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Automatique appliquée

De
351 pages
L'automatique est désormais un domaine accessible aux ingénieurs généralistes grâce à la pratique industrielle de la simulation, à l'approche systémique, aux boîtes à outils logicielles et aux progrès des moyens de calcul embarqués. Automatique appliquée permet d'acquérir les connaissances théoriques indispensables à la réalisation des objectifs suivants : apporter des solutions aux problèmes de commande, lorsque le bon sens ou l'habileté de l'ingénieur n'y suffit pas, y parvenir à travers une démarche méthodologique efficace et rationnelle, acquérir une compréhension profonde des limites aux performances et à la robustesse des boucles de pilotage, pratiquer les moyens de simulation, d'analyse et de conception des systèmes de commande, et acquérir le langage et les bases de l'automatique. Cet ouvrage est structuré autour d'une méthodologie de commande robuste éprouvée : la restauration de transfert de boucle (LTR). Sous sa version duale, celle-ci s'apparente à la commande à modèle interne et s'adresse aussi bien aux systèmes instables, non linéaires ou multivariables. Une retombée très concrète n'en est pas moins le réglage rationnel des régulateurs universels : les PID.
Introduction. Régulateurs PID. Systèmes LTI et transmittances. Approche fréquentielle de la commande. Commande à modèle interne. Formalisme matriciel et applications orientées automatique. Représentations d'état. Retour d'état et observateurs - Commande LQG. État et formage fréquentiel - LTR. Commande à modèle interne généralisée. Commande duale des systèmes non linéaires. Réglage rationnel des régulateurs RST et PID. Identification. Bibliographie. index
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Automatique appliquée




































© LAVOISIER, 2007
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN 978-2-7462-1462-0


Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,
que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
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Code de la propriété intellectuelle.
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, February 2007.








Automatique appliquée









Philippe de Larminat















TABLE DES MATIÈRES
Chapitre 1. Introduction ................................... 15
1.1. Introduction aux systèmes automatisés ....................... 15
1.1.1. Signaux et systèmes............................... 15
1.1.2. Architecture des systèmes de commande .................... 16
1.1.3. Automatique et automatismes ......................... 17
1.2. Boucles de commande................................. 17
1.2.1. Loi de commande ................................ 17
1.2.2. Processus concerné 18
1.2.3. Processus et environnement .......................... 19
1.3. Problématique de l’automatique ........................... 21
1.3.1. Boucle fondatrice 21
1.3.2. Problématique .................................. 22
1.3.3. Contradictions et paradoxes de l’automatique ................ 22
1.4. Survol des chapitres 24
1.4.1. Le fil directeur 24
1.4.2. Chapitre 2 : Régulateurs PID 24
1.4.3. Chapitre 3 : Systèmes LTI et transmittances ................. 25
1.4.4. Approche fréquentielle de la commande ................... 26
1.4.5. La commande à modèle interne ........................ 27
1.4.6. Formalisme matriciel et applications orientées automatique ........ 28
1.4.7. Représentations d’état ............................. 28
1.4.8. Commande par retour d’état et observateurs ................. 28
1.4.9. Etat et formage fréquentiel – LTR....................... 29
1.4.10. Commande à modèle interne généralisée .................. 30
1.4.11. Commande duale des systèmes non linéaires................ 30
1.4.12. Réglage rationnel des régulateurs RST et PID ............... 31
1.4.13. Identification .................................. 31
1.5. Conclusion ....................................... 32









6 Automatique appliquée
Chapitre 2. Régulateurs PID................................. 33
2.1. Régulateurs et degrés de liberté ........................... 33
2.2. Représentation indicielle des processus ....................... 34
2.2.1. Réponses indicielles .............................. 34
2.2.2. Systèmes contrôlables par PID......................... 35
2.2.3. Systèmes non contrôlables par PID ...................... 36
2.3. Les trois actions : proportionnelle, intégrale et dérivée............... 37
2.3.1. Commande proportionnelle .......................... 37
2.3.2. Commande proportionnelle-intégrale (PI) ................. 38
2.3.3. Commande proportionnelle-dérivée (PD) .................. 39
2.4. Formulation des PID.................................. 40
2.5. Réglage des PID .................................... 41
2.5.1. Nécessité du réglage .............................. 41
2.5.2. Signature R L d’un processus ......................... 42
2.5.3. Méthode de Ziegler et Nichols 43
2.5.4. Réglage par logique floue ........................... 43
2.6. Mise en œuvre numérique des PID.......................... 44
2.6.1. Retard numérique ................................ 44
2.6.2. Limitation de la commande 45
2.6.3. Antisaturation 45
2.6.4. Restriction de l’action dérivée à la boucle de retour............. 46
2.6.5. Filtrage de l’action dérivée 46
2.7. Perspectives théoriques 47
2.7.1. Techniques d’analyses ............................. 47
2.7.2. Validité du champ d’application ........................ 47
2.7.3. Méthodes de réglage rationnelles ....................... 47
2.7.4. Perspectives ................................... 48
2.8. Exercice : analyse et réglage en simulation d'un PID............... . 49
2.8.1. Modélisation simplifiée 53
2.8.2. Réglage par Ziegler et Nichols......................... 51
2.8.3. Analyses théoriques . 51
Chapitre 3. Systèmes LTI et transmittances........................ 53
3.1. Equations différentielles et transmittances ..................... 53
3.1.1. L’opérateur dérivation ............................. 53
3.1.2. Transmittance rationnelle associée à une équation différentielle...... 54
3.1.3. Associations de systèmes et algèbre des diagrammes .......... 55
3.1.4. Interprétation et intérêt des transmittances .................. 56
3.2. Réponses fréquentielles des fonctions de transfert ................. 57
3.2.1. Gain complexe ................................. 57
3.2.2. Réponses fréquentielles 57
3.2.3. Retard pur et transmittances non rationnelles 58
3.2.4. Représentation graphique des réponses fréquentielles .......... 58
3.2.5. Transmission des spectres ........................... 61
3.3. Réponses temporelles des systèmes LTI....................... 62
3.3.1. Réponse indicielle................................ 62















Table des matières 7
3.3.2. Réponses impulsionnelles et convolution................... 63
3.3.3. Systèmes du premier ordre ........................... 64
3.3.4. Systèmes du second ordre 66
3.3.5. L’intégrateur................................... 68
3.4. Eléments d’analyse .................................. 69
3.4.1. Stabilité ..................................... 69
3.4.2. Transmittances propres ou impropres ..................... 70
3.4.3. Comportement initial et final des réponses.................. 70
3.4.4. Effet des pôles et zéros mineurs ........................ 71
3.5. Systèmes et transmittances à temps discret 72
3.5.1. Temps discret et opérateur avance....................... 72
3.5.2. Transmittances en z ............................... 73
3.5.3. Réponses fréquentielles à temps discret.................... 74
3.5.4. temporelles des systèmes à temps discret............. 75
3.6. Exercices ...................................... 76
3.6.1. Analyse d’une transmittance.......................... 76
3.6.2. Création de modèles............................. 76
Chapitre 4. Approche fréquentielle de la commande .................. 79
4.1. Introduction à l’approche fréquentielle ....................... 79
4.2. Sensibilités et transferts de boucle 80
4.2.1. La boucle de base ................................ 80
4.2.2. Commande en boucle ouverte ......................... 81
4.2.3. Extensions de la boucle de base ........................ 81
4.2.4. Transfert de boucle ............................... 82
4.2.5. Sensibilités.................................... 82
4.3. Performances et robustesse en performances.................... 84
4.3.1. Performances et sensibilité directe....................... 84
4.3.2. Robustesse en performances.......................... 84
4.3.3. Transfert de boucle avec facteur intégral ................... 85
4.3.4. Réponses fréquentielles des sensibilités S et T. Fréquence de croisement . 86
4.3.5. Spécification des performances ........................ 87
4.3.6. Performances temporelles ........................... 88
4.4. Stabilité et robustesse en stabilité 89
4.4.1. Importance du point [-1] dans le plan de Nyquist .............. 89
4.4.2. Théorème de Nyquist et critère du revers ................... 90
4.4.3. Marges de gain, de phase et de retard ..................... 90
4.4.4. Incertitudes relatives et sensibilité complémentaire ............. 92
4.5. Le formage de boucle empirique 94
4.5.1. Formage direct par les coefficients d’un PID ................. 94
4.5.2. Formage à travers des paramètres de haut niveau .............. 97
4.5.3. Au-delà des PID................................. 99
4.6. Performances et robustesse : limites et compromis 101
4.6.1. Le concept de minimum de phase ....................... 102
4.6.2. Contraintes géométriques des diagrammes fréquentiels ........... 103
4.6.3. Contrôle des systèmes à minimum de phase ................. 107
4.6.4. Limitations dues aux non minimums de phase................ 109














8 Automatique appliquée
4.7. Conclusions ...................................... 113
4.8. Exercices ........................................ 114
4.8.1. Application directe du programme donné (section 4.5.1) .......... 114
4.8.2. Réglage par l’intermédiaire des spécifications ................ 114
Chapitre 5 . Commande à modèle interne ......................... 115
5.1. Introduction aux commandes à base de modèle................... 115
5.2. L’inversion de modèle................................. 116
5.2.1. Inversion d’une transmittance 116
5.2.2. Inversion des systèmes non LTI........................ 119
5.3. Principe général de la commande à modèle interne................. 120
5.3.1. Spécificité de la commande à modèle interne ................ 120
5.3.2. Le modèle interne ................................ 122
5.3.3. Le filtre de robustesse.............................. 122
5.3.4. Le modèle inverse 123
5.3.5. Exemple ..................................... 123
5.4. Analyses de robustesse et réglage .......................... 124
5.4.1. Robustesse en régulation............................ 124
5.4.2. Transfert de boucle ............................... 125
5.4.3. Robustesse par restauration du transfert de boucle.............. 126
5.4.4. Méthodologie de réglage 128
5.5. Conclusions ...................................... 129
5.6. Exercices ........................................ 129
5.6.1. Performances de la commande à modèle interne .............. 129
5.6.2. Comparaison avec un PID ........................... 129
5.6.3. Robustesse ................................... 130
Chapitre 6 . Formalisme matriciel et applications orientées automatique....... 131
6.1. Matrices et vecteurs .................................. 131
6.1.1. Matrices ..................................... 131
6.1.2. Vecteurs 132
6.1.3. Notations 132
6.1.4. Transposition 132
6.1.5. Matrices prédéfinies .............................. 133
6.2. Opérations sur les matrices 133
6.2.1. Addition 133
6.2.2. Produit de matrices ............................... 134
6.2.3. Produit d'une matrice par un vecteur ..................... 134
6.2.4. Multiplication par un scalaire ......................... 135
6.2.5. Inversion de matrice 135
6.3. Valeurs propres, vecteurs propres, exponentielles de matrice........... 135
6.3.1. Valeurs propres, vecteurs propres ....................... 135
6.3.2. Diagonalisation ................................. 136
6.3.3. Exponentielle et autres fonctions matricielles ................ 136
6.4. Normes vectorielles et matricielles.......................... 137


















Table des matières 9
6.4.1. Produit scalaire et norme euclidienne..................... 137
6.4.2. Matrice unitaire ................................. 138
6.4.3. Décomposition en valeurs singulières 138
6.4.4. Vecteurs indépendants et rang d'une matrice ................. 139
6.4.5. Norme matricielle ................................ 139
6.5. Différenciations et développements en série de Taylor............... 140
6.5.1. Développement en série de Taylor d'une fonction vectorielle de variable vectorielle 140
6.5.2. Fonctions composées .............................. 141
6.5.3. Développement d'une fonction scalaire d'un vecteur x............ 141
6.5.4. Positivité d’une matrice............................. 142
6.5.5. Conditions d’extrêmalité d’une fonction ................... 142
6.6. Intégration des systèmes d'équations différentielles ................ 142
6.6.1. Systèmes décrits par des équations différentielles d'ordre 1......... 142
6.6.2. Intégration d'un système linéaire libre x = Ax ................. 143
6.6.3. Modes ...................................... 144
6.6.4. Stabilité ..................................... 144
6.6.5. Analyse de la stabilité d'un système non linéaire par linéarisation ..... 145
6.6.6. Analyse par la méthode de Lyapounov .................... 145
6.7. Résolution des systèmes d'équations au sens des moindres carrés ........ 146
6.7.1. Systèmes d'équations linéaires ......................... 146
6.7.2. Pseudo-inverse ................................. 146
6.7.3. Algorithmes itératifs pour la résolution des systèmes non linéaires .... 148
6.8. Exercices ........................................ 149
6.8.1. Poser un produit de matrices 149
6.8.2. Compatibilité des dimensions 149
6.8.3. Mise en forme matricielle d'un système d'équations linéaires........ 150
6.8.4. Conversion d'une équation différentielle d'ordre n en une équation
différentielle matricielle d'ordre 1 .......................... 150
6.8.5. Exponentielle de matrice ............................ 151
6.8.6. Stabilité des points d'équilibre de l'équation différentielle ......... 151
6.8.7. Estimation d'une caractéristique statique par moindres carrés ....... 151
Chapitre 7 . Représentations d’état ............................. 153
7.1. Concept d’état, équations d’état ........................... 153
7.1.1. L’état : la mémoire d’un système ....................... 153
7.1.2. Exemple illustratif................................ 154
7.1.3. Forme générale des équations d’état...................... 156
7.1.4. Détermination des équations d’état 158
7.2. Résolution des équations d’état............................ 162
7.2.1. Intégration numérique 162
7.2.2. Intégration formelle ............................... 164
7.2.3. Réponses fréquentielles des systèmes d’état LTI............... 165
7.2.4. Réponse à des excitations aléatoires 165
7.3. Discrétisation des systèmes à temps continu .................... 167
7.3.1. Discrétisation exacte .............................. 167
7.3.2. Discrétisations approchées ........................... 168
7.3.3. L’opérateur delta ................................ 168























10 Automatique appliquée
7.3.4. Discrétisation des impulsions et bruits blancs ................ 170
7.4. Analyse des systèmes LTI dans l’espace d’état ................... 170
7.4.1. L’espace d’état ................................. 170
7.4.2. Formes modales et stabilité .......................... 171
7.4.3. Commandabilité, observabilité......................... 172
7.5. Exercices ........................................ 177
7.5.1. Conversion formelle état-transfert d’un second ordre ............ 177
7.5.2. Schéma de simulation d’une transmittance .................. 178
7.5.3. Analyses de commandabilité-observabilité ................. 179
Chapitre 8 . Retour d’état et observateurs – Commande LQG............. 183
8.1. Retour d’état et principe de séparation........................ 183
8.1.1. Optimisation prédictive............................. 183
8.1.2. Stabilisation basée méthode de Lyapounov.................. 184
8.1.3. Observateurs................................... 184
8.1.4. Principe de séparation 185
8.2. Retour d’état direct .................................. 186
8.2.1. Priorité à la stabilité............................... 186
8.2.2. Placement de pôles 186
8.2.3. Optimisation linéaire quadratique (LQ) ................... 188
8.2.4. Sensibilités.................................... 191
8.3. Observateurs LTI 192
8.3.1. Principe de simulation/correction pour la conception des observateurs . . 192
8.3.2. Analyse déterministe .............................. 193
8.3.3. Détermination des gains par dualité ...................... 193
8.3.4. Sensibilités 194
8.3.5. Observateurs d’ordre réduit .......................... 194
8.3.6. Observateur de Kalman............................. 195
8.4. Poursuite et régulation par retour d’état ....................... 198
8.4.1. Inversion de modèle par retour d’état ..................... 198
8.4.2. Généralisation .................................. 200
8.4.3. Modèles d’état des consignes et perturbations ................ 201
8.4.4. Equations de rejet ................................ 202
8.5. Lois de commande complètes ............................ 205
8.5.1. Régulateurs à un degré de liberté......................... 205
8.5.2. Régulateurs à plusieurs degrés de liberté 206
8.5.3. Robustesse du rejet 206
8.6. Commande LQG .................................... 207
8.6.1. Théorème de séparation ............................. 207
8.6.2. Limites de la commande LQG 208
8.7. Exercice d’application................................. 209
8.7.1. Modèle 209
8.7.2. Gain de retour d’état 209
8.7.3. Gain avec rejet ................................ 209
8.7.4. L’observateur 210
8.7.5. Régulateur et réponses ............................ 210
8.7.6. Réglage .................................... 211














Table des matières 11
8.7.7. Robustesse structurée ............................. 211
8.7.8. Conclusions .................................. 212
Chapitre 9 . Etat et formage fréquentiel - LTR ...................... 213
9.1. La restauration de transfert de boucle ..................... 213
9.1.1. Contexte ..................................... 213
9.1.2. Transmittance des régulateurs complets.................... 214
9.1.3. Expression des sensibilités directes 214
9.2. Stratégies de commande de type A.......................... 217
9.2.1. Placement de pôles de type A ......................... 217
9.2.2. Optimisation LQ de type A........................... 220
9.2.3. Robustesse renforcée : stratégie A ...................... 222 +
9.2.4. Stratégies A appliquées aux observateurs................... 223
9.3. Stratégies de commande de type B 224
9.3.1. Objectifs B.................................... 224
9.3.2. Placement de pôles de type B 225
9.3.3. Optimisation LQ de type B 226
9.3.4. Gains en poursuite ............................... 227
9.3.5. Stratégies B appliquées aux observateurs ................... 228
9.3.6. Le facteur de restauration k .......................... 228 c
9.4. Classification duale / primale des méthodes de commande ............ 228
9.4.1. Les archétypes : PID et modèle interne .................... 228
9.4.2. Intégrateurs explicites ou implicites ...................... 229
9.5. Méthodologie de réglage 230
9.5.1. Réglage ou spécifications ? 230
9.5.2. Les paramètres de réglage communs dual-primal .............. 231
9.5.3. Principes de réglage 232
9.6. Exercices ........................................ 234
9.6.1. Pilotage d’un triple intégrateur ....................... 234
9.6.2. Commande d’une structure flexible .................... 236
Chapitre 10 . Commande à modèle interne généralisée ................. 239
10.1. Intérêt de la généralisation.............................. 239
10.2. Version état observateur de la commande à modèle interne ........... 240
10.2.1. Réalisation d’état du modèle interne ..................... 240
10.2.2. Inversion du modèle interne ......................... 240
10.2.3. Modèle interne et filtre de robustesse : des observateurs.......... 241
10.2.4. Interprétation des gains de filtrage par une stratégie de type A ...... 242 +
10.3. Généralisations de la commande à modèle interne ................ 243
10.3.1. Systèmes faiblement stables 243
10.3.2. Commande sans compensation de perturbation ............... 244
10.3.3. Systèmes instables en boucle ouverte .................... 245
10.3.4. Généralisation aux perturbations additives sur l’entrée .......... 245
10.3.5. Généralisation des modèles de perturbations ................ 247
10.4. Limitations sur la commande ............................ 247

















12 Automatique appliquée
10.4.1. Incorporation des limitations dans le modèle interne ............ 247
10.4.2. Prise en compte des limitations dans la commande............. 248
10.4.3. Un problème d’optimisation fonctionnelle ................. 249
10.4.4. Applications .................................. 252
10.5. Poursuite de consigne et feedforward........................ 253
10.5.1. Réglage de la poursuite par le paramètre T 253 c
10.5.2. Réglage séparé de la poursuite par feedforward (paramètre T)...... 254 r
10.5.3. Feedforward sur perturbations 256
10.6. Commande multivariable par modèle interne ................... 257
10.6.1. Spécificité de la commande multivariable.................. 257
10.6.2. Généralisation multivariable ......................... 257
10.6.3. Difficultés induites par les zéros de transmission.............. 258
10.6.4. Une fonction pour l’inversion par découplage ............... 260
10.7. Un algorithme de découplage par retour d’état dynamique............ 261
10.7.1. Rappel : l’inversion parfaite par retour d’état statique ........... 261
10.7.2. Traitement des zéros lignes non admissibles ................ 262
10.7.3. Traitement des zéros d’interconnexion non admissibles .......... 264
10.7.4. Mise en œuvre ................................. 265
10.8. Application....................................... 266
10.8.1. Conception d’une fonction de synthèse à usage général ............ 266
10.8.2. Régulation pression-puissance en centrale thermique ............. 267
Chapitre 11. Commande duale des systèmes non linéaires ............... 271
11.1. Vers la commande non linéaire par modèle interne................ 271
11.1.1. Introduction .................................. 271
11.1.2. Le champ théorique non linéaire....................... 272
11.1.3. Commande non linéaire à modèle interne ................... 273
11.2. Commande par linéarisation tangente 274
11.2.1. Trajectoires de référence ........................... 274
11.2.2. Linéarisé tangent................................ 275
11.2.3. Expression du régulateur 275
11.3. Inversion par retour non linéaire .......................... 276
11.3.1. Un point critique : la stabilité du modèle inverse ............. 276
11.3.2. Linéarisation par feedback 277
11.3.3. Système plat, sortie plate 279
11.3.4. Rejet de perturbations ............................. 280
11.3.5. Poursuite bornée en accélération et en vitesse................ 280
11.3.6. Conclusion : un réglage de type B ...................... 280
11.4. Observateurs non linéaires.............................. 281
11.4.1. Conception soumise au contexte ....................... 281
11.4.2. Le filtre de Kalman étendu .......................... 282
11.4.3. Systèmes état-affine et observateurs ..................... 283
11.5. Exemple : commande d’une centrale hydroélectrique ................ 284
11.5.1. Description du processus ........................... 284
11.5.2. Mise en équation................................ 285
11.5.3. Linéarisé tangent 288
11.5.4. Dynamiques résiduelles instables ...................... 288












Table des matières 13
11.5.5. Sortie plate et inversion ............................ 289
11.5.6. Synthèse d’un observateur .......................... 291
11.5.7. Analyse du régulateur ............................. 292
11.5.8. Réglage du régulateur 293
Chapitre 12. Réglage rationnel des régulateurs RST et PID .............. 295
12.1. Régulateurs RST ................................... 295
12.1.1. Formulation RST des régulateurs LTI .................... 295
12.1.2. Synthèse des régulateurs RST ........................ 296
12.1.3. Résolution des équations de Bézout ..................... 297
12.1.4. Besoin méthodologique............................ 298
12.2. Synthèse des régulateurs RST par restauration de sensibilité........... 300
12.2.1. Synthèses équivalentes état - polynomial .................. 300
12.2.2. Synthèse polynomiale de la commande LTR duale ............ 302
12.2.3. Interprétation polynomiale du LTR 302
12.2.4. Cas général : incorporation de facteurs fixes dans R et S ......... 303
12.2.5. Degré des polynômes en présence ...................... 304
12.3. Mise en œuvre des régulateurs RST ........................ 306
12.3.1. Temps discret ................................. 306
12.3.2. Temps continu ................................ 307
12.3.3. Désaturation des actions intégrales .................... 307
12.4. Réglage rationnel des PID.............................. 309
12.4.1. Modèles de conception compatibles avec les PID ............. 309
12.4.2. Synthèse .................................... 310
12.4.3. PID à temps discret 311
12.4.4. Feedforward.................................. 312
12.4.5. Modélisation au second ordre......................... 313
12.5. Application ...................................... 314
12.5.1. Une fonction pour la synthèse RST ..................... 314
12.5.2. le réglage des PID .................... 314
12.5.3. Application à une série de modèles 315
Chapitre 13. Identification 317
13.1. Généralités 317
13.1.1. Modélisation et identification......................... 317
13.1.2. Approximation et estimation 319
13.1.3. Domaine de validité d’un modèle ...................... 319
13.1.4. Méthodes paramétriques et non paramétriques ............... 320
13.2. Aperçu de la théorie de l’estimation appliquée à l’identification......... 321
13.2.1. Famille des modèles ARMAX ........................ 321
13.2.2. Méthode du maximum de vraisemblance .................. 322
13.2.3. Méthodes ARMAX, Box et Jenkins, ARX, OE .............. 323
13.2.4. Méthodes de l’erreur de prédiction 324
13.2.5. Erreur de prédiction et innovation ...................... 325
13.2.6. Critique des méthodes statistiques 326
13.3. Moindres carrés d’innovation............................ 328














14 Automatique appliquée
13.3.1. Principe de l’identification par MCI ..................... 328
13.3.2. Détermination de K .............................. 329 o
13.3.3. Minimisation .................................. 331
13.4. Méthodologie de l’identification .......................... 333
13.4.1. Choix de la méthode 333
13.4.2. Réglage de l’horizon d’identification .................... 334
13.4.3. Signaux d’excitation 334
13.4.4. Identification en boucle fermée........................ 336
13.5. Exemple d’application ................................ 336
13.6. Conclusions ...................................... 340
Bibliographie.......................................... 341
Index............................................... 343






CHAPITRE 1
Introduction
1.1. Introduction aux systèmes automatisés
1.1.1. Signaux et systèmes
Les systèmes automatisés sont d'une grande variété. Cela va du convecteur
domestique piloté par un thermostat bilame jusqu’à l’unité pétrochimique, équipée de
milliers de boucles de régulation. On peut évoquer aussi un missile, une régulation
centralisée de trafic urbain, un robot industriel, etc.
Autrefois, automatismes et régulateurs intégraient dans un même dispositif
mécanique (ou électromécanique) les fonctions suivantes :
– la prise d'information,
– son traitement,
– la réalisation des actions de commande.
Pour illustration : le régulateur de Watt, une vanne réglante de pression ou de
température, un carrousel d’embouteillage actionné par vérins pneumatiques, etc.
Les progrès de l'électromécanique (relais), de l'hydraulique (vérins et distributeurs),
des technologies pneumatiques, de l'électronique (d'abord à tubes, puis à amplis
opérationnels) enfin et surtout des microprocesseurs ont permis de mieux séparer les
16 Automatique appliquée

fonctions capteurs, actionneurs, et traitement des informations. L’émergence des
1concepts de signaux et systèmes a accompagné ces progrès.
Avec l'avènement du numérique, il n'y a pratiquement plus de limite à la
complexité potentielle des lois de commande.Très généralement, on en est venu à
définir abstraitement les loismande comme des opérateurs mathématiques
agissant sur des signaux, opérateurs mis en œuvre à travers des codes informatiques.
L'automatique a pour objet le traitement des informations et l'optimisation en temps
réel des actions qu'il convient d'exercer lors du pilotage d'un système. La conception
de ces traitements passe nécessairement par une structuration des fonctions du
contrôle-commande, en vue de décomposer les difficultés en sous problèmes plus
simples et si possible indépendants.
1.1.2. Architecture des systèmes de commande
La structuration des systèmes de commande peut porter sur le plan du matériel
informatique : calculateurs centralisés ou répartis. Indépendamment de cette
organisation matérielle, il existe toujours aussi une architecture fonctionnelle des
fonctions de contrôle-commande, symbolisée par la figure 1.1.

Contrôle-
commande
Interfaces Instrumentation Processus

Bus Actionneurs

Conversions
digital- Capteurs
analogique
PID
Figure 1.1. Organisation des systèmes automatisés


1. C’est pourquoi l’analyse des dispositifs ancestraux (clepsydre, thermostat bilame),
antérieurs à ces progrès, convient mal à l’illustration de ces concepts.
Introduction 17
Dans cette figure, les connexions symbolisent des interactions, les unes physiques
au sein du processus, les autres informatiques dans le bloc de commande.
L’orientation des relations, c'est-à-dire le sens cause à effet n’y est pas encore explicité
comme il le sera par la suite (figure 1.2).
1.1.3. Automatique et automatismes
Dans cet ouvrage, on s'intéresse essentiellement aux opérations de pilotage,
asservissement et régulation, concernant des grandeurs à valeurs continues (positions,
vitesses, attitudes, pressions, températures, etc.). Le bloc de commande de la figure 1.1
fait apparaître une fonction destinée à ce type d’opération : le régulateur PID (à action
proportionnelle, intégrale, et dérivée).
Le contrôle-commande doit assurer une quantité d’autres opérations :
séquencement, supervision, optimisation, coordination, sécurité, diagnostic,
reconfiguration, recueil de statistiques, affichages, etc.
La conception de certaines de ces fonctions découle trivialement de leur cahier des
charges. D’autres relèvent des concepts plus spécifiques de la logique séquentielle. On
parle alors d’automatismes, en réservant l’appellation automatique à la régulation au
2sens large (incluant pilotage et asservissement) .
L’association des termes contrôle commande souligne la coexistence et souvent
l’interaction entre les fonctions d’automatique et d’automatisme.
1.2. Boucles de commande
1.2.1. Loi de commande
Si donc on focalise l'attention sur les fonctions d'asservissement et de régulation,
une loi de commande (comme le PID de la figure 1.1) se traduit par un opérateur de
traitement du signal, dont il convient de préciser les signaux d'entrée (causes) et les
sorties (effets).

2 Et la cybernétique ? Il s’agit, soit d’un préfixe branché, soit d’une certaine philosophie de la
biologie, de la sociologie, ou de la « gouvernance » (étym. : gouver…= cyber…).



18 Automatique appliquée

Loi de
commande
(Asservissement
ou régulation)
Signaux d'entrée Signaux de sortie
Figure 1.2. Loi de commande : traitement du signal

Du côté des signaux d'entrée de la loi de commande :
− on trouve presque toujours des mesures en provenance du processus. Ces
retours d'information sont relatifs aux grandeurs à contrôler et aux perturbations qui
affectent ces grandeurs à contrôler ;
− ces retours passent par les intermédiaires représentés sur la figure 1.1 : capteurs,
convertisseurs, et d’autres blocs spécifiques et individualisés de traitement du signal ;
− lorsque l'entrée de la loi de commande n'est pas réduite à un signal d'écart, on
trouve aussi des consignes à poursuivre par le processus, et ces consignes peuvent
elles-mêmes être issues d'autres fonctions du contrôle-commande (supervision,
optimisation de point de fonctionnement) ;
− on peut trouver aussi des informations en provenance d’autres lois de commande
de même niveau.
La sortie d’une loi de commande est par nature un signal de commande
(accessoirement une information pour affichage, ou à destination d'une autre fonction
de commande).
Même si ce signal de commande est à destination du processus, via les
convertisseurs numériques analogiques, il passe par les actionneurs (figure 1.1), qui
ne réalisent jamais une proportionnalité parfaite et instantanée.
Le signal de commande constitue parfois une consigne transmise à une loi de
commande de niveau « inférieur », et ainsi de suite, en cascade, jusqu'au signal
analogique effectif.
1.2.2. Processus concerné
Dans le contexte d’un ensemble automatisé structuré, lorsque l’on s’apprête à
concevoir, analyser ou valider une loi de commande élémentaire, il importe de cerner
précisément le système ou processus auquel elle s'adresse. En raison des multiples
interactions présentes dans le processus et dans l’ensemble du contrôle-commande, le
Introduction 19
système à contrôler par une loi de commande particulière englobe en fin de compte
tout ce qui est extérieur à la loi de commande considérée, du moins tout ce qui est
susceptible de provoquer une relation de cause à effet entre les sorties de la loi de
commande et les informations qui sont retournées à son entrée. Il incorpore donc tout
ce qui est recensé sur la figure 1.3 ci-dessous : processus proprement dit, capteurs,
actionneurs, régulations cascades, autres régulations, et jusqu’à l’environnement
perturbateur.
Le système à contrôler vu d’une loi de commande particulière regroupe donc un
vaste ensemble d’éléments divers, complexes et souvent incertains. Les incertitudes
concernent non seulement le processus physique proprement dit, mais aussi tout ce qui
s'y trouve greffé, y compris des éléments parfois inconnus lors de la conception de la
loi de commande concernée, ou ayant fait l'objet de spécifications (parfois
provisoires…). Pour symboliser ces incertitudes, on préfère représenter, comme ci-
dessous, le système à contrôler par un bloc aux contours informes.

Système à contrôler :

Processus proprement dit
Loi de +
commande Capteurs
élémentaire +
signaux Actionneurs
de commande +
Régulations locales
+
Autres fonctions de commande
Signaux +
Environnement perturbateur d'information
Figure 1.3. Une loi de commande et le système concerné

1.2.3. Processus et environnement
Structurer le contrôle commande n'a de sens et d’utilité que si, vu de chaque sous-
système de commande, le système à contrôler correspondant peut être appréhendé
comme un processus aux propriétés relativement simples et lisibles, malgré son
étendue et sa complexité.
20 Automatique appliquée

Pour cela, l’architecte mettra chaque loi de commande élémentaire en
correspondance avec un sous-ensemble précis du processus à contrôler, distingué de
son environnement.
Le bloc « système à contrôler » de la figure 1.3 pourra alors être représenté et
organisé comme le montre la figure 1.4.
Il aurait pu y figurer une éventuelle mesure des perturbations d(t), utilisable comme
information par la loi de commande.
Par ailleurs, le comportement du processus peut dépendre d'autres régulations, et
différer selon qu'elles sont ou non en service.
Environnement
Consigne y (t) r Perturbation d(t)
Processus

Loi de Processus
proprement Capteur commande Actionneur dit
Sortie Commande
y(t) u(t)
Figure 1.4. Une boucle de régulation monovariable


Parfois, le processus est réduit à un actionneur. Par exemple, un moteur muni de
son électronique de commande et d’un capteur de position. La perturbation est le
couple résistant. Il peut se faire que ce couple dépende de la position. Le problème
de la séparation entre le processus et son environnement devient alors difficile à
trancher.
D’autres fois, le processus est d’une grande complexité, par exemple : le
générateur de vapeur d’une tranche de centrale thermique. Pour contrôler la pression
de vapeur, on peut agir sur le débit de combustible. La perturbation principale est le
débit de vapeur à la soupape d’admission du turboalternateur. Ce débit de vapeur est
lui-même une commande pour la régulation de puissance électrique et de fréquence
du réseau.
Introduction 21
Attention donc, la figure 1.4 implique certaines hypothèses et restrictions qu'il
convient d'expliciter. Il admet implicitement que la consigne est un signal
indépendant, c'est-à-dire libre de toute relation de cause à effet entre le processus et
cette consigne, hypothèse à revoir lorsque la consigne est issue d'une optimisation
faisant intervenir l'état du processus. Le même sous-entendu concerne la
perturbation, alors qu'elle dépend parfois de façon détournée de l'état du processus.
Si la réaction du processus sur son environnement se fait avec ses dynamiques
très lentes par rapport à celle de la boucle de régulation envisagée, on pourra
considérer qu’il y a découplage temporel et valider l’hypothèse d’indépendance vis-
à-vis de l’environnement.
La délimitation pertinente des ensembles processus, environnement, lois de
commande au sein d’une architecture de contrôle commande n’est donc pas toujours
une opération triviale.
1.3. Problématique de l’automatique
1.3.1. Boucle fondatrice
Idéalement, les capteurs et actionneurs (figure 1.4) réalisent une proportionnalité
parfaite, sans retard ni distorsion, entre leurs entrées et leurs sorties. Si bien que l’on
omet parfois de représenter cette instrumentation, au risque de confondre le signal
de commande u(t) avec la grandeur physique agissante, et la sortie à contrôler avec
sa mesure y(t).
La figure 1.5 s'accorde néanmoins cette facilité. Elle fait ressortir par un
graphisme spécifique que le processus est un système réel, et donc toujours
incertain : le modèle (symbole G) attribué ici au bloc processus ne sera qu’un
modèle dont la réalité peut s’écarter notablement, ce que souligne le flou du contour
extérieur. L’épaisseur du contour exprime que tous les signaux qui y sont enfermés
sont par hypothèse inaccessibles à la mesure, à l’exception évidemment des entrées
et des sorties représentées.
En revanche, la fonction K du régulateur est supposée être parfaitement réalisée
grâce aux techniques numériques modernes, d’où sa représentation « au carré ».
22 Automatique appliquée

Perturbation d(t)

Consigne y (t) Commande Sortie y(t) r
u(t) Processus Régulateur
G
K
Figure 1.5. La boucle fondatrice de l’automatique
REMARQUE. Les notations u(t) et y(t) sont universellement utilisées pour l’entrée et
la sortie des processus. Pour les perturbations, on note d (disturbance). La consigne est
notée y , comme référence. r
1.3.2. Problématique
La figure 1.5 pose les problèmes fondamentaux de l’automatique :
– 1 : la stabilisation, (car certains processus sont naturellement instables),
– 2 : le rejet des perturbations d(t) inaccessibles à la mesure,
– 3 : la poursuite d’une consigne y (t), r
– 4 : la robustesse aux incertitudes ou variations du processus. On distingue
la stabilité robuste (relative au point 1), et les performances robustes
(relatives aux points 2 et 3).
Lorsqu'il est indispensable de piloter de façon coordonnée plusieurs actions de
commandes, la loi devient multivariable.
1.3.3. Contradictions et paradoxes de l’automatique
Il faut reconnaître que les succès de l'automatique tiennent avant tout aux progrès
matériels et techniques concernant les trois constituants de tout système automatisé :
1 – les processus à contrôler eux-mêmes, 2 – l'instrumentation (capteurs et
actionneurs), 3 – les calculateurs numériques (hôtes des lois de commande). Or cet
Introduction 23
ouvrage n'est dévolu ni à la technologie des processus, ni à celle de l'instrumentation
ou des supports informatiques.
Par ailleurs, il est possible de piloter une vaste classe de systèmes, plus ou moins
non linéaires, plus ou moins incertains et sujets à variations, avec des lois de
commande très générales et réglées sommairement : les fameux régulateurs PID (aux
trois actions proportionnelles, intégrales et dérivées). Mieux, il est à peine besoin de
théorie pour manier ces dispositifs. L’intuition suffit souvent : l’ingénieur ou le
technicien peut se contenter de les mettre en place, et ils constateront que cela
fonctionne dans l’immense majorité des situations courantes.
Paradoxalement, l’automatique n’en est pas moins une discipline scientifique
extrêmement active. Par an, elle fait l’objet de milliers de publications, souvent à
caractère très abstrait, dans des revues et congrès scientifiques de « haut niveau ». Et
pourtant il ne s’agit, ni de physique fondamentale, ni de mathématiques pures. Cette
activité montre à la fois que la théorie n’est pas encore stabilisée, et qu’un besoin
diffus reste insatisfait : les disciplines « confirmées » (mécanique, thermodynamique,
etc.) ne font pas l’objet d’une telle effervescence théorique.
C’est un lieu commun de déplorer un fossé entre la théorie et les applications de
l’automatique, mais ce fossé résulte de la nature même de cette discipline : pour que
l’automatique théorique produise effectivement des retombées concrètes, elle doit être
suffisamment avancée et étendue. Celui qui s’arrête avant le bout d’un chemin (plutôt
aride) n’en tirera pas grand bénéfice.
Par ailleurs, lorsqu’une régulation ou un asservissement se révèle peu performant,
ce n’est pas forcément le régulateur qu’il faut incriminer, si sophistiquée que soit sa
conception, mais celle du processus qui ne présente pas les propriétés requises. Les
raisons sont parfois évidentes (faiblesse des actionneurs, imprécision des capteurs),
mais d’autres sont plus subtiles (non minimum de phase), c’est pourquoi on mettra ici
un accent particulier sur les limites aux performances des boucles d’asservissement et
de régulation (chapitre 4), de sorte que l’ingénieur puisse décider où doivent porter ses
efforts de conception : sur le processus lui-même ou sur les lois de commande.
L'art du concepteur d’un système de contrôle commande (en association avec les
développeurs du processus) consiste à en organiser l'architecture afin que le processus,
du point de vue de chaque loi de commande élémentaire, affiche un comportement
clair et identifiable, même s'il reste toujours soumis à des incertitudes et variations, de
sorte que les lois de commande puissent être aussi normalisées que possible (et si
possible, être assurées par des PID). Ces impératifs de lisibilité du processus et de
normalisation sont extrêmement forts, et on sera prêt à leur sacrifier bien des
« performances », si ces dernières ne sont pas vitales.
24 Automatique appliquée

1.4. Survol des chapitres
1.4.1. Le fil directeur
Cet ouvrage « automatique appliquée » vise à transmettre les connaissances
théoriques indispensables à la réalisation des objectifs suivants :
– apporter des solutions aux problèmes de commande, lorsque le bon sens ou
l’astuce de l’ingénieur n’y suffit pas,
– y parvenir à travers une démarche méthodologique efficace et rationnelle,
– acquérir une compréhension profonde des limites aux performances et à la
robustesse des boucles de pilotage,
– pratiquer les moyens de simulation, d’analyse et de conception des systèmes de
commande,
– et simplement d’abord, acquérir le langage et les bases de l’automatique.
Certaines bases, (en particulier celles relatives aux signaux et systèmes) sont
partagées avec d’autres disciplines : électronique, mécatronique, traitement du signal,
etc.). À ce titre, certains lecteurs en possèdent déjà au moins les rudiments, mais nous
n’avons pas voulu les omettre. On a préféré les introduire au fur et à mesure des
besoins (chapitres 3, 6 et 7), plutôt que de les infliger massivement au lecteur en début
d’ouvrage, ou de les reléguer en annexe.
Les chapitres 2, 4 et 5 introduisent à l’automatique « classique », qui associe
étroitement depuis toujours théorie et méthodologie.
Les chapitres 8 à 12 relèvent de l’approche d’état : observateurs, optimisation, filtre
de Kalman, commande à modèle interne, etc.
L’originalité de cet ouvrage tient à une forte unité méthodologique, réalisée autour
du concept de restauration de transfert de boucle (chapitre 9). Le LTR (Loop
Transfert Recovery) traite de la gestion des compromis performance–robustesse en
donnant priorité, soit à l’action, soit à l’observation. Il constitue le fil directeur de
l’ensemble de l’ouvrage depuis les PID jusqu’à l’identification, en passant par les
commandes LQG, non linéaires, multivariables, RST, etc. Il apporte une
compréhension profonde des rapports entre les différentes méthodes de commande et
il donne naissance à des paramètres de réglage communs à toutes les méthodes décrites
dans cet ouvrage.
1.4.2. Chapitre 2 : Régulateurs PID
Les régulateurs PID (à action proportionnelle, intégrale, dérivée) reproduisent les
actions que l’opérateur humain effectue instinctivement lors d'un pilotage manuel :
Introduction 25
réaction immédiate par correction proportionnelle aux écarts, anticipation par prise en
compte de la tendance (la dérivée de l’écart), incrémentation de l’action jusqu'à
annulation de l'écart (intégration). Non seulement c'est simple et intelligible, mais pour
l'immense majorité des processus, cela ne peut que marcher.
Les PID constituent l’immense majorité des régulateurs en service. Leurs
performances sont-elles optimales ? Si des méthodes « avancées » conduisaient à des
résultats systématiquement supérieurs, cela se saurait, et ces dernières n’auraient pas
tardé à occuper le terrain, maintenant qu’une loi de commande se traduit par un code
informatique dont la complexité n’a pas d’incidence sur le coût d’exploitation. En
attendant d’hypothétiques régulateurs autoadaptatifs, les PID présentent un avantage
irremplaçable : leur mise au point peut être effectuée par des personnels (ingénieurs ou
techniciens) qui peuvent tout ignorer de l’automatique et des mathématiques, jusqu’au
concept d’intégrale.
Dans ce contexte, le chapitre 2 introduit les PID sans faire appel à aucun prérequis
théorique en signaux et systèmes. Il présente d’abord concrètement les processus à
travers leurs réponses indicielles, puis l’origine et les effets des trois actions
proportionnelle, intégrale et dérivée.
Il aborde certains aspects techniques de la mise en œuvre : (numérique,
antisaturation). Il expose aussi le réglage des PID par la méthode de Ziegler et Nichols,
toujours actuelle depuis 1942 !
Enfin, il précise le champ d’application et les limites des PID. Ces limitations
théoriques et pratiques constituent en quelque sorte la raison d’être de la suite de
l’ouvrage.
1.4.3. Chapitre 3 : Systèmes LTI et transmittances
Les transmittances (ou fonctions de transfert) constituent une représentation
compacte et opérationnelle des systèmes linéaires invariants dans le temps (ou
Linéaire Temporellement Invariant : LTI). Elles constituent un prérequis à l’approche
fréquentielle de la commande et, de toute façon, il s’agit d’un instrument de
communication indispensable tant avec les automaticiens qu’avec les praticiens de la
simulation et du traitement du signal.
Traditionnellement, on introduit les transmittances à partir des transformations
complexes de Fourier et de Laplace, d’où il résulte accessoirement une interprétation
de la variable complexe s comme un opérateur dérivation : s = d/dt. On adopte ici la
démarche inverse en définissant d’abord l’opérateur dérivation, ce qui permet
d’associer directement une fraction polynomiale en s aux équations différentielles à
coefficients constants, sans exiger une connaissance préalable de la théorie des
26 Automatique appliquée

fonctions complexes analytiques. L’opérateur dérivation ayant pour gain complexe j ω,
il en résulte immédiatement que le gain complexe d’une transmittance G(s) est donné
par G(j ω). Suivent les représentations fréquentielles par les diagrammes de Bode,
Nyquist et Black-Nichols.
Concernant l’étude des réponses temporelles des systèmes LTI, on se dispense de
faire appel aux transformées de Laplace, sachant que les représentations d’état seront
un instrument mieux adapté à cet effet, surtout en ce qui concerne l’incidence des
conditions initiales. On analyse simplement les propriétés des réponses des systèmes
du premier et du second ordre, directement à partir de la solution de leurs équations
différentielles, ainsi que les comportements initiaux et finaux des réponses, et
l’incidence des pôles et zéros mineurs.
Enfin, on introduit les fonctions de transfert en l’opérateur avance z des systèmes
discrets en suivant la même démarche que pour les systèmes à temps continu.
1.4.4. Approche fréquentielle de la commande
L’approche fréquentielle a longtemps constitué la base de l’automatique (théorique
et appliquée). Ceci s’explique par les rapports étroits que l’automatique entretenait à
l’origine avec l’électronique, et aussi par des raisons calculatoires : le produit des gains
complexes associés aux réponses fréquentielles est plus facile à manier que le produit
de convolution des réponses temporelles. Ces considérations sont maintenant très
accessoires.
Plus fondamentalement, les comportements en limite de stabilité des boucles
fermées se traduisent par des régimes harmoniques, concrètement observables (le
pompage), et il en résulte que le concept de robustesse en stabilité s’exprime de façon
privilégiée en termes de marges fréquentielles : marges de gain et marges de phase.
Dans ce contexte, le chapitre 4 expose les concepts classiques de l’analyse
fréquentielle. On présente les diverses transmittances en boucle fermée associées à une
boucle de régulation : sensibilités directes et complémentaires, et surtout les rapports
conflictuels que le point (–1) du plan de Nyquist entretient avec les « transferts de
boucle ». Les exigences de performance et de stabilité robuste se traduisent par un
antagonisme à arbitrer par le concepteur des systèmes de commande.
Dans la majorité des cas, le réglage (même empirique) des PID permet d’atteindre
un excellent compromis, même s’il subsiste parfois un doute à l’égard de cette
optimalité.
C’est pourquoi la dernière partie de ce chapitre est importante. Elle introduit
certaines relations entre les performances atteignables sous contrainte de stabilité
Introduction 27
robuste par une boucle de régulation, et certaines caractéristiques fréquentielles en
boucle ouverte du processus. Et il s’agit des performances atteignables par quelque
méthode que ce soit.
Malgré leur simplicité, ces relations sont peu diffusées dans la communauté
scientifique des automaticiens (plus intéressés par la découverte de nouvelles méthodes
de synthèse que par l’explicitation des limites aux performances). Il est vrai que ces
résultats n’ont ni la belle concision et l’évidence des principes de Carnot-Clausius ou
de Shannon, ni le prestige de la nouveauté, puisqu’ils sont déjà en germe dans les
travaux de Bode (1945).
L’émergence d’une synthèse claire et élégante des inégalités fondamentales de
l’automatique est d’autant plus attendue que le formalisme mathématique des
méthodes modernes présente une tendance (contestable) à énoncer directement des
spécifications de robustesse et de performances, et à masquer ainsi que ces
spécifications ne sont pas nécessairement atteignables.
1.4.5. La commande à modèle interne
Entre toutes les méthodes de l'automatique, la commande à modèle interne est une
approche particulièrement accessible, performante, robuste, et formalisée depuis
longtemps par divers auteurs.
Elle est privilégiée dans cet ouvrage : après généralisation par l'approche d'état et
les observateurs, la commande à modèle interne devient par excellence un contrôle
d'état standard [LAR 2000-b]. La méthodologie qui en résulte s'étend efficacement à
des problèmes complexes, multi variables et non linéaires, et ceci, en forte continuité
avec les modes de pensée et les principes de réglage issu de la commande à modèle
interne de base.
De même que l’on a introduit les PID dès le premier chapitre, sans les faire
précéder de prérequis rébarbatifs, on présente d’abord la commande à modèle interne
dans sa version la plus accessible, sans faire appel aux représentations d’état.
Les trois éléments constitutifs d’une commande à modèle interne sont :
1 – une simulation en temps réel du processus, à partir de la commande appliquée
u(t),
2 – un filtrage de la différence entre sorties simulées et observées, dont on déduit
une estimation des perturbations,
3 – la compensation de la perturbation estimée et la poursuite de la consigne par une
inversion de modèle.
28 Automatique appliquée

Ce chapitre introduit des paramètres de réglage universels ω et ω, que l’on o c
retrouvera et complètera tout au long de l’ouvrage, ainsi que le concept de robustesse
par restauration de transfert de boucle. Ces notions trouveront leur plein
développement au chapitre 10 qui généralisera la commande à modèle interne en
levant la restriction aux systèmes stables en boucle ouverte. Les chapitres 6 à 9 qui
suivent sont largement motivés par les besoins de cette généralisation en prérequis
théoriques.
1.4.6. Formalisme matriciel et applications orientées automatique
Les notions de calcul matriciel dont l’ingénieur dispose communément ne sont pas
toujours complètes (du point de vue de l’automatique), ni disponibles dans le
formalisme adéquat. D’où la présence de ce chapitre, dont les principaux titres sont les
suivants : « Matrices, vecteurs et calcul matriciel », « Valeurs propres, vecteurs
propres, exponentielles de matrice », « Normes, rang, décomposition en valeur
singulière », « Fonctions matricielles : différenciations et développement en série de
Taylor, positivité, optimalité », « Intégration des systèmes d’équations différentielles,
modes, stabilité », « Résolution des systèmes d’équations au sens des moindres carrés,
pseudo inverse, algorithme de Newton ».
1.4.7. Représentations d’état
Les transmittances se limitent à une représentation externe (entrée-sortie) des
systèmes LTI, de préférence monovariables. Les représentations d’état apportent une
description interne des systèmes, qu’ils soient non linéaires, variables dans le temps ou
multivariables.
Le chapitre 7 introduit d’abord les concepts d’état et d’équations d’état. La
détermination des équations d’état d’un système peut résulter aussi bien d’une mise en
équation directe à partir des équations de la physique que de la conversion d’une
transmittance en équations d’état. La résolution des équations d’état est abordée sous
l’angle de l’intégration numérique ou de l’intégration formelle, cette dernière étant
pratiquement réservée aux systèmes linéaires. En vue de la commande numérique des
systèmes, la discrétisation des systèmes à temps continu est traitée avec une attention
particulière. Enfin, l’analyse des systèmes LTI dans l’espace d’état est basée sur les
concepts indispensables de commandabilité et d’observabilité.
1.4.8. Commande par retour d’état et observateurs
L’état représente la mémoire d’un système, la charnière entre le passé et l’avenir.
De ce point de vue, toute loi de commande peut être perçue comme une combinaison
explicite ou implicite de deux fonctions : action (sur l’état) et estimation (d’état).
Introduction 29
Ce principe de commande par retour d’état et observateurs soulève une quantité de
problèmes connexes : validité du principe de séparation sous-jacent ; techniques de
retour d’état : placement de pôles, optimisation quadratique, inversion de modèle ;
observateurs déterministes ou statistiques (filtre de Kalman).
Une synthèse accomplie de toutes ces notions est la commande LQG (linéaire,
quadratique, gaussienne). Dans le cas LTI (éventuellement multivariable), elle se
présente comme une commande statistique optimale. Malgré ce label séduisant, la
pénétration industrielle est faible, pour des raisons méthodologiques évidentes : le
critère d’optimalité concerné est artificiel, et l’utilisateur est par le fait même incapable
de le spécifier. Les hypothèses statistiques sont non pertinentes et les données
correspondantes non disponibles. Enfin, l’optimalité statistique est un concept
accessoire et disjoint de celui de robustesse.
Pourtant, retour d’état et observateurs sont des notions indispensables à
l’automaticien. Ils constituent le formalisme indispensable à une quantité de
développements théoriques. Ils peuvent aussi être utilisés concrètement, à condition
d’être insérés dans un environnement méthodologique complet.
1.4.9. Etat et formage fréquentiel – LTR
Un bon régulateur devrait présenter un comportement à la fois vif pour les
performances, et plus tranquille pour la robustesse. Dans une optique de séparation
commande – observateur, une bonne façon de gérer ce compromis consiste à réunir
dans le régulateur un observateur nerveux et une commande calme. On peut aussi
adopter la politique inverse (un observateur tranquille et une commande nerveuse). La
3première approche est dite primale, la seconde duale .
La notion imprécise de commande (ou d’observateur) vive ou calme peut se
4traduire en termes de commandes dites de type A ou B , auxquels on peut associer des
stratégies de synthèse et de réglage parfaitement définies. Celles-ci sont basées, soit sur
le placement de pôles, soit sur le formalisme LQG, et les paramètres de réglage sont
communs à ces deux modes de synthèse.
La restauration de transfert de boucle consiste à approcher les propriétés d’une
commande (ou un d’observateur) idéal de type A en réglant l’observateur (ou la
commande) associée à travers un comportement de type B.

3 On parle aussi de commande duale, avec un sens différent, en commande adaptative
[FEL 1960].
4 Types A et B : une terminologie inédite.
30 Automatique appliquée

L’intérêt de cette approche est qu’elle s’exprime en termes de formage de boucle,
établissant ainsi le lien indispensable entre les concepts d’état et ceux de robustesse
fréquentielle.
L’ingénieur peut appliquer directement le principe du LTR à des problèmes divers,
sous ses formes duales ou primales. Dans le contexte des régulateurs à un degré de
liberté, ce choix sera sans incidence sur les performances du régulateur.
1.4.10. Commande à modèle interne généralisée
Pour l’application du LTR, une approche efficace consiste à suivre
scrupuleusement le guide méthodologique institué par la commande à modèle interne,
dont la version de base a fait l’objet du chapitre 5.
Celle-ci peut en effet être interprétée comme une commande duale, dans laquelle
l’observateur de type A est constitué par le modèle interne accompagné du filtre de
robustesse, et la commande de type B par l’inversion de modèle.
Après généralisation par mise en forme d'état et observateurs, la commande à
modèle interne devient ainsi un contrôle d'état standard [LAR 2000-b]. La
méthodologie qui en résulte s'étend efficacement à des problèmes complexes,
5multivariables et non linéaires, et ceci en forte continuité avec les modes de pensée et
les principes de réglage issu de la commande à modèle interne de base.
Il importe de souligner que ces principes donnent la priorité au réglage d'un
observateur lors de la gestion des compromis performance robustesse inhérents à toute
régulation. Ils préconisent aussi le rejet des perturbations par estimation et
compensation, plutôt que par action intégrale explicite. Ces façons de procéder
s'opposent à certains points de vues traditionnels en automatique, et c'est pourquoi on
regroupe ici sous le nom de commande duale les diverses méthodes qui s'y rattachent.
1.4.11. Commande duale des systèmes non linéaires
Les méthodes dédiées à la commande des systèmes non linéaires sont d’une grande
variété. Dans le chapitre 12, on se limite à celles qui sont susceptibles de s’insérer dans
le formalisme de la commande duale.
6C’est le cas en particulier des commandes par linéarisation entrée – sortie , qui
s’apparentent à des retours d’état de type B. Appliquées telles quelles, à partir de
mesures directes de l’état, on peut s’inquiéter au sujet de leur robustesse. En revanche,

5 La commande par découplage est interprétée comme une commande de type B et fait
l’objet d’un traitement détaillé.
6 Ou apparentées : basées sur le concept de platitude.
Introduction 31
si l’état est issu d’un modèle interne ou d’un observateur de type A, on peut escompter
la même robustesse que celle d’une boucle linéaire, même si le non linéaire ne permet
pas les analyses fréquentielles du LTI.
1.4.12. Réglage rationnel des régulateurs RST et PID
Les régulateurs RST constituent une forme polynomiale des régulateurs LTI. En
présence d’une transmittance rationnelle, une approche polynomiale de la commande
peut sembler plus séduisante, et solliciter moins de prérequis théoriques que
l’approche d’état.
Un bon moyen pour effectuer la synthèse d'un régulateur RST consiste en effet à
assigner les modes de la boucle fermée exactement comme le ferait la commande LTR
ou la commande à modèle interne, en vue d'obtenir ainsi une commande robuste par
placement de pôles.
Cette approche directe donne même plus de liberté dans l’application du principe
de la restauration du transfert de boucle, ce qui présente un intérêt tout particulier pour
la synthèse des PID.
Le champ d'application PID est en effet celui des systèmes dont le comportement
est approximable – au moins grossièrement − par des équations différentielles du
premier ou du second degré. Pour cette classe de systèmes, il n'y a pas de raison
d’abandonner les PID au profit de toute autre méthode de régulation.
Malheureusement, si un atout majeur des PID est de permettre un réglage
empirique, ils se prêtent mal à un réglage rationnel, si l’on entend par là leur appliquer
une méthode générale basée sur des principes préétablis, et non spécifiquement dédiée
aux PID.
La solution consiste à appliquer au réglage des PID la synthèse par LTR des
régulateurs RST. Il suffit d’imposer aux polynômes R et S des degrés compatibles à la
structure de PID imposée, et le reste suit.
Le réglage fait intervenir les (trois) paramètres « universels » associés à la
commande duale. On pourrait objecter que les (trois) paramètres à régler dans un PID
ne sont pas plus nombreux. La différence est que la synthèse RST est basée sur un
modèle, et réalise par le fait même l’adaptation du PID à ce modèle, et ceci de façon
beaucoup plus précise que – par exemple – la méthode de Ziegler et Nichols.
1.4.13. Identification
Qu'elles soient destinées ou non aux PID, toutes les méthodes de synthèse
rationnelles présupposent l'existence de modèles de conception ad hoc.
32 Automatique appliquée

L'approximation ou l'identification sous forme d'un modèle de conception simple fait
donc partie intégrante du travail de l'automaticien.
Il existe de remarquables ouvrages sur l’identification [LJU 1987]. La théorie
officielle correspondante est celle de l’estimation statistique optimale. Si séduisante
qu’elle soit, on peut lui faire le même reproche qu’à la commande statistique optimale :
ne pas répondre exactement aux besoins des utilisateurs. L’identification ne consiste
pas à estimer des paramètres physiques objectifs, mais à approximer une réalité
complexe par un modèle de comportement simple et adapté à la synthèse de lois de
commande.
Le concept d’approximation implique celui de domaine de validité, et on ne trouve
malheureusement dans les boîtes à outils aucune méthode d’identification qui soit
dotée d’un paramètre destiné à régler le domaine de validité requis par la commande.
Ce point de vue est étayé ici par la présentation des méthodes d’identification
« classiques » (ARMAX, PEM,etc.). Leur critique conduit à présenter une nouvelle
méthode, l’identification par moindres carrés d’innovation. Grâce à un paramètre de
réglage cohérent avec celui des observateurs de type A, on dispose ainsi d’une
méthode interactive avec les objectifs de commande.
1.5. Conclusion
On trouvera dans cet ouvrage d'automatique « appliquée » l'essentiel des concepts
fondamentaux de l'automatique : transmittances, modèles d'état, critère de Nyquist,
marges de stabilité, correcteurs fréquentiels, stabilisation par retour d'état,
observateurs, systèmes à temps discret, identification, etc., notions indispensables à la
communication entre automaticiens, et sans lesquelles les meilleures solutions ne
sauraient être analysées, imposée et pérennisées.
À travers les concepts de restauration de transfert de boucle, de commande duale,
et de modèle interne, il suit un fil directeur qui facilite l’acquisition de toutes ces
notions.
Certains développements méthodologiques exposés dans cet ouvrage ne sont pas
matérialisés dans les toolbox les plus répandues. C’est pourquoi les outils
®correspondants (développés en Matlab-Simulink ), ont été réunis dans un « bonus
7automatique », téléchargeable . Ce bonus contient aussi les programmes relatifs aux
8exercices et applications associés à chaque chapitre de l’ouvrage .


7 www.hermes-science.com/larminat/bonus_automatique.zip.
8 Il existe aussi une dual control toolbox, plus complète, diffusée par IPSIS (www.ipsis.com).

CHAPITRE 2
Régulateurs PID
2.1. Régulateurs et degrés de liberté
La boucle de régulation de la figure 2.1 reprend, à quelques détails près, la
figure 1.4 du chapitre précédent.

Perturbation d(t)
Loi de commande Commande Sortie Processus G Consigne
u(t) y(t) Écart e(t) y (t) r K
t 0
Figure 2.1. Processus et régulateurs

Le régulateur représenté ici traite la consigne et la sortie par l’intermédiaire de
1leur seule différence, l’écart e(t) défini par e(t) = y (t) − y(t) (et non r
l’opposé y(t) − y (t) ). r

1 A propos des sommateurs, on convient, qu’en l’absence de signe, le + est implicite, comme
le montre la figure 2.1.

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