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Emploi des éléments finis en génie civil Volume 2 : Calcul des ouvrages généraux de construction

De
772 pages
Calcul des ouvrages généraux de construction fait le point sur quelques avancées théoriques (la fissuration, la fiabilité, etc.). Il produit un ensemble d'études phénoménologiques mettant en jeu des comportements fortement couplés, et présente des modèles de calcul pour l'analyse des ouvrages généraux de construction (ouvrages en métal, ouvrages en béton, ouvrages en bois, ouvrages en maçonnerie), et pour l'étude d'ouvrages particuliers (ouvrages en béton soumis aux effets hydriques et thermiques, ouvrages en béton soumis aux effets du fluage, ouvrages en béton de fibres métalliques, assemblages).
Notations et symboles utilisés - Principales unités SI Partie 1. Bases théoriques de la modélisation 1. Introduction à la mécanique des milieux continus 2. Construction du problème discret 3. Lois de comportement et lois de fonctionnement 4. Mécanique des milieux fissurés et calcul par éléments finis 5. Méthodes et techniques de résolution 6. Introduction à la fiabilité des structures Partie 2. Modélisation des ouvrages Partie 2.1. Ouvrages généraux de construction 7. Modélisation des ouvrages métalliques 8. Modélisation des ouvrages mixtes acier-béton 9. Modélisation des ouvrages en béton armé 10. Modélisation des ouvrages en béton précontraint 11. Modélisation des ouvrages en bois 12. Modélisation des ouvrages en maçonnerie Partie 2.2. Quelques applications particulières 13. Ouvrages en béton soumis à des effets thermiques et/ou hydriques 14. Ouvrages en béton soumis aux effets du fluage 15. Une modélisation des ouvrages en béton de fibres 16. Assemblages Annexe 1. Notations tensorielles Annexe 2. Rappels de la théorie des probabilités Annexe 3. Notions sur les éléments distincts Bibliographie - Index
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AFPC — Emploi des éléments finis en génie civil
Calcul des ouvrages
généraux de construction
sous la direction de
Michel Prat
et le concours de
Philippe Bisch Alain Millard e Mestat Gilles Pijaudier-Cabot
HERMES Calcul des ouvrages
généraux de construction DÉJÀ PARU
La modélisation des ouvrages, sous la direction de Michel PRAT et le
concours de Philippe BISCH, Philippe MESTAT, Alain MILLARD et Gilles
PUAUDIER-CABOT, 1995 .
Le dessin de couverture représente les isovaleurs des contraintes de Tresca dans une
tôle rectangulaire trouée sous l'effet d'une force dans le plan (calcul réalisé par
Monsieur Nguyen Van Ke à l'aide du logiciel SYSTUS). AFPC - Emploi des éléments finis en génie civil
Calcul des ouvrages
généraux de construction
sous la direction de
Michel Prat
et le concours de
Philippe Bisch Alain Millard e Mestat Gilles Pijaudier-Cabot
HERMES © Hermès, Paris, 1997
Editions Hermès
14, me Lantiez
75017 Paris
ISBN 2-86601-581-9
Catalogage Electre-Bibliographie
Calcul des ouvrages généraux de construction / Michel Prat, Philippe Bisch, Philippe Mestat
et al. - Paris : Hermès, 1997. - (AFPC, emploi des éléments finis en génie civil)
ISBN 2-86601-581-9
RAMEAU : constructions : calcul : modèles mathématiques
DEWEY : 624.1 : Génie civil. Techniques de la construction
690 : Bâtiments. Travaux généraux
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies o u reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4).
Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc
une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété
intellectuelle. Sommaire
Volume 1
Notations et symboles utilisés 7
Principales unités SI 13
Préface5
Avant-propos et remerciements7
Guide de lecture 21
Introduction
Préliminaire - La maîtrise de la modélisation des ouvrages 3
Partie 1 - Bases théoriques de lan 4
Chapitre 1 - Introduction à la mécanique des milieux continus5
Chapitre - Construction du problème discret 73 e 3 - Lois de comportement et lois de fonctionnement 10
Chapitre 4 - Mécanique des milieux fissurés et calcul par éléments finis 14e 5 - Méthodes et techniques de résolution 175
Chapitre 6 - Introduction à la fiabilité de s structures 20
Partie 2 - Modélisation des ouvrages 239
Sous-partie 1 - Ouvrages généraux de construction
Chapitre 7 - Modélisation des ouvrages métalliques 241 e 8 -n dess mixtes acier-béton avec leur connexion.. 28
Chapitre 9 -n des ouvrages en béton armé 333 e 10 - Modélisation dess en béton précontraint 39
Chapitre 11 -n des ouvrages en bois 45e 12 -n dess en maçonnerie 495
Sous-partie 2 - Quelques applications particulières 57
Chapitre 13 - Ouvrages en béton soumis à des effets thermiques et/ou hydriques. 57e 14 -s en bétons aux effets du fluage 613
Chapitre 15 - Une modélisation des ouvrages en béton de fibres 65e 16 - Modélisation des assemblages 675
Annexes 709
Annexe 1 - Notations tensorielles 711 e 2 - Rappels de la théorie des probabilités7
Annexe 3 - Notions sur les éléments distincts 723
Références bibliographiques
Présentation des auteurs 75
Index 76Notations et symboles utilisés
Du fait de la diversité des thèmes abordés et des usages qui prévalent dans chaque
discipline, il n'est pas possible d'uniformiser les notations. Les notations employées sont
donc systématiquement explicitées et commentées dans le texte.
Cependant, chaque fois que cela est envisageable, les principes de notation
communément admis (norme NFP 06-005) sont respectés. Une liste des principaux
symboles utilisés est donnée, ci-après, à titre d'exemple.
1. Principes de notation
1.1. Lettres majuscules
Sauf indication contraire, les majuscules latines (écriture normale) symbolisent des
champs, des actions concentrées (charges), des sollicitations (forces et moments), des
modules de déformations et d'élasticité, des inerties, des aires de sections droites, parfois
des longueurs si ces longueurs sont des portées.
Plus particulièrement, les majuscules latines « évidées » symbolisent des matrices ;
lorsqu'elles sont écrites en script, elles désignent un travail, une énergie (interne,
potentielle, cinétique), une puissance, etc.
Les majuscules grecques sont employées pour désigner des formes intégrales, des états
de systèmes matériels, des domaines matériels et leurs frontières, des températures.
1.2. Lettres minuscules
Les minuscules latines symbolisent des actions réparties, certaines résistances
mécaniques (béton, armatures de béton armé, aciers de précontrainte), des pressions, des
quantités géométriques (largeur, hauteur, épaisseur), des coordonnées (cartésiennes,
paramétriques), la plupart des coefficients et constantes. La lettre u désigne plus
particulièrement un déplacement. Quand elle est simplement ponctuée ù ou doublement
ponctuée u , elle désigne respectivement la dérivée première (vitesse) ou la dérivée
seconde (accélération) du déplacement par rapport au temps.
Les minuscules grecques sont employées pour désigner des masses volumiques, des
contraintes, des déformations, des coefficients (Lamé, Poisson), des angles, des
coordonnées (éléments de référence). 8 Calcul des ouvrages généraux de construction
1.3. Indices
Les lettres minuscules utilisées comme indices permettent de distinguer des grandeurs de
même nature. Les indices (i,j,k) symbolisent généralement des suites de numéros
(écriture des sommations et des produits). Ces lettres désignent aussi des dimensions
(espace) ou des directions d'axes de référence. Elles peuvent être remplacées par des
chiffres pour préciser une direction particulière. Pour alléger les écritures, les indices
sont parfois omis.
Les lettres majuscules peuvent également être utilisées comme indices. Elles sont alors
associées à des points géométriques ou à des sous-ensembles.
2. Liste des principaux symboles utilisés
Il peut exister des interprétations différentes pour un même symbole. L e contexte général
permet, dans la plupart des cas, de rétablir le sens réel du symbole sans risque de
confusion.
2.1. Domaines et systèmes matériels
Q domaine matériel connexe occupé par un système mécanique
déformable, le domaine des points géométriques (surfacique ou
volumique) dans lequel un problème physique est défini
Z, dQ. frontière du domaine Q
dQ, dZ, ds élément différentiel de volume, de surface, de longueur
2.2. Espace géométrique
1^{0 / XJ) référentiel d'origine O et d'axes /, (i = 1,2,3)
e,, ë- vecteur unitaire porté par l'axe /, (< = 1,2,3) t
M point courant
n, h , n_ normale unitaire sortante au point M d'une frontière df2
X, x vecteur de position
r rayon
Xj,(i =1,2,3) coordonnées cartésiennes
(r, 0,xi)s cylindriques
p, 8 rotations Notations et symboles 9
9j rotation autour de l'axe i, (i =1,2,3)
2.3. Variables temporelles
t temps
A t incrément de temps
2.4. Énergie, travail, puissance
'W énergie
W densité d'énergie
1 travail
T puissance
2.5. Mécanique des milieux continus
C*, C*(I2) ensemble des fonctions / continûment dérivables d'ordre k sur £2
f(M,n) vecteur contrainte au point M, appliqué sur l'élément de surface de
normale n
U. u champ de déplacement de composantes
U 'p det virtuel
Ù , M champ des vitesses
Ù , up des accélérations
A u incrément du vecteur déplacement
5u correction de l'incrément Au, variation du vecteur déplacement
q vecteur de chaleur
o~, a tenseur des contraintes de composantes cT,y
T contrainte de cisaillement
<T ° tenseur des contraintes initiales (précontraintes) de composantes o"jj
e , Er des déformations de composantes £y
y déformation de cisaillement 10 Calcul des ouvrages généraux de construction
H tenseur d'élasticité de composantes H-^
5y symbole de Krônecker
ejjj.e d'antisymétrie
C nom générique d'une constante
2.6. Calcul matriciel
A, [.] matrice
1
A , [.]'e transposée
Â\~ ',[.]" ' matrice inverse
ÏÏT, IL matrices triangulaires supérieure, inférieure
Eù matrice diagonale
Hee unité
(. )e ligne
{. } matrice colonne
trA, tr[.] trace d'une matrice
detÀ, det[.] déterminant d'une matrice
2.7. Éléments finis
(<!;, T], Ç) coordonnées (éléments de référence)
ddl mot abrégé pour « degré de liberté »
njrfi nombre de degrés de liberté d'un élément fini ou d'un système
dQ.d\ ^njji degrés de liberté d'un élément fini ou d'un système
1K matrice de rigidité globale
fiT*e de rigidité élémentaire (élément fini k )
Ke des contraintes initiales ou matrice de rigidité géométrique a
JKf matrice de rigidité tangente
Jfe jacobienne
We décrivant les relations entre déformations et déplacements Notations et symboles 11
M matrice de masse
cje d'amortissement
R vecteur résidu
P espace de fonctions de dimension finie k, base polynomiale d'une
approximation
matrice des fonctions d'interpolation, déduite de P
2.8. Actions
g accélération de la pesanteur
0 , T température
F, / vecteur des forces appliquées, vecteur des actions
v s/ , f force volumique, force surfacique
p pression
Q, q charge, flux de chaleur
q source de chaleur s
2.9. Théorie des poutres, des plaques et des coques
S abscisse curviligne
t, L longueur d'une poutre, dimension d'une plaque ou d'une coque
h hauteur d'une poutre, épaisseur d'une plaque ou d'une coque
b largeur d'une poutre
A aire d'une section droite
/ inertie d'une section droite
Je équivalente de torsion
K rigidité
ù) fonction de gauchissement d'une section
taux de rotation autour de l'axe longitudinal Ox\
V . M, N , T effort tranchant, moment fléchissant, effort normal, moment de torsion 12 Calcul des ouvrages généraux de construction
2.10. Comportement des matériaux
E module d'Young
Ge de cisaillement
v coefficient de Poisson
p masse volumique
at de dilatation thermique (linéique)
% coefficient de compressibilité isotherme
k conductivité du milieu
•q viscosité
<p angle de frottement interne d'un matériau
y/e de dilatance d'un matériau
/ c fck résistance à la compression du béton (indice k pour caractéristique)
/ ,e à la traction du béton
fp résistance à la traction d'une armature de précontrainte
fpQ | limite d'élasticité conventionnelle à 0,1 % d'une armature
2.11. Opérateurs et opérations
L opérateur différentiel
|-| valeur absolue
||/1 norme d'une fonction /
dérivée partielle de la fonction / par rapport à (/ =1,2,3)
• produit scalaire
At vectoriel ou extérieur
<S>t tensoriel
V opérateur de dérivation spatiale
Ar laplacien
V, gradr gradient
div opérateur divergence
rotr rotationnel Notations et symboles 13
Principales unités SI
Désignation Unité Correspondance
Temps s (seconde )
Température °K (Kelvin ) ou °C (Celsius)
Masse kg (kilogramme)
Distance m (mètre)
Angle plan rd (radian)
Vitesse m/s (mètre par seconde)
2Accélération m/s (mètre par seconde au
carré)
2 Force N (Newton) \ N =\m.kg.s~
' kgf =9.80665 N
Impulsion N.s (Newton-seconde )
2 2Travail J (Joule) \ J =\m .kg.s~ = \ N .m =\W .s
3
W h (Watt-heure) =3,6xl0 J x W h
2 2
Puissance W (Watt) \W =\J / s = \m .kg.s~
Énergie J
1 2 2
Pression, Pa (Pascal) l Pa=lm~ .kg.s~ =ÏN / m
contrainte <- _
1
lbar = \(P Pa=\kg / cm
1 2 2 Compressibilité Pa \ Pa~ ' =lm / N =\m.kg~ Ks~
volumique
Viscosité Pa.s \P=0.\Pa.s
dynarmquc ^. ^ p
2 4 2Viscosité m/s \St=\0~ m / s
cinématique St (Stokes )
Perméabilité m/s (mètre par seconde)
Module de kN/m^/m (kilo-Newton par Pression par mètre
réaction mètre carré par mètre) 14 Calcul des ouvrages généraux de construction
Remarques sur la présentation du texte
Les équations sont numérotées même si l'utilité de cette numérotation est très limitée. Les
numéros se présentent sous la forme (i.j) où ; est le numéro du chapitre et j le numéro
d'ordre de l'équation dans le chapitre.
Les figures explicatives sont, en principe, appelées dans le corps du texte et suivent (ou
précèdent parfois) cet appel. Elles sont référencées avec une légende et sont, comme les
équations, numérotées sous la forme (i.j) où / est le numéro du chapitre et j le numéro
d'ordre de la figure dans le chapitre.
Les tableaux, comme les figures, sont appelés dans le corps du texte et suivent (ou
précèdent) l'appel. Les numéros d'ordre sont indiqués en chiffres romains.
Les renvois dans le texte utilisent souvent des abréviations (en italique) ou des symboles
suivis d'un numéro :
- eq. pour équation ou formule ;
- fig. pour figure ;
- §. pour paragraphe ;
- chap. pour chapitre ;
- part, pour partie (qui sert à regrouper certains chapitres autour d'un thème) ;
- liv. pour livre en lui affectant un numéro :
1 pour le livre intitulé « La modélisation des ouvrages » ;
2 pour le livreé « La maîtrise de la modélisation des ouvrages » ;
3 pour le livre intitulé « L an des ouvrages par l'exemple » ;
4 pour le livre intitulé « L a justification des modèles » .
Les mots réservés, détournés de leur sens habituel ou jugés trop techniques, sont mis en
relief (en italique ou entre guillemets) au moins une fois dans le texte.
Certaines annotations ou notes sont, du point de vue typographique (retrait à gauche),
différenciées du texte général. Elles permettent d'introduire des remarques ou
observations qui, même si elles ont un rapport lointain avec le sujet traité, peuvent
apporter des précisions complémentaires.
Une synthèse (en italique) des idées-forces produites dans chaque chapitre précède les
premiers développements. De même, en fin de chapitre, un rappel (en italique) des
principaux thèmes abordés complète la table des matières et l'index. Cet ensemble de
références doit permettre à un lecteur pressé d'orienter rapidement une recherche.
Les références bibliographiques explicites [entre crochets] sont peu nombreuses. Des
conseils de lecture, dans le but d'approfondir un sujet précis, sont rassemblés dans un
paragraphe final (en italique) intitulé « Pour en savoir plus » .
Avertissement :
C e livre est un document méthodologique conçu pour fournir des informations
ayant un caractère de généralité. La contrepartie de cette généralité est le risque
d'erreur (pour des cas particuliers) et la non-exhaustivité. Ce document ne peut donc
engager la responsabilité de ses auteurs. Les organismes ou les sociétés cités le sont
à titre d'exemple pour une meilleure compréhension du texte. Préface
Il est traditionnel en France de s'interroger sur le fossé séparant le monde professionnel
du monde académique pour, en général, conclure sur l'ampleur inacceptable de ce fossé.
Notons que, vue depuis l'étranger, la situation est analysée, au contraire, parfois comme
exemplaire dans le domaine du génie civil (voir par exemple certaines études du CERF,
la « Civil Engineering Research Foundation » américaine).
En tous cas, il est particulièrement réconfortant de voir un sujet réputé théorique tel que
l'emploi de la méthode des éléments finis en génie civil, traité par une équipe dont les
membres sont d'origines aussi variées (rappelons : services d'études techniques, bureaux
d'études privés, centres de recherches appliquées, universités) et mêlant indiscutablement
les mondes professionnels et académiques. Pour atteindre le public large visé (ce que
l'intérêt du sujet impose), il s'agissait d'ailleurs clairement d'une condition indispensable
au succès. Cette richesse d'origine, le lecteur la retrouvera effectivement au fil des
chapitres où se croisent bases fondamentales - qui ne sont pas esquivées - et
considérations tirées de l'expérience - qui viennent éclairer le propos. Peut-être le
GREC O Géomatériaux avait-il préparé à ce rapprochement, depuis 10 ans... J'ai eu
effectivement plaisir à reconnaître beaucoup de noms d'auteurs issus du GRECO !
Je dis souvent que la France a la chance de posséder un double dispositif de recherche en
génie civil : celui sous la responsabilité du Ministère de l'Equipement s'appuyant en
particulier sur le Réseau des Ponts et Chaussées et celui sous la responsabilité du
Ministère de l'Enseignement Supérieur et de la Recherche avec ses Universités et Écoles
et le CNRS. Ces deux dispositifs se sont longtemps ignorés. Aujourd'hui, ils se
connaissent, ils échangent et même... ils travaillent ensemble ! Une preuve de plus en est
fournie par la série des quatre livres, publiés sous la direction de Michel Prat, et dont la
plupart des rédacteurs proviennent effectivement de ces deux dispositifs. Bravo pour
avoir contribué à rendre cette barrière toujours plus perméable !
Sur le fond, l'intérêt de la méthode des éléments finis pour la modélisation du
comportement des ouvrages est actuellement partout très largement admis. Tous les
grands ouvrages sont projetés en utilisant, au moins partiellement, les techniques
variationnelles, qui permettent d'affiner la connaissance d'un projet, en particulier par le
calcul des comportements critiques. De plus, la méthode des éléments finis a contribué à
faire chuter les coûts de certaines études conventionnelles en autorisant des analyses
paramétriques performantes. Ce livre, intitulé « Calcul des ouvrages généraux de
construction », prend la suite du livre paru sous le titre « Modélisation des ouvrages » et
met ainsi, à la disposition d'un large lectorat, les bases d'un savoir indispensable à la
conception et au dimensionnement modernes des ouvrages. Partant des principes
fondamentaux, rappelés à travers une langue toujours limpide et dont les développements
purement mathématiques ont su être éliminés, le lecteur est ainsi conduit aux difficultés 16 Calcul des ouvrages généraux de construction
multiples soulevées par la modélisation du comportement et du fonctionnement des
différentes classes d'ouvrages.
Là encore, la richesse du parcours proposé au lecteur tient essentiellement au dialogue
permanent entretenu entre ingénieurs et universitaires tout au long des chapitres. C'est
d'ailleurs ce même pari qui est à l'origine de la toute jeune Revue Française de Génie
Civil, publiée chez le même Editeur - ce qui ne paraît pas être un hasard.
En somme, un beau sujet traité avec la volonté d'ouverture qu'il réclamait : l'édition
scientifique et technique en génie civil prend son envol !
Félix Darve
Institut National Polytechnique de Grenoble Avant-propos et remerciements
Cette série, en quatre livres, est le résultat d'un travail collectif commencé en 1992. Il
traite de l'emploi des éléments finis en génie civil.
Après quelques rappels visant à familiariser le lecteur avec certaines notions (et
notations) relatives aux projets d'ouvrages et aux modèles en éléments finis, le livre 1
intitulé « La modélisation des ouvrages » veut apporter des réponses concrètes aux
diverses questions posées lors de la modélisation des structures et des matériaux. Ce
livre propose donc des conseils sur l'utilisation des principaux éléments finis, sur la
réalisation des maillages, sur la prise en compte des conditions aux limites (appuis et
chargements), sur la définition des structures de poutres, de plaques, de coques et de
massifs. Il propose également des informations qualitatives et quantitatives permettant de
spécifier les paramètres physiques et les lois de comportement des matériaux usuels.
La modélisation des ouvrages de génie civil n'est pas réductible à la connaissance de
données liées aux seuls aspects structuraux et rhéologiques des constructions. Il faut
établir un modèle d'ouvrage à partir de composantes corrélées (qui peuvent être
simplificatrices) de structure et de matière. Il faut mettre en œuvre l'interaction structure-
matière qui crée la spécificité de l'ouvrage : caractériser un schéma mécanique, choisir
des lois de comportement ou de fonctionnement, spécifier des conditions, construire un
problème discret, adopter des techniques de résolution, valider une démarche... Dans cet
esprit, le livre intitulé « La maîtrise de la modélisation des ouvrages » , en deux volumes,
fait le point sur quelques avancées théoriques (la fissuration, la fiabilité, l'estimation de
l'erreur). Il produit aussi un ensemble d'études phénoménologiques, mettant en jeu des
comportements fortement couplés, et présente des modèles de calcul pour l'analyse des
ouvrages généraux de construction (ouvrages en métal, en béton, en bois, en maçonnerie)
et pour les ouvrages en interactions de géotechnique : fondations, ouvrages en
terre, ouvrages souterrains ; ouvrages en milieu sismique et en milieu marin ; ouvrages
soumis à des actions particulières (vents, incendies, explosions), etc.
Connaître les sciences de l'ingénieur est une chose, exécuter un ouvrage en est une autre.
Appliquer, c'est surtout savoir choisir et simplifier avec discernement. Il convient donc
de rendre compte de l'expérience et de l'expertise. De nombreux exemples d'utilisation
des éléments finis sont présentés dans le livre 3 intitulé « La modélisation des ouvrages
par l'exemple » : exemples courants, synthétiques ou détaillés, classés par type d'ouvrage
(bâtiments, ouvrages d'art, ouvrages de géotechnique et ouvrages spéciaux, etc.) et
exemples particuliers ou exceptionnels donnant la vraie mesure des possibilités de la
méthode des éléments finis. Ces exemples montrent que l'universalité et la puissance
d'une méthode numérique ne valent que si celle-ci est bien maîtrisée.
Enfin, le livre 4 intitulé « La justification des modèles » veut rattacher les notions de
qualité des calculs aux notions de base du projet d'ouvrage. Comment valoriser un
savoir-faire ? Quelle pertinence faut-il accorder aux résultats ? L'exploitation des
résultats en fonction de la réglementation technique (standards et eurocodes) soulève de
multiples questions. Il faut en effet confronter les hypothèses du calcul par éléments finis 18 Calcul des ouvrages généraux de construction
avec celles qui ont servi à établir les modèles réglementaires (charge et résistance). Ces
aspects n'ont jamais été abordés. Le livre sur la justification des modèles comble cette
lacune. Dans un premier temps, il introduit des cas réels pour lesquels de simples
ajustements permettent de mieux intégrer les aspects normatifs dans les calculs. Dans un
deuxième temps, il met en lumière le décalage qui existe entre les possibilités actuelles
d'une méthode extrêmement performante et les justifications préconisées par certaines
règles ou normes...
Cette série n'aurait pu trouver son accomplissement si elle n'avait bénéficié de l'aide,
directe et indirecte, de ceux qui (voir liste des principaux organismes représentés (1)) ,
directeurs ou responsables de services de l'administration, instituts, écoles, centres
universitaires, laboratoires, bureaux d'études et entreprises, ont permis à leurs
collaborateurs (2) de trouver le temps et la ressource de mener à bien, en plus de leur
activité professionnelle, une tâche complémentaire si difficile mais combien exaltante.
Nous sommes particulièrement redevables à monsieur Lucien Pliskin, Président du
Comité Technique de l'AFPC, et à monsieur Jean-Armand Calgaro, Chef de la Mission
Recherche et Réglementation du SETRA, de nous avoir accompagnés et encouragés dans
notre action.
Nous sommes tout naturellement les obligés de messieurs Calgaro, Magnan et Mazars
qui ont relu, avec intérêt, les épreuves des livres en nous faisant part de leurs remarques
et observations éclairées et qui ont ainsi joué un rôle déterminant dans la présentation
finale de la série.
Nous voulons témoigner notre reconnaissance aux auteurs (les auteurs sont présentés à la
fin de chaque livre) et plus spécialement à monsieur Philippe Mestat qui a su apporter
une aide précieuse au suivi et à la direction du travail et à monsieur Maurice Lemaire qui
nous a fait l'honneur de superviser les parties 1 et 3 du livre 2.
Nous tenons à exprimer aussi notre gratitude à messieurs Gérard Delcambre et Gérard
Homann qui ont, par leur parfaite compréhension du sujet, largement contribué au succès
matériel de notre entreprise en faisant preuve d'une grande efficacité et d'une infinie
patience.
Nous accordons une mention spéciale à monsieur Delcambre à qui est revenue la lourde
charge supplémentaire de concevoir la mise en page du livre et qui nous a convaincu par
sa maîtrise informatique irréprochable.
Nous avons eu également le privilège de pouvoir inclure, dans l'illustration de certains
chapitres, des images et montages informatiques réalisés par monsieur Gérard Homann
au moyen d'un système de « CA O ouvrages d'art » élaboré au SETRA.
Nous remercions enfin le Centre des Techniques Ouvrages d'Art du SETRA en la
personne de monsieur Christian Binet, Directeur du Centre, qui nous a facilité le travail
en mettant à notre disposition les indispensables moyens matériels nécessaires au bon
déroulement de nos nombreuses réunions. Nous voulons également citer monsieur
Gérard Forquet pour ses qualités de photographe, son sens artistique et sa gentillesse.
Nous ne pouvons terminer cet avant-propos sans adresser notre profonde considération
aux Éditions Hermès, qui ont accueilli avec une extrême bienveillance cette publication
en langue française. Dans le même ordre d'idées, monsieur Gérard Delcambre a rendu
d'importants services matériels aux éditeurs : qu'il en soit une nouvelle fois
chaleureusement remercié. Avant-propos 19
(1 ) Noms et sigles des principaux organismes représentés
AFP C : Association Française Pour la Construction (Paris).
AP Kn pour la Promotion de l'Enseignement de la
Construction Acier (La Défense )
BOUYGUE S : Entreprise (St Quentin en Yvelines).
CE A : Commissariat à l'Énergie Atomique (Saclay).
COYN E & BELLIE R : Bureau d'Ingénieurs Conseils (Paris).
CTIC M Centre Technique Industriel de la Construction Métallique
(Saint-Rémy-lès-Chevreuse).
CUS T : Centre Universitaire des Sciences et Techniques
(Clermont-Ferrand).
DORI S Engineering : Ingénierie « offshore » (Paris).
DUMEZ-GT M : Entreprise (Nanterre).
EDF/SEPTEN Électricité De France - Service des Études et Projets
Thermiques Et Nucléaires (Lyon).
ENP C : École Nationale des Ponts et Chaussées (Paris).
ENS-CACHA N École Normale Supérieure (Cachan).
ENSAI S École Nationalee des Arts et Industries de
Strasbourg.
IFM A : Institut Français de Mécanique Avancée (Clermont-Ferrand).
INS A Institut National des Sciences Appliquées.
LCP C Laboratoire Central des Ponts et Chaussées (Paris et Nantes).
LERME S :e d'Études et de Recherches en MÉcanique des
Structures (Université Biaise Pascal - Clermont-Ferrand).
MAP S DIFFUSION SA : Société d'études (L e Mont-sur-Lausanne - Suisse).
SÉCHAU D & MET Z : Bureau d'études (Fontenay aux Roses).
SETR A : Service d'Études Techniques des Routes et Autoroutes
(Bagneux).
SG N Société Générale pour les techniques Nouvelles (St Quentin
en Yvelines).
SNC F : Société Nationale des Chemins de Fer (Paris).
SOCOTE C SOciété de COntrôle TEChnique (St Quentin en Yvelines). 20 Calcul des ouvrages généraux de construction
(2) Composition du groupe de travail
Sous la direction de monsieur PRA T Michel,
avec le concours de messieurs BISCH Philippe, MESTA T Philippe, MILLAR D Alain et
PIJAUDIER-CABO T Gilles,
ont contribué à l'écriture de ce livre, messieurs :
ACKE R Paul (LCPC ) LEMAIRE Maurice (IFMA)
ARIBER T Jean-Marie (INSA-RENNES) L'HUBY Yvon (EDF/SEPTEN)
ARISTAGHÈ S Pierre (BOUYGUES ) MAGNAN Jean-Pierre (LCPC)
BALA Y Jean (LCPC ) MAÎTRE (SOCOTEC)
BISC H Philippe (SÉCHAUD et METZ) MESTAT Philippe (LCPC)
BOUBERGUI G Amar (MAP S DIFFUSION) MILLARD Alain (CEA/DMT)
BRIOIS T Jean-Louis (LCPC ) MORENO Philippe (MAP S DIFFUSION)
CALGAR O Jean-Armand (SETRA) MUZEAU Jean-Pierre (CUST)
CAZENAV E Michel (CTICM ) NORET-DUCHENE Christine (COYNE <
CLÉMEN T Jean-Luc (ENS-Cachan) BELLIER)
COLSO N André (ENSAIS) NGUYEN Van Ke (SETRA)
CRÉMON A Christian (LCPC ) PASCHETTA William (DUME Z GTM)
CRÉPE L Jean-Marc (SGN) PATRON-SOLARES Alberto (LCPC)
DAVENN E Luc (ENS-CACHAN) PIAU Jean-Michel (LCPC)
DELCAMBR E Gérard (SETRA) PIJAUDIER-CABOT Gilles (ENS-Cachan)
DE L FABRO Jean-Marc (CEA/DMT ) PRAT Michel (SETRA)
DOA N Van Tho (SNCF/VO) RAGNEAU Éric (INSA-RENNES)
DURVILL E Jean-Louis (LCPC ) RACHER Patrick (CUST)
EYMAR D Robert (LCPC ) RÉCHO Naman (LERMES)
FLORES-MACIA S Oscar (IFMA ) REYNOUARD Jean-Marie (INSA-LYON)
GODAR T Bruno (LCPC ) ROSSI Pierre (LCPC)
GRANGE R Laurent (EDF/SEPTEN) TÉNAUD Rémi (Consultant),
HUMBER T Pierre (LCPC ) ULM Franz-Josef (LCPC)
L A BORDERIE Christian (ENS-Cachan) VACHÉ Michel (DORIS)
LANGEOIR E Alain (SÉCHAUD et METZ ) VERGNE Alain (CUST)
LEC A Éric (LCPC ) WAMBA Serge (ENS-CACHAN) Guide de lecture
La méthode des éléments finis appliquée au calcul des ouvrages de génie civil est
présentée en quatre livres sous le titre général suivant :
« Emploi des éléments finis en génie civil » .
Livre 1 : La modélisation des ouvrages
Partie I : Éléments finis et génie civil
Partie II : Une approche numérique du projet de génie civil
Partie III : Aspects structuraux de la modélisation des ouvrages
Partie I V : Aspects rhéologiques de lan des ouvrages
Livre 2 : La maîtrise de la modélisation des ouvrages (2 volumes )
Partie I : Bases théoriques de la modélisation
Partie II : Modélisation des ouvrages
Partie III : Compléments théoriques
Livre 3 : La modélisation des ouvrages par l'exemple
Partie I : L'ouvrage, une spécificité à prendre en compte
Partie II : Exemples de modélisation d'ouvrages particuliers
Partie III :s complémentaires - Problèmes ouverts
Livre 4 : La justification des modèles
Partie I : Notion de « Qualité des calculs »
Partie II : Des outils pour mieux modéliser
Partie III : Exploitation des résultats en fonction de la réglementation technique
La lecture de ces livres nécessite des connaissances en mathématiques, analyse
numérique, mécanique des milieux continus (et discontinus) et résistance des matériaux,
correspondant aux programmes des écoles d'ingénieurs ou de deuxième cycle
universitaire. 22 Calcul des ouvrages généraux de construction
Ces livres s'adressent aux spécialistes :
- étudiants des formations d'ingénieurs ou de maîtrise ;
- techniciens et ingénieurs du génie civil spécialisés dans le calcul des ouvrages ;
-s ets concepteurs de logiciels de calcul des structures.
Ils s'adressent également à ceux qui veulent se familiariser avec l'utilisation d'une
méthode ou qui, pour un problème donné, ont à coeur de définir une stratégie de
développement ou d'investissement en fonction de besoins ou d'enjeux particuliers. Ils
s'adressent donc aussi aux décideurs et aux contrôleurs :
- responsables de bureaux d'études ous de projets ;
-s du choix des équipements en logiciels et matériels pour le compte
d'un distributeur ou d'un éditeur.
Mais ces livres sont, avant tout, le point de rencontre de plusieurs métiers. Ils traitent de
l'utilisation d'une méthode générale de calcul en vue du dimensionnement et de la
vérification des ouvrages de génie civil. Ce rapprochement entre analyse numérique et
analyse des structures constitue en réalité une discipline à part entière.
Les livres présentent donc, non seulement les bases fondamentales du calcul variationnel
appliqué à la mécanique des milieux continus, mais aussi l'art et la manière d'extraire de
la théorie, juste ce qu'il faut, condition nécessaire mais non suffisante, pour mettre en
oeuvre, à partir d'une meilleure maîtrise du projet, une modélisation conforme, précise et
performante.
Dans ce but, afin d'éviter trop de renvois aux publications spécialisées et pour améliorer
la présentation et la cohérence du texte, des explications et formules sont rappelées en
notes ou en annexes et précisent, autant que faire se peut, les principales notions qu'il est
indispensable de connaître.
Ceci implique certaines redondances. En effet, un même problème peut être abordé
différemment suivant qu'il est envisagé sous l'angle du calcul par éléments finis ou sous
l'angle du projet d'ouvrage.
L e lecteur y trouvera certainement une richesse et non une difficulté.
L e 9 janvier 1997
Michel PRAT Introduction
Tout ce qui relève du nombre a de la « matière » .
Aristote
Les éléments finis sont aussi « matière à penser » .
C'est par cet aphorisme qu'il convient de commencer ce livre car il embrasse le sujet tout
entier...
La modélisation par éléments finis procède d'une discrétisation du continuum structure-
matière.
Une construction de génie civil peut être décomposée en divers corps mécaniques par
référence à des théories simplifiées (structure et matière), puis reconstituée a posteriori
par assemblage et mise en continuité de corps couplant des comportements structuraux et
rhéologiques.
En effet, la juxtaposition de corps, en tant que modèles, n'est pas suffisante pour traduire
correctement le comportement (ou le fonctionnement) d'un objet mécanique soumis à des
conditions de liaison et de chargement. La spécificité d'un modèle tient parfois plus à la
nature de l'interaction liant les éléments constitutifs entre eux et au couplage des
phénomènes sous-jacents qu'à celle propre des éléments...
Mais il existe une interaction d'une autre nature (non physique), appellée par la suite
« dualité » , qui met en relation la théorie et l'expérimentation. Est-il possible, dans un
projet de génie civil, de faire vraiment la part de ce qui vient de la théorie et de ce qui
vient de l'expérience ? Quelle corrélation entre les modèles théoriques et les observations
expérimentales faut-il mettre en œuvre ?
Une modélisation qui ne met pas en valeur cette spécificité, déduite le plus souvent de
l'art de l'ingénieur, de l'expertise du projet ou de la connaissance de processus
d'apprentissage et d'établissement de modèles numériques, ne peut pas donner des
résultats de qualité ou plus modestement des résultats exploitables par un ingénieur. 24 Calcul des ouvrages généraux de construction
A . L'INTERACTION STRUCTURE-MATIÈRE
Afin de préciser l'importance de l'interaction entre des structures « sollicitées et
résistantes » et des matériaux « sollicités et résistants » , divers exemples sont proposés
ci-après.
a) L'exemple du tirant en béton précontraint
Soit un tirant rectiligne capable de transmettre un effort de traction pure.
Lorsque le tirant est en acier ou en bois, il supporte ce que peut supporter le matériau et
rien de plus. L'emploi d'une poutre en béton armé, en l'absence de flexion, n'apporte
guère plus que c e que peuvent apporter les armatures.
Lorsque le tirant est une poutre en béton comprimée par une armature centrée, s'appuyant
sur les sections d'about, et tendue dans une gaine injectée, le problème devient différent.
L'interaction du béton comprimé et d'une armature tendue permet d'obtenir un corps
mécanique qui possède les propriétés suivantes :
- l'effort de traction supporté est supérieur à la force de précontrainte, sans traction
du béton ;
- la variation des contraintes de l'acier est faible (à cause du béton) même
consécutivement à une forte variation des actions extérieures ;
- les déformations restent très limitées ;
- il n'y a plus proportionnalité entre les contraintes et les actions appliquées et il
n'est plus possible d'évaluer la sécurité en fonction du niveau des contraintes.
Ces aspects, simplifiés à l'extrême, sont révélateurs de la spécificité du tirant
précontraint. Une modélisation, juxtaposant uniquement des caractéristiques
géométriques et mécaniques sans prise en compte des particularités dues à l'interaction,
peut s'avérer inexacte.
b) L'exemple de l'ossature mixte acier-béton
Une ossature mixte acier-béton est constituée par des poutres longitudinales en métal
reliées par un hourdis en béton qui peut être armé ou précontraint. Ce type de structure se
prête bien à une construction par phase, dite « par poussage-coulage » : poussage de
l'ossature métallique (poutre en I et entretoises) et coulage de plots de béton (plots en
travée et plots sur appuis, pour schématiser) s'appuyant sur l'ossature en place.
Au moment du poussage, les poutres (en forme de I) sont soumises à des actions de
poids propre (ossature métallique et équipages) et les rigidités (inerties de flexion) sont
calculées à partir des caractéristiques des poutres seules.
Au moment du coulage du béton, l'ossature en métal supporte alors le poids des
coffrages, le poids des armatures et celui du béton qui pèse mais ne résiste pas. Introduction 25
Après la prise du béton, la structure évolue. Le béton, en devenant plus résistant,
participe de plus en plus à la rigidité des poutres et de ce fait le rendement des sections
homogénéisées se transforme. L'interaction structure-matériaux prend ici toute sa
signification ajoutant une dimension sémantique au problème de la modélisation.
c) L'exemple de l'interaction « structures-sol »
L'interaction « structures-sol » est la somme (non arithmétique) des comportements des
structures, des massifs de fondation et des interfaces. Dans le cas d'une fondation
supportant des structures, les méthodes de calcul développées pour mieux décrire la
répartition des charges dans les structures sous l'effet des déformations du sol fournissent
des résultats qui dépendent principalement des raideurs relatives du sol et des structures,
mais aussi des paramètres de répartition des charges appliquées par les structures au sol
par l'intermédiaire de la fondation.
Mais alors, quelle est l'importance de la prise en compte de l'influence de la structure
dans les calculs d'interaction ? En effet, l'analyse d'un ensemble « structures-sol » est
rarement effectuée simultanément avec le même souci du détail et le même niveau de
précision pour les structures et pour le sol.
d) L'exemple des groupes de structures
Concernant les structures, un autre point important peut être signalé. Si les règles de
calcul des tassements et de la stabilité des structures isolées sont assez bien établies, ou
font l'objet d'intenses recherches, le comportement des groupes de structures reste un
sujet mal connu.
Pourtant, la plupart des grands ouvrages font intervenir ce type d'interaction. Par
exemple : les barrages en béton construits par plots ; le tunnel sous la Manche, composé
de deux galeries ferroviaires et d'un tunnel de service ; les bâtiments d'une centrale
nucléaire ; les aires de stockage ; les grands travaux réalisés dans les sites fortement
urbanisés, où se trouvent de nombreuses constructions anciennes, etc.
B . L A « DUALITÉ » THÉORIE-EXPÉRIMENTATION
L'étape première d'un calcul d'ouvrage consiste à appliquer correctement une théorie de
structure. Au bout de la chaîne des calculs, ultime étape, les résultats obtenus doivent
être en accord avec les observations expérimentales réalisées ou connues sur des
ouvrages ou des sites similaires, ou bien conformes aux règles de l'art. Entre ces deux
étapes, il y a place pour de nombreuses certitudes et/ou incertitudes. C'est ce que nous
appelons la « dualité » théorie-expérimentation. Un trop large crédit accordé à des
résultats expérimentaux qui ne seraient pas adaptés au fonctionnement d'une structure ou,
inversement, une trop grande confiance faite à des résultats théoriques déconnectés des
campagnes d'essais ou des observations portant sur le comportement d'ouvrages types,
peuvent, l'un comme l'autre, entraîner des erreurs grossières de conception. 26 Calcul des ouvrages généraux de construction
a) Études basées sur l'observation et les essais
La modélisation des sols et des roches s'appuie essentiellement sur les résultats des
études géotechnique, géologique et hydrogéologique (effectuées sur le site du projet) et
sur les résultats des essais de laboratoire. Le tableau I distingue, à cet effet, différents
modèles en relation avec les expérimentations.
Modélisation Reconnaissance in situ Essais de laboratoire
Modèle géométrique Topographie et coupe géologique,
sondages.
Plan des constructions voisines.
Modèle pour les Analyse des structures projetées. Essais sur modèles réduits
structures ou centrifugés.
Hypothèses sur les structures à
construire.
Modèle d'interaction Essais en vraie grandeur (fondations Essais à la boîte de
sol-structures profondes, sols renforcés, etc.). cisaillement.
Essais de frottement et
d'arrachement.
Modèle pour les Prélèvement, identification des Essais de résistance et de
matériaux matériaux, état de fissuration. déformabilité (essais de
compression et de traction,
Essais in situ, variabilité des
essais triaxiaux et
propriétés mécaniques, état initial
œdométriques).
des contraintes.
Modèle hydraulique Etude hydrogéologique, fluctuation Essai de perméabilité.
de la nappe, essai de perméabilité.
Modèle de charge Ordre de grandeur des efforts
transmis par des constructions
voisines, surcharges de service,
séismicité.
Tableau I - Élaboration des modèles et étude géotechnique.
Pour tous les ouvrages de géotechnique, les méthodes de dimensionnement usuelles
comportent une part d'analyse, souvent cachée, du comportement des sols réels. Ces
méthodes appartiennent à la sémantique des procédures empiriques (mais normalisées)
ou communément admises. C'est le cas des méthodes pressiométriques ou
pénétrométriques, pour l'étude des fondations, ou de certaines méthodes pour l'étude des
écrans de soutènement : l'ouvrage est alors regardé du côté du métal ou du béton, en
réduisant le massif de sol à une interface. Introduction 27
b) Études basées sur l'utilisation de théories éprouvées
Une méthode de calcul traditionnelle peut être « utilisée machinalement et parfois à
mauvais escient » , c'est-à-dire en dehors de son domaine de validité. Par exemple, il n'est
pas conseillé d'introduire, dans un calcul à deux ou trois dimensions, les caractéristiques
d'un sol déterminées pour un calcul à une dimension. Or, nombreuses sont les méthodes
justifiées par des observations expérimentales ou par des calages sur des modèles
unidimensionnels.
Qu'en est-il alors de la généralité apportée par la méthode des éléments finis ? Comment
appliquer cette méthode très sophistiquée à des modèles qu'il faut sans cesse simplifier et
corriger pour tenir compte du fait expérimental 7
D'ailleurs, cette généralité n'est, ni plus ni moins, que celle des équations de la
mécanique des milieux continus et, de ce fait, ne peut être qu'apparente. En effet, pour
chaque type d'ouvrage de géotechnique, il est d'autres aspects, aussi fondamentaux que
les aspects théoriques, qu'il faut considérer pour obtenir des résultats conformes (tableau
II), par exemple : la représentation des chargements, le phasage des travaux, la
description des interfaces, le choix des lois de comportement, etc.
Type de modèle Caractéristiques de modèle
Modèle de charge Mise en place du pieu (phasage des travaux).
Charges de service transmises par des structures à la fondation
(intensité, distribution spatiale et temporelle, périodicité, etc.).
Modèle de pieu Comportement du matériau (béton, acier) : élasticité isotrope
linéaire ou non linéaire, élastoplasticité.
Type d'éléments finis : massifs ou poutres.
Milieu continu homogène ou hétérogène, isotrope ou anisotrope. Modèle de sol (ou de
roche)
Comportement des couches de sol : élasticité linéaire ou non
linéaire, élastoplasticité, viscoplasticité, poro-viscoplasticité.
Modèle d'interaction Type d'éléments finis : éléments de joint avec un matériau de
remplissage (cas des roches) ou éléments d'interface sans
épaisseur (cas des sols et des interactions entre structures).
Tableau II - Caractéristiques des modèles pour la modélisation d'un pieu isolé dans un
massif de sol.
c) Études et types d'analyse
En réalité, il semble que les utilisateurs des calculs en éléments finis se limitent souvent à
des calculs en élasticité linéaire, très rarement en élastoplasticité et exceptionnellement à
dess couplés en contraintes effectives. Or ces pratiques ne peuvent pas être 28 Calcul des ouvrages généraux de construction
déconnectées de la représentativité d'un modèle lors de l'exploitation et de l'interprétation
des résultats.
En particulier, l'une des grandes discussions porte sur l'efficacité des modèles simplifiés
pour des études paramétriques. N'importe quel modèle simplifié ne peut être considéré
comme une approximation acceptable d'un quelconque comportement réel.
C. LA QUALITÉ DES CALCULS COMME OBJECTIF
La précision d'un calcul ne peut pas être supérieure à celle des équations qui décrivent les
phénomènes physiques qui se développent dans l'ouvrage et dans son environnement. Si
les équations ne représentent pas convenablement ces phénomènes physiques, les
résultats des calculs ne seront jamais justes.
La validité des résultats dépend également de la qualité des données expérimentales et
des valeurs des paramètres des calculs qui en sont déduits. Des données ou paramètres
incertains ne peuvent pas produire des résultats précis.
La qualité de ces résultats, déjà limitée, peut encore diminuer si l'utilisateur commet des
erreurs supplémentaires lors de la réalisation des maillages, la définition des lois de
chargements et des incréments (pour les problèmes d'évolution), le choix des conditions
aux limites, etc.
La modélisation des ouvrages de génie civil est donc liée (pour une grande part) à
l'expertise du projet et, pour être performante, elle doit permettre non seulement de
mettre en œuvre correctement l'interaction structure-matière, en s'appuyant sur les règles
de l'art, mais aussi de traduire la « dualité » théorie-expérimentation, pour concevoir des
modèles numériques adaptés, conformes aux observations expérimentales et compatibles
avec les réelles possibilités offertes par les théories de structure.
C'est tout le sens que veut donner ce livre à la « maîtrise de la modélisation des
ouvrages ».
La qualité des ouvrages en dépend...
Le 9 janvie r 1997
Philippe MESTA T et Michel PRAT PRÉLIMINAIRE
Philippe Mestat
Michel Prat Préliminaire
L'interaction structu re-matière...
Le livre intitulé « La maîtrise de la modélisation des ouvrages » présente principalement
la modélisation de l'interaction structure-matière, qui constitue la spécificité de
l'ouvrage. Les aspects structuraux et rhéologiques de la modélisation sont supposés
connus (part. 3 et part. 4, liv. I). Il s'agit maintenant de proposer, pour chaque type
d'ouvrage, des modèles numériques susceptibles de traduire les multiples corrélations
entre structures et matériaux.
1. Calculer pour construire
La construction d'un ouvrage de génie civil nécessite de nombreuses études préliminaires
(étude géologique du site, reconnaissance des sols de fondation, étude de la faisabilité du
projet, étude d'impact sur l'environnement, etc.) au cours desquelles diverses méthodes
de calcul sont utilisées pour donner une évaluation ou une prévision de l'état du sol en
place et du fonctionnement de l'ouvrage dans son environnement sous sollicitations
(construction, service, etc.).
En phase d'avant-projet, ces calculs sont souvent indicatifs et fondés sur l'expérience de
l'ingénieur (ou du bureau d'études, aidé éventuellement par des experts). Ils visent
seulement à préciser la faisabilité du projet, à aider la prise de décision concernant la
conception de l'ouvrage, à choisir les procédés de construction et, par conséquent, à
estimer la durée des travaux et leur coût (cet aspect financier est souvent primordial).
En phase de projet, ces calculs doivent être bien sûr plus quantitatifs et permettre une
modélisation de l'ouvrage et de son environnement conforme aux normes. Ces calculs
plus fins peuvent également permettre une optimisation du projet (implantation et
géométrie de l'ouvrage) et une réduction des nuisances occasionnées par les travaux
(sécurité des ouvriers, impact sur l'environnement, etc.).
Ainsi, à toutes les étapes de l'étude d'un projet, l'ingénieur doit effectuer des calculs et
donc utiliser des méthodes et des techniques de calcul. Que ces opérations soient très
sommaires (utilisation de formules empiriques et d'abaques) ou plus complexes
(utilisation d'un code de calcul), l'ingénieur est confronté au problème de la modélisation
de l'ouvrage qu'il étudie. La construction de l'ouvrage est ainsi souvent au bout de sa
modélisation.
La modélisation devient alors une discipline à part entière mettant en relation les modèles
de structures (espace, approximation, condition, etc.) et les modèles de matière
(comportement au sens le plus large). 32 Calcul des ouvrages généraux de construction
2. Modéliser pour calculer
2.1. Un savoir
La modélisation d'un ouvrage' fait appel aux documents qui constituent le dossier du
projet (études préalables, plans, caractérisation des matériaux, conditions d'utilisation de
l'ouvrage, etc.) mais aussi aux documents théoriques contenant une certaine réflexion sur
le mode de fonctionnement de l'ouvrage (modélisation mathématique des phénomènes
physiques observés).
En effet, la modélisation a pour objet d'élaborer un modèle capable de décrire, de
manière plus ou moins approchée, le fonctionnement de l'ouvrage sous différentes
conditions. Pour ce faire, l'ingénieur peut être aidé par des modèles types déjà élaborés
par son bureau d'études et validés par des comparaisons avec le fonctionnement observé
des ouvrages. Il peut également s'inspirer des modèles décrits dans diverses publications.
Si les modèles existants ne le satisfont pas, il doit développer son propre modèle avec les
outils théoriques et informatiques qui sont à sa disposition.
D'une manière générale, la modélisation d'un ouvrage peut comprendre les étapes
successives suivantes :
- la définition du problème étudié (géométrie de l'ouvrage et des sols de fondation y
compris des discontinuités éventuelles) ;
- le choix des phénomènes mécaniques et hydrauliques caractérisant le
fonctionnement de l'ouvrage dans son environnement (sollicitations, interaction sol-
structure, spécificités de l'ouvrage et comportement des matériaux qui le
constituent) et les réponses des matériaux en place (tassement, gonflement, fluage,
consolidation, etc.) ;
- le choix d'une méthode de calcul, l'élaboration d'un modèle de fonctionnement
pour l'ouvrage et la justification des hypothèses qui sont sous-jacentes ;
- la détermination des paramètres nécessaires pour l'utilisation de la méthode et du
modèle choisis (répartition des charges, lois de comportement des matériaux,
conditions de liaison, etc.) ;
- la simulation à l'aide du modèle ;
- la vérification des ordres de grandeur des résultats avec d'autres modèles de calcul,
éventuellement comparaison des résultats avec des mesures sur le site ou avec des
mesures (ou résultats de calcul) obtenues pour des ouvrages similaires ;
- les études paramétriques (évaluation de la sensibilité aux paramètres) ;
- le calage éventuel avec les mesures et prévisions de comportement à long terme.
Cette démarche de modélisation met en évidence que le calcul d'un ouvrage est le point
de rencontre de plusieurs domaines des sciences de l'ingénieur, mais qu'il est aussi une
La réduction qui suit est plutôt ouentée « géotechnique ». Toutefois, les raisonnements développés
s'appliquent aussi au cas des structures. Préliminaire 33
succession d'hypothèses implicites (liées à la théorie physique et à la méthode de calcul)
et explicites (données pour la réalisation du calcul).
Ainsi, dans le cas de la méthode des éléments finis, la modélisation fait, en général, appel
à trois domaines des sciences de l'ingénieur : la mécanique des milieux continus, la
rhéologie des matériaux et le calcul numérique par ordinateur.
La mécanique des milieux continus apporte un cadre mathématique et physique en
assimilant la matière à un milieu continu (continuité du milieu et de ses évolutions ) et en
permettant la définition des notions de déformation, de contrainte et de loi de
comportement.
La rhéologie, par l'étude expérimentale des matériaux, permet de formuler et de valider
une description du comportement d'un échantillon de volume représentatif. Cette
description se traduit par des lois exprimant en tout point matériel une relation plus ou
moins complexe entre les tenseurs de contrainte et de déformation et leurs
accroissements respectifs. Les progrès réalisés permettent aujourd'hui une analyse plus
fine du comportement non linéaire des matériaux utilisés dans la construction des
ouvrages.
L'analyse numérique fournit les moyens de résoudre par « discrétisation » les équations
aux dérivées partielles associées à un problème physique : ces moyen s numériques sont
la méthode des éléments finis et l'algorithme de résolution adapté au problème
mathématique. L'introduction des lois de comportement dans un code en éléments finis
est, aujourd'hui, assez bien maîtrisée. Le logicie l de calcul se situe ainsi au bout d'une
chaîne d'hypothèses et il constitue son expression informatique directement utilisable par
l'ingénieur.
2.2. Un savoir-faire
La pratique des éléments finis est souvent le fruit d'une collaboration entre le client qui
demande les calculs, l'ingénieur d'études qui analyse les données disponibles et
l'ingénieur calculateur qui va réaliser la modélisation et les calculs par éléments finis.
L'analyse des résultats et leur interprétation devraient être elles aussi le fruit d'une telle
collaboration.
Cette collaboration peut être illustrée en affectant aux différentes phases de l'étude d'un
ouvrage un pourcentage qui correspond à l'importance relative de chaque phase d'étude
en fonction des moyens mis en œuvre (tableaux I et II).
Si la part des moyens dont peut disposer l'ingénieur pour son projet est variable suivant
les phases de l'étude, la décision finale comporte une part importante d'expérience
personnelle de l'ingénieur (ou d'expérience collective de l'ensemble des ingénieurs et
chercheurs qui peut être traduite sous forme de normes ou de directives).
Lorsque de telles collaborations ne sont pas possibles et que la personne chargée des
calculs n'a pas une expérience suffisante (concernant les aspects structuraux ou
géotechniques, par exemple), le risque est grand de réaliser des modélisations inadaptées
et incorrectes. La seule manière de se prémunir contre le risque de mal poser le problème 34 Calcul des ouvrages généraux de construction
et de mal interpréter les résultats consiste à bien appliquer des « règles du jeu » connues
et validées, autrement dit des principes de modélisation qui ont fait leur preuve pour
chaque type d'ouvrage.
Phases Art de Moyens Moyens
l'ingénieur théoriques techniques
eReconnaissance des sols 30% 20 /, 50%
Schématisation des sols, de 70% 309f -
l'ouvrage et des sollicitations
Choix du modèle de calcul 50% 30% 20%
Analyse des résultats 100% - -
Décision 100% - -
Tableau I - Décomposition des méthodes d'études dans le cas des ouvrages de
géotechnique (LCPC).
Ces principes doivent aider à minimiser le rôle de l'utilisateur dans la démarche de
modélisation et à rendre, par voie de conséquence, les résultats des calculs plus fiables.
La mise en évidence de ces principes nécessite de mieux définir la démarche de
modélisation et, en particulier, de déterminer les paramètres de calcul nécessaires à partir
des paramètres du projet.
Phases Art de Moyens Moyens
l'ingénieur théoriques techniques
40% 30% Choix du modèle de calcul 30%
Analyse des résultats 60% 20% 20%
Décision 80% 10% 10%
Tableau II - Décomposition des méthodes d'études dans le cas des ouvrages d'art
(SETRA).
2.3. Un savoir bien faire
Dans le domaine du génie civil, les paramètres à déterminer pour établir un bon projet
peuvent être classés en cinq familles :
- les paramètres liés à la géométrie de l'ouvrage et à la disposition des terrains
(conditions de liaisons entre les structures et conditions aux limites) ; Préliminaire 35
- les paramètres liés à la représentation des actions, aux lois de chargement et aux
diverses conditions ;
- les paramètres qui caractérisent le comportement des matériaux ;
- les caractéristiques physiques des matériaux (paramètres d'identification,
poids volumiques, teneur en eau, granularité, etc. ; indice de qualité des
matériaux ; discontinuités éventuelles ; altérabilité ) ;
- les caractéristiques mécaniques (paramètres de résistance, paramètres de
déformabilité, caractéristiques sous chargement cyclique) ;
- less hydrogéologiques (perméabilité des sols et des roches) ;
- les paramètres liés à l'état initial des matériaux (état mécanique et hydraulique) ;
- less de constructibilité (critère de tassement maximal, contraintes
admissibles, etc.). Parmi ces paramètres, il y a également les paramètres propres aux
procédés de construction des ouvrages. Par exemple :
- dans le cas des ouvrages souterrains, les paramètres permettant de choisir le
type d'outil et la puissance de la machine pour l'abattage des roches et les
paramètres caractérisant l'aptitude au collage des matériaux sur les outils ;
- dans le cas des ponts, les paramètres liés au poussage ou au haubanage
provisoire du tablier, etc.
A chaque famille de paramètres, il est possible d'associer un aspect de la modélisation :
soit, respectivement, la réalisation du maillage, la détermination des actions, la rhéologie
des matériaux (lois de comportement), l'état initial des matériaux et l'interprétation des
résultats. L'utilisation de ces paramètres pour la modélisation peut conduire dans certains
cas à des interactions que l'ingénieur doit considérer et maîtriser sous peine de réaliser
une modélisation non satisfaisante, voire incorrecte.
3. Modéliser : déceler et comprendre certaines interdépendances
L'application de la méthode des éléments finis au calcul des ouvrages et les hypothèses
de modélisation évoquées plus haut ne sont pas indépendantes.
3.1. La modélisation dépend aussi des hypothèses simplificatrices
Les ouvrages réels et leur environnement présentent rarement une géométrie
tridimensionnelle simple. Cependant, l'existence dans l'ouvrage de symétries ou de
directions prépondérantes permet souvent de réduire la dimension du problème : un
problème géométrique tridimensionnel peut alors être transformé en un problème
bidimensionnel ou en un problème à symétrie de révolution.
Pour qu'il soit possible de simplifier la modélisation, il faut également que les conditions
aux limites et la stratification du sol en place, révélée par les reconnaissances (y compris
les éventuelles discontinuités), vérifient ces mêmes symétries (y compris la symétrie des 36 Calcul des ouvrages généraux de construction
évolutions possibles, flambage par exemple). Ces simplifications permettent de diminuer
fortement le nombre des éléments et des nœuds du maillage et de réduire la durée des
calculs. Il convient donc de savoir définir de manière judicieuse les limites géométriques
du domaine modélisé. Ces limites doivent se situer à une distance telle que la
perturbation induite par les conditions ne produise qu'un déplacement ou une variation
de charge hydraulique négligeable (Saint-Venant).
3.2. La modélisation dépend aussi des sollicitations appliquées
Les actions statiques ou dynamiques appliquées aux ossatures porteuses ou aux
structures aériennes sont dues aux forces et couples qui traduisent des charges
d'exploitation permanentes, variables ou accidentelles mais qui peuvent traduire aussi
certains couplages entre les charges, les structures et les matériaux.
Les ossatures sont sensibles aux actions différées (retrait et fluage) et aux redistributions
d'efforts qui sont fonction d'un historique des charges associé à des fonctionnements
d'ouvrage (ou partie d'ouvrage) et des comportements de matière dépendant du temps. Le
choix des éléments (choix des degrés de liberté notamment) et des maillages doit être
non seulement établi sur la base d'un modèle résistant mais également sur la base d'un
modèle de charge au sens le plus large. Les nœuds du maillage doivent donc permettre de
prendre en compte correctement les singularités géométriques et mécaniques, y compris
les conditions d'appuis et de chargement (points d'application des charges concentrées et
limites des charges réparties). La répartition des discontinuités et des conditions
remarquables de liaison conduit l'ingénieur à raffiner le maillage dans ces zones
particulières souvent déterminantes.
En géotechnique, les sollicitations monotones imposées aux terrains et aux ouvrages sont
principalement dues aux forces volumiques permanentes (poids propre), à des
chargements extérieurs liés aux travaux réalisés (surcharge, injection, précontrainte,
forces de déconfinement, etc.) ou encore à des chargements spécifiques (gonflement de
certains sols, retrait du béton, écoulement d'un fluide, effet mécanique d'un champ de
température, etc.) qui sont traités comme des champs de forces volumiques imposées.
Cette dernière approche constitue une simplification et permet de ne pas utiliser de loi de
comportement très complexe (poro-viscoplasticité, par exemple), constituant une
hypothèse forte.
Pour les problèmes de dynamique, le maillage ne peut être quelconque pour bien décrire
les modes propres d'une structure. Il y a lieu de mettre en œuvre (autour des zones
étudiées ou chargées) des raffinements locaux de maillages globaux fins (comprenant des
éléments spéciaux aux frontières) fonctions des longueurs d'ondes.
3.3. La modélisation dépend aussi du phasage de construction
Une modélisation réaliste de la construction d'un ouvrage de géotechnique impose de
prendre en compte l'histoire des travaux et de distinguer différentes étapes dans la Préliminaire 37
construction. Cependant, dans quelques cas très particuliers, la construction d'un ouvrage
peut être approchée en considérant le maillage du milieu final et en appliquant
progressivement le poids des terrains (des poids propres dans le cas des structures) de
manière incrémentale. Mais ce type de calcul conduit à des résultats différents d'une
véritable modélisation par étapes car, à tout instant, la rigidité du maillage complet
intervient dans les calculs. Cette approche n'est réaliste et exacte que pour modéliser des
essais en centrifugeuse sans qu'il y ait apport ou enlèvement de matériaux.
Dans la grande majorité des cas, il faut considérer les différentes étapes de construction
de l'ouvrage. Chaque étape correspond alors à une phase d'exécution des travaux
(excavation, remblaiement, pose d'un revêtement, mise en place d'un pieu ou d'un tirant,
etc.) et à l'apparition ou la disparition de certains matériaux. En pratique, la simulation
est constituée d'un enchaînement de calculs, qui permet de tenir compte des changements
de rigidité nécessaires dans le milieu considéré. Pour mener à bien ce type de calcul, il
convient d'avoir prévu, dans le maillage, la possibilité de changer les caractéristiques
mécaniques de certaines zones d'éléments finis au cours des calculs, et donc de gérer ces
changements au niveau du maillage complet. Ainsi, au cours des calculs, des zones
d'éléments finis peuvent changer plusieurs fois de rigidité et représenter successivement
des matériaux de nature différente ou bien disparaître puis réapparaître à une autre étape.
Il convient alors de prendre garde, dans l'interprétation des résultats, à bien séparer les
différentes origines des contraintes et déplacements obtenus à l'étape finale.
Si le comportement des matériaux est élastique, la modélisation d'une construction
conduit à la même distribution de contraintes et de déformations quel que soit l'ordre
dans lequel les étapes de construction sont réalisées. Lorsque le comportement des
matériaux est irréversible (plastique), les résultats de la modélisation dépendent de l'ordre
dans lequel les étapes den sont réalisées. Il y a donc une interaction forte
entre la représentation des actions successives et l'élaboration du maillage.
3.4. La modélisation dépend aussi du fonctionnement de l'ouvrage
Bien souvent les essais classiques ne sont pas parfaitement adaptés au modèle de
fonctionnement envisagé car ces essais ne tiennent pas compte, par exemple, du
problème général de la rotation des contraintes principales dans un massif de sol au cours
du chargement.
Mais même sans considérer cet aspect, il est évident que les chemins de déformations
suivis sous un remblai de grande longueur sont des chemins en déformations planes et
les chemins de contraintes, des chemins de chargement au sens que les contraintes
augmentent (fig. l-a). Par conséquent, les informations déduites d'essais sur des
éprouvettes cylindriques ne peuvent être directement utilisées.
De même, les chemins de contraintes suivis à proximité d'un ouvrage souterrain sont des
chemins en déchargement (fig. I-b) ; les paramètres doivent être déduits de chemins du
même type (essais de laboratoire ou in situ). Il convient alors de construire le modèle de
fonctionnement en déterminant les paramètres mécaniques en toute connaissance de
cause et en reconnaissant les chemins de sollicitations suivis. Il y a donc interaction entre 38 Calcul des ouvrages généraux de construction
la modélisation du fonctionnement d'un ouvrage et la manière de déterminer les
paramètres des lois de comportement.
o' „ : Contrainte initiale
v
verticale
a' : Contrainte initiale no
horizontale
A o : Accroissement de la
(a)
contrainte initiale
verticale dû au poids
du remblai
Ao : Diminution de la
contrainte initiale
verticale due au
creusement
(b )
Fig. 1 - Types d'ouvrages et chemins de contraintes : (a) remblai et chemin de
contraintes en chargement ; (b) tunnel et chemin de contraintes en déchargement.
3.5. La modélisation dépend aussi de la description du comportement
des matériaux
L e choix de la description du comportement des matériaux influe sur la définition du
modèle. Par exemple, lorsque let est anisotrope, il est fortement conseillé
de respecter les lignes mécaniques privilégiées du comportement. En effet, l'anisotropie a
une très grande influence sur la distribution du champ de contraintes, comme le montre
la figure 2 dans le cas d'un massif de sol.
Il y a donc une interaction forte entre la réalisation du maillage et les simplifications (ou
hypothèses) adoptées pour représenter la structure, les conditions aux limites et le
comportement des matériaux.
Le degré de complexité de la loi de comportement a une influence directe sur la manière
de déterminer les paramètres det et, même, sur les types d'essais à réaliser.
La détermination de ces paramètres mécaniques est effectuée en interprétant les résultats
des essais œdométriques et des essais triaxiaux (pour les sols), des essais de traction et de
compression (pour les métaux, les bétons et les roches). Les valeurs de ces paramètres
ont une influence considérable sur les résultats. Préliminaire 39
P P P
Isotropique 90° 0°
P P P
30° 60° 45°
Fig. 2 - Influence de la direction d'isotropie dans un milieu anisotrope sur les isovaleurs
de contraintes verticales pour une même charge concentrée.
Les essais de laboratoire permettent notamment de caractériser le comportement d'un
élément de volume représentatif de chaque matériau et de simuler certains chemins de
contraintes ou de déformations types supposés suivis au voisinage des régions les plus
sollicitées. La rhéologie fournit donc des lois de comportement dont le choix est
fondamental pour la modélisation.
L'utilisation des lois les plus complexes est encore du domaine de la recherche appliquée
à la compréhension du comportement de la matière et de la validation des lois de
comportement des massifs de sol.
Pour la pratique courante, l'ingénieur utilise des lois plus simples (lois élastiques, lois
élastoplastiques parfaites de Mohr-Coulomb et de Drucker-Prager). Si le comportement
des matériaux étudiés n'est pas très bien connu, l'erreur qui peut être ajoutée en
considérant ces lois n'est souvent pas excessive par rapport à celle introduite par la
méconnaissance des sols en place et de leur état initial.
Mais il faut être conscient du domaine de validité des lois de comportement utilisées : en
effet, certaines de ces lois ont été construites à partir d'essais réalisés sous faibles
contraintes ou pour des sollicitations monotones uniquement. L'extension des domaines
de validité des lois de comportement est donc une opération difficile, qui peut conduire à
des erreurs de modélisation. Il y a donc interaction entre les phénomènes physiques qu'il
faut modéliser, les lois de comportement et les essais disponibles pour déterminer les
paramètres. Les remarques précédentes ne condamnent pas l'utilisation des lois de
comportement non linéaire pour l'analyse en déformation des ouvrages, mais elles
suggèrent une grande prudence dans l'emploi des méthodes de calcul numérique. 40 Calcul des ouvrages généraux de construction
Les données des expériences de laboratoire ne doivent fournir qu'une première
estimation et il est prudent d'effectuer les premiers calculs en faisant varier, dans une
certaine plage, les paramètres de comportement autour de cette première estimation. S'il
existe des mesures effectuées en place, ces résultats permettent d'ajuster progressivement
les valeurs des paramètres et de mieux décrire le comportement global. Par ailleurs, dans
le cas d'un calcul de dimensionnement, l'expérience antérieure de l'ingénieur responsable
du projet ou une étude bibliographique, relative aux ouvrages réalisés dans le même
matériau ou un matériau analogue, peut fournir des indications complémentaires
permettant de contrôler les conclusions tirées des essais.
Cependant, il faut reconnaître également qu'il existe des réticences à l'utilisation de
certaines des possibilités offertes par la méthode des éléments finis. En effet, les
modélisations en comportement non linéaire nécessitent de nombreuses données
géotechniques (sondages, essais in situ, essais de laboratoire) et, par conséquent, peuvent
être très onéreuses lorsque de nombreux types de sol sont présents sur un même site, sans
parler des prouesses techniques nécessaires à la détermination de l'ensemble des
paramètres physiques du problème. Les ingénieurs chargés d'une étude peuvent alors
préférer utiliser des lois élastoplastiques parfaites, qui font appel à des données
familières et facilement accessibles, même si leurs résultats ne correspondent pas
toujours à la réalité, à condition de savoir quel est le sens du biais introduit entre le
modèle et le comportement physique.
Moyennant les précautions d'usage, l'utilisation des lois de comportement non linéaire
apporte une aide précieuse et relativement réaliste pour la compréhension des
mécanismes de déformation des ouvrages et des massifs de sol.
4. Questionnaire pour maîtriser la modélisation des ouvrages
Les nombreuses interactions possibles, pour une même étude d'ouvrage, entre les aspects
liés aux structures, aux matériaux et aux procédés de construction peuvent être
rassemblées sous la forme d'un questionnaire préalable à l'élaboration d'une
modélisation.
Avant d'expliciter ce questionnaire, l'ingénieur doit se poser un certain nombre de
questions préliminaires :
- À quoi sert la modélisation ? Quelle est son utilité réelle par rapport au projet ?
Autrement dit, comment doivent être interprétés les résultats ?
- Doivent-ils répondre à des critères bien précis ? Critère de déplacement maximal ?
Critères d'effort et de moment maximaux ? Critères de stabilité à court terme, à long
terme ?
- Des aspects qualitatifs sont-ils seulement attendus ?
Selon les réponses fournies, la modélisation peut ne pas être la même, notamment en ce
qui concerne le choix des lois de comportement, de la représentation des actions ou
encore la simulation de l'interaction sol-structure. Préliminaire 41
Ainsi des approximations peuvent être envisagées (pour alléger les conditions du calcul)
lorsque les aspects qualitatifs seuls intéressent l'ingénieur. Mais ces approximations
doivent être justifiées et ne pas négliger des phénomènes physiques importants (par
exemple : pour un pieu, l'interaction entre le sol et le fût du pieu ne peut être ignorée).
Faire simple ne doit pas conduire à faire simpliste.
Pour parvenir au quantitatif, il faut s'approcher de la réalité de l'ouvrage et de son
contexte. La modélisation peut alors devenir très complexe, ce qui a une incidence sur les
moyens humains à mettre en œuvre, la durée des calculs et donc sur le coût.
Cependant, même pour des modélisations simplifiées, il paraît important de suivre
certaines règles afin d'éviter de faire tout et n'importe quoi. Ces règles apparaissent dans
le questionnaire proposé. Ainsi, celui-ci est-il conçu pour que les réponses apportées
servent à élaborer une modélisation (un modèle de fonctionnement d'ouvrage), mais
aident aussi à justifier les choix théoriques et techniques.
Ce questionnaire est composé à la fois de questions propres aux sols, à l'ouvrage
(structures) et à leurs interactions. Ces questions pourraient être les suivantes (dans
l'ordre) :
- L'hypothèse d'un milieu continu est-elle acceptable à l'échelle du calcul ?
- Comment représenter les éventuelles discontinuités du milieu ?
- La géométrie du milieu présente-t-elle des symétries planes ou une symétrie de
révolution ? L e milieu possède-t-il une dimension privilégiée ? Si oui, est-il possible
de simplifier le maillage compte tenu des chargements appliqués et des conditions
aux limites imposées ? Autrement dit, le problème peut-il être modélisé en
déformation plane, en déformation axisymétrique, voire en contrainte plane ?
- Si les sols peuvent être prélevés de manière satisfaisante, quels sont les essais en
laboratoire disponibles pour caractériser le comportement des matériaux : essais
œdométriques, essais triaxiaux en compression, en extension, avec une phase de
déchargement,s de fluage ?
- Les chemins de contraintes probables aux alentours de l'ouvrage ont-ils été
reproduits par les essais de laboratoire ?
- Quels critères de choix pour les lois de comportement des matériaux ? pour les
sols ? pour les matériaux qui constituent l'ouvrage ?
- La détermination des paramètres est-elle possible et si oui est-elle satisfaisante ?
- Quel peut être l'intervalle de variation de ces paramètres ?
- Les essais en place montrent-ils une forte variation spatiale des propriétés des
matériaux ?
- L'état initial mécanique des matériaux et l'état initial hydraulique sont-ils bien
connus ?
- Quel choix effectuer pour la loi de chargement ? Est-il possible de modéliser les
conditions d'exécution de l'ouvrage et le phasage des travaux ? 42 Calcul des ouvrages généraux de construction
- Comment simuler les interactions entre le sol et les structures ? Entre les ossatures
et les équipements ? Comment caractériser ces interactions ? Quelles sont les
données disponibles ?
- Les prévisions souhaitées sont-elles à court terme ou à long terme ?
- Des mesures sont-elles prévues durant le chantier ? Si oui, est-il envisagé de se
caler sur ces mesures afin d'améliorer la modélisation et d'affiner les prévisions à
long terme ?
Les réponses à ces questions, dont la liste n'est pas exhaustive, constituent le choix de
l'ingénieur en fonction des informations dont il dispose et de l'ouvrage qu'il doit étudier.
5. La modélisation est aussi affaire de bon sens
L e questionnaire ci-dessus ne doit pas faire oublier que le bon sens doit jouer un rôle
précieux dans l'élaboration d'un modèle. Par exemple, il paraît naturel de modéliser une
structure de coques en éléments de coque et une structure de plaques en éléments de
plaque, mais cela ne doit pas interdire de modéliser les coques nervurées ou les caissons
en éléments de poutre équivalente. En effet, ces éléments sont parfois suffisants et
permettent d'obtenir des résultats exploitables pour le dimensionnement des tabliers de
ponts, par exemple, même si les contraintes moyennes dans les sections de poutre sont
parfois très éloignées des pics de contrainte obtenus dans les sections à parois minces.
De même, en géotechnique, si le bon sens dit que chaque ouvrage est unique, il dit aussi
que toute modélisation doit être tridimensionnelle parce que les ouvrages ont des
dimensions finies. L e bon sens permet d'affirmer également que la symétrie de révolution
est extrêmement rare en géotechnique. Et pourtant, tout ingénieur sait qu'il lui faut faire
des calculs en déformation plane ou en symétrie de révolution parce que les calculs
tridimensionnels sont encore trop « lourds » à réaliser.
Cet impératif qui heurte le bon sens (ou le rigorisme le plus pur) est cependant accepté le
plus souvent en toute connaissance de cause. Il ne conduit alors à des résultats
satisfaisants et significatifs que parce que l'art de l'ingénieur est une réalité du génie
civil.
Enfin, cet art de l'ingénieur ne doit pas à son tour devenir un handicap et empêcher
l'ingénieur de rester au contact de l'évolution des techniques numériques. Bien au
contraire, les progrès de la rhéologie et des méthodes numériques ne peuvent se faire que
conjointement avec les progrès réalisés en matière d'essais de laboratoire, d'essais en
place et d'observation du fonctionnement des ouvrages (instrumentation, auscultation), le
retour d'expérience devant être de plus en plus intégré dans la modélisation. PARTIE 1
Bases théoriques de la modélisation
Christian Crémona
Alain Millard
Philippe Mestat
Gilles Pijaudier-Cabot
Michel Prat
Naman Récho Chapitre 1
Introduction à la mécanique des milieux continus
« II est aisé pour le continu d'accepter des accidents
discrets, alors qu'un être discret ne saurait accepter
aucun accident continu sans devenir localement un
continu. Un ne peut être discret que s'il
apparaît comme un accident d'un autre continu de
dimension supérieure... »
René Thom (De l'antériorité ontologique du continu
sur le discret).
Le chapitre 1 présente quelques rappels de la mécanique du continu. Il met l'accent sur
la notion de déformation, déduite de considérations géométriques, et sur la notion de
contrainte, qui procède des efforts internes de cohésion de la matière. Il introduit
également le tenseur d'élasticité (relation entre le tenseur des déformations et le tenseur
des contraintes) qui caractérise les relations de comportement. Il analyse ensuite les
équations fondamentales de la mécanique et le principe des travaux virtuels qui conduit
à une représentation, sous forme d'intégrales, des équations aux dérivées partielles du
mouvement (obtenues à partir des équations de conservation) en définissant un bilan
énergétique global pour la structure. Une telle formulation est à la base des méthodes de
résolution approchées.
1. Communément appelée « MM C »
Un système matériel réel, bien que discontinu, est valablement assimilé à un milieu
continu lorsque tout élément de volume, appartenant au système, est caractérisé, du point
de vue macroscopique, par des valeurs moyennes de la densité et de la vitesse.
Dans ces conditions, toute particule peut être liée aux particules qui lui sont contiguës.
Les déplacements et déformations d'un point du système sont alors exprimés à partir de
fonctions continues. Les lois mathématiques, cinématiques et mécaniques qui résultent
de cette continuité sont étudiées par la théorie des milieux continus. 46 Calcul des ouvrages généraux de construction
(a )
(h ) (O
Fig. 1.1 - Configurations d'un système matériel : (a) la tour de Pise (système D ) ; (b)
configuration /"j (instant t]) ; (c) Configuration 7~2 (instant
Il apparaît donc indispensable de donner quelques rappels concernant l'étude des solides
et des fluides considérés comme des milieux continus et, plus précisément, de passer en
revue les principales notions qui sont à la base : Mécanique des milieux continus 47
- de la description du mouvement et de la déformation d'un solide ;
- de la définition des contraintes et contraintes généralisées ;
- de l'écriture des relations de comportement sous l'effet des actions extérieures ;
- de la présentation des lois physiques qui régissent l'équilibre, le mouvement ou la
stabilité d'un solide soumis à certaines actions.
La représentation des phénomènes, en conformité avec les hypothèses fondamentales de
la mécanique des milieux continus, est dite « analytique » .
Lorsqu'un système matériel D, en mouvement, passe de la configuration /"j (instant / ) ) à
la configuration (instant i' existe entre les configurations /"j et /"jj {fig. 1.1) une
application / , pouvant être bijective, qui permet de donner une représentation dite
« analytique » (suffisamment correcte) des phénomènes physiques et qui traduit, dans la
plupart des cas, une ou plusieurs théories de la mécanique des milieux continus, au
moyen de variables supposées continues par morceaux impliquant que :
- tout domaine ouvert ou portion connexe Q du système D reste intérieur au
système : Qçz D, VI2 ;
- tout point de frontière reste sur la frontière.
Les variables (ou champs) utilisées sont donc supposées continues et dérivables. Dans le
cas d'un mouvement stationnaire ou permanent, les fonctions utilisées sont
indépendantes du temps.
Tous les phénomènes mécaniques ne sont pas réductibles à de telles représentations.
Dans le cas des phénomènes de turbulence par exemple, il faut faire appel à d'autres
théories et à d'autres approches numériques (chap. 1, part. 1, liv. 1).
Les configurations F peuvent être décrites à l'aide des variables de Lagrange (description
lagrangienne), qui expriment la trajectoire du point M e £2 par rapport à la configuration
initiale (ou de référence) 7Q(? = 0), ou à l'aide des variables d'Euler (description
eulérienne par champ de vitesse) dans la configuration courante r, qui expriment la
vitesse du point M en fonction de ses coordonnées courantes.
Les coordonnées et les composantes de la vitesse du point M à l'instant t sont
respectivement notées x' et V' :
- dans une description lagrangienne, la dérivée totale s'identifie classiquement à la
dérivée partielle car le point est fixé :
(1.1.)
- dans une description eulérienne, l'expression de la dérivée d'une fonction f(x,t) (à
valeurs scalaires) devient' :
(1.2.)
' Convention de .sommation pour les indices doublés, voir annexe 1. 48 Calcul des ouvrages généraux de construction
Note :
La théorie de la mécanique des milieux continus fait souvent intervenir les
variations, et donc les dérivées spatiales et temporelles, de quantités caractéristiques
d'un système. Il convient, par conséquent, de préciser clairement quel mode de
représentation de variables (lagrangienne ou eulérienne) est utilisé. Cela ne signifie
pas que les résultats peuvent être différents en fonction du mode de représentation.
Seule leur interprétation dépend du mode de représentation. La méthode des
éléments finis appliquée à la mécanique des solides est exclusivement fondée, sauf
cas exceptionnels, sur une représentation lagrangienne des phénomènes. C'est
pourquoi ce mode de description est privilégié.
1.1. Notion de déformation
Le système mécanique déformable D, à l'instant t , est caractérisé par des grandeurs
géométriques (position), cinématiques (déplacements, vitesse) et mécaniques (masse,
forces surfaciques et de volume, cohésion interne) décrites dans un référentiel
1 29Î2 (Ql ' .^1 • >"2'5"3) supposé galiléen .
Les notations suivantes sont également utilisées :
(OJfl,OJc ,OJc ) ou 9Î(0/Jc,) ou 9t(0/ë,),avec 1 = (1,2,3) ; (1.3.) 2 3
où les ëj sont les vecteurs de la base associée.
Soumis à certaines sollicitations, un point M\ e D, exprimé dans le référentiel
9?i(0] / 3c|, Jc2, ^3 ) , avant déformation, se déplace en M - Ce point M 2 est alors repéré, 2
après déformation et déplacement, par rapport au nouveau référentiel
9Î2(C>2 / ^1,^2, JC3). Le vecteur déplacement Û tel que :
0(x,t) = M^M ; (1.4.)
2
est une fonction inconnue qui peut dépendre, pour tout le système, des coordonnées
d'espace x exprimées dans un repère galiléen et du temps t .
Si le corps est déformable, la distance entre deux points voisins M\ et M] varie sous
l'effet des actions et des conditions de liaison. Au cours de la déformation, la distance
"~ * ' Il ~~* ' Il
M]M] devient M2M2 • La variation de cette distance, notée d, permet d'obtenir
intuitivement une mesure de la déformation. Cette déformation est alors calculée en
considérant deux vecteurs élémentaires infinitésimaux aux voisinages des points M\ et
M2 . notés respectivement dM\ et dM '• 2
—» -> —» —»
ld = dM dM - dM[ dM . (1.5.) 2 2 x
2 Repère en mouvement uniforme se déplaçant parallèlement à lui-même. Mécanique des milieux continus 49
Les vecteurs infinitésimaux varient en changeant d'orientation et d'intensité. Le calcul de
d peut se faire à partir d'une entité mathématique plus générale que celle d'un vecteur.
Cette entité est classiquement associée à un tenseur appelé tenseur des déformations [e] .
Note :
La notion de déformation est purement géométrique. Elle exprime la modification
(changement de forme) du milieu sous l'action des sollicitations. La grandeur d
reste invariante par changement de repère.
1 2 3
Le passage d'un état non déformé (points M\ de coordonnées (r ,.v ,x ) dans le repère
9q(0) / Jc[,X2,JC3)) à un état déformé (points M 2 de coordonnées (y ,_>• , v ) dans le
eu t tr erepère 9?2(£*2 I • .V2> 5*3 ) ) P ^ décrit par des relations de la forme {fig. 1.2) :
1 2 3- x' = x'(y,t),y = (y , y ,y ) , les coordonnées de Lagrange ;
et inversement :
2- y-i = yj(x,t),x = (x\x ,x^), les coordonnées d'Euler à l'instant / .
Fig. 1.2 - Passage d'un état non déformé à un état déformé.
Il est fait référence aux composantes contravariantes, indices supérieurs (annexe 1, liv.
2), parce que les coordonnées sont. Toutefois, les formes différentielles,
notées dxj et dyj (qui ne sont pas des composantes), s'expriment comme :
(1.6.)
A l'aide de ces définitions, le tenseur de déformation [e] est défini selon Green :
(1.7.) 50 Calcul des ouvrages généraux de construction
où les gjj sont les composantes du tenseur métrique (ou tenseur fondamental). Cette
déformation est exprimée en fonction de quantités calculées dans une description
lagrangienne et est appelée « déformation de Green-Lagrange » .
Note :
Dans le référentiel ^\(0\lx\,X2,x^), les quantités précédentes peuvent se mettre
sous forme matricielle :
1
u
2 2 2 2 uU = {u} = ; M, = x ; M = X x u (1.8.) 2 +2 ~
3 3 « *
du\ dx\
dU = {du} = du ; dM\ = {dx\ = dx2 (1.9.) 2
du^ dx3
dx\ +du\
dM ={dx} + {du} = dx2 +du2 (1.10.) 2
dxy+duj
soit :
dU=[VU]{dx} ; (1.11.)
d'où la valeur de d :
)
d = ({dx}' +{du}'}({dx} + {du})-({dxy.{dx} ) ; (1.12.)
qui donne finalement :
d = {dx}'[2é]{dx} ; (1.13.)
où [e ] est le tenseur de Green-Lagrange
La grandeur d peut également être exprimée dans le référentiel 9Î2(0 I x\ ,X2,x^). 2
L e tenseur ainsi obtenu est alors appelé tenseur d'Almansi.
La propriété de symétrie du tenseur fondamental g,y (eq. 1.17) permet d'écrire :
£jj — £jj. (1.14.)
L e tenseur de déformation est donc symétrique.
Dans un système de coordonnées cartésiennes orthonormées, les composantes
contravariantes et covariantes sont confondues et de plus :
gjj=Sij (symbole d e Krônecker). (115.) Mécanique des milieux continus 51
Les relations entre les tenseurs de déformation et les vecteurs des déplacements Û de
composantes w, deviennent alors :
(1.16.)
Si le gradient des déplacements est petit, le produit
est négligeable devant les termes linéaires. Cette hypothèse, dite des
« petites perturbations », permet de simplifier l'écriture du tenseur de déformation, ce qui
donne dans un repère cartésien :
(1.17.)
pour lequel les descriptions lagrangiennes et eulériennes sont identiques. Ce tenseur est
appelé tenseur de déformation linéarisé (théorie du premier ordre).
Les composantes des tenseurs de déformation peuvent être interprétées de la façon
suivante. Les termes diagonaux e,-,- sont liés aux variations, au cours de la déformation,
de la longueur des arêtes d'un petit parallélépipède dont le barycentre est placé au point
de calcul. Les termes non diagonaux e,y ( i * j) sont liés aux variations des angles entre
les côtés du parallélépipède au cours de la même déformation.
Note :
Pour qu'un tenseur symétrique d'ordre 2 soit un tenseur linéarisé de déformation, il
faut nécessairement (mais ce n'est pas une condition suffisante) que ses six
composantes vérifient les six équations dites de compatibilité qui peuvent se mettre,
en coordonnées cartésiennes, sous la forme (indicielle) :
e £ £ £
ilM ~ kk.il ~ ( Ik.ik ~ ik.lk ) = 0 ; (1.18.)
ou encore (annexe 1, liv. 2) :
Rot Rot(e)' = 0. (1.19.)
Ce sont les conditions pour qu'un champ de tenseur symétrique soit un champ de
déformation. Elles permettent en outre de remonter au champ de déplacement à
partir du champ de déformation.
Note :
L e tenseur linéarisé défini à partir d'un champ de déplacement, pour lequel toutes
les composantes sont uniquement fonction de JC] et xj (ce qui entraîne £,3 = 0,
j = 1,3), est appelé tenseur de déformation plane. 52 Calcul des ouvrages généraux de construction
1.2. Notion de contrainte
Soit un sous-domaine matériel connexe il, intérieur à D , de frontière E = oXl. Le sous-
domaine Q réagit sur le domaine complémentaire (D-Q.) par l'intermédiaire d'actions
de contact T M, n calculées en tout point de dQ. Le vecteur T M, n est le résultat
V J V J
au point M e d£2 de l'application d'un opérateur linéaire au vecteur n , normale au
contour (comptée positivement vers l'extérieur). Il est une fonction du point M et de la
-> ->
normale n , car le sous-domaine £2 est supposé quelconque. La normale n à d£2 est
quelconque elle aussi (fig. 1.3).
Les contraintes procèdent des efforts internes de cohésion de la matière. L'action de
contact au point M peut alors être exprimée en fonction d'un tenseur, appelé tenseur des
contraintes, noté <7= [^y] . tel que (hypothèse de Cauchy) :
T M, n =on ; (1.20.)
v y
où T est le « vecteur contrainte ».
Les composantes du tenseur des contraintes peuvent être interprétées de la manière
suivante :
—> —>
- la projection a de T sur n est appelée contrainte normale. Lorsque cette n
—>
contrainte est orientée comme n , elle correspond alors à une traction (par
convention, la contrainte normale cr„ est positive) ;
- la projection T sur le plan tangent à E en M est appelée contrainte de
cisaillement et vérifie :
2 2 2H = M + N- (i-2i.)
Les directions principales des contraintes correspondent aux directions du vecteur normal
n pour lesquelles la contrainte T est nulle.
Exprimés dans un repère orthonormé, les termes diagonaux CT du tenseur des
contraintes sont les composantes normales de T(M,ëj) dans la direction / . Les termes
non diagonaux <7,y (i* j ) sont les composantes tangentielles dans la direction j .
L'état de contrainte dont les composantes ne dépendent que de 2 coordonnées ( 1 et 2 par
exemple) est plan si la projection de f(M,n) sur la direction 3 est nulle :
Vn, f(M,h~).ë =0. (1.22.)
3
Comme précédemment (cas des déformations), il est possible d'exprimer les contraintes à
partir d'une description lagrangienne, eulérienne ou même intermédiaire. Dans le cas Mécanique des milieux continus 53
d'une description eulérienne, les contraintes s'appellent contraintes de Cauchy. En
théorie des petites perturbations, les différentes contraintes obtenues sont identiques.
Fig. 1.3 - Actions de contact entre parties d'un solide.
1.3. Équations fondamentales de la mécanique
Les équations fondamentales de la mécanique traduisent la conservation de certaines
quantités au cours de la déformation et du mouvement.
Seules les équations relatives à la conservation de la masse et à la conservation du
torseur des quantités de mouvement sont considérées ici. Les équations relatives à la
conservation de l'énergie sont présentées dans les paragraphes consacrés à la notion de
loi de comportement.
Si V, de composantes v', est le champ de vitesse au point courant, l'équation de
continuité ou de conservation de la matière signifie qu'à l'instant t , le flux de masse qui
pénètre ou sort du domaine Q, limité par la frontière d£2,
(1.23.)
correspond à une variation de masse de Q égale à :
(1-24.)
ce qui s'écrit en cas de conservation de la masse à l'équation de continuité (description
eulérienne) :
(1.25.)
et en description lagrangienne : ; d'où
Si y et p sont respectivement l'accélération et la masse volumique en M e 13, l'équation
fondamentale de la mécanique, pour le système Q supposé en mouvement, implique à 54 Calcul des ouvrages généraux de construction
chaque instant / , par rapport à un repère galiléen, que le torseur des quantités de
mouvement est égal au torseur^ des forces appliquées / :
(1.26.)
(1.27.)
L'équation 1.26 permet d'écrire la relation (coordonnées cartésiennes) :
(1.28.)
L'égalité T(M,h) = -T(M,-n), traduisant le principe de l'action et de la réaction, est
une conséquence de la linéarité de f (eq. 1.20). De plus, la symétrie du tenseur des
contraintes (aty = Oy, ) se déduit de l'équation (1.27).
En résumé, les inconnues du problème général sont reliées, en coordonnées cartésiennes,
par les équations fondamentales suivantes :
(en petits déplacements) ; ( 1.29.)
(1.30.)
Le nombre d'inconnues (vingt-deux inconnues) est supérieur au nombre d'équations
(seize équations). Il est donc nécessaire, pour déterminer complètement le problème
d'adjoindre aux équations générales précédentes, six équations caractéristiques du milieu
envisagé. Cess sont appelées relations (ou lois ) de comportement.
Note :
Aux équations ci-dessus, il convient d'adjoindre les conditions aux limites,
principalement du type « déplacement M,- » fixé sur la partie dil de dii et du type u
« force f? » fixée sur la partie dQf de dil.
1.4. Comportement élastique
Soumis à des actions extérieures, un milieu matériel réagit. Et la façon dont il réagit peut
dépendre principalement :
- du point considéré et de son voisinage ;
- de la température 0 ;
- du temps t ;
Le torseur en M est caractérisé par la donnée d'une résultante et du moment résultant en ce point. Mécanique des milieux continus 55
- des liaisons et des contacts entre certains éléments ;
- des actions chimiques.
1.4.1. Notion de loi de comportement
Toute relation liant le tenseur des contraintes au tenseur des déformations signifie que le
milieu, avec sa cohésion propre ou sa capacité de déformation propre, s'oppose d'une
certaine manière aux actions appliquées. Ces relations entre tenseur des contraintes et
tenseur des déformations sont appelées lois de comportement. Elles peuvent être
bijectives (cas de l'élasticité) ou non. Elles peuvent être linéaires (linéarité mécanique) ou
non linéaires.
Lorsque les lois de comportement sont linéaires et lorsque le tenseur des déformations
est le tenseur linéarisé, alors les équations obtenues sont celles de la théorie linéaire de
l'élasticité. Les principes de base de cette théorie simplifiée font l'objet de la présentation
qui suit. Certains comportements plus complexes sont abordés au chapitre 4.
1.4.2. Principe de conservation de l'énergie
Des considérations classiques, basées sur le premier principe de la thermodynamique,
permettent d'écrire que la variation de l'énergie totale du système, qui évolue d'un état
initial vers un état final, est égale à la somme de la variation du travail des forces
extérieures T et de la variation de quantité de chaleur Q,.
Soit un système homogène (tenseur d'élasticité indépendant du point M) en petites
perturbations (le tenseur de déformation est le tenseur linéarisé et les coordonnées
eulériennes sont confondues avec les coordonnées lagrangiennes). Si £ est l'énergie
interne et 3C, l'énergie cinétique du système, la conservation de l'énergie s'écrit :
A'EiA'K = AT + Aq,. (1.31.)
4
Lorsque AQ = 0, la transformation est dite globalement adiabatique. Lorsque
AQ = AT, la transformation est un cycle. Si, de plus, les actions extérieures sont
appliquées lentement (chargement quasi statique), alors %_ = 0.
Dans le cas de l'élasticité, la transformation, c'est-à-dire la déformation du milieu sous
l'effet d'actions extérieures appliquées, est réciproque (réversibilité). Cela signifie que
toute l'énergie mécanique emmagasinée dans le système lors de la déformation peut être
récupérée. Par analogie, l'énergie emmagasinée dans un ressort, lorsqu'il est déformé
sous l'effet d'une force, peut être entièrement restituée à l'extérieur lorsque la force
devient nulle ; le ressort reprend alors sa longueur initiale. D'une manière générale,
l'énergie mécanique 'W s'écrit comme la différence entre l'énergie interne £ et la
quantité de chaleur dégagée par le système. Il vient, pour une unité de masse de matière :
Déformation du milieu. 56 Calcul des ouvrages généraux de construction
<W = 'E~k\Gs ; (1.32.)
où 0 est la température absolue ; k\, l'équivalent mécanique de la calorie ; S, l'entropie
du système.
Cette énergie 1V, au voisinage du point M , est donc fonction de l'énergie interne et de la
température 0. Si la valeur de 0 reste constante pendant la déformation, la variation de
l'énergie mécanique est égale à la variation de l'énergie interne.
1.4.3. Énergie de déformation et tenseur d'élasticité
Il n'est pas possible de connaître analytiquement l'expression de W. Il est admis (en
hypothèse linéaire) que cette énergie peut se développer sous la forme d'une série en
fonction de £- (si 40=0) . En choisissant un développement polynomial du deuxième y
ordre, la densité volumique d'énergie de déformation w(e ) (appliquée à l'élément de y
volume) peut s'écrire :
(1.33.)
expression dans laquelle les quantités sont respectivement des
tenseurs d'ordre 2 et 4.
Le tenseur des contraintes est identifié à la dérivée de w par rapport à £,y :
(1.34.)
La contrainte initiale CT9. avant déformation s'écrit alors :
(7.55.)
Le tenseur d'élasticité peut être défini comme :
(1.36.)
Soit :
(1.37.)
D'après (1.34), il vient :
(1.38.) Mécanique des milieux continus 57
1.4.4. Tenseur d'élasticité isotrope
Le tenseur d'élasticité est caractéristique du matériau et, dans le cas le plus général
(compte tenu des symétries du tenseur H, conditions thermodynamiques), il comporte
vingt et un coefficients indépendants à déterminer expérimentalement.
Cependant, le comportement du matériau présente souvent des propriétés permettant de
réduire le nombre de coefficients indépendants. Pour un matériau isotrope, les propriétés
de déformabilité sont identiques, quelle que soit l'orientation du vecteur contrainte
appliqué au point de matière considéré. Les vingt et un coefficients se réduisent alors à
deux coefficients indépendants.
Pour un milieu élastique linéaire et isotrope, le tenseur d'élasticité devient
(transformation isotherme) :
+ S
flyu = tâijàklH(ji8+88jt) ; (1.39.) jk ik
où A et fi sont les modules de Lamé ( À est le module volumétrique et p., le module de
cisaillement, encore noté G).
Les relations de Hooke définissent le tenseur des contraintes à partir du tenseur des
déformations par :
oy = o j + Htr(e))8ij + 2p ey. (1.40.)
Inversement, le tenseur des déformations s'écrit à partir du tenseur des contraintes :
(1.41.)
avec
et (1.42.)
Le coefficient £, module d'Young, dont la dimension est celle d'une contrainte, est un
coefficient de proportionnalité (toujours positif) entre déformation et contrainte normale
dans une direction n . Le coefficient v, coefficient de Poisson, est une grandeur sans
dimension (entre - 1 et ^) . Il exprime, du point de vue du mécanicien, le rapport des
déformations dans deux directions orthogonales, pour une sollicitation uniaxiale (chap.
4, par. 2, liv. I). Lors d'un essai de compression, le module de compressibilité est défini
comme le coefficient de proportionnalité K entre la pression moyenne ou hydrostatique
égale à ^tr(a) et la variation de volume ou déformation volumétrique égale à tr(e) :
(1. 43.)
Note :
En l'absence de contraintes dans l'état initial, la densité d'énergie peut s'écrire, en
fonction dess : 58 Calcul des ouvrages généraux de construction
(1. 44.)
ou en fonction des déformations :
d- 45.)
La densité d'énergie de déformation est une forme quadratique positive à laquelle
peut être associée une forme bilinéaire symétrique.
1.4.5. Tenseur d'élasticité anisotrope
Pour un matériau orthotrope, il est possible de caractériser complètement le tenseur
d'élasticité à partir des propriétés de déformabilité du milieu dans trois directions
orthogonales entre elles. Ces trois directions définissent un repère et le tenseur
d'élasticité est généralement écrit dans le repère où le nombre de coefficients non
nuls est le plus petit. Ce repère particulier est appelé repère principal d'orthotropie et
chaque vecteur directeur définit une direction principale d'orthotropie. Dans ce repère, la
relation de comportement est écrite pour des raisons de commodité sous forme
matricielle :
l/£j -v\/E -V3]/£ 0 0 0
2 2 3 Oïl
£ CT-v /£ , I/E2 -v/E 0l2 32 322 22
£ CT-v, /E , -v /£ l/£ 0 0 0 3 23 2 333 33
(1. 46.)
a0 0 0 1/GÎ2 02£l2 \2
0 0 1/G 0 2£l3 13 °Ï 3
CT0 0 0 0 1/G23 2£ 3 23 2
où Ej, Vy et Gij sont respectivement les modules d'Young, les coefficients de Poisson et
les modules de cisaillement mesurés en appliquant une sollicitation sur une surface de
matériau orientée par rapport à un vecteur normal dans la direction i . Ecrit sous cette
forme, le tenseur d'élasticité est une matrice comportant neuf coefficients indépendants,
car des considérations de symétrie imposent les relations :
(1.47.)
2. Principe des travaux virtuels
L e principe des travaux virtuels permet de retrouver, par le calcul variationnel (annexe 4,
liv. 2), les équations aux dérivées partielles du mouvement déjà proposées (§.1.3),
équations obtenues à partir des relations de conservation. Ce même principe conduit en
outre à une autre représentation de ces mêmes équations sous forme d'intégrales (c'est la Mécanique des milieux continus 59
forme faible du bilan de quantité de mouvement). Une telle formulation est à la base des
méthodes de résolution approchées qui sont présentées au chapitre 5 du présent volume.
2.1. Généralités
Un système mécanique déformable D est sollicité par des actions extérieures. Soit Q
une partie connexe de c e système. En tout point M de Q, le déplacement, noté U^(M),
est supposé quelconque. Si désigne le champ de taux de déplacement virtuel (appelé
par la suite champ de déplacement virtuel), il est a priori également quelconque.
Toutefois, lorsque le champ il satisfait les liaisons cinématiques entre le système D et
l'extérieur, îj' est dit cinématiquement admissible.
Le principe des travaux virtuels s'écrit en imposant que le travail des efforts d'inertie
a 0Ute a u
^inertie J travail des efforts extérieurs TExter dû au champ de déplacement
virtuel, est égal aul de déformation -Ti dû au même champ. Il y a égalité des n[er
travaux virtuels.
Quel que soit le champ virtuel cinématiquement admissible et quel que soit le sous-
domaine Q appartenant à D , les travaux sont reliés par l'expression :
l'inertie + TExter + Tlnter = Q- d-48.)
Chacun des travaux peut être explicité comm e suit :
, où y est l'accélération en tout point de Q ;
- » —»
où / représente les forces de volum e et F,
les forces appliquées sur le contour dQ ;
est le champ de déformation déduit du champ de
déplacement virtuel (ce qui impose certaines conditions de régularité).
Le point important dans l'énoncé du principe des travaux virtuels est le fait que U et il
sont quelconques. Cette écriture est strictement équivalente à l'écriture du mouvement
(équations aux dérivée s partielles) :
—> —> —»
p y = divo+ f . (1.49.)
Par ailleurs, les équations exprimées sur le contour dQ permettent de retrouver la
définition de la contrainte :
Tj = Oijnj. (1.50.) 60 Calcul des ouvrages généraux de construction
Toute restriction sur U et Q conduit à une formulation du problème. L e choix de telles
restrictions constitue la base de la méthode des éléments finis.
2.2. Application aux poutres élastiques
En génie civil, la théorie des poutres constitue l'une des applications de la mécanique des
milieux continus les plus courantes. Elle utilise largement certaines caractéristiques de
structure liées notamment aux notions de fibre moyenne et de section droite.
Une poutre (fig. 1.4) est matérialisée par (chap. 9, part. 3, liv. 1) :
- une fibre longitudinale de direction 1, lieu des centres de gravité O des sections
droites situées dans les plans transversaux repérés par rapport aux directions
principales d'inertie, notées 2 et 3, perpendiculaires à la direction 1 ;
- un axe ou ligne élastique, lieu des centres de torsion C, de coordonnées x2c
et x . . 3t
2.2.1. Hypothèses de la théorie des poutres
Les équations des poutres sont généralement écrites à partir des hypothèses suivantes :
- hypothèses géométriques (chap. 9, part. 3, liv. 1) : une poutre est un corps solide
dont deux dimensions sont petites par rapport à la troisième. Une poutre est donc
représentée par une fibre curviligne moyenne. Les variables géométriques sont
uniquement fonction de l'abscisse jq (par exemple, l'aire de la section droite
notée A ) ;
- hypothèses cinématiques (chap. 5, part. 2, liv. 1) : les sections droites restent
planes au cours de la déformation (Timoshenko, Bresse, Mindlin). Cette hypothèse
généralise l'hypothèse de la conservation des normales (Bernoulli, Navier,
Kirchhoff). Les déplacements sont linéaires en x et JC ; la théorie est dite alors du 2 3
premier ordre. Les principales variables cinématiques sont :
- les déplacements iq, u et u ; 2 3
- les rotations de flexion 6 et 0 autour des axes 2 et 3 ;
2 3
- la rotation de torsion 9\.
Il convient de noter que le taux de rotation 0\,\ est utilisé pour traduire le
gauchissement (chap. 9, part. 3, liv. 1). Lorsque ce dernier ne dépend pas de x\
(hypothèse de torsion libre de Saint-Venant), le taux 9\,\ est constant. Dans ces
conditions, les contraintes normales autoéquilibrées, engendrées par la torsion, sont
nulles (absence de bimoment) ;
- hypothèses mécaniques : l'introduction de caractéristiques de section appropriées,
telles que centre de gravité, centre de torsion, axes principaux d'inertie, permet de Mécanique des milieux continus 61
découpler les effets de flexion, de cisaillement, de torsion et d'effort normal. Les
sections droites sont alors caractérisées par les termes de rigidité suivants :
- deux rigidités de flexion et H M ;
- deux rigidités de cisaillement d'effort tranchant H\j et H\j^ ;
- une rigidité de torsion H M ;
- une rigidité d'effort normal .
L'hypothèse des contraintes planes dans les directions 2 et 3 conduit aux conditions
supplémentaires :
0-22 = 0-33=0. (1.51.)
Fig. 1.4 - Définition d'une poutre.
2.2.2. Énergie de déformation
Si U\Q et u\ç sont respectivement les déplacements normaux (suivant l'axe 1 ) en O et en
C tels que :
"IO = "lC-*3t02+*2c-03 . {1.52.)
e t e set «2 "3 ' déplacements de flexion suivant les axes 2 et 3 en C, alors les
déplacements u\ M , t/ M et « M d'un point M, avec prise en compte des déformations 2 3
de cisaillement transversal s'écrivent :
"îAf =u+xe2-xe + (oe . ; (1.53.) w 3 2 i ] l62 Calcul des ouvrages généraux de construction
U JC ï 0
2M ="2-( 3-- 3c) l i (1-54.)
0
"3M ="3+(^2-^2c) l i (1-55.)
où Cû est la fonction (supposée connue) de gauchissement de la section. Les
son t
déformations associées deviennent (02-1 et %>1 des courbures, avec 8\,\ \ = 0 ) :
£ Ï 0 0
11 ="1O.1+- 3 2-1-^2 3.1 ; (J-56.)
2e = y +(û), -(x -x ))8 ; (1.57.) n l2 2 3 3c hi
2e = y + (a), +(x - x))8 ; (1.58.) l3l ]3 3 2 2c l4
avec :
712 =«2.1-? 3 et y =K ,I+02. 1 3 3
Les égalités ci-dessus sont compatibles avec l'hypothèse d'indéformabilité de la section :
£ 602 2 =£33 = 2£23 =° - C-)
Pour un matériau donné, si la section est homogène, la loi de comportement est définie
par deux constantes : E, le module d'Young et G, le module de cisaillement. En ne
considérant pas les contraintes initiales (pour simplifier), les contraintes cT[ J , o"j 3 et
CT12, seules composantes non nulles du tenseur des contraintes, sont liées aux
déformations par les relations :
CT =Ee ; tT =2Ge ; CT = 2Ge . (1.61.) H n 1 2 1 2 13 13
L'énergie de déformation élastique W se met alors sous la forme :
(1.62.)
Les inconnues du problème (champ de déplacements, distribution des contraintes) sont
habituellement transformées en nouvelles inconnues découplées, efforts résultants dans
la section A, mieux adaptées au calcul des poutres.
L'état de contrainte est alors déduit de l'effort normal N, des efforts tranchants
V,- ( / = 2,3) , des moments fléchissants M, ( 1 = 2,3) et du moment de torsion M] , noté de
préférence T.
Si le taux de rotation 9\,\ est constant (hypothèse de Saint-Venant) et si, de plus, la
fonction de gauchissement est telle que :
(1.63.)
l'énergie de déformation devient pour la poutre de longueur L :
(1.64.)
Les efforts résultants, définis sur la section droite, se calculent comme : Mécanique des milieux continus 63
(1.65.)
(1.66.)
(1.67.)
(1.68.)
Le moment de torsion s'écrit aussi :
Te =T„-*2cV3+*3t'V2- d-69.)
Les moments M et M3 ne produisent pas de déformations axiales en O. De même, toute 2
force appliquée au centre de torsion ne produit aucune rotation autour de l'axe
longitudinal.
Note :
Pour une section homogène, le point C est caractéristique de la section. Pour une
section composée de couches, le point C dépend de la géométrie et des modules
élastiques des couches. Pour les sections à parois minces (peu élancées), le point C
dépend également des conditions aux limites et des sollicitations. Pour un matériau
homogène, lorsque le point O est un centre de symétrie, le point C est confondu
avec le point O.
Les termes de rigidité correspondants s'écrivent pour une poutre homogène :
e t = ; - rigidités de flexion : Hfj\2 = £^22 ^M3 ^33
- rigidités de cisaillement d'effort tranchant : //y — k GA et H\j = k GA, avec k2 2 3 3 2
et k, deux facteurs de correction définis en note ci-après ; 3
- rigidité de torsion : Hj = GJ ;
- rigidité d'effort normal : = EA ;
avec :
(1.70.)
(1.71.)
L'énergie de déformation est donc une forme quadratique des déplacements :
(1.72.)
et s'écrit finalement : 64 Calcul des ouvrages généraux de construction
(1.73.)
Note :
Les déformations de cisaillement transversal j\ et 713 sont constantes dans la 2
section A (d'après l'hypothèse de Mindlin). De ce fait, les contraintes
correspondantes ne peuvent pas s'annuler sur les faces extérieures de la poutre. Les
deux rigidités d'effort tranchant doivent donc être corrigées. Deux facteurs de
correction k et k, qui dépendent de la forme géométrique de la section, sont 2 3
introduits dans les formules. Pour une section rectangulaire de hauteur h (direction
3 ) et de largeur unité (direction 2), la contrainte de cisaillement CT13 est
théoriquement égale à (fig. 1.5) :
(1-74.)
D'après l'hypothèse de Mindlin, la contrainte de cisaillement vaut :
(1-75.)
Fig. 1.5 - Contrainte de cisaillement théorique 0\T, pour une section rectangulaire A.
En imposant o"i 3 = £3 cr^, pour .1:3=0, la valeur de k obtenue est celle de 3
Timoshenko : Mécanique des milieux continus 65
(1.76.)
De la même façon, le calcul du coefficient k donne : 2
(1.77.)
D'autres équivalences ont été proposées :
- l'équivalence entre les énergies internes (théorique et simplifiée) de
déformation de cisaillement transversal donne pour une section rectangulaire
(Reissner) :
(1.78.)
- l'équivalence d'une fréquence propre fondamentale théorique et la même
fréquence associée au modèle simplifié donne (Mindlin) :
(1.79.)
Lorsque la section est de forme quelconque, les facteurs de correction k et k font 2 3
intervenir le coefficient de Poisson.
La validité de la théorie du premier ordre dépend des valeurs k et £3 retenues. 2
L'utilisation des théories d'ordre supérieur, qui autorisent l'annulation des
contraintes de cisaillement sur les faces extérieures de la poutre, permet d'éviter
l'introduction de coefficients de correction.
2.3. Équations d'équilibre
L'énoncé du principe des travaux virtuels peut lui aussi être modifié en exprimant
contraintes et déformations en fonction des nouvelles variables du problème. Compte
tenu des restrictions imposées par l'hypothèse de Bernoulli, le type des déplacements
virtuels est restreint car il doit être compatible avec cette hypothèse. Le principe des
-i . -*
travaux virtuels devient : quels que soient les champs virtuels U et 6 , définis le long
de la fibre moyenne, cinématiquement admissibles, et quel que soit le segment de fibre
moyenne appartenant à la poutre, la somme du travail des actions extérieures et du travail
des actions intérieures est nulle en statique.
Le travail des actions extérieures s'écrit, dans un référentiel (0,ë - ) : (
(1.80.)
où a est le nombre de points chargés ; q = q' e,•, le vecteur des forces réparties (effet de
—> . —»
la pesanteur, charge uniformément distribuée le long de la fibre neutre) ; c =c' e,, le 66 Calcul des ouvrages généraux de construction
-> . - » —» . —»
vecteur des couples répartis ; Q = Q' e,•, le vecteur des forces concentrées et C = C' e,-,
le vecteur des couples concentrés. Ces vecteurs peuvent aussi résulter des liaisons
cinématiques entre la poutre et le milieu extérieur (appui simple, articulation,
encastrement).
Le principe des travaux virtuels énoncé ci-dessus reste strictement équivalent aux
équations aux dérivées partielles d'équilibre écrites en coordonnées curvilignes.
Sur cette base, l'exemple qui suit donne les équations d'une poutre courbe dans un plan.
Le référentiel propre de la poutre est noté (Ki,K,K). Le référentiel local (e),62,63), 2 3
attaché au point O de la fibre moyenne, est tel que (fig. 1.6) :
—»
- e\ est porté par la tangente en O ;
—> ->
- <? est porté par la normale en O déduite de e\ par rotation de 90° dans le sens 2
trigonométrique ;
- » —»
- e forme avec e\ et e un trièdre trirectangle direct ( A3 = e ). 3 2 3
Fig. 1.6 - Poutre courbe dans un plan.
-> —>
Si <p est l'angle orienté (K\,e\ ), s l'abscisse curviligne le long de la fibre et r le rayon
de courbure en O, les formules de Frénet donnent :
(1.81.)
ou encore : Mécanique des milieux continus 67
(1.82.)
avec ds = rdtp.
Les sollicitations, résultantes au point O (supposé centre de symétrie) des efforts
extérieurs appliqués à gauche de la section et mesurés algébriquement sur les axes du
— » —» —>
trièdre (e\ ,«2,^3) , doivent satisfaire les systèmes différentiels :
(1.83.) a)
(1.84.) (II )
Les équations locales de l'équilibre, équations de flexion et d'effort tranchant, peuvent
alors être déduites :
(1.85.)
(1.86.)
Si iij et 0j représentent respectivement le déplacement et la rotation suivant ë,-, le
déplacement en O doit satisfaire les systèmes différentiels :
(1.87.) (ni) 68 Calcul des ouvrages généraux de construction
(1.88.)
Note :
Dans le cas des poutres planes chargées dans leur plan, négliger le travail de
déformation dû à l'effort tranchant revient à imposer les relations classiques entre
les déplacements u et «3 et les rotations #3 et 9 : 2 2
(1.89.)
Ceci suppose que les sections droites de la poutre restent droites et perpendiculaires
à la fibre moyenne déformée au cours de la déformation. Le tenseur de déformation
devient alors :
(1.90.)
3. Problèmes de conduction-diffusion
Les problèmes de diffusion (température) et d'écoulement en milieu poreux présentent
des analogies avec ceux envisagés dans le paragraphe précédent. Bien que les équations
fondamentales, reliant des quantités telles que la température, le flux de chaleur ou la
pression de fluide et le débit, soient différentes, les principes de base (conservation de
l'énergie totale ou de la puissance totale) restent applicables.
L'exemple d'un solide ou d'un milieu Q de frontière d£2 qui, à l'instant t , est lentement
traversé par une quantité U mesurée par unité de temps en donne une illustration
commode. Cetteé se distribue dans le domaine Q selon certaines règles, (par
exemple, la loi de Fourier dans le cas de la température, la loi de Darcy dans le cas de
l'écoulement d'un fluide), en respectant des conditions de frontière sur la valeur de U :
conditions de Dirichlet, conditions sur le flux,s de Cauchy ou de Neuman,
conditions mixtes (chap. 26, part. 3, liv. 2).
Dans le cas de la conduction de chaleur, l'équation de conservation de l'énergie s'écrit :
s
div~q-q =Q\ (1.91.)
—»
soù q est le flux de chaleur et q une éventuelle source de chaleur.
La loi de conduction (loi de Fourier) s'exprime comme :
7 = -kg?ade ; (1.92.) Mécanique des milieux continus 69
où 0 est la température et k la conductivité du milieu.
Le tableau I de correspondance donne les équivalences entre un problème de mécanique
et un problème de conduction. Néanmoins, il ne s'agit pas des mêmes entités
mathématiques.
Problème de Contrainte Déformation Déplacement Loi de Hooke
mécanique
Problème de Flux de chaleur Gradient de la Température Loi de Fourier
conduction température
Tableau I - Équivalences entre problème de mécanique et problème de conduction.
La puissance totale T sur le domaine Q occupé par le système est alors :
(1.93.)
où Q est le flux de chaleur (imposé ou non) sur le contour du domaine. L'extremum de
la puissance totale (d:P = 0 ) permet de retrouver l'équation différentielle de la
conservation de l'énergie. D e la même façon, il existe, dans le cas des milieux poreux,
des tableaux d'équivalences identiques au tableau I. L'équation de conservation est
l'équation de continuité écrite pour la masse fluide :
div V (1.94.)
où V est la vitesse d'écoulement apparente du fluide et q une éventuelle source
volumique.
Il faut adjoindre à cette équation une loi de conduction hydraulique, appelée loi de
Darcy :
(1.95.)
où p est la pression du fluide ; k , la perméabilité intrinsèque du milieu et 77, la viscosité
cinématique du fluide.
L'équivalence avec le cas précédent de la conduction de la chaleur est immédiate.
Problème Flux de chaleur Gradient de Température Loi de Fourier
thermique température
Problème Vitesse Gradient de Pression Loi de Darcy
hydraulique d'écoulement pression
Tableau II - Équivalences entre problème thermique et problème hydraulique. 70 Calcul des ouvrages généraux de construction
Note :
Il est parfois préférable de faire apparaître dans les équations la charge hydraulique
h , définie par :
(1.96.)
où /; est la pression du fluide ; p f, la masse volumique du liquide et g,
l'accélération de la pesanteur.
D'une manière plus générale, les écoulements en milieu poreux peuvent induire des
déplacements et des déformations de la phase solide (appelée squelette). Dans ce cas, les
problèmes de mécanique et d'hydraulique sont couplés. Les lois de conservation restent
les mêmes, à savoir, conservation de la quantité de mouvement (eq. 1.28) pour
l'ensemble du milieu poreux et conservation de la masse fluide (eq. 1.30) :
div<7+q = 0 ; (1.97.)
div~V + q + tr(£) = 0. (1.98.)
où q désigne les forces volumiques agissant sur le milieu poreux et O les contraintes qui
se développent dans le milieu. L e terme tr(£) introduit l'effet de la déformation du
squelette sur le bilan de la masse fluide.
Il reste à associer à ces équations la loi de comportement du squelette, en faisant
J
l'hypothèse des contraintes effectives o due à Terzaghi, soit en reprenant les notations
de l'équation 1.38 :
a :c 6 <L99) > ~ *,ri' v''
}
<*ij = Hijkl£kl- (1100.)
Il est alors possible de construire une fonction des variables déplacement et pression qui
conduit à une solution approchée du problème. Les équations d'Euler sont, dans ce
contexte, les équations de la conservation.
4. Rappel des principaux thèmes abordés
Les principaux thèmes abordés dans le chapitre 1 peuvent être résumés de la façon
suivante :
Communément appelée « MMC » 1.
Notion de déformation 1.1.
Notion de contrainte 1.2.
Equations fondamentales de la mécanique 1.3. Mécanique des milieux continus 71
Comportement élastique 1.4.
Principe des travaux virtuels 2.
Généralités 2.1.
Application aux poutres élastiques 2.2.
Hypothèses de la théorie des poutres 2.2.1.
Énergie de déformation 2.2.2.
Équations d'équilibre 2.3.
Problèmes de conduction-diffusion 3.
5. Pour en savoir plus
La lecture du chapitre 1 (livre 2) doit être plus particulièrement complétée par celle des
chapitres 4 et 9 du livre 1 et celle des chapitres 3, 4, 5 et 28 du livre 2.
D'autres informations peuvent également être trouvées dans les documents suivants :
- les livres généraux de Argyris J., Bamberger A., Batoz J.L, Courbon J.,
Germain P, Henry J.P., Lemaître J., Salençon J. ;
- les articles de Guellec P., Lemaire M., Prat M.
Tous ces documents sont répertoriés en fin de livre sous le titre : « Références
bibliographiques » et sont classés par ordre alphabétique des noms d'auteurs ou
d'organismes. Chapitre 2
Construction du problème discret
Dans la pratique, l'intégration directe des équations aux dérivées partielles des
problèmes de mécanique, de thermique ou d'hydraulique n'est possible que dans
quelques cas particuliers. Ces cas correspondent généralement à des ouvrages pour
lesquels la géométrie reste simple (milieu infini ou semi-infini) ; les lois de
comportement du matériau sont l'élasticité linéaire ou Vélastoplasticité parfaite (chap. 4,
part. 2, liv. 1) ; les conditions d'appui traduisent des blocages de points ou de
frontières : appuis simples, articulations ou encastrements (chap. 7, part. 2, liv. 1) ; les
chargements sont des pressions uniformes et/ou des forces concentrées (chap. 8, part. 2,
liv. 1 ). Mais pour la grande majorité des problèmes rencontrés, et notamment ceux de
génie civil, il convient de faire appel à des méthodes de résolution approchées fondées
sur les principes énergétiques.
1. Les principes énergétiques
1.1. Méthode de résolution approchée
Une solution approchée d'un problème donné peut être obtenue en restreignant le
domaine de définition du problème et le champ de déplacement virtuel des points du
système. Ce type de calcul résulte de l'application du principe des travaux virtuels - ou du
principe des puissances virtuelles - dont il convient de rappeler l'énoncé : quel que soit
un champ de déplacement virtuel noté Û*, cinématiquement admissible, et quel que soit
un domaine il appartenant au système matériel D, le travail dû aux forces d'inertie, aux
forces extérieures et aux forces intérieures est nul.
Les principales restrictions portent donc sur :
- le domaine il, quelconque a priori. En statique, cela signifie que l'équilibre global
étant vérifié, certains sous-domaines peuvent ne pas être en équilibre ;
-*
- les champs virtuels U , également quelconques. Habituellement, un sous-
ensemble' unique de champs virtuels, notés SÛ , vérifiant les équations de liaisons
' Ce sous-ensemble de champs virtuels peut être approché par des polynômes d'ordre fixé à l'avance. 74 Calcul des ouvrages généraux de construction
cinématiques pour lesquelles tous les déplacements 8Û sont nuls, est alors
considéré.
Note :
La maîtrise de la mise en œuvre de ces solutions, qui sont plus ou moins approchées
suivant le type de restriction choisie, consiste en particulier à contrôler l'erreur
commise par rapport à une solution, réputée plus exacte (solution analytique -
calculée à partir d'autres théories de structures - ou solution de référence).
Les champs de contrainte et/ou de déplacement, construits à l'aide des restrictions
précédentes, ne vérifient pas rigoureusement le principe des travaux virtuels. La notion
d'approximation ainsi introduite concerne exclusivement les équations fondamentales
décrivant le phénomène physique.
Note :
Il existe un deuxième type d'approximation, provenant notamment de la
modélisation des géométries élémentaires (maillages) complètement indépendant du
type d'approximation lié aux restrictions précédentes.
En conséquence, l'équation intégrale fournie par le principe des travaux virtuels (ou des
puissances virtuelles) peut être appliquée dans un certain domaine et pour un champ
virtuel dont la forme mathématique est fixée au préalable. L'inconnue de cette équation,
qui est censée représenter soit le champ de déplacement, soit le champ de contrainte, est
définie sur tout le-domaine et sa détermination reste délicate.
1.2. Calcul des solutions
Généralement, les méthodes approchées consistent à introduire le champ de déplacement
0 comme une approximation, puis 80*, comme le champ de déplacement virtuel licite
pour l'approximation (ou non). Les conditions aux limites peuvent alors s'écrire
naturellement.
De manière très synthétique, lorsque pendant le chargement la variation dO du champ 0
est strictement identique à 80*, l'application du théorème de l'énergie potentielle
minimale permet d'obtenir une solution (en statique).
Quand elle existe, une expression intégrale simplifiée de l'énergie potentielle F(û),
fonction du vecteur déplacement » de composantes «,-, est par exemple :
(2.1.)
où W(£y) est l'énergie de déformation ; £,y, le tenseur des déformations ; /,-, les forces
volumiques et g,-, les forces imposées sur la frontière d£2. Construction du problème discret 75
L e calcul des solutions est obtenu en recherchant le minimum de F(u) (par
2
ÔF(û) = 0 ) , quel que soit le champ de déplacement cinématiquement admissible.
De la même façon, une expression intégrale simplifiée de l'énergie complémentaire est de
la forme :
(2.2.)
L'application du théorème de l'énergie complémentaire permet alors de calculer une
solution (par <5G(o") = 0) , quel que soit le champ de contrainte 8 a statiquement
admissible, où les composantes w,- sont celles du déplacement imposé sur Z c dQ. u
1.3. Choix du type d'inconnue
Le théorème de l'énergie potentielle conduit à la définition de deux types d'inconnues,
d'une part des inconnues, dites principales, qui sont des déplacements (en calcul des
structures), des températures (en thermique), des pressions (en hydraulique) et, d'autre
part, des inconnues, dites secondaires, déduites des inconnues principales, qui sont des
contraintes et des efforts (en calcul des structures), des gradients et des flux (en
thermique et en hydraulique).
Le théorème de l'énergie complémentaire, quant à lui, conduit à la définition d'un seul
type d'inconnues : les tenseurs de contraintes ou les torseurs (forces et moments) qui
peuvent avoir une utilité dans l'étude de la distribution du champ de contrainte ou
l'analyse limite des équilibres.
Théoriquement, il n'est pas possible de choisir comme inconnues le champ de contrainte
et le champ de déplacement en même temps parce qu'ils ne sont pas globalement
indépendants. En effet, la loi de comportement et les conditions de compatibilité
établissent des relations entre certaines de leurs composantes. Toutefois, dans de
nombreux cas, ces deux champs, du point de vue de la résolution, peuvent être
considérés comme indépendants (ceci signifie que la loi de comportement n'est plus
strictement vérifiée, cas le plus fréquent). Une nouvelle expression de l'énergie
potentielle est alors donnée par le théorème de Reissner qui s'écrit sous la forme :
(2.3.)
avec 8F = 0 (VSu et Sa) et où ej représente le tenseur des déformations ; fi, les
t
forces volumiques ; g*, la force exercée sur Z ; V, l'opérateur différentiel donnant les u
déformations à partir des déplacements.
Cette formulation mixte présente l'avantage de rendre explicites les inconnues principales
(déplacements et contraintes en mécanique).
2 La notation veut montrer que l'évolution n'est pas réelle.

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