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L'indispensable mathématique pour les études en physique

De
234 pages
Cet ouvrage est un condensé à large spectre de notions mathématiques indispensables pour les études universitaires en physique de niveau I, II voire III et au-dessus. Y sont rappelées les parties de géométrie oubliées le plus souvent ; y sont expliqués les aspects mathématiques nouveaux pour l'étudiant(e) débutant(e), et qui ne sont pas pour autant la préoccupation principale de l'enseignant de physique. Les exemples y sont abondants.Š
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L’INDISPENSABLE MATHÉMATIQUE
POUR LES ÉTUDES EN PHYSIQUE




















Collection « Cours et Manuels »
Harmattan Cameroun

Sous la direction de Roger MONDOUE
et Eric Richard NYITOUEK AMVENE

La plupart des élèves et étudiants africains achèvent leur cycle
d’apprentissage sans avoir accès directement aux sources des savoirs reçus. Les
cours et/ou manuels de leurs enseignants sont alors les seuls ou rares outils
pédagogiques disponibles. Il devient donc urgent de publier et diffuser ces cours
et manuels, afin d’assurer l’accès du plus grand nombre d’apprenants à une
éducation de qualité.
La collection Cours et Manuels est ouverte aux enseignants de toutes les
disciplines de l’enseignement maternel, primaire, secondaire et universitaire,
dont le souci majeur est de relever le niveau d’éducation et de promouvoir le
développement tant escompté sur le sol africain.


Déjà parus

François FOTSO, De la pédagogie par objectifs à la pédagogie des
compétences, 2011.
Joseph TANGA ONANA, Dissertation et commentaire en histoire, 2010.
Oscar ASSOUMOU MENYE, Mathématiques financières, outils et
applications, 2010.

Emire MAGA MONDESIR
Eliézer MANGUELLE DICOUM
Gilbert MBIANDA





L’INDISPENSABLE MATHÉMATIQUE
POUR LES ÉTUDES EN PHYSIQUE


Premier cycle universitaire

De l’angle au champ




























































© L’Harmattan, 2011
5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris

http://www.librairieharmattan.com
diffusion.harmattan@wanadoo.fr
harmattan1@wanadoo.fr

ISBN : 978-2-296-54613-4
EAN : 9782296546134
Table des matières
AVANT PROPOS xiii
I GEOMETRIE ET TRIGONOMETRIE 1
1 FORMES GEOMETRIQUES COURANTES 3
1.1 AIRES.................................. 3
1.2 VOLUMES ............................... 4
2 GEOMETRIE ELEMENTAIRE 5
2.1 L’ANGLE ................................ 5
2.1.1 DEFINITIONS ......................... 5
2.1.2 UNITES D’ANGLE ...................... 6
2.1.3 PROPRIETES CARACTERISTIQUES ........... 8
2.2 LE TRIANGLE............................. 10
2.2.1 DEFINITIONS 10
2.2.2 DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE ...... 11
2.2.3 PROPRIETES ......................... 12
2.3 TRIANGLES PARTICULIERS .................... 15
3 TRIGONOMETRIE ELEMENTAIRE 17
3.1 ANGLE ORIENTE........................... 17
3.2 CERCLE TRIGONOMETRIQUE .................. 18
3.3 APPLICATION AU TRIANGLE ................... 19
3.3.1 TRIANGLE QUELCONQUE . . .............. 19
3.3.2 RECTANGLE,( Fig. 4),(illustration 5 page 168) 19
3.4 FORMULES TRIGONOMETRIQUES................ 21
vvi TABLE DES MATIÈRES
II CALCUL VECTORIEL ET MATRICIEL 23
1 VECTEURS 25
1.1 ORIENTATION DANS L’ESPACE.................. 25
1.1.1 INTRODUCTION ....................... 25
1.1.2 REPERAGE SUR UNE DROITE .............. 26
1.1.3GE DANS LE PLAN ................ 26
1.1.4 REPERAGE DANS L’ESPACE ............... 27
1.2 VECTEURS .............................. 28
1.2.1 DEFINITIONS ......................... 28
1.2.2 ESPACE VECTORIEL .................... 29
1.2.3 OPERATIONS SUR LES VECTEURS ........... 30
2 APPLICATIONS LINEAIRES ET MATRICES 37
2.1 RAPPEL DES PROPRIETES FONDAMENTALES DES APPLI-
CATIONS ................................ 37
2.1.1 DEFINITIONS ......................... 37
2.1.2 EXEMPLES .......................... 38
2.2 MATRICE ASSOCIEE A UNE APPLICATION LINEAIRE DANS E 38
2.2.1 DEFINITION 38
2.2.2 EXEMPLES 39
2.3 OPERATION SUR LES MATRICES ................ 42
2.3.1 EGALITE DE DEUX MATRICES .............. 43
2.3.2 MATRICE NULLE ...................... 43
2.3.3 MATRICE OPPOSEE..................... 43
2.3.4 ADDITION DE DEUX MATRICES DE MEME DIMENSION 43
2.3.5 PRODUIT DE DEUX MA (n,p) et (n,p) .... 43
2.3.6 MULTIPLICATION PAR UN SCALAIRE . ........ 43
2.3.7 MATRICE TRANSPOSEE .................. 44
2.3.8 INVERSE D’UNE MATRICE CARREE . . ......... 44
2.3.9 VALEURS PROPRES ET VECTEURS PROPRES .... 44
2.4 CHANGEMENT DE BASE ...................... 45
3 DERIVATION VECTORIELLE 49
3.1 DERIVEES ORDINAIRES DE VECTEURS ............ 49
3.2 COURBES DANS UN ESPACE A TROIS DIMENSIONS ..... 50TABLE DES MATIÈRES vii
3.3 FORMULES DE DERIVATION ................... 51
3.4 DERIVEES PARTIELLES DE VECTEURS............. 51
3.5 DIFFERENTIELLE DE VECTEURS ................ 52
4 NOTION DE CHAMP 53
4.1 INTRODUCTION ........................... 53
4.2 DEFINITIONS ............................. 54
4.2.1 LE CHAMP .......................... 54
4.2.2 LIGNE DE CHAMP, TUBE DE CHAMP .......... 54
4.2.3 TUBE DE ...................... 55
4.3 OPERATEURS DE CHAMP ..................... 55
4.3.1 CIRCULATION D’UN CHAMP DE VECTEURS ..... 55
4.3.2 FLUX D’UN CHAMP DE VECTEURS ........... 56
4.3.3 OPERATEUR DIFFERENTIEL ET VECTORIEL NABLA

∇ ................................ 56
5 COORDONNEES CURVILIGNES ORTHOGONALES 63
5.1 INTRODUCTION ........................... 63
5.2 ELEMENTS D’ARC ET DE VOLUME ............... 64
5.3 EXPRESSION DES OPERATEURS DE CHAMP ........... 65
5.4 SYSTEMES DE COORDONNEES
CURVILIGNES PARTICULIERS................... 66
5.4.1 COORDONNEES CYLINDRIQUES ............. 66
5.4.2 SPHERIQUES .............. 67
III FONCTIONS ET INTEGRATION 69
1 F USUELLES 71
1.1 DERIVATION (illustration 24, page 185) .............. 71
1.1.1 DEFINITION DE LA DERIVEE EN UN POINT ..... 71
1.1.2 INTERPRETATION GEOMETRIQUE ........... 71
1.1.3 FONCTION DERIVEE .................... 72
1.2 UTILISATION DES DERIVEES DANS
L’ETUDE DES FONCTIONS..................... 73
1.2.1 DERIVEE PREMIERE 73
1.2.2 SECONDE 74viii TABLE DES MATIÈRES
1.3 REGLES GENERALES D’ETUDE DE FONCTIONS ....... 75
1.3.1 DOMAINE DE DEFINTION : ................ 75
1.3.2 PARITE - PERIODICITE .................. 75
1.3.3 ASYMPTOTE ......................... 76
1.4 FONCTIONS USUELLES....................... 80
1.4.1 FONCTIONS AFFINES ................... 80
1.4.2 LES CONIQUES 80
1.4.3 LA FONCTION EXPONENTIELLE ............ 88
1.4.4 FONCTIONS HYPERBOLIQUES (chx, shx, thx) ..... 89
1.4.5 FONCTION LOGARITHME ................ 90
1.4.6 FONCTIONS SINUSOIDALES ............... 91
1.4.7 FONCTION TANGENTE .................. 92
1.4.8 INVERSES DES FONCTIONS SINUSOIDALES ET HY-
PERBOLIQUES ........................ 94
1.4.9 ECRITURE COMPLEXE DES FONCTIONS SINUSOIDALES
(illustration 33, page 193) ................... 95
2 DIFFÉRENTIELLES 97
2.1 DIFFÉRENTIELLE D’UNE VARIABLE .............. 97
2.2 DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION (illustration , page 25,186 ;
27 page 188) .............................. 98
2.2.1 ASSIMILATION DE Δy A dy ................ 98
2.2.2 REGLES DE CALCUL .................... 98
2.3 DIFFERENTIELLES D’ORDRE SUPERIEUR ........... 9
2.4 DIFFERENTIELLE D’UNE FONCTION DE PLUSIEURS VA-
RIABLES ................................ 99
2.4.1 DERIVEES PARTIELLES .................. 99
2.4.2 DERIVEE PARTIELLE SECONDE ............. 99
2.4.3 DIFFERENTIELLE DE LA FONCTION h = f(x,y,z) . . 100
2.4.4 FONCTIONS IMPLICITES101
2.4.5 F PARAMETRIQUES (illustration 24, page 185)101
2.5 APPLICATION AU CALCUL D’ERREUR .............101
2.5.1 ERREUR ABSOLUE, INCERTITUDE ABSOLUE.....102
2.5.2 INCERTITUDE RELATIVE .................102
2.5.3 REGLES DE CALCUL DES ERREURS ..........102TABLE DES MATIÈRES ix
3 DEVELOPPEMENT EN SERIE 105
3.1 THEOREME DE ROLLE .......................105
3.2 DES ACCROISSEMENTS FINIS ..........106
3.3 FORMULE DE TAYLOR-MACLAURIN ..............106
3.3.1 DEVELOPPEMENTS LIMITES ...............108
4 INTEGRATION 109
4.1 INTEGRALES DE FONCTIONS D’UNE VARIABLE ......109
4.1.1 PRIMITIVE ..........................109
4.1.2 INTEGRALE DEFINIE ....................110
4.1.3 INTERPRETATIONS GEOMETRIQUES..........110
4.1.4 EXEMPLES DE PRIMITIVES DE FONCTIONS D’UNE
VARIABLE REELLE A UNE CONSTANTE PRES ....112
4.1.5 METHODES DE CALCUL D’INTEGRALES........112
4.1.6 THEOREME DE LA MOYENNE (illustration 33, page 193) 114

4.1.7 DERIVATION SOUS LE SIGNE ..............115
4.2 INTEGRALES MULTIPLES .....................115
4.2.1 INTEGRALES DOUBLES ..................115
4.2.2 DENSITE DE DISTRIBUTION - INTEGRALE DE SUR-
FACE..............................116
4.2.3 INTEGRALE TRIPLE ....................117
4.2.4 CURVILIGNE (illustration 19, page 180 ; 29,
page 189) ............................117
4.2.5 FORMULE DE GREEN-RIEMANN .............18
4.3 LONGUEURS - AIRES - VOLUMES ................119
4.3.1 CALCUL DE LONGUEUR D’ARC DE COURBE .....119
4.3.2 D’AIRES ......................120
4.3.3 CALCUL DE VOLUMES ...................123
5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 127
5.1 GENERALITES ET DEFINITIONS .................127
5.1.1 SOLUTION GENERALE127
5.1.2 DIFFERENTS TYPES D’EQUATIONS ...........128
5.2 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE . . . 128
5.2.1 EQUATIONS DONT LE PREMIER MEMBRE EST UNE
DIFFERENTIELLE TOTALE ................128x TABLE DES MATIÈRES
er5.2.2 EQUATIONS DU 1 ORDRE A VARIABLES SEPARABLES129
5.2.3 EQUATIONS HOMOGENES DE PREMIER ORDRE . . . 129
5.2.4 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PRE-
MIER ORDRE (illustration 36, page 195) ..........131
5.2.5 EQUATION DE BERNOUILLI................132
5.3 EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU
SECOND ORDRE ...........................133
5.3.1 EQUATION SE RAMENANT AU PREMIER ORDRE (illus-
tration 37, page 196)......................133
5.3.2 EQUATIONS LINEAIRES DU SECOND ORDRE .....134
5.4 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE 140
5.4.1 CAS GENERAL ........................140
5.4.2 SYSTEME D’EQUATIONS LINEAIRES DU PREMIER ORDRE
A COEFFICIENTS CONSTANTS ..............141
5.5 EQUATIONS DIFFERENTIELLES D’ORDRE QUELCONQUE . 143
5.5.1 REDUCTION DE L’ORDRE .................143
5.5.2 EQUATIONS LINEAIRES
D’ORDRE n ..........................143
5.5.3 EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES ASM A
COEFFICIENTS CONSTANTS ...............144
5.5.4 CALCUL OPÉRATIONNEL .................148
5.6 EQUATION AUX DERIVEES PARTIELLES ...........151
5.6.1 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU PRE-
MIER ORDRE .........................151
5.6.2 EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES DU SECOND
ORDRE LINEAIRES (A DEUX VARIABLES) .......155
5.6.3 EXEMPLE DE RESOLUTION POUR L’EQUATION DES
ONDES .............................157
5.6.4 EXEMPLE DE POUR L’EQUATION DE
LAPLACE ...........................158
IV ILLUSTRATIONS 163
Illustrations 165TABLE DES MATIÈRES xi
V ANNEXE 203
ANNEXE A 205
A POUR RAISON DE SYMETRIE 205
A.1 LOIS DE SYMETRIE DE CURIE ..................205
A.2 PRINCIPE D’INVARIANCE DES LOIS PAR TRANSFORMA-
TION DE SYMETRIE.........................206
A.3 EXEMPLE D’UTILISATION PRATIQUE DES SYMETRIES . . 206
A.3.1 CHAMP ELECTRIQUE CREE EN UN POINT M PAR
UNE DISTRIBUTION VOLUMIQUE DE CHARGES (fig.1) 206
A.3.2 CENTRE D’INERTIE - MATRICE D’INERTIE D’UN CONE
DROIT HOMOGENE D’AXE OZ, DE HAUTEUR H, DE
SOMMET O (fig. 2).......................208
B DIMENSIONS-HOMOGENEITE 211
ANNEXE B 211
B.1 MESURE ................................211
B.2 SYSTEMES D’UNITES ........................211
B.3 SYSTEME INTERNATIONAL ....................212
B.4 DIMENSIONS .............................212
B.5 HOMOGENEITE ...........................212
INDEX 215AVANT PROPOS
Nous sommes enseignants à la faculté des Sciences de l’Université de Yaoundé
I au Cameroun.
En analysant les causes d’échec des étudiants dans les premières années de Phy-
sique, nous avons constaté qu’ils manquaient de bagage mathématique ; Aussi
avons-nous pensé à un ouvrage couvrant la grande partie des notions intervenant
dans les cours de physique et qui ne sont pas toujours revues dans les cours de
Mathématiques.
Nous avons mis de nombreux exemples de calcul dans les chapitres et des illustra-
tions propres à la physique à la fin.
Bien qu’il existe des méthodes plus modernes de traitement des sujets, nous avons
pensé que nos étudiants ne disposent pas encore de ces outils et qu’ils doivent
s’approprier toutes les méthodes même les plus empiriques afin de mieux saisir
l’universalité de la Science. Ils pourront consulter avec bonheur d’autres ouvrages
pour la physique comportant de nombreux exercices à l’instar de Michel Hulin et
Marie Françoise Quentin dans la collection U.
Nous n’avons pas évoqué les aspects probabilistes car ils font déjà l’objet d’une
abondante documentation et ils interviennent essentiellement au niveau supérieur
en physique quantique et statistique.
En fin nous souhaitons que nos jeunes étudiants soient convaincus que les idéalités
mathématiques contribuent à décrire la réalité physique et espérons que le présent
condensé va susciter chez eux davantage de motivation.
. Les auteurs.Première partie
GEOMETRIE ET
TRIGONOMETRIE
1Chapitre 1
FORMES GEOMETRIQUES
COURANTES
1.1 AIRES
34 CHAPITRE 1. FORMES GEOMETRIQUES COURANTES
1.2 VOLUMESChapitre 2
GEOMETRIE
ELEMENTAIRE
2.1 L’ANGLE
2.1.1 DEFINITIONS
ANGLE PLAN : Figure formée par deux demi-droites appelées côtés, qui se
coupent en un point appelé sommet (fig. 1) c’est un paramètre de position indis-
pensable en physique.
xOy se lit angle xOy
y

O
x
Figure 1
ANGLES EGAUX : deux angles sont égaux s’ils sont superposables.
Bissectrice : demi-droite oz issue du sommet et partage l’angle en deux angles
égaux (fig. 2).
56 CHAPITRE 2. GEOMETRIE ELEMENTAIRE
y
z

O
x
Figure 2
xoz = zoy (2.1.1)
ANGLES PARTICULIERS
ANGLE PLAT : c’est l’angle formé par deux demi-droites qui sont dans le prolon-
gement l’une de l’autre (fig. 3).
z

y xO
Figure 3
ANGLE DROIT : la bissectrice oz d’un angle plat le partage en deux angles
droits.
On dit que oz est perpendiculaire à ox (ou â oy)
ANGLE AIGU angle inférieur à un angle droit. OBTUS : angle supérieur à un angle droit.
2.1.2 UNITES D’ANGLE
◦LE DEGRE : l’angle plan se mesure généralement en degrés (symbole )et
peut être tracé sur papier à l’aide d’un rapporteur. Ses sous-unités sont :
◦– la minute (’) ; 1 = 60’
– la seconde (") ; 1’ = 60"2.1. L’ANGLE 7
◦ ◦Exemples : un angle droit mesure 90 et un angle plat mesure 180 , le degré peut
être défini comme la 90e partie d’un angle droit.
LE GRADE : appelé encore GON (symbole gr) est surtout utilisé dans les pays
germaniques et représente la 100e partie de l’angle droit. Une sous-unité du grade
est le centigrade.
LE RADIAN : c’est une unité très commode en physique dès lors qu’on travaille
sur les cercles. Le radian (rd) est l’angle au centre qui intercepte sur un cercle un
arc de longueur égale au rayon (fig. 4).
A

α
B
O R
Figure 4
De manière générale, on calcule la longueur d’un arc de cercle en multipliant
le rayon par la valeur de l’angle au centre qui l’intercepte, exprimé en radians.

arc AB= Rα ( α en rd) (2.1.2)

– en particulier si arc AB= R, alors α= 1rd
– l’angle qui intercepte un demi-cercle mesure π radians
– la circonférence d’un cercle de rayon R est égale à 2πR.
Correspondance des angles remarquables
◦angle plat = 180 = π rd = 200 gr
◦ πangle droit =90 = rd = 100 gr
2
◦ π=60 = rd =66,66 gr
3
◦ π=45 = rd =50gr
4
◦ π=30 = rd =33,33 gr
6
– angles supplémentaires : deux angles dont la somme est égale à π radians
π
– angles complémentaires : deux angles dont la somme est égale à
2
radians8 CHAPITRE 2. GEOMETRIE ELEMENTAIRE
2.1.3 PROPRIETES CARACTERISTIQUES
Deux angles à côtés respectivement parallèles(illustration 1, page
165 ) (fig.5)
Y Y’
X
X’
O’O
X”
Figure 5
OX//O X et OY//O Y
on a alors

XOY = X O Y ou XOY +Y O X = π (2.1.3)
Cas particuliers d’angles égaux (fig. 6)

- Angles alterne interne (ex : BID et CJA )

- Angles correspondants (GIA et CJA )
- Angles supplémentaires :

AIC +AJD= π et BID+IJB = π (2.1.4)
C
IAB
A’ J B’
D
Figure 6
Angles du triangle( illustration 2, page 165)(fig. 7).2.1. L’ANGLE 9
D
XA
B C
Figure 7
1. BAC+CAD= π
2. AX//BC alors DAX = DBC et CAX = ACB donc ABC +ACB =CAD
Conséquence
ABC +BCA+CAB = π (2.1.5)
La somme des angles d’un même triangle est égale à π
Deux angles à côtés respectivement perpendiculaires
- tous deux aigus ; alors ils sont égaux BAD = DCX
- un aigu et l’autre obtus, alors ils sont supplémentaires BAD = BCD = π
A
D
B
C X
Figure 8
angles inscrits dans un cercle :
Définition 2.1.1. : un angle inscrit est un angle ayant son sommet sur le cercle
et interceptant un arc de ce cercle tel que BAC (fig.9)