cauchy, d'origine bourgeoise modeste, était d'une famille compromise avec l'ancien régime et dût passer son enfance dans la clandestinité. Pourquoi ces deux grands mathématiciens marquentils une ère nouvelle? Ce n'est pas seulement une question de style, ni qu'ils aient introduit telle idée que nous attachons volontiers à l'époque moderne. Il y eut d'autres mathématiciens possédant ces caractéristiques. Notamment en ce qui concerne le souci de rigueur dans l'analyse le tchèque Bernard Bolzano (1781-1848) était dans le même état d'esprit que Cauchy et proposa plusieurs notions ou conjectures qui approfondissaient, indépendamment, les siennes 11.

Bolzano et d'autres sont significatifs de la nouvelle époque, mais Gauss et Cauchy l'ont si fortement marquée qu'ils ont déplacé les mathématiques. Leurs œuvres sont une référence nécessaire pour tous les mathématiciens ultérIeurs. Est-ce à dire qu'ils ont entrepris de mettre les mathématiques sur des bases solides en rédigeant un traité sans faille qui exposât correctement les riches matériaux apportés aux dix-septième et dix-huitième siècles, comme Euclide avait fait des travaux d'Eudoxe, d'Architas, d'HipIl

Notamment sur la continuité des fonctions de variables réelles. Bol-

zano énonça quatre ans avant Cauchy le critère de convergence d'une suite qui ne fait pas intervenir la limite de la suite et qu'on appelle aujourd'hui critère de Cauchy. Bolzano fait la différence entre la borne supérieure d'un ensemble borné de réels et le maximum qui, lui, appartient à l'ensemble et donc n'existe pas toujours, il décrit une fonction dérivable en aucun point d'un ensemble dense, etc. 35

pocrate et de Théétète, ou comme Bourbaki l'entreprendra au milieu du vingtième siècle? Non, leur force ne vient pas de ce qu'ils embrassent la globalité. Ils déplacent les mathématiques par la perfection avec laquelle ils traitent des questions nouvelles. Cette stratégie est imparable. Après que Gauss a dé0 est résoluble par radimontré que l'équation xn -1 caux, en utilisant des raisonnements sur les congruences 12, montrant ainsi que les valeurs des fonctions circulaires 2k1i s'expriment par radicaux, la démonstration est cos n complète, il ne manque aucun lemme. A tel point qu'il oublie de citer Vandermonde qui a eu le premier l'idée de la méthode mais qui ne l'a pas systématisée 13 . Gauss cite

=

La relation "les entiers a et b ont même reste dans leur division par l'entier m" est une relation d'équivalence entre a et b qu'on note a == b (m) et qu'on appelle congruence. Chaque classe d'équivalence peut être représentée par son élément entre 0 et m - J (le reste). Les opérations d'addition et de multiplication conservent les classes d'équivalence et introduisent sur les entiers de 0 à m-J une structure d'anneau, de corps si m est premier.
13

12

Henri Lebesgue fait à ce sujet de très intéressantesremarques dans

"L'œuvre mathématique de Vandermonde" conférence faite à Utrecht (1937) in Notices d'Histoire des mathématiques. Monog. de l'Enseignement Math. n° 4 Genève 1958: "Par réaction contre la tolérance qui, au dix-huitième siècle, avait si souvent permis de remplacer les raisonnements logiques par des arguments tendancieux, Gauss en était arrivé à méconnaître l'essentiel: la découverte, n'estimant que la démonstration rigoureuse. D'où cette sévérité, profondément injuste, dont il a fait preuve envers Vandermonde, comme envers lui-même d'ailleurs. Cette impartialité dans la sévérité prouverait la bonne foi de Gauss si l'on songeait à la mettre en doute; il a été de bonne foi, mais il s'est trompé en n'attachant de l'importance qu'à l'achèvement de la démonstration [souligné par Lebesgue]. Certes, au point de vue de la stricte logique, une démonstration est inexistante si elle n'est pas achevée et entièrement rigoureuse; Il est certain aussi qu'un fait mathématique n'est acquis que lorsqu'il est démontré. Pourtant, aucune découverte n'a jamais été faite 36

peu, ou plutôt il porte un regard sur le passé qui occulte

complètement ce qui n'est pas définitivement correct 14. Et
pour ses propres recherches, il ne rédige pas les idées intuitives et reconstruit les preuves les plus belles possibles une fois les résultats obtenus. Pour lui "quand un bel édifice est achevé on ne doit pas y lire ce que fut l'échafaudage". Stratégie scientifique qui tente d'instaurer de nouvelles valeurs, et de disqualifier les anciennes pratiques. Nous ne pouvons ici donner ne serait-ce qu'un aperçu de l'œuvre de Gauss ni de celle de Cauchy (plus de sept cents publications). Notons simplement la réponse que Cauchy fait aux critiques de ses collègues à l'occasion de
en mathématiques, comme ailleurs du reste, par un effort de logique déductive; elle résulte toujours d'un travail de création de l'imagination qui bâtit ce qui semble devoir être la vérité, guidée parfois par des analogies, parfois par un idéal esthétique, mais qui ne bâtit nullement sur de solides bases logiques. La découverte faite, la logique intervient ensuite pour contrôle; c'est elle qui, finalement, décide s'il s'agissait bien d'une vraie découverte et non d'une découverte illusoire; son rôle est donc considérable, il n'est pourtant que secondaire. L'imagination intervient d'ailleurs encore pour découvrir les voies dans lesquelles doit s'engager la démonstration logique. Et celle-ci n'est acquise le plus souvent qu'après quelques essais infructueux et grâce précisément à l'emploi simultané des idées qui avaient présidé à l'élaboration de preuves insuffisantes. Aussi Gauss a-t-il été doublement injuste en ne tenant jamais compte, dans ses Disquisitiones, du vrai moment de la découverte, et en critiquant âprement les démonstrations de ses devanciers sans dire, le plus souvent, quels sont les points de ces démonstrations qu'il a utilisés. Ainsi, on ne se douterait guère, à lire le [passage] que j'ai reproduit plus haut, qu'il y a des liens étroits entre la première démonstration qu'a donnée Gauss pour l'existence des racines primitives des nombres premiers et la démonstration d'Euler que Gauss critique justement. Quant à Vandermonde, Gauss ne le cite pas du tout." Ces remarques de Lebesgue sur la découverte sont fondamentales aussi bien pour les mathématiques contemporaines. 14Parexemple à propos de la méthode des moindre carrés, il cite Laplace mais ne cite pas Legendre qui en fut pourtant l'initiateur. 37

son cours à l'École Polytechnique. On lui reproche trop d'abstraction, pas assez d'applications, des sujets trop nouveaux. Au-delà des polémiques sur la pédagogie qui sont le terrain naturel, encore aujourd'hui, des luttes d'influence dans les établissements d'enseignement, c'est bien une critique d'une certaine façon de concevoir les mathématiques qui lui est faite, et c'est à ce niveau qu'il place sa réponse: "En comparant les nouvelles méthodes avec celles qui étaient autrefois en usage, on reconnaîtra sans peine que les nouvelles sont en général plus simples, quand elles ne

sont pas plus rigoureuses" 15.
Mais à quoi servent ces exercices logiques sur la convergence ou la divergence des séries qui rappellent les arguties des Éléates? Pour former des ingénieurs, est-il raisonnable d'introduire les nombres complexes comme des classes de polynômes congrus modulo la division par x2 + 1 ? Cauchy n'a pas vraiment de réponse pédagogique. Son cours est un traité qui marque les mathématiques d'une nouvelle orientation dont la justification se trouve dans la floraison de nouveaux résultats que ces méthodes permettent d'obtenir 16.

Il semble qu'il n'était plus possible de continuer à faire des mathématiques à la manière d'Euler. L'extraordinaire intuition de celui-ci lui avait fait découvrir un grand nombre de formules splendides (pour les nombres complexes, la fonction r, etc.). En s'attachant à plus de rigueur, en refusant les raisonnements où la convergence des séries n'est pas établie, ne risquait-on pas de tomber dans un académisme stérile? C'est tout le contraire qui s'est produit.
15Citépar B. Belhoste, Cauchy, un mathématicien légitimiste au dixneuvième siècle, Belin, 1985. 16Cf. également B. Belhoste, Augustin Louis Cauchy, a biography, Springer, 1991 ; B. Belhoste, A. Dahan-Dalmedico, A. Picon, La formation polytechnicienne 1794-1994, Dunod 1994. 38