Contempler l'infini

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Cet ouvrage invite le lecteur à étudier la fonction de l'acte contemplatif dans son rapport à l'espace et au temps, en s'interrogeant notamment sur la valeur et la portée épistémiques de cet acte lorsqu'il se détermine en relation à une réalité représentée comme "infinie". Conçu dans un contexte interdisciplinaire, le recueil regroupe les études et réflexions de chercheurs français et hongrois de différentes spécialités.
Publié le : mardi 1 septembre 2015
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EAN13 : 9782336389462
Nombre de pages : 232
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CONTEMPLER L’INFINI
L’Harmattan Hongrie tut C K Collection dirigée par Enikő Sepsi
ISSN 2062-9850
CONTEMPLER L’INFINI tut
Sous la direction d’Anikó Ádám, Enikő Sepsi et Stépane Kalla
L’Harmattan – L’Université Gáspár Károli
Avec le soutien de la Fondation Franco-Hongroise pour la Jeunesse l’Université catolique Pázmány Péter l’Université Gáspár Károli de l’Église Réformée en Hongrie
© Éditions L’Harmattan, 2015 © L’Harmattan Hongrie, 2015 © Károli Gáspár Egyetem, 2015
ISBN 978-2-343-05400-1
Sur la couverture: Maurits Cornelis Escer, Spere spirals (1958)
Mise en page: Gábor Kardos Couverture: László Kára
Imprimé en Hongrie
Avant-propos
Le recueil d’étudesContempler l’infiniinvite le lecteur à étudier la fonction de l’acte contemplatif dans son rapport à l’espace et au temps, en s’interrogeant notamment sur la valeur et la portée épistémiques de cet acte (d’un point de vue matématique, pilosopique, pénoménologique, estétique, artistique, lin-guistique et poétique) lorsqu’il se détermine en relation à une réalité représentée comme « infinie » (Dieu, âme, cosmos, etc.). Ce livre est conçu dans un contexte éminemment interdisciplinaire, l’objectif étant de comprendre comment cette articulation subtile des deux concepts peut être abordée selon des métodologies et des lexiques très différents mais bien souvent complémentaires sur le plan épistémologique. Le recueil regroupe les études et les réflexions des cerceurs français et ongrois de différentes spécialités (matématiques, pilosopie, estétique, pénoménologie, téologie, linguistique et littérature) : Anikó ÁDÁM (Université catolique Pázmány Péter, Budapest) ; Iacopo COSTA (CNRS et CESCM, Poitiers – Commission Léonine, Paris) ; Jean-Paul DELAHAYE (Université Lille 1) ; Jean-Joël DUHOT (Université Jean Moulin Lyon III) ; Timea GYIMESI (Université de Szeged) ; Kata GYURIS (Université Eötvös Loránd, Budapest) ; Nikoletta HAZAS (Université Eötvös Loránd, Budapest) ; Stépane KALLA (Université réformée Károli Gáspár, Université catolique Pázmány Péter, Budapest) ; Ilona KOVÁCS (Université de Szeged) ; Katalin KOVÁCS (Université de Szeged) ; Mariann KÖRMENDY (Université Eötvös Loránd, Budapest) ; Ildiko LŐRINSZKY (Budapest) ; Eva MARTONYI (Univer-sité catolique Pázmány Péter, Budapest) ; Adriano OLIVA, (Commission Léonine, CNRS – LEM, Paris) ; Tamas PAVLOVITS (Université de Szeged) ; Anikó RAD-VANSZKY (Université catolique Pázmány Péter, Budapest) ; Olivier SCHEFER (Université Paris 1 Pantéon-Sorbonne) ; Enikő SEPSI (Université réformée Károli Gáspár, Budapest) ; Brigitta VARGYAS (Collège Eötvös József, Budapest)
Anikó Ádám, Enikő Sepsi et Stépane Kalla
Jean-Paul Delaaye L’infini matématique est-il inventé ou découvert ?
Les propriétés de l’infini ne sont pas coisies et les avancées régulières de la téorie axiomatique des ensembles le rendent intelligible. Des règles naturelles s’imposent aux matématiciens. Elles prouvent que l’infini n’est pas une construc-tion mentale arbitraire. Ces affirmations que les matématiciens énoncent sur l’infini laissent parfois dubitatif. En termes simples, se pose la question : l’infini existe-t-il, ou l’infini est-il une fiction téorique et une illusion créée par la manipulation de symboles abstraits sans liens avec la réalité ? Pour répondre il faut examiner laduretéde l’infini. Si tout est possible et qu’aucun outil ne fait avancer la connaissance de l’infini, c’est sans doute qu’il est imaginaire : nous l’inventons. Si au contraire, on découvre sur lui des vues coérentes et contraignantes et que des idées naturelles déterminent d’une manière concordante ses propriétés, alors cela signifie qu’au-delà des axiomes, des démonstrations et des formalismes, il y a sans doute un infini véritable que nous ne décidons pas et dont l’existence doit être considérée certaine. L’ypotèse du continu (HC) affirme qu’il n’y a pas de tailles d’ensemble intermédiaires entre celle des nombres entiers – l’infini dénombrable – et celle des nombres réels – l’infini du continu. Savoir si on doit accepter HC ou non est un problème fondamental de la téorie des ensembles. Les progrès obtenus ces dernières années à son sujet suggèrent que HC est fausse. C’est un argument fort en faveur de l’idée que l’infini de la téorie des ensembles n’est pas une invention libre de téoriciens, mais bien une réalité déterminée, que le travail des cerceurs nous fait connaître de mieux en mieux. L’intelligibilité de l’infini et la coérence complexe et inattendue des vues que les logiciens découvrent sur lui appuient l’idée que l’infini préexiste à notre rencontre avec lui. En le comprenant nous ne sommes pas en train de l’imaginer, mais bien de l’observer et de le contempler. Comme l’écrit Patrick Deornoy, les résultats obtenus « contribuent à montrer que le problème du continu et, plus généralement, la notion d’infini non dénombrable ne sont pas intrinsèquement vagues et inaccessibles à l’analyse,
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mais peuvent faire l’objet d’une véritable téorie conceptuelle allant bien au-delà de l’exploration formelle des conséquences d’axiomes plus ou moins arbitraires.»
Galilée, Cantor, Gödel et Coen
Galilée remarqua qu’il y avait autant de nombres entiers que de nombres carrés: l’ensemble des entiers peut être mis en correspondant bijective avec l’ensemble des carrés : 0 –> 0 ; 1 –> 1 ; 2 –> 4 ; 3 –> 9 ; etc. À caque élément du premier ensemble correspond un élément unique du second, sans oubli et sans répétition. On concluait de ce paradoxe de Galilée que la compréension de l’infini est réservée à Dieu... ou bien que l’infini n’existe pas. Lorsque Georg Cantor, vers 1874, démontre que l’ensemble des nombres réels ne peut pas être mis en correspondance bijective avec l’ensemble des nombres entiers cela constitue un progrès fondamental. Ce résultat signifie que l’ensemble des nombres réels est strictement plus gros que celui des entiers, et cela pose la base matématique d’une téorie rigoureuse de l’infini devenue le socle sur lequel se fonde toutes les matématiques. Aujourd’ui encore les cerceurs explorent cet infini cantorien construisant une science rigoureuse et pleine de surprises qui décennie après décennie devient plus précise, plus rice... plus solide. Un résultat fondamental de Cantor est qu’aucun ensemble E ne peut être mis en correspondance bijective avec l’ensemble de ses parties P(E). Pour les ensembles finis, c’est évident, car par exemple E = {a, b, c} possède trois éléments alors que l’ensemble de ses parties P(E) ={ø, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}} en possède n 8. Plus généralement un ensemble ànparties. Dans le casélément possède 2 des ensembles infinis, c’est moins évident, mais c’est vrai aussi : P(E) est toujours strictement plus grand que E. On en déduit qu’il existe une infinité de types d’infinis différents, de plus en plus gros. – Il y a l’infini deN, l’ensemble des nombres entiers {0, 1, 2, 3, 4, ...}. Cet infini dénommé infini dénombrable et parfois appelé Alep-0. – Il y a l’infini de P(N), l’ensemble des parties deN. Cet ensemble P(N) se met facilement en bijection avec l’ensemble des nombres réels,R, et constitue ce qu’on nomme le continu. – Il y a plus gros encore, l’infini de P(P(N)), l’ensemble des parties de P(N), puis P(P(P(N))) l’ensemble des parties de P(P(N)), etc. Par ailleurs, à côté de cette première série infinie d’infinis, la téorie de Can-tor indique qu’il existe aussi un plus petit type d’infini juste au-dessus de celui des entiers (appelé Alep-1) et un autre juste au-dessus (appelé Alep-2), etc.
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Disposant ainsi de deux iérarcies d’infinis, la question qu’il se pose est : ces deux iérarcies coïncident-elles ? Le premier infini au-dessus du dénombrable dans la première liste est le continu. Dans l’autre liste, c’est le plus petit infini non dénombrable Alep-1. Dire que ces deux infinis coïncident, c’est affirmer que tout sous-ensemble infi-ni de l’ensemble des nombres réels,R, se met en bijection avecN, ou avecR. C’est l’Hypotèse du continu, notée HC. Cantor et bien d’autres après lui se sont in-terrogés pour savoir si HC est vraie ou non. La question occupera une partie de la fin de la vie de Cantor qui croyait à l’exactitude de l’ypotèse du continu. Il ne réussira maleureusement pas à en obtenir la preuve et il est possible que cet écec ait contribué à la détérioration de sa santé mentale marquant la fin de sa vie. La question est importante et constitue un test pour savoir si la téorie de l’infini de Cantor est un jeu matématique arbitraire, ou la description d’une réalité déterminée. Si la téorie des ensembles infinis est bien la téorie d’une réalité que nous ne fixons pas nous-même, on doit pouvoir régler la question de l’ypotèse du continu de manière positive ou négative : il y a ou il n’y a pas d’ensembles infinis de taille intermédiaire entre celle deNet celle deR! Notons qu’un des adversaires de Cantor, le matématicien Kronecker, pensait justement que les infinis iérarcisés de Cantor sont une illusion, ce qu’il exprima par cette prase restée célèbre : « Dieu a créé les nombres entiers ; le reste est l’œuvre de l’omme ».
Coisissez vous-même !
La question de l’ypotèse du continu fut reconnue comme centrale et David Hilbert la plaça à la tête de sa liste des 23 questions matématiques à résoudre e pour le 20 siècle, liste dont il fit l’énumération à Paris lors du Deuxième congrès international de matématiques de 1900. Malgré cette position centrale, les progrès seront lents. Dans un premier temps, ils conduiront à des résultats qu’on interprétera le plus souvent comme des indications que l’infini de Cantor est une fiction téorique. L’axiomatisation usuelle de la téorie des ensembles est notée ZFC à partir des initiales des matématiciens Ernst Zermelo, et Abraam Fraenkel, le C in-diquant qu’on accepte l’axiome du coix. Kurt Gödel prouve en 1938 que si ZFC est non contradictoire alors ZFC+HC (ce qu’on obtient en ajoutant l’axiome af-firmant l’ypotèse du continu) est aussi une téorie non contradictoire. En clair : accepter HC n’introduit pas de contradictions dans ZFC.
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La métode de Gödel consiste à se donner une structure qui vérifie les axiomes de ZFC, puis à en extraire une sous-structure (comme on extrait le sous-corps Rdes nombres réels, du corps des nombres complexesC). La sous-structure vérifie toujours les axiomes de ZFC, mais vérifie en plus HC. Si ZFC n’est pas contradictoire – c’est-à-dire possède des modèles – cette construction montre que ZFC+HC en possède aussi, et donc ZFC+HC n’est pas contradictoire. La non-contradiction de ZFC implique celle de ZFC+HC. Cette métode de construc-tion de modèles internes est importante, mais elle n’est pas suffisante pour dé-montrer que l’on peut aussi ajouter non-HC (la négation de HC) à ZFC. C’est ce que réussit à faire Paul Coen en 1963 par une tecnique appelée forcingqui se fonde sur une idée nouvelle. On part d’une structure qui vérifie ZFC, puis on introduit de nouveaux éléments dans cette structure, ce qui l’agrandit. Bien menée, cette extension produit une nouvelle structure vérifiant cette fois ZFC et la négation de HC. La métodeexternede Paul Coen est comparable à ce qu’on fait classiquement en matématiques quand, partant deN,l’ensemble des entiers positifs ou nul, on introduit de nouveaux nombres pour obtenirZ(l’ensemble des entiers positifs et négatifs), ou lorsque l’on construit le corps des nombres réelsRà partir du corps des nombres rationnelsQ. Le résultat de Coen associé à celui de Gödel signifie que les axiomes usuels de ZFC sont extensibles soit par HC, soit par non-HC sans que cela introduise de contradiction (s’il n’y en a pas déjà). L’axiome HC est indépendant des autres, on dit aussi : HC est indécidable dans ZFC. En quelque sorte, on a le libre coix entre HC et non-HC ! Cette liberté de coix a souvent été interprétée dans un sens antiréaliste : l’infini n’existe pas réellement, il est ce que nous voulons qu’il soit !
De nouveaux axiomes ?
Kurt Gödel n’était pas de cet avis et pensait d’ailleurs que l’ypotèse du conti-nu est fausse. L’idée qu’il défendait constitue ce qu’on nomme parfois ladoctrine des axiomes manquantsSi le sens des: « . Voici précisément ce qu’il écrivait termes de base de la téorie des ensembles est admis, il en résulte que les concepts ensemblistes et les téorèmes de la téorie des ensembles décrivent une réalité bien déterminée à propos de laquelle la conjecture de Cantor [l’ypotèse du continu] est vraie ou fausse. Son indécidabilité à partir des axiomes connus aujourd’ui signifie nécessairement que ces axiomes ne donnent pas une des-cription complète de cette réalité ».
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