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Mathématiques et CAO Tome 5 : méthode matricielle

De
152 pages
Le volume 5 de cette collection est la traduction, aussi fidèle que possible, du mémoire de Steven Anson Coons, paru en juin 1967. L'auteur avait une prédilection pour le calcul tensoriel, qu'il maniait avec une exceptionnelle maîtrise, et dont on retrouvera ici le reflet. Ce livre apporte des compléments à une méthode qui, dans le monde entier, a depuis longtemps donné des preuves de son excellence.
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MATHEMATIQUES
5 CAO
Méthod e matricielle
Steven A. COONS
HERME S méthode matricielle RÉSUMÉ. Le tracé des avions, des bateaux, des automobiles et des objets dits "sculptés"
nécessite la conception, le tracé et la description mathématique des surfaces qui les limitent.
On expose ici une méthode qui permet la description de surfaces répondant à une définition
très générale ainsi qu'une extension de ces notions à la définition d'hypersurfaces situées
dans des espaces abstraits.
REMERCIEMENTS. En plus de l'aide inappréciable fournie par le projet MAC, ce travail a pu
être exécuté grâce à l'aide apportée au Laboratoire des systèmes électroniques du MIT par
le Laboratoire des techniques de production (ASD) de la base Wright-Paterson de l'US Air
Force, selon le contrat n» AF-33 (600) - 42859 - MI T DSR Projet 8753.
Ce travail a été aussi partiellement accompli par le Département de fabrication mécanique
du MIT, projet DSR 8756, ainsi que par le Laboratoire de calcul Aiken de l'Université de
Harvard, suivant un contrat des laboratoires de la Compagnie Bell Telephones.
Collection dirigée par
Pierre Bézier
Titre original : Surfaces for Computer-Aided
Design of Space Forms. Project MAC
© Massachusetts Institute of Technology
Cambridge, Massachusetts, June 1%7.
© Hermès, Paris, 1987, pour l'édition française
Éditions Hermès
51, rue Rennequin
75017 Paris
ISBN 2-86601-100-7 MATHÉMATIQUES
ET CAO
Volume 5
méthode
matricielle
Steven A. Coons
Traduit de l'américain par
Pierre Bézier et Marc Moronval
HERMES
Paris - Londres - Lausanne Table des matières
Préface, Pierre Bézier 9
1. Introduction 13
2. Notations7
3. Equation représentative d'un carreau 21
3.1. Continuité de pente
3.2. Modification de la pente aux limites5
3.3. Carreau à continuité d'ordre élevé9
3.4. Forme matricielle 32
3.5. Courbes limites 46
3.6. Fonctions de raccordement 50
3.7. Vecteur de base du troisième degré
3.8. Equations aux différences4
4. Hypercarreaux n-dimensionnels 61
5. Vecteurs normaux aux carreaux7
5.1. Critère de continuité de pente 75
5.2. Continuité de pente entre carreaux adjacents8
5.3. Applications
6. Torsion aux coins des carreaux 81 6.1. Quasi-sphère 81
6.2. Sphère exacte7
7. Surfaces réglées 93
7.1. Surfaces développables4
7.2. Intersections entre carreaux et plans 96
8. Fonctions polynomiales rationnelles9
8.1. Courbes limites et fonctions d'interpolation 100
8.2. Courbes planes 109
8.3. Exemple 117
8.4. Courbe plane astreinte à passer par un point donné 120
8.5. Vecteurs dérivée-deuxième 126
Additif - Images créées par ordinateur 136
Bibliographie 139 Préface
Steven Anson Coons est, sans aucun doute, l'homme qui a fait faire à la
CAO un des progrès les plus significatifs depuis 1960, ce qui lui a valu une
réputation universelle amplement méritée.
Le résultat le plus immédiatement perceptible de ses travaux est une
théorie mathématique, celle des "carreaux de Coons" ; les grandes lignes
en sont bien connues, et nombreux sont les systèmes qui en font usage.
Pour tous ceux qui ont le souci de faire progresser les sciences et la
technique, il ne suffit pas d'avoir assimilé une théorie et des applications ;
il faut se demander pour quelles raisons un homme, parmi de nombreux
chercheurs étudiant le même problème, a eu le privilège défaire une percée
et de réussir à construire une solution originale.
Plus encore que son savoir, c'est un mode de pensée, une tournure
d'esprit qu'il importe de saisir ; il faut alors analyser les données du
problème tel qu'il se posait à l'époque des recherches et de la découverte,
ainsi que les moyens employés peut construire la solution, et tenter de
reconstituer la personnalité de l'auteur, ses qualités intrinsèques, ses
habitudes intellectuelles, ses aptitudes, son caractère.
Or, si les travaux de Steve Coons sont assez bien connus de quelques
dizaines de spécialistes de la CAO, ils ont surtout été publiés comme
interventions au cours de congrès ou bien comme cours portant sur telle ou
telle partie de sa théorie.
Il aurait été difficile de réaliser la synthèse d'éléments fragmentaires,
mais il existe heureusement un texte écrit par Steve Coons lui-même au
moment où il travaillait au Massachusetts Institute of Technology, le
prestigieux MIT, et publié en 1967 sous le titre de Surfaces for Computer-
Aided Design of Space Formes, Technical Report MAC-TR-41.
Il a paru intéressant d'en donner une traduction en français à l'intension
des enseignants, des techniciens et des étudiants.
Qui était Steve Coons ? Né en 1912 dans l'Etat de New York, il
entreprend au MIT des études supérieures qu'il interrompt prématurément,
car son esprit exceptionnellement brillant et original s'adaptent mal aux
pratiques, pourtant bien libérales, des universités américaines. 10 Méthode matricielle
// travaille comme ingénieur dans l'industrie aéronautique de 1940 à
1948. Remarqué par le professeur Rule, du MIT, il est engagé, vers I960,
avec le titre de professeur associé. Les Etats-Unis ne sont pas, heureuse­
ment, d'une inflexible rigueur dans l'application des règlements et savent
accorder un titre, confier une charge à une personne totalement dépourvue
de diplôme officiel, mais douée d'un talent exceptionnel.
Steve Coons était un dessinateur particulièrement habile, ainsi qu'en
témoignent certaines illustrations du livre Graphics, paru en 1961, qu'il
avait écrit en collaboration avec le Professeur Rule.
Pendant son séjour au MIT, Steve Coons prend part aux travaux d'Ivan
Sutherland sur le projet "Sketchpad", l'une des premières tentatives de
représentation de courbes et de surfaces à l'aide d'un écran cathodique et
d'un ordinateur.
A cette époque, l'industrie aéronautique des Etats-Unis utilisait déjà
l'ordinateur pour tracer les principales formes d'un avion, laissant proba­
blement de côté les zones de raccordement, plus difficiles à définir. Mais ce
qui convenait bien à une aile, à un fuselage ou à une dérive ne pouvait
satisfaire les stylistes attachés à l'industrie automobile, car les formes des
véhicules sont bien plus variées que celles d'un avion ; on demande à Steve
Coons d'élaborer une méthode mieux adaptée à leurs exigences.
Dans le long enchaînement d'opérations commençant avec les ébauches
des stylistes et qui s'achève avec l'assemblage et le contrôle des caisses, les
informations se transmettaient alors sous forme de tracés et de maquettes
tridimensionnelles. Une des étapes très importantes consistait à réaliser, à
la main, une forme en raccordant entre elles des sections planes matériali­
sées par des couples en contreplaqué tirés directement de tracés à l'échelle
1/1, afin d'obtenir un modèle servant de référence absolue. C'était un
travail difficile, requérant beaucoup d'habilité et de sens esthétique, mais
dont le résultat, comme toute œuvre humaine, était entaché d'imperfection,
ce qui pouvait engendrer les réserves des stylistes.
Le problème posé à Steve Coons consistait donc, étant donné un réseau
de courbes tracé sur la surface d'un objet, à définir la forme de chacun des
carreaux ainsi limités en assurant, de l'un à l'autre, un raccordement
tangentiel, et même parfois la continuité de courbure.
La solution trouvée, qui témoigne d'une exceptionnelle virtuosité en
calcul matriciel et tensoriel est publiée en 1967 par le MIT sous la référence
MAC-TR-41. Depuis lors, l'usage des "carreaux de Coons" s'est répandu
dans le monde entier.
En 1969, l'Université de Syracuse (Etat de New York) offre à l'auteur
une chaire destinée à l'enseignement du calcul tensoriel et de ses applica­
tions à la CAO et dont le titulaire prend part à de nombreux congrès dans ,
le monde entier. Préface 11
Pendant plus d'un an, il est invité par la section d'automatisme et
d'informatique de l'Académie des sciences de Budapest ; il revient aux
Etats-Unis en 1977 et continue, aussi longtemps que ses forces le lui
permettent, d'enseigner à l'Université de Boulder (Colorado), près du
professeur Herzog qui avait été son élève et son disciple.
Sa disparition a été profondément ressentie, car il n'était pas seulement
un brillant mathématicien, mais aussi un excellent ingénieur et un pédago­
gue hors pair, en même temps qu'un homme généreux, fidèle à ses amitiés,
plein d'humour, amateur de dessin et de musique, distribuant libéralement
le savoir qu'il avait acquis.
La présente traduction est d'abord un hommage rendu à sa mémoire. A
tous ceux qui portent intérêt à la CAO et à ses dérivés, elle ne servira pas
seulement à mieux connaître les résultats de travaux en tout point
remarquables, mais aussi à comprendre un cheminement intellectuel fondé
sur une science mathématique, mais également sur la connaissance du
métier des futurs utilisateurs d'un système pratique.
Le trésor légué par Steve Coons réside dans la leçon que nous donne son
exemple et dans son souvenir.
Pierre BÉZIER