Mathématiques financières

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Cet ouvrage a pour objectif de mettre à la disposition des étudiants et des managers des outils leur permettant d'optimiser leur prise de décision. L'ouvrage traite des problèmes d'actualisation et de capitalisation, des emprunts classiques et obligataires, des problèmes des choix d'investissement en avenir certain et incertain et des problèmes de choix de financement.
Publié le : mardi 1 juin 2010
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EAN13 : 9782296255081
Nombre de pages : 217
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A mes enfants

REMERCIEMENTS
Ce livre est le résultat de nombreux travaux de recherche en entreprise et à l’université réalisés au cours de ces dernières années. Sa rédaction et sa conception ont été possibles grâce à la collaboration de plusieurs personnes. Je voudrais tout d’abord remercier chaleureusement le professeur Claude Bekolo, directeur de L’ENSET de l’université de douala. Les très nombreuses discussions que nous avons eues et surtout ses remarques et judicieux conseils ont largement contribue a l’amélioration du contenu de cet ouvrage. Certains développements n’auraient pas pu être menés à terme, sans la collaboration active et passionnée de mon jeune collègue Onomo Cyrille qui a bien voulu se sacrifier à la rude, fastidieuse et ingrate tâche de vérification des calculs et formules contenus dans cet ouvrage. Je remercie également mes étudiants de l’ESSEC, de l’IUT et de l’ESG de l’Université de Douala, tous cycles et options confondus, pour les remarques constructives et innovantes formulées à l’endroit de ce travail. Je ne saurais oublier les dirigeants de la CICAM et de Miracle informatique pour leur appui logistique, Albertine pour la qualité de sa saisie, monsieur Ndjeukwé Eric Lambert pour la peine qu’il a prise pour la relecture, mes collègues Yamb Elie Blaise Benjamin, Ketchoua Gilles Ennis, Tchuenkamdom Isidore, Bindia Jules Ferry, Tonye Patrice et ma charmante épouse pour leurs précieux conseils. Si malgré toutes les précautions prises dans la finalisation de cet ouvrage, y subsistent des erreurs, j’en assume l’entière responsabilité et saurais gré aux lecteurs qui voudront bien me les signaler. C’est avec la plus grande attention que j’accueillerai leurs remarques, critiques et suggestions.

PREFACE
Si l’on peut convenir avec les Ecritures Saintes que ‘’les morts qui meurent dans le Seigneur ne meurent pas’’, il apparaît possible d’admettre avec une erreur minimale que le docteur Oscar Assoumou Menye, ce jeune universitaire, est désormais voué à l’éternité en gratifiant la connaissance de cet ouvrage, premier en la matière, dans le domaine des mathématiques financières. Il a donc vocation à siéger aux côtés des immortels de renom tels les professeurs Joseph Tchundjang Pouemi et Georges Walter Ngango dans l’univers des sciences économiques, et comme penseur du dernier né de l’épistêmê, les sciences de gestion, en terre africaine. Que gloire lui soit donc rendue dans cette chevauchée héroïque épique vers le panthéon du savoir. Le professeur Jean Guy Merigot pour qui, ‘’prévoir, c’est regarder en l’air, ce qui ne veut pas dire ‘’avoir la tête dans les nuages’’ et encore moins ‘’avoir les pieds dans la boue’’ peut donc reposer en paix au pays des bâtisseurs des sciences de gestion et jouir pleinement de son statut d’‘’Apôtre’’ de la ‘’Gestion Stratégique’’, de la décision. En effet, nous disposons désormais de moyens pour décider efficacement du destin finalisé et intéressé que nous accorderons à nos ressources. Que jubile le professeur Gérard Hirigoyen, cet illustre ‘’Ami de l’Afrique’’, qui a eu à poser la première couronne dans cette ‘’forêt vierge’’ et que triomphe le professeur Bruno Bekolo-Ebe, ardent défenseur de la ‘’Société des savoirs’’ et ‘’mage’’ de l’affirmation du soi. De concert avec le ‘’one best way’’ taylorien et en ‘’odeur de sainteté’’ avec Charles A. Kepner et Benjamin B. Tregoe, archanges des techniques d’analyse des problèmes, des décisions et des performances, l’outil d’aide à la décision que représentent les mathématiques financières permet de découvrir ‘’ce qu’il faut faire’’ pour ainsi se doter d’une vision plus certaine du futur, d’anticiper sur un risque connu et minimisable. En paix avec Jean Paul II, la peur ne sera plus du monde des décideurs de l’affectation des res-

sources, et de complicité avec Pareto, l’évènement optimal devient quantifiable et calculable. La pureté du présent ouvrage, sa clarté et sa simplicité permettent au plus simple des esprits de cerner aisément les différentes questions d’actualisation et de capitalisation, partant des intérêts simples aux calculs d’équivalence des capitaux qui permettent d’opérer le meilleur choix en termes de taux d’escompte, de valeur nominale, ou encore de date, en passant par les intérêts composés. Démystification des annuités et des emprunts est aussi faite en particulier dans les problèmes posés en termes de gestion, à partir d’une approche rigoureuse et objective de détermination des valeurs décisives. Pour finir et fidèlement au cartésianisme, la gestion de la complexité refait surface avec la question existentialiste d’investissement qu’est la firme et celle essentialiste de survie que représente la rentabilité, couronnées par une dose d’incertitude. A ce niveau, le docteur Oscar Assoumou Menye a bien voulu se réconcilier avec Markowitz et Sharpe dans le traitement du risque. Voilà donc, pour ainsi dire, un ouvrage qui offre ‘’tout pour tout’’ sur l’allocation des ressources, partant du plus simple au plus complexe, de l’univers certain au plus incertain. Il propose des outils sophistiqués au manager face à la turbulence. Il n’échappe donc pas au mythe de la pensée abstraite que la théorie a cru devoir résoudre hélas par la complexification, déstabilisant celui-là même qu’elle a voulu servir. On se demandera en effet si dans la réalité empirique, le manager se sert véritablement de ces outils ou s’il n’est pas tout simplement ‘’réaliste’’, se servant du ‘’bon sens’’ de Peter et Waterman et s’arrimant plutôt à la Miller sur des points d’ancrage, des routines ou des artefacts, pour bâtir sa décision. Dans la pratique, les taux d’intérêt ou d’escompte en banque sont-ils toujours négociables ? Le banquier et le manager utilisent-ils véritablement les algorithmes qui leur sont proposés ? Les traders dont la décision de placement est aussi rapide que l’éclair ont-ils le temps ou la possibilité d’entreprendre par anticipation tous les calculs ? Plus proche de nous, en terre africaine, à cause des situations de captivité dans lesquelles sont souvent prix

sonnières les entreprises, les institutions et les individus, conjuguée à la difficulté, voire à l’impossibilité de manipuler les outils financiers à cause de la pauvreté ambiante en infrastructures d’accompagnement financier des organisations tels les marchés financiers, le MATIF et les instruments correspondants, on se demande bien parfois à quel destin sont vouées ces techniques sophistiquées. Au-delà de ces multiples interrogations, on ne peut que contempler la richesse de l’esprit et encourager la théorie, le savoir, à aller de l’avant pour préparer le chemin à la modernité galopante et irréversible. Dans ce sens, les managers trouveront ici leurs attentes, les étudiants en sciences économiques et de gestion de la matière, et les enseignants de mathématiques financières un support crédible. Hommage soit donc rendu au docteur Oscar Assoumou Menye qui, par son réalisme et l’acceptation de ce risque calculable, honore Michel de Montaigne de l’espoir dont il nous inonde.

Claude BEKOLO
Professeur des Universités en Sciences Economiques et de Gestion Titulaire de la Chaire de Gestion à l’Université de Douala.

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AVANT-PROPOS
Nous sommes tous, dans le monde moderne où domine la recherche effrénée de la rentabilité et de la performance, concernés par l’usage des méthodes et techniques susceptibles de les atteindre. Très peu connues du grand public, les mathématiques financières sont pourtant l’une des voies reconnues d’obtention de la performance. Mystérieuse, futile, sévère et désavouée parfois, cette discipline a franchi de nombreuses étapes pour finir par s’imposer comme vecteur d’optimalité dans la gestion d’entreprise. Or, comme bien des mots en quête de légitimité, essayer d’en donner une définition concise est un exercice très périlleux auquel nous ne nous risquerons pas. D’une part, à cause du sentiment de réductionnisme auquel s’assimile la plupart des définitions et d’autre part, à cause de leur impérialisme qui les dénue souvent de leur substance. Nous allons néanmoins nous risquer à circonscrire les domaines d’intervention des mathématiques financières tant notre propos s’adresse à des profanes, qui, à n’en point douter, n’ont pas besoin, à titre initiatique, de développements holistiques et ésotériques. Nous laissons cette initiative, à de vrais spécialistes des mathématiques financières, qui, dans un langage approprié, arrivent à transmettre plus de choses que ne le font de simples contributions initiatiques. L’activité d’une entreprise suppose l’existence d’un patrimoine solide et sa pérennité implique la réalisation de bénéfices. La maîtrise de son évolution nécessite la connaissance des conditions internes de création de valeur. Ainsi, les calculs des taux de rendement, du coût de crédit et autres, ne sont-ils pas des voies permettant d’apprécier l’efficience de l’entreprise ? Les mathématiques financières introduisent ainsi la logique et la rigueur mathématiques dans l’appréciation des opérations financières des entreprises ou des particuliers. Juger de l’optimalité d’un placement, d’un

crédit ou d’un investissement renvoie l’utilisation des mathématiques financières.

inéluctablement

à

Sur le plan pratique, les « maths fi » mettent en évidence la réalité économique et utilisent pour cela des grandeurs physiques qu’il faut mesurer à tous les niveaux opérationnels. Elles utilisent un vocabulaire précis : par exemple un coût est différent du prix, tout comme un taux est différent d’un ratio. Nous voyons à travers cette succincte présentation du domaine des « maths fi », que la discipline est vaste et complexe. Les entreprises qui les utilisent le font sans véritable conviction. Cette réticence nous semble dangereuse. Autant nous pouvons convenir qu’une entreprise peut être florissante sans comprendre les « maths fi » autant nous sommes moins sûrs qu’elle puisse l’être longtemps si elle ambitionne de se développer dans un marché concurrentiel. Nous souhaitons, à travers ce livre, réduire, voire vaincre les incertitudes liées à l’utilisation des « maths fi » par nos entreprises. Les réticences constatées tiennent moins d’une inutilité de la discipline que d’un vrai déficit informationnel et communicationnel. L’ambition de ce livre est de transcender ces préjugés et de montrer l’opportunité des « maths fi » dans nos organisations. Ceci passe par une vulgarisation de la discipline que n’autorisent pas souvent des récits ésotériques et élitistes. A notre avis, il est anormal et frustrant que les « maths fi » semblent encore, à l’heure actuelle, effrayer ou rebuter bon nombre de personnes (étudiants, cadres de tous niveaux, gestionnaires, décideurs…) qui les considèrent comme un domaine réservé à un microcosme féru des mathématiques. Pourtant, la globalisation de l’économie, l’exacerbation de la concurrence et l’extrême difficulté à se singulariser, rendent davantage indispensables la connaissance et la maîtrise des méthodes de calcul de la rentabilité. La création de la valeur est devenue un enjeu emblématique, gage de crédibilité et vecteur de croissance.

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Dans l’environnement actuel caractérisé par une forte incertitude, nombre de décideurs ont compris l’indispensabilité des « maths fi », mais une grande partie d’entre eux ignorent leur utilisation et en font un mauvais usage. Il survient alors un paradoxe où certains décideurs supposés connaître les « maths fi » en ignorent les mécanismes, et d’autres, fébriles à leur mise en œuvre, n’osent s’y investir. C’est pour dénouer ce paradoxe qu’est née l’idée d’écrire ce livre. Il a pour ambition d’élargir et d’étendre les « maths fi » à des cibles autres que traditionnelles et de les rendre compréhensibles par les non-initiés. Son objectif est d’initier les étudiants et nos opérateurs économiques aux mathématiques financières. Essentiellement pédagogique, il présente les concepts de base des mathématiques financières et donne à l’étudiant et au praticien à travers plusieurs exemples simplifiés et détaillés, des outils leur permettant de comprendre le fonctionnement de l’environnement économique et financier. On pourrait naturellement s’étonner de voir un nouvel ouvrage de « maths fi » venir s’ajouter à la pléthore déjà existante, surtout lorsqu’on connaît la valeur scientifique de certains ouvrages déjà parus dans ce domaine. L’idée d’écrire ce livre se fonde aussi sur une envie de suppléer à une vacuité : l’absence dans notre environnement d’un ouvrage « digeste » et vulgarisateur destiné au grand public. Les « maths fi » ne doivent plus apparaître comme une discipline hermétique réservée à des praticiens ou étudiants ayant un profil essentiellement matheux. Nous voulons amenuiser le décalage existant entre le spécialiste qui utilise un langage et des développements complexes et l’immense besoin de simplicité qu’éprouvent les curieux non-spécialistes. Vouloir présenter aussi simplement que possible et sans chercher à exclure, une discipline désormais utile à tous, sans qu’il soit nécessaire d’avoir des prérequis a été notre objectif dans cet ouvrage. En effet, un livre, quel qu’il soit, est un vecteur de communication et de développement culturel. On ne peut efficacement communiquer et transmettre le savoir qu’en utilisant des mots xv

connus des lecteurs et en limitant au maximum l’usage de formules et tournures complexes. C’est ce que confirme Lavoisier, dans son discours préliminaire à son Traité de chimie, lorsqu’il écrit : « Comme ce sont les mots qui concernent les idées et qui les transmettent, il en résulte qu’on ne peut perfectionner le langage sans perfectionner la science, ni la science sans le langage et que, quelque certains que fussent les faits, quelque justes que fussent les idées qu’ils auraient fait naître, ils ne transmettraient encore que des impressions fausses si nous n’avions pas des expressions exactes pour les rendre ». Les exercices et nombreuses illustrations contenus dans ce livre ne sont-ils pas ces impressions exactes qui sont nécessaires pour rendre compte les idées et les faits ? Cet ouvrage qui s’adresse essentiellement à des non-initiés, se propose de conduire, aussi agréablement que possible et sans trop de difficultés, le lecteur jusqu’à un niveau de connaissance honorable, susceptible de l’aider dans l’utilisation quotidienne des « maths fi ». L’accession à un niveau de connaissances supérieur exige la lecture d’ouvrages spécialisés et plus approfondis. Notre souci dans cet ouvrage, est de ne pas mettre le lecteur en état d’infériorité par l’utilisation d’un vocabulaire complexe. Notre ambition est de faire comprendre et pourquoi pas, de faire aimer les « maths fi », de faire en sorte que le lecteur puisse valablement les utiliser sans peur ni panique de n’avoir pas fait des études approfondies de mathématiques. La simplicité n’exclut pas une certaine rigueur et il est certainement plus difficile d’expliquer avec des mots triviaux une discipline réputée ardue que de rédiger un ouvrage réservé aux seuls initiés. Nous avons donc eu, tout au long de cet ouvrage, le souci permanent de conduire le lecteur à des progrès, en lui proposant un outil démonstratif essentiellement pédagogique. Les nombreux exemples, loin d’avoir une vocation explétive, sont le fondement même de la compréhension du raisonnement. La progressivité adoptée, qui permet d’atteindre sans gros efforts (à condition bien sûr de travailler les exercices fournis), un niveau honorable, fait largement appel aux schémas, graphiques xvi

et tableaux de toute sorte, seuls gages, à notre avis, d’une bonne compréhension et d’un intérêt sans cesse renouvelé. Ainsi, les exercices poursuivent des objectifs bien précis. Pour chacun d’entre eux, il est proposé des corrigés permettant une meilleure maîtrise des concepts précédemment développés. Contenu L’ouvrage traite : - des problèmes d’actualisation et de capitalisation ; (s’agissant des intérêts simples, la méthode hambourgeoise y est particulièrement développée) ; - des emprunts classiques et obligataires (calcul du prix d’une obligation, de son coût et de son rendement) ; - des problèmes des choix d’investissement en avenir certain et incertain ; la résolution des conflits entre critères de choix en environnement certain est faite ainsi qu’une présentation exhaustive du Modèle d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) ; - des problèmes de choix de financement (approches par le bénéfice net par action, les décaissements réels, les flux prévisionnels…). Organisation des chapitres Chaque chapitre comprend un rappel des concepts, des exercices en nombre variable, de difficultés progressives. A chaque fin de chapitre, un rappel des principales formules est fait pour favoriser les aspects mnémotechniques. Les chapitres peuvent se lire indépendamment les uns les autres. Le profane gagnerait toutefois à adopter une lecture progressive. Les corrigés proposés sont étroitement en phase avec les éléments développés dans les chapitres. Ce livre est accessible à un large public. Son originalité tient au fait que beaucoup d’exercices s’appuient sur des produits financiers actuellement expérimentés sur notre paysage économique. Je citerai entre autres la gestion des emprunts obligataires par notre xvii

Bourse régionale des valeurs mobilières, les stratégies de diversification des portefeuilles dont le MEDAF apporte une réponse idoine ; le calcul plus classique du coût du découvert, de l’escompte, des annuités d’emprunts, etc. J’ose croire que ce livre éveillera la curiosité de nos étudiants, gestionnaires et décideurs économiques et leur donnera envie d’adopter définitivement « les maths fi ».

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PREMIERE PARTIE ACTUALISATION ET CAPITALISATION

Les valeurs financières sont souvent définies comme des biens permettant à leurs détenteurs de bénéficier de flux de revenus futurs. Dans toute transaction portant sur ces valeurs, ce qui intéresse les partenaires à l’échange, c’est de déterminer le montant de ces valeurs, soit au moment présent (actualisation), soit à un moment futur (capitalisation). L’actualisation et la capitalisation sont ainsi à la base de ce qui constitue la règle d’or des mathématiques financières : On ne peut comparer ou égaler des valeurs qu’après avoir ramené ces valeurs à une même date d’évaluation. Lorsqu’une personne A prête une certaine somme à une personne B pendant un laps de temps donné, elle rend un service à B tout en assumant, elle-même, plusieurs inconvénients : - le risque de non récupération de son capital par défaillance du débiteur ; - la dépréciation du pouvoir d’achat de la monnaie ; - l’impossibilité de profiter des opportunités d’utilisation productive de son argent pendant toute la durée du prêt. Il est donc normal, compte tenu des risques courus, que A reçoive en contrepartie, une rémunération appelée « intérêt » qui n’est autre que le loyer de l’argent prêté. Cet intérêt sera proportionnel : - au montant du capital placé ou emprunté ; - à la durée du placement ; - au taux du placement, d’intérêt qui est fonction des taux pratiqués sur le marché des capitaux et des risques que représente l’emprunteur. Le montant des intérêts liés à un financement représente : - pour l’emprunteur, le coût principal de l’opération ; - pour le prêteur, la base du revenu du placement. La méthode de calcul de ces intérêts n’est pas neutre et peut avoir une incidence non négligeable sur leur montant. On distingue traditionnellement deux catégories principales d’intérêts : les intérêts simples et les intérêts composés.

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