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Frege

316 pages
Les travaux de Gottlob Frege (1848-1925) sont, par son invention du concept de langage formel et de la théorie de la quantification, à l'origine de la logique mathématique moderne. Frege est aussi, par son projet logiciste, à l'origine de la philosophie des mathématiques contemporaine et, par son analyse fonctionnelle de la proposition et sa distinction entre le sens et la dénotation à l'origine de la philosophie analytique du langage. Les textes regroupés dans ce recueil portent sur les principaux débats que suscite de nos jours la lecture de Frege.
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FREGE
Logique CI philosophie Sous la direction de Mathieu Marion et Alain Voizard
FREGE
Logique et philosophie
Diffusion Europe, Asie et Afrique:
L'Harmattan ,
5-7, rue de l'Ecole Polytechnique
75005 Paris
FRANCE
33.01.40.46.79.10
Diffusion Amériques:
Harmattan Inc.
55, rue St-Jacques
Montréal
CANADA
H2Y IK9
1 (514) 286-9048
Couverture : Olivier Lasser
Sauf à des fins de citation, toute reproduction,
par quelque procédé que ce soit, est interdite sans
l'autorisation écrite de l'éditeur.
© Harmattan Inc., 1998
ISBN : 2-89489-041-9
Bibliothèque nationale du Québec
Bibliothèque nationale du Canada
1 2 3 4 5 01 00 99 98 DUS LA DIRECTION DE
MATHIEU tY111111011 ET ilL11111
FREGE
toiligilc cC philosoitiP
Harmattan inc.
55, rue St-Jacques Montréal
Canada H2Y 1K9
L'Harmattan
5-7, rue de l'École Polytechnique
75005 Paris France
COLLECTION ifilIDITION SEMRNTIOIll Table des Matières
1 1. Frege aujourd'hui
Mathieu Marion et Alain Voizard
2. Gottlob Frege et les fondements des mathématiques 17
George Boolos t
3. Introduction au théorème de Frege 33
Richard G. Heck, Jnr.
4. Le principe du contexte : au coeur de la philosophie de Frege 63
Michael Dummett
Field et le platonisme fregéen 85 5.
Cri spin Wright
6. Logique et sémantique chez Frege 109
Sanford Shieh
7. Frege et la sémantique : le rôle du double trait de la définition 137
Juliet Floyd
8. La vérité est au fond du puit :
171 Frege et les interprétations standard et non-standard
Jaakko Hintikka et Gabriel Sandu
L'antipsychologisme est-il irrésistible? 211 9.
Pascal Engel
10. L'antipsychologisme de la phénoménologie et la psychologie 227
Denis Fisette
11. Frege, entre Kant et Wittgenstein 261
Claude Imbert
George Stephen Boolos 1940-1996 293 12.
Warren Goldfarb
297 13. Bibliographie
Frege aujourd'hui
Mathieu Marion
Alain Voizard
Friedrich Ludwig Gottlob Frege naquit à Wismar le 8 no-
vembre 1848. Après des études universitaires à Iéna (1869 à 1871),
il s'établit à Gentingen et obtint un D. Ph. en y défendant en 1873
une thèse de géométrie. Il obtint l'année suivante son Habilitation
à Iéna, où il enseignera pendant quarante-quatre ans jusqu'à sa
retraite en 1918. En 1879, il publie son premier ouvrage, intitulé
Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete
Formelsprache des reinen Denkens, ouvrage qui lui valu une pre-
mière promotion au poste salarié de ausserordentlicher Professor.
Son petit Ce n'est qu'en 1907 que Frege sera enfin nommé Hofrat.
livre de quatre-vingt-huit pages s'avérera d'une importance capi-
tale et assurera à lui seul à Frege une place cruciale dans l'histoire
de la pensée. La contient, entre autres, la première Begriffsschrift
formulation d'un système axiomatique de la logique (du second
ordre) ainsi que les premiers développements de la théorie de la
quantification. Frege y élabore entre autres quelques-uns des outils
du programme fondationnel logiciste, dont la notion clef de rela-
tion dite « ancestrale ». Ces développements font de Frege le père
de la logique mathématique telle que nous la connaissons
aujourd'hui et, à ce titre, un des plus grands logiciens de l'histoire,
si ce n'est le plus grand depuis (sinon devant) Aristote.
Le symbolisme rébarbatif de sa langue formulaire présen-
gênait cependant la compré-tée et utilisée dans sa Begriffsschrift
hension de son texte; Frege décida donc d'écrire une présentation
en langage ordinaire de son programme pour les fondements des
de 1884. mathématiques. Ce furent les Grundlagen der Arithmetik 2 MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD
Il ne s'agit pas d'un texte de vulgarisation. La première partie de
l'ouvrage contient une critique mordante et à certains égards défi-
nitive des positions opposées que sont celles de Kant et de Mill,
ainsi qu'une réfutation du psychologisme. Dans la seconde partie
de ce livre qui deviendra un des plus grands ouvrages de philoso-
phie des mathématiques jamais écrit, Frege précise les aspects phi-
losophiques de son programme logiciste, en maintenant notam-
ment que les nombres sont des objets (et non, comme on l'avait
pensé, des propriétés d'objets ou de classes d'objets; ni une entité
mentale subjective; ni non plus une propriété d'une telle entité) et
qu'une assertion du type « Jupiter a quatre lunes » est une asser-
tion à propos d'un concept, en l'occurrence celui de « lune de Ju-
piter », auquel on assigne le nombre 4. Frege aura eu soin de mon-
trer que les termes numériques n'agissent en fait à l'intérieur des
propositions non pas comme une sorte de prédicat (de prédicat)
mais plutôt comme des noms propres de la forme « le nombre qui
F ». appartient au concept
Ayant défini les nombres comme des objets abstraits, Frege
devait ensuite rendre compte de l'épistémologie de notre saisie de
ceux-ci. C'est à cette occasion qu'il présente le célèbre principe du
contexte, en vertu duquel le sens d'une expression dépend du sens
des propositions dans lesquelles elle apparaît. Ce principe permet
de transformer un obscur problème épistémologique en question
d'ordre linguistique. Invoquant au passage un autre principe selon
lequel on ne peut pas référer à une entité si celle-ci ne possède pas
de critère d'identité, il lui suffit ensuite de trouver un critère pure-
ment logique d' identité entre, par exemple, « le nombre de F » et
« le nombre de G », pour pouvoir expliquer que nous pouvons faire
référence à des objets abstraits sans pour cela avoir recours à une
quelconque forme d'intuition platonicienne. C'est chez Hume qu'il
trouva le critère recherché, cela lui valu le nom de « principe de
est identique au nom-Hume ». Selon ce principe, le nombre de F
si, et seulement si, peuvent être mis en correspon-bre de G F et G
dance bi univoque. Mais Frege demeura insatisfait. Il lui apparu
en effet que ce principe permettait d'expliquer ce que veut dire
est identique au nombre une expression telle que « le nombre de F
F» de G » mais pas une expression telle que «x est le nombre de
— et que dire d'une expression telle que « César est le nombre de
F » ?— alors que c'était précisément à ce genre d'expression qu'il
avait recours dans sa tentative de justifier l'infinité des nombres
FREGE AUJOURD'HUI 3
naturels; une des toutes premières étapes de sa réduction de l' arith-
métique à la logique.
Ce soi-disant « problème de César » obligea Frege à rem-
placer son principe par une définition explicite selon laquelle le
nombre appartenant au concept F est l'extension du concept
équinumérique au concept F. (Il aura entre temps publié une série
d' articles séminaux dont, en 1891, « Sens et dénotation » qui
ouvrent la voie à la sémantique.) Ce fut là une erreur de la part de
Frege. Il fut alors contraint de formuler des axiomes pour la notion
d'extension d'un concept. Mais voilà que celui concernant le prin-
cipe d'extensionalité, qui disait ce qui ne semblait être rien de plus
qu'un truisme : l'extension du concept F est identique à l'exten-
sion du concept G, si et seulement si, tout F est un G est et tout G
un F, et qui devient l'axiome V du premier volume son nouvel
ouvrage, les Grundgesetze der Arithmetik (1893), fut à l'origine
d'un fameux paradoxe, découvert simultanément par Bertrand
Russell et Ernst Zermelo vers 1903. C'est ce paradoxe qui révéla
que le système des Grundgesetze était inconsistant. Lorsque Rus-
sell lui fit part de son paradoxe, tout juste avant la parution du
deuxième volume des Grundgesetze der Arithmetik, Frege fut dé-
vasté. Il tenta néanmoins, pendant un temps encore, d'y remédier.
Après 1906, Frege abandonna son projet et tenta à plusieurs occa-
sions de rédiger un ouvrage de philosophie de la logique, dont la
dernière version donna, au tournant des années vingt, ses Logische
Untersuchungen. Dans les dernières années de sa vie Frege, dé-
couragé, fera une ultime tentative pour fonder l'arithmétique, cette
fois-ci sur la base de la géométrie; cette tentative n'aboutira ja-
mais.
Ses idées logiques furent tout d'abord mal comprises : deux
algébristes booléens de renom, John Venn et Ernst Schdider, criti-
quèrent sa Begriffsschrift. Frege leur donna la réplique dans un
texte sur la logique de Boole et sur sa langue formulaire, mais deux
versions furent refusées, la première par trois fois. Son second
ouvrage, les Grundlagen der Arithmetik, fut encore plus mal reçu.
Georg Cantor fut incapable de voir les points communs entre sa
théorie des nombres transfinis et les conceptions de Frege, et il fit
de l'ouvrage une recension très négative. Edmund Husserl critiqua
Frege pour son anti-psychologisme, dans sa Philosophie der
Arithmetik. Finalement, il vit l'oeuvre qui devait couronner sa car-
Grundgesetze der Arithmetik, rière de chercheur, son système des
MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD 4
jetée à terre par le paradoxe de Russell-Zermelo. C'est donc un
homme amer qui, le 26 juillet 1925, meurt à Bad Kleinen, près de
sa ville natale. Un homme qui avait perdu ses espoirs philosophi-
ques, qui avait perdu, en 1905, sa femme et qui avait même perdu
en bas âge ses propres enfants. Seul un fils adoptif, Alfred, lui
survivra.
Si la logique mathématique, la linguistique et la philoso-
phie sont, au XXe siècle, redevables à Frege pour certains de leurs
concepts les plus fondamentaux, c'est que ses travaux ne furent
pas ignorés par tous ses contemporains. On notera que la liste de
ceux qui reconnurent, de son vivant, l'importance de ses idées est
impressionante. Parmi les mathématiciens, Giuseppe Peano et
David Hilbert ont su reconnaître ses mérites. C'est à travers les
travaux de Peano que Russell découvrit Frege. L'influence que
celui-ci exerça sur Russell est trop importante et trop connue pour
qu'on s'y attarde. Russell envoya son étudiant Wittgenstein ren-
contrer Frege à Iéna, en 1911, le jeune auteur reconnaîtra ensuite
son immense dette envers le logicien allemand et en fait mention
dans la préface à son Tractatus Logico-Philosophicus. Carnap sui-
vit les cours de Frege entre 1910 et 1914. L'oeuvre de Frege était
aussi connue de néo-kantiens tels que Ernst Cassirer, qui appré-
ciait son anti psychologisme et qui le discute longuement dans Subs-
tance et Fonction (Cassirer 1977) et Heinrich Rickert qui le donne
à lire à un jeune étudiant du nom de Martin Heidegger, qui —fait
sidérant— louangera le logicien dans un de ses premiers écrits,
« Neuere Forschungen über Logik » (Heidegger 1978: 20). Hus-
serl, après avoir critiqué Frege se rangera à ses côtés dans la lutte
contre le psychologisme. Il semble bien que ce sont les arguments
anti-psychologistes formulés par Frege, dans les Grundlagen der
Philoso-Arithmetik, comme dans sa recension dévastatrice de la
phie der Arithmetik qui convainquirent enfin Husserl. Les rapports
entre la phénoménologie et Frege sont examinés ici par Denis Fisette
dans « L' anti psychologisme de la phénoménologie et la psycholo-
gie ».
Bien que l'antipsychologisme de Husserl demeura moins
tranché que celui de Frege, il ne faut pas croire qu'il s'agit d'un
antipsychologisme faible. La position qu'adopta Husserl lui per-
mettait de soutenir à la fois qu'on a une connaissance a priori de la
logique et que cette dernière n'est néanmoins justifiée que par une
phénoménologie de l'expérience. La position de Husserl, qui se
FREGE AUJOURD' HUI 5
dégage de ses rapports avec Frege, évolue donc d'une forme de
psychologisme tel que dénoncé par Frege vers ce qu'on appellerait
plus volontiers un naturalisme non réductionniste notamment,
comme le signale D. Fisette, en ce qui concerne les relations psy-
cho-physiques.
Malgré cette liste somme toute remarquable de lecteurs,
l' oeuvre de Frege se heurta en fait à une indifférence généralisée,
indifférence à laquelle le monde philosophique français ne fit pas
exception. En 1895, Frege fit paraître un article dans la Revue de
métaphysique et de morale, « Le nombre entier »; l'article passa
inaperçu. Eugène Ballue (un enseignant de Lycée) et Louis Couturat
furent ses seuls correspondants. L'hostilité envers la logique ma-
thématique manifestée par Henri Poincaré dans sa polémique avec
Russell et Couturat, et par Léon Brunschvicg dans Les étapes de la
pensée mathématique a profondément marqué la philosophie fran-
çaise des mathématiques. À peine un Cavaillès connaissait-il les
travaux de Frege. Aujourd'hui, cette triste situation perdure et ce
malgré un premier livre déjà ancien de Jean Largeault sur Frege
(1970), et une belle étude de Philippe de Rouilhan (1988), mais
malheureusement trop spécialisée pour contribuer à faire connaî-
tre Frege à un plus large public francophone' . Bien sûr, les tradi-
tions nationales y sont un peu en cause, la philosophie française
ayant longtemps fermé ses portes à la philosophie analytique anglo-
ne peut saxonne. Mais dans le contexte de notre fin de siècle, ce
plus être qu'une mauvaise excuse.
C'est à compter des années cinquante, sous l'impulsion ini-
tiale de Carnap aux États-Unis et de Wittgenstein en Angleterre,
que les philosophes analytiques ont découvert l'oeuvre de leur père
spirituel. Il fallu cependant attendre jusqu'en 1973, date de la pu-
blication de la monumentale étude de Michael Dummett intitulée
Frege. Philosophy of Language (1973), pour avoir enfin accès à
une première interprétation cohérente, systématique et philosophi-
quement féconde de la pensée de Frege. À cette étude s'ajouteront
The Interpretation of Frege's Philosophy deux autres volumes,
(1981) et (1991a) ainsi que de Frege. Philosophy of Mathematics
Frege nombreux écrits, dont la plupart sont recueillis dans l'ouvrage
Ce sont donc les philosophes ana- and Other Philosophers (1991b).
1 Il faut aussi signaler la récente introduction de Ali Benmaldhouf
(1997).
6 MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD
lytiques de langue anglaise qui ont fait jusqu'à présent l'essentiel
du travail d'interprétation de la philosophie de Frege et c'est vers
eux que quiconque doit se tourner pour faire ses premiers pas dans
la lecture de Frege. Aucune mesure de chauvinisme ne doit en
effet dispenser le lecteur francophone de l'examen de cette littéra-
ture : accepterait-on d'un interprète de Kant qu'il ignore la littéra-
ture secondaire allemande, sous quelque prétexte que ce soit ?
Quoiqu'on dise, l'oeuvre de Michael Dummett est incontourna-
ble. Il était inévitable que presque tous les débats sur l'interpréta-
tion de Frege postérieurs aux publications de Dummett s'articu-
lassent autour des thèses défendues par ce dernier.
Ainsi qu'on pouvait s'y attendre, certains débats restèrent
sans lendemain et nous n'avons pas jugé bon, même pour mémoire,
de leur faire une place dans ce volume. Nous en mentionnerons
quand même deux. Le premier est un débat initié par Hans Sluga
dans une série d'articles ainsi que dans un livre intitulé Gottlob
Frege (1980). Sluga a reproché à Dummett son ignorance du con-
texte historique qui était celui de Frege et a présenté aussi un argu-
ment à l'effet que Hermann Lotze eut une influence déterminante
sur celui-ci. (On sait que Frege a suivi les cours de Lotze à Gôttin-
gen.) Sluga a cru voir dans la théorie du jugement de Lotze l'ori-
gine de celle présentée par Frege dans sa Begriffsschrift, mais
Dummett, qui a, ironiquement peut-être, lui-même produit la seule
preuve tangible que Frege ait lu la Logik Lotze a montré les limites
de cette interprétation. Sluga décela aussi une influence de Lotze
Wirklichkeit. dans les notions fregéennes d'objectivité et de Il crut
même y voir la preuve que —chose hautement improbable— Frege
ne soutenait pas une forme de réalisme à propos des objets logi-
ques ou des Gedanken. Le second est un débat lancé par deux in-
terprètes oxoniens de Wittgenstein, Gordon Baker et Peter Hacker,
qui ont écrit un livre Frege. Logical Excavations (1984), à la fois
pour invalider l'interprétation dummettienne de Frege, nier l'ori-
ginalité des idées logiques de ce dernier et minimiser l'importance
philosophique de celles-ci et donc, par transition, l'importance de
la philosophie même de Dummett. On est cependant en droit de se
demander si une telle entreprise peut prétendre constituer une con-
tribution importante à la philosophie. Mais, à l'opposé, on est aussi
en droit de se demander si réfuter ses collègues oxoniens, comme
l'a fait Dummett (1981; 1984a), ce n'est pas s'engager dans une
joute rhétorique sans grand intérêt.
FREGE AUJOURD HUI 7
Il ne faut pas oublier que Michael Dummett, en interprétant
Frege, a aussi fait œuvre philosophique. Il ne s'agit pas seulement
d'interpréter Frege, mais surtout penser, avec lui, un certain nom-
bre de problèmes philosophiques. C'est néanmoins ce qu'on a re-
proché à Dummett de part et d'autre. Ainsi, Baker et Hacker voient
dans l'héritage fregéen un défaut majeur de la théorie de la signifi-
cation développée par Dummett. Les nombreuses critiques de cet
acabit qu'attirent l'oeuvre de Frege, ou encore celle de Dummett,
indiquent bien, en revanche, l'importance capitale des idées Frege
pour la tradition analytique. D'ailleurs cette fécondité du rapport à
Frege est tout à fait évidente dans le débat qui oppose Dummett à
son étudiant Gareth Evans sur la priorité du langage sur la pensée,
dont rend compte Pascal Engel dans son article, « L'anti psycholo-
gisme est-il irrésistible? ».
Pour tempérer l'antipsychologisme que Dummett attribue
à Frege, Engel s'attaque aux principales raisons présentées à l'ap-
pui de cette position et montre qu'aucune ne constitue un argu-
ment décisif. Conflue il reconnaît que l'argument antipsychologiste
le plus fort prend sa source dans le principe du contexte, Engel
reconnaît que remettre ce principe en cause le rapproche de la po-
sition défendue par Evans. Mais ce qui pousse davantage Engel à
épouser une forme de psychologisme faible, c'est la solution qu'il
propose au dilemme de Field (ci-dessous) dont la formulation même
témoigne, selon lui, d'une confusion entre les causes et les raisons.
Toujours dans le prolongement des travaux de Dummett,
Crispin Wright et Bob Hale ont développé une forme de plato-
nisme arithmétique selon lequel les nombres naturels sont des ob-
jets qui ont une existence indépendante de notre esprit et hors du
cadre spatio-temporel (Wright 1983; Hale 1987). Les arguments
contre ce platonisme sont légion. Dans un article bien connu,
« Mathematical Truth », Paul Benacerraf doutait de sa validité en
raison d'une condition générale causale pour la connaissance, du
type : « un sujet X connaît P si, et seulement si, X est en relation
causale quelconque avec P ». Wright avait répondu à cette objec-
tion que, de toute façon, une telle condition n'existe pas (Wright
1983, chap. 2). Selon Dummett, ce platonisme est irrémédiable-
ment condamné par l'inconsistance du système des Grundgesetze
der Arithmetik —mais cette critique ne tient plus depuis la démons-
tration du « théorème de Frege » que nous verrons plus loin. Tou-
jours selon Dummett, cette inconsistance est le symptôme d'un
8 MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD
problème plus profond : le recours par Frege au principe du con-
texte afin de justifier notre croyance en l'existence des nombres
naturels.
Cette critique est le thème central du livre de Dummett,
Frege. Philosophy of Mathematics. Dans sa conférence, « Le prin-
cipe du contexte : au coeur de la philosophie de Frege », Dummett
revient sur certaines de ses affirmations sur le principe du con-
texte. Après avoir présenté sept arguments à l'effet que celui-ci ne
survit plus dans les Grundgesetze der Arithmetik, arguments qu'il
a pour la plupart développés lui-même, il les réfute en montrant
qu'on y trouve en fait une version forte de celui-ci. En effet, dans
les §§ 10, 29 et 31, Frege soutient que les dénotations des noms de
parcours de valeurs peuvent être déterminées « en spécifiant les
valeurs des fonctions primitives pour leurs Bedeutungen comme
arguments, c'est-à-dire en déterminant les des ter-
mes plus complexes dont elles font partie ». Cependant, de l'avis
de Dummett, ce nouveau point de vue sur le principe du contexte
n'implique pas que nous adoptions une quelconque forme de réa-
lisme métaphysique (au sens de Putnam), mais tout au plus une
variante de réalisme interne.
D'autres critiques du platonnisme arithmétique viennent de
Hartry Field, philosophe nominaliste. Crispin Wright y répond ici
dans l'article « Field et le platonisme fregéen ». Il faut mentionner
que Field a aussi opposé un dilemme au platoniste : puisque toute
explication causale de la fiabilité (reliability) de notre connaissance
des objets mathématiques est exclue par le platoniste —les objets
mathématiques étant conçus comme étant hors du cadre spatio-
temporel— et que toute explication non causale de la fiabilité de
notre connaissance des objets mathématiques est incompatible avec
l'indépendance de ces objets par rapport à notre esprit —elle aussi
soutenue par le platonisme—, il semble que celui-ci soit dans l'im-
possibilité de fournir une explication (causale ou non) de la fiabi-
lité de notre connaissance des objets mathématiques. La réponse à
ce dilemme, ainsi qu'aux critiques de Dummett, constitue un des
enjeux actuels de la philosophie des mathématiques chez les anglo-
saxons.
L'oeuvre de Dummett, maintenant achevée pour l'essen-
tiel, n' est plus la seule source de débats sur Frege. L'événement
capital dans les études fregéennes depuis une dizaine d'années fut
la découverte de ce qu'on est convenu d'appeler, à la suite des
FREGE AUJOURD HUI 9
travaux de George Boolos, le « théorème de Frege ». Selon ce théo-
rème, toute l'arithmétique peut être dérivée d'une logique du se-
cond ordre élargie au moyen de l' opérateur « le nombre de F » et
du « principe de Hume ». C'est ce théorème que nous présentent
George Boolos, dans un texte initialement prévu pour publication
dans la revue Gottlob Frege et les fonde-Scientific American, «
ments de l' arithmétique », et son collaborateur Richard Heck dans
« Une introduction au théorème de Frege ». Ces textes d'une grande
qualité pédagogique s'adressent à un public néophyte. Tous deux
présentent soigneusement les grandes lignes du raisonnement me-
nant au « théorème de Frege » et ce de façon complémentaire,
Boolos mettant l'accent sur le paradoxe de Russell et sur la ma-
nière de l'éviter, tandis que Heck part de l'idée même de donner
un fondement logique à l'arithmétique pour retracer le fil des idées
de Frege. Il suit cette trace à travers la Begriffsschrift, ses avancées
philosophiques des Grundlagen qui mènent au « principe de
Hume » et au « problème de César », et pousse jusqu'à la solution
de Frege à ce problème, qui fait usage de la notion d'extension
d'un concept. Ce trajet le mènera cependant au paradoxe. Le texte
de Heck se termine sur une présentation détaillée du « théorème
de Frege » et sur les enjeux philosophiques de ce résultat excep-
tionnel.
Ces dernières années ont aussi vu l'émergence aux États-
Unis d'une nouvelle école d'interprétation de Frege, selon laquelle
la logique de Frege serait dénuée de considérations sémantiques et
méta-théoriques. Cette lecture de Frege, que l'on peut qualifier de
« révisionniste » ou d'« anti-sémantique », trouve sa source dans
les travaux du français Jean van Heijenoort et dans l'enseignement
de Burton Dreben à l'Université de Harvard. Dans un article dé-
sormais célèbre, Jean van Heijenoort avait distingué deux appro-
ches antithétiques de la logique dans son histoire récente, soit l'ap-
proche universaliste de Frege pour qui toutes les fonctions doivent
être définies pour tous les objets, c'est-à-dire qu'il n'y qu'un seul
« univers » du discours; et la conception de la logique comme « cal-
cul » dont le domaine peut varier, que l'on retrouve chez Boole et
Schriider. Tandis que la conception universaliste caractérisa les tra-
vaux de l'école logiciste (ainsi que ceux de Peano et Wittgenstein)
la conception de la logique comme « calcul » fut celle de Hilbert,
Liiwenheim et Tarslci, et c'est de cette tradition que sont issues la
MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD 10
sémantique et la théorie des modèles telles que nous les connais-
sons.
L'approche « anti-sémantique » est présentée ici, de manière
adroite et impartiale, par Sanford Shieh dans son article « Logique
et sémantique chez Frege ». Selon lui, les relations entre logique et
sémantique constituent le talon d'Achille de l'interprétation de
Dummett puisque « le compte-rendu qu' [il nous offre] du lien exis-
tant entre celles-ci est des plus sommaire et consiste, en résumé, à
attribuer à Frege les vues conventionnellement acceptées de nos
jours sur le sujet », alors qu'à la vérité ces dernières nous viennent
de Tarski et les conceptions fregéennes sont radicalement diffé-
rentes. Les révisionnistes insisteront sur le fait que Frege apparte-
nait à la tradition universaliste et sur le fait que, comme le dit Shieh,
« la direction générale de la pensée de Frege lui interdisait de pou-
voir développer quelque véritable théorie sémantique que ce soit ».
Que Frege partage la conception universaliste de la logique et non
celle de Tarski, cela se verrait entre autres dans le fait que les axio-
Grundgesetze der Arithmetik ne sont pas formulés en ter-mes des
mes de schémas, dans le fait que la quantification y est faite sans
distinction entre premier et second ordre —le langage étant uni-
versel—, et dans le fait que Frege n'ait semble-t-il jamais « fait,
voire même tenté de faire, une preuve de la complétude de son
système logique ». Dans l'article « Frege et la sémantique : le rôle
du double trait de définition », Juliet Floyd ajoute un élément nou-
veau à cette lecture révisionniste. Elle vise à « expliquer comment
et pourquoi les écrits de Frege ont pu donner naissance à deux
interprétations, [... ,] si radicalement différentes » en prenant pour
sujet le double trait de définition et elle argumente, contre l'inter-
prétation sémantique, que le double trait fait partie intégrante de la
langue formulaire et ne constitue donc pas un quelconque outil
méta-syntaxique. Les définitions serait donc formulées dans une
langue formulaire universelle. Dans un autre ordre d'idées, Claude
Imbert, traductrice des oeuvres de Frege en français (Frege 1969a;
1971 a) et auteur de Phénoménologies et langues formulaires (1992),
se penche précisément sur les enjeux et les coûts de l'invention
d'une langue formulaire. « Frege, entre Kant et Wittgenstein » exa-
mine les présupposés philosophiques, épistémologiques notam-
ment, d'une telle entreprise.
La nouvelle lecture « révisionniste » est d'autant plus phi-
losophiquement intéressante qu'elle s'insère dans un vaste schème
FREGE AUJOURD'HUI 11
d'interprétation de l'histoire de la philosophie analytique, de Frege
à Quine, dont l'auteur est Burton Dreben. (Celui-ci n'ayant mal-
heureusement que très peu publié, on ne trouve de traces de ses
idées qu' à travers les travaux de ses étudiants.) Selon cette inter-
prétation, la plupart des grands philosophes de la tradition analyti-
que, Frege, Russell, Wittgenstein, Carnap et Quine auraient adopté
le point de vue du langage universel, ce qui aurait eu pour effet de
les empêcher de penser en termes sémantiques et d'accéder au point
de vue méta-théorique. Il nous faut quand même dire quelques mots
à l' appui de Dummett, qui n' a pas ici le privilège de la réplique
contre un tel assaut contre ses positions, malgré que l'on trouve
des éléments d'une telle réplique dans « Le principe du contexte :
au coeur de la philosophie de Frege ». Il n'a jamais nié l'écart en-
tre les conceptions de Frege et le concept sémantique moderne de
conséquence ( 199 lb : 218-219). Dummett insisterait cependant,
contre les révisionnistes, sur le fait que Frege s'en rapproche énor-
mément dans les premières sections des Grundgesetze der
Arithmetik. Celles-ci qui peuvent en effet être interprétées comme
contenant des arguments à l'effet que les axiomes et règles de la
Begnffsschrift ou notation conceptuelle sont vrais et préservent la
vérite . L,es sections §§ 30-31 sont cruciales à cet égard, puisqu'elles
contiennent des arguments à l'effet que toute formule bien formée
possède une référence et que les axiomes, y compris l'axiome V,
sont vrais. La preuve que toute formule bien formée possède un
référent est bien évidemment fautive, puisqu' autrement la
Begnffsschrift serait consistante. L'erreur se trouve en fait dans les
arguments à l'effet que le spiritus asper réfère, d'où le paradoxe
de Russell. Mais le reste de la preuve démontre que les axiomes et
sans l'axiome V sont vrais et préservent règles de la Begnffsschrift
de la formulation au la vérité et donc la consistance (soundness)
deuxième ordre de la Begriffsschrift. Selon cette lecture, les argu-
ments des sections §§ 30-31 devaient donc assurer la consistance
et il semble bien que ce fut l'intention ex- de la Begriffsschrift
2 Un telle interprétation est entreprise par Richard Heck dans « Frege
and Semantics » (Heck à paraître/a). Dummett n'a quant à lui pas encore
répliqué directement aux travaux des tenants de l'approche anti-sémantique,
si ce n'est que dans un compte rendu de l'ouvrage Joan Weiner, Frege in
Jourrtal of Symbolic Logic en 1991. Perspective (Weiner 1990), paru dans le
MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD 12
presse de Frege. En effet, lorsqu'il répond à la lettre de Russell lui
présentant le paradoxe qui rend son système inconsistant, Frege
ajoute qu'il est clair que ses arguments « ne suffisent pas à assurer
une référence à tous mes signes dans tous les cas ».
La notion de quantification de second ordre chez Frege a
été récemment l'occasion d'un virulent débat qui intéressera cer-
tainement les lecteurs francophones, puisqu'il a pour toile de fond
le développement de la théorie des fonctions au tournant du siècle,
qu'ils connaissent bien parce que décrit par Jean-Toussaint De-
santi et Alain Michel mais aussi parce que ceux-ci sont plus sensi-
bles que leurs confrères anglo-saxons à l'importance pour les fon-
dements, au tournant du siècle, des travaux d'auteurs tels que, par
exemple, Dedekind ou Borel, voire Kronecker. Dans « La vérité
est au fond du puits : Frege et les interprétations standard et non-
standard », Jaakko Hintikka et Gabriel Sandu ont défendu la thèse
selon laquelle Frege aurait mis de l'avant une interprétation non-
standard des quantificateurs au second ordre (au sens de (Henkin
1950), présenté dans (Hintikka 1995)). En un mot, adopter l'inter-
prétation non standard revient à dire que les quantificateurs por-
tant sur des fonctions ou classes (et non sur des individus) ont pour
portée un ensemble restreint de classes particulières et non la tota-
P(do(M)) du domaine do(M) correspondant. lité de la puissance
Selon eux, l'interprétation standard selon laquelle la portée des
quantificateurs est constituée de toutes les classes possibles sans
distinction arbitraire aucune était celle visée par ceux, tels Cantor,
qui travaillaient sur les fondements des mathématiques au tour-
nant du siècle. Toujours selon Hintikka et Sandu, Frege n'aurait
pas cherché à obtenir une interprétation standard; ils remettent donc
en doute la pertinence fondationnelle des travaux de Frege, à son
de nos jours: « Il nous semble dès lors époque même et, a fortiori,
regrettable que des philosophes continuent de nos jours à se tour-
ner vers les travaux de Frege afin d'y rechercher leurs problémati-
ques ainsi que les concepts qui nous permettraient de les résoudre.
Les perspectives offertes par Frege sont en effet bien trop restrein-
tes pour pouvoir constituer une source valable de concepts, d'idées
ou de problématiques ».
Contre une telle condamnation, Frege a trouvé de nombreux
défenseurs (Bell & Demopoulos 1993; Burgess 1993; Heck & Stan-
ley 1993). Hintikka et Sandu donnent ici la réplique à ceux-ci dans
une postface inédite dans laquelle ils produisent de nouveaux ar-
FREGE AUJOURD'HUI 13
guments en faveur de leur thèse. Pour des raisons d'espace, nous
ne pouvions présenter un texte défendant Frege tel que celui de
Richard Heck et Jason Stanley. Il nous faut donc encore une fois
laisser de côté notre devoir d'impartialité afin de présenter suc-
cinctement quelques uns de leurs arguments, de manière à éviter
que le lecteur tombe dans le piège d'une condamnation facile de
Frege. Pour démontrer que celui-ci a adopté une interprétation non-
standard, il faut en somme montrer qu'il limite la portée des
quantificateurs du second ordre, donc montrer qu'il pensait
qu'aucune fonction ne correspond à certaines classes de P(do(M)).
On ne retiendra ici que deux arguments de Hintikka et Sandu. Ils
soutiennent d'abord que Frege serait contraint, par ses explications
de la notion de fonction dans son article « Qu'est-ce qu'une fonc-
tion ? », d'adopter un point de vue selon lequel une fonction doit
avoir une expression linguistique, c'est-à-dire une expression du
genre « x2 + 3x » qui exprimerait la loi de corrélation des argu-
ments avec les valeurs d'une fonction. Ceci aurait pour effet de ne
pas reconnaître l'existence de fonctions arbitraires, c'est-à-dire de
fonctions pour lesquelles il ne peut y avoir une telle expression
linguistique. Pour Heck et Stanley, il s'agit là d'une méprise sur le
sens de la discussion de Frege, qui ne pose pas la question de l'exis-
tence des fonctions mais bien la question « Qu'est-ce qu'une fonc-
tion ? » et qui y répond en ne disant simplement que ceci : une
fonction est quelque chose de non-saturé. Cette réponse indique
bien que pour Frege ce n'est pas l'existence d'une expression qui
donnerait la loi de corrélation qui compte mais bien que pour qu'une
entité quelconque soit une fonction, cette entité doit prendre des
argument et avoir des valeurs. La nature d'une fonction n'est donc
surtout pas liée à l'existence d'une expression fonctionnelle. De
plus, s'il est clair que pour Frege les fonctions sont le type d'enti-
tés qui sont le référent d'expressions fonctionnelles tout comme
les objets sont le type d'entités qui sont le référent de noms pro-
pres, ce serait se méprendre que de penser qu'il soit contraint à
limiter dans un cas comme dans l'autre la portée de ses
quantificateurs seulement aux entités qui peuvent être dénotées par
les termes de sa théorie.
Pour Hintikka et Sandu, le rejet par Frege de la thèse selon
laquelle la non-contradiction implique la vérité l' a contraint à
l'adoption d'une interprétation non-standard. Leur argument est à
l'effet que l'interprétation standard revient à dire que « pour toute
14 MATHIEU MARION ET ALAIN VOIZARD
classe, il y a un concept dont elle est l'extension », appelons cette
thèse (IS), et que Frege aurait rejeté un principe, appelons-le (P),
du genre « si un énoncé assertant l'existence d'un concept F est
non-contradictoire, alors l'énoncé est vrai (et le concept existe) »,
afin de rejeter (IS). Comme le notent Heck et Stanley, le rejet par
Frege de la thèse selon laquelle la non-contradiction implique la
vérité —ce que personne ne conteste— n'implique pas le rejet de
(P). Cette thèse est bien entendu fausse, tout comme (P), et on a
toutes les raisons de croire que c'est ce que Frege pensait. (C'est
d'ailleurs ce genre de raisonnements que l'on ne maîtrise pas lors-
qu'on interprète Frege comme anti-sémanticien.) L'argument de
Hintikka et Sandu est à ce point insuffisant : puisque de toute fa-
çon la plupart de ceux qui prônent une interprétation standard re-
jettent (P), Frege ne peut pas être contraint à rejeter l'interpréta-
tion standard en rejetant (P). Il faut donc des arguments supplé-
mentaires qui montrent que, tout en rejetant (P), Frege se devait de
rejeter (IS). Le problème c'est qu'on ne trouve pas dans l'oeuvre
de Frege de tels arguments.
George Boolos fut très enthousiasmé par l'idée de ce vo-
lume et proposa immédiatement d'y publier l'inédit « Gottlob Frege
et les fondements de l'arithmétique »; le premier que nous reçû-
mes. Les inévitables délais de ce genre d'entreprise firent que
George Boolos n'eut pas la chance de voir paraître ce qui devait
être son premier article en français. En effet, il succomba à une
terrible maladie au printemps 1996. George Boolos était non seu-
lement était un ami de la majorité des collaborateurs de ce volume,
pour qui sa mort prématurée fut douloureusement ressentie, mais
il était aussi un logicien de renommée internationale, un grand
philosophe de la logique et des mathématiques ainsi qu'un inter-
prète de Frege hors-pair. Ses travaux sur Frege sont un modèle.
C'est pourquoi nous avons jugé bon de reproduire la brève notice
de Warren Goldfarb, « En mémoire de George Stephen Boolos.
1940-1996 », qui donnera au lecteur une idée de l'ampleur et de
l'importance de ses travaux. Ce volume est dédié à sa mémoire.
FREGE AUJOURD 'HUI 15
Nous aimerions remercier chaleureusement nos traducteurs pour
leur excellent travail: Lionel Perrin pour les textes de G. Boolos, R. Heck,
C. Wright, J. Hintikka et G. Sandu, S. Shieh, J. Floyd et W. Goldfarb; et
Patrice Philie pour le texte de M. Dummett. Nous aimerions aussi remer-
cier la Faculté des Arts de l'Université d'Ottawa pour une gracieuse aide
financière, qui a permis la réalisation de cet ouvrage, ainsi qu'Isabelle
Quentin de L'Harmattan, pour sa patience. Nous remercions aussi Pierre
Poirier et Dominic Forest, tous deux étudiants au Département de philo-
sophie de l'Université du Québec à Montréal, qui se sont chargé de la
mise en page.
Le texte de W. Goldfarb, «In Memoriam: George Stephen Boolos
1940-1996», paru pour la première fois dans The Bulletin of Symbolic
Logic, volume 2, n. 4, 1996, pp. 444-447 (01996, Association of Symbolic
Logic), paraît ici en traduction avec l'aimable autorisation de l'Associa-
tion of Symbolic Logic. «Field and Fregean Platonism» de C. Wright a
paru dans A. D. Irvine dir., Physicalism in Mathematics, Dordrecht-Lon-
dres-Boston, Kluwer Academie Publishers, 1990, pages 74-93 (01990,
Kluwer Academie Publishers). Il paraît ici avec l' aimable autorisation de
Kluwer Academie Publishers. M.A.E. Dummett « The Context Principle:
Centre of Frege's Philosophy », paru dans Ingolf Max et Werner Stelzner
(dir.), Logik und Mathematik, Frege-Kolloquium Jena 1993, PAP5, Wal-
ter de Gruyter, Berlin, en 1995, pages 3-19 (01995, Walter de Gruyter).
11 paraît ici avec l'aimable authorisation de Walter de Gruyter. J. Hintikka
& G. Sandu, «The Skeleton in Frege's Cupboard : The Standard versus
Nonstandard Distinction» a pour sa part été publié dans Journal of
Journal of Philosophy). Il Philosophy 89, 1992, pages 290-315 (01992,
paraît aussi avec l'aimable autorisation des editors du Journal of
Philosophy. Enfin, le texte de G. Boolos, «Gottlob Frege and the
Logic, Logic, Foundations of Mathematics», à paraître dans G. Boolos,
and Logic, Cambridge (Mass.): Harvard University Press, 1998, pages
175-189 (01998, Harvard University Press) paraît avec l'aimable autori-
sation de Harvard University Press.
Gottlob Frege et les fondements de
l'arithmétique
George Boolos
De l'avis général, le philosophe et mathématicien allemand
Gottlob Frege (1848-1925) est avec Kurt Gôdel, l'un des deux plus
grands logiciens ayant vécu depuis Aristote. On s'accorde ainsi de
nos jours à lui reconnaître la paternité de la logique moderne : il
fut en effet, entre autres, le premier à explorer les fondements logi-
ques des mathématiques ainsi qu'à créer un système déductif de
logique formelle.
Mais c'est aussi dans le système logique de Frege que Bertrand
Russell découvrit la contradiction à laquelle on donne aujourd'hui
le nom de paradoxe de Russell. J' aborderai ce paradoxe, à savoir
celui de l'ensemble des ensembles qui ne se contiennent pas eux-
mêmes, plus en détail au cours de cet article mais je veux ici com-
mencer par évoquer les conséquences regrettables qu'eût la dé-
couverte de ce paradoxe. Frege en effet, lorsqu'il prit la pleine
mesure du paradoxe de Russell, crut en arriver à la conclusion que
celui-ci sapait les fondements mêmes de son système logique. Or
il est apparu, au cours des cinq dernières années, que Frege avait
grandement sous-estimé le travail qu'il avait accompli. C'est pour-
quoi j'aimerais ici rappeler quel était le projet de ce grand philoso-
phe et souligner l'importance fondamentale d'une de ses décou-
vertes, récemment mise au jour par la communauté philosophique,
et dont, malheureusement, il ne fut lui-même jamais conscient.
Le champ d'intérêt philosophique de Frege fut certes restreint.
Contrairement à des philosophes tels qu' Aristote, Hume ou Kant,
il n'écrivit rien dans le domaine de l'éthique ou de la philosophie
politique. Mais il n'en demeure pas moins que l'on puisse être un
grand philosophe sans s'être intéressé à la « théorie des valeurs » : 18 GEORGE BOOLOS
Descartes n'écrivit rien sur le sujet et Leibniz, tout comme
Wittgenstein, ne s'y intéressèrent qu'accessoirement. Bien que les
écrits de Frege soient peu nombreux (trois livres et moins d'une
trentaine d'articles) et que son champ d'étude soit des plus res-
treints, il n'en demeure pas moins, et ce malgré la fin malencon-
treuse de sa carrière académique, que la profondeur, l'originalité
et la rigueur de son travail en font l'égal, dans le panthéon philoso-
phique, de Descartes, Leibniz ou Kant.
Le seul domaine de la philosophie qui intéressait Frege était la
logique, ce qui comprend la logique formelle et les philosophies
des mathématiques et du langage. Si ses travaux dans le domaine
de la philosophie du langage sont aujourd'hui l'objet d'une étude
approfondie et fructueuse de la part de nombreux philosophes du
langage et linguistes, le fait est que ceux-ci ne furent, d'une cer-
taine façon, que des extrapolations de ses recherches dont le prin-
cipal objet demeurait la relation existant entre logique et mathé-
matiques.
Le premier ouvrage de Frege, publié en 1879, ne comprenait
que quatre-vingt-huit pages et s'intitulait Begesschrift, que l'on
peut traduire par « notation conceptuelle » ou « idéographie ». Il
est aisé de comprendre, lorsqu'on jette un coup d'oeil à une page
de cet ouvrage, pourquoi celui-ci, qui ne ressemblait en rien à ce
qui avait été publié jusqu'alors, fut négligé lors de sa sortie. Il dut
en effet être difficile, en l'état des choses et pour les contempo-
rains de Frege, de décider si ce livre était l'oeuvre d'un génie ou
d'un doux rêveur...
Il n'en reste pas moins que la Begriffsschrift est le premier
ouvrage à proposer un système de notation logique formel et que
sa notation n'est, somme toute, pas si difficile à comprendre. Con-
trairement aux langages formels qui lui succédèrent, le langage de
Frege utilisait une notation bidimensionnelle arborescente : le sym-
bolisme linéaire et la notation couramment utilisés de nos jours (
pour « non », --> pour « si... alors... » et Vx pour « pour tout x »)
dérivent, quant à eux, de ceux inventés par Russell et Peano. Ainsi
Frege écrivait-il A ---> B (si A alors B) sous la forme suivante :
A
GOTTLOB FREGE 19
(Peut-être Frege voulait-il par ce symbolisme souligner que A
est l'hypothèse sur laquelle repose B).
De même, « Non-A » s' écrit :
A
et « Pour tout x » :
—v ..c - )—
B » (« Ainsi « aucun A n'est pour tout x, si x est un A, alors x
n'est pas un B » se note :
Be)
A(x)
Contrairement à la notation conventionnelle, le symbolisme bi-
dimensionnel de Frege permet de visualiser clairement la structure
d'un énoncé. « Faciliter le travail du typographe n'est assurément
pas le summum bonum » écrivit-il.
Mais, quand bien même les pages de ce livre ressembleraient à
du papier peint, il n'en demeure pas moins que le propos de Frege,
est clairement philosophique. dans la Begriffsschrift,
Le problème philosophique qui intéressa principalement Frege
était celui de la justification des mathématiques. Ce problème peut
être expliqué au moyen d'un exemple. Appelons le père de x, le
père du père de x, le père du père du père de x, etc. les ancêtres de
x. (Nous tenons ici pour acquis qu'une personne n'a, au plus, qu'un
père). Soient y et z deux différents ancêtres de x. II n'est pas néces-
saire de cogiter trop longtemps pour comprendre que, soit z est un
ancêtre de y, soit y est un ancêtre de z.
x --> le père de x --> le père du père de x --> ... -->
l'un de y et z ... —> l'autre de y et z
[x --> le père de x --> le père du père de x —› ... —4]
l'un de y et z ... --> l'autre de y et z
l'un de y et z ... --> l'autre de y et z
Il est évident, au regard du schéma précédent, que si y et z sont
alors l'un des deux est l'ancêtre de l'autre. Mais des ancêtres de x,
de tels schémas sont-ils utiles en mathématiques? Avons-nous vrai-
ment besoin de voir un quelconque schéma, sur un tableau, une
20 GEORGE BOOLOS
page ou dans notre esprit, pour être à même d'affirmer que, de
deux ancêtres de x, l'un doit être l'ancêtre de l'autre? (Bien que cet
énoncé utilise la notion, somme toute peu mathématique, de pater-
nité, il est dans sa formulation tout aussi mathématique que l'as-
sertion qui veut que si y et z sont deux entiers positifs distincts,
alors y est inférieur à z ou z est inférieur à y).
Kant considérait que de telles « intuitions » mentales sont né-
cessaires si l'on veut être à même de pouvoir justifier des vérités
mathématiques autres que les vérités élémentaires du genre « 12 =
12 ». Ce sont de telles « images » mentales qui, d'après Kant, nous
permettent de justifier, et même simplement d'affirmer, la vérité
de tout énoncé qui ne soit pas une identité. Ce modèle kantien, qui
veut que l'on fasse appel à certains processus psychologiques afin
de justifier les mathématiques, influença profondément, au ving-
tième siècle, les travaux de mathématiciens tels que David Hilbert,
L. E. J. Brouwer et Kurt Gôdel.
Begriffschrift, à démontrer Frege, quant à lui, chercha, par la
que la logique pouvait se substituer à l'intuition au sens kantien
pour ce qui est de justifier des énoncés tels que celui relatif aux
ancêtres. Frege affirmait que l'on pouvait définir le concept « an-
cêtre » à partir du concept « père » de façon purement logique et
qu'il était ainsi possible de démontrer, en n'utilisant que la logique
et sans recourir à de quelconques images intuitives, que, étant don-
nés deux ancêtres d'une même personne, l'un est l'ancêtre de
l'autre. Pour ce faire, il lui fallait prouver que l'on pouvait démon-
trer la vérité d'un tel énoncé sans recourir à aucun présupposé dont
la vérité, ne pouvant être garantie de façon purement logique, dut
être garantie par une image mentale. C'est afin de prouver que
tous les présupposés de ses démonstrations étaient de façon évi-
dente des présupposés logiques que Frege conçut son langage for-
mel. Et c'est ainsi que l' on en vint, Frege ayant prouvé que de tels
énoncés mathématiques pouvaient être démontrés de façon rigou-
reuse grâce au système introduit par la Begreschrift, à sérieuse-
ment remettre en question la conception kantienne des mathémati-
ques. L'intuition, en effet, s'avérait inutile dans de nombreux cas
où Kant et d'autres l'avaient crue indispensable.
C'est durant, ou peu après, la rédaction de la Begresschrift
que Frege en arriva à la conclusion que l'ensemble des mathémati-
ques devait pouvoir être, de la même façon, réduit à la logique. À
savoir que des concepts mathématiques tels que, entre autres, celui
GOTTLOB FREGE 21
de nombre entier, d'addition, de multiplication et de nombres réels
ainsi que les notions élémentaires de l'analyse pouvaient être défi-
nis en termes purement logiques et, de même, que les propositions
mathématiques pouvaient être démontrées à partir de ces défini-
tions en utilisant la seule logique. On a, par la suite, donné à cette
approche des mathématiques le nom de « logicisme ». Convaincu
que le développement rigoureux du calcul entrepris par Cauchy,
Weierstrass et d'autres avait permis de démontrer que l'ensemble
des mathématiques pouvait être réduit à l'arithmétique, Frege con-
centra ses recherches sur les moyens de démontrer que l'arithméti-
que des nombres naturels (les entiers non négatifs 0, 1, 2, ...) pou-
vait être exprimée en termes purement logiques et publia, à cet
effet, un court ouvrage de cent vingt pages.
Les Fondements de l'arithmétique furent publiés en 1884. La
première moitié de cet ouvrage est consacrée à un sévère examen
des écrits de différents philosophes et mathématiciens s'étant inté-
ressés au concept de nombre. Frege, dans sa critique, n'est pas
tendre. Si quelques-uns de ses prédécesseurs (Leibniz, Hume) trou-
vent grâce à ses yeux, il est sans pitié pour la plupart de ses con-
temporains. Mais le sort réservé à Frege lui-même sera pire en-
core. Dans la seconde moitié de l'ouvrage, Frege expose sa propre
approche « logiciste » des mathématiques.
Les Fondements, que peu de Le fait que l'on ne trouve, dans
symboles mathématiques ne doit pas faire oublier au lecteur que
cet ouvrage n'en demeure pas moins, pour autant, et pour l'essen-
tiel, un ouvrage de mathématiques. Il s'agit bien sûr, aussi, d'un
ouvrage de philosophie mais, comme l'oeuvre de Frege le démon-
tre clairement, il n'existe pas de ligne de démarcation particulière
entre mathématiques et philosophie. Il s'agissait, pour lui, de dé-
montrer que les propositions mathématiques, une fois traduites en
termes logiques, peuvent être dérivées d'axiomes logiques et cela
de façon purement logique : une telle entreprise relève sans con-
tredit de la mathématique. Il lui fallait, pour la mener à bon terme,
fournir la preuve rigoureuse des affirmations dont il n'avait fait,
Les Fondements de l'arithmétique, qu'esquisser la démons-dans
tration. Ce qui nécessitait qu'il développât, dans le système formel
de la Begnifsschrift, une partie non négligeable des mathémati-
ques.
22 GEORGE BOOLOS
Les Fondements : le C'est à quoi il s'attela après avoir achevé
parut premier volume des Lois fondamentales de l'arithmétique
en 1893, le second en 1903.
Alors qu'il achevait, à la mi-juin 1902, le second volume des
Lois fondamentales, Frege reçut par la poste une lettre d'un logi-
cien anglais, alors inconnu, dénommé Bertrand Russell. En moins
de deux pages, Russell lui démontrait que l'une de ses Lois fonda-
mentales, à savoir la loi V, entraînait un énoncé contradictoire de
la forme p et non-p.
La contradiction est, en logique, fatale. Non seulement un
énoncé de la forme p-et-non-p ne peut-il être, en aucun cas, vrai
mais, de plus, on peut déduire d'un tel énoncé p-et-non-p n'im-
porte quel énoncé q, « La lune est faite de fromage vert » par exem-
ple. Car si p-et-non-p, alors p et donc p-ou-q. Par ailleurs, si p-et-
non-p, alors non-p. Mais de non-p et p-ou-q, on déduit q. Ainsi, si
la neige est blanche et la neige n'est pas blanche, alors la lune est
faite de fromage vert. Donc, si l'on peut dériver d'un axiome une
contradiction, on peut alors aussi en dériver n'importe quel énoncé,
vrai ou faux. Et c'est exactement ce que démontrait la lettre de
Russell, à savoir qu' à partir des lois fondamentales de Frege, il
était possible de dériver immédiatement toutes sortes de proposi-
tions mathématiques, tant vraies que fausses, et non pas ces seules
vérités à la dérivation desquelles Frege avait consacré plus de quinze
ans de sa vie.
Cette lettre eut sur Frege un effet désastreux. « Il est difficile
d'imaginer qu'il puisse arriver quelque chose de plus malencon-
treux à un auteur scientifique », écrivit-il plus tard, « que le fait
qu'un des fondements de son édifice s'avère ébranlé alors que son
ouvrage vient d'être achevé ». Répondant immédiatement à Rus-
sell (les deux lettres n'ont que six jours d'écart), il reconnut que, si
ce défaut ne pouvait être éliminé, son entreprise était ruinée. Après
avoir travaillé à résoudre le problème, Frege ajouta au second vo-
lume des Lois fondamentales un appendice où il examinait en dé-
tail la découverte de Russell et proposait l'esquisse d'une possible
solution. Russell lui-même crut un certain temps que Frege avait
résolu la contradiction. Il écrivit ainsi, dans son Principles of
Mathematics, « Il semble très probable que ce soit la bonne solu-
tion, aussi recommanderai-je fortement au lecteur d'examiner l'ex-
plication qu'en donne Frege ».
GOTTLOB FREGE 23
p-et-non-p
P
non-p I
p- ou- q
Tous deux se trompaient : l'axiome que Frege se proposait d'y
substituer ne permettait pas d'obtenir le résultat escompté. Il ne
constituait pas en soi un énoncé contradictoire mais entrait en con-
tradiction avec le truisme qui veut qu'il existe au moins deux nom-
bres différents, un énoncé que le nouvel « axiome » de Frege se
devait de ne pas réfuter. Frege et Russell durent admettre, peu après
la publication de leur livre respectif, que le nouvel axiome ne sa-
tisfaisait pas aux conditions requises.
Deux des principales qualités de l'oeuvre philosophique de
Frege sont sa grande précision et sa grande clarté qui l'ont, mal-
heureusement, rendue vulnérable à des objections telles que celle
formulée par Russell. Cette dernière marqua d'ailleurs plus ou
moins la fin de sa carrière. Frege publia encore quelques articles
mais plus aucun ouvrage consacré à ce qui avait été le projet de sa
vie, à savoir démontrer que l' arithmétique pouvait être réduite à la
logique. Frege, à la fin de sa vie, envisagea que l' arithmétique pou-
vait peut-être trouver son fondement dans la géométrie mais il ne
développa jamais cette ligne de pensée de façon détaillée.
On pourra mieux comprendre la portée de la contradiction dé-
couverte par Russell au moyen d'un exemple : parmi les très nom-
breux livres répertoriés dans le Books in Print se trouve le Books
in Print lui-même. À l'inverse, le catalogue de MIT Press, une
publication de MIT Press, n'est pas répertorié dans ses propres
pages. Ainsi certains catalogues sont répertoriés dans leurs pro-
pres pages et d'autres ne le sont pas. Mais aucun catalogue ne ré-
24 GEORGE BOOLOS
pertorie tous les catalogues, et uniquement les catalogues, qui ne
sont pas répertoriés dans leurs propres pages : si le catalogue C
répertorie tous les catalogues qui ne sont pas répertoriés dans leurs
est répertorié dans ses propres pages (car si propres pages, alors C
n'est pas répertorié dans ses propres pages, et puisque C réper-C
torie tous les catalogues qui ne sont pas répertoriés dans leurs pro-
est répertorié dans les pages de C.) Mais, puisque C pres pages, C
est répertorié dans ses propres pages, il ne répertorie pas unique-
ment les catalogues qui ne sont pas répertoriés dans leurs propres
pages. S'il répertorie tous les catalogues non répertoriés dans leurs
propres pages, il ne répertorie pas uniquement les catalogues non
répertoriés dans leurs propres pages. Aucun catalogue ne réperto-
rie donc tous les catalogues, et uniquement les catalogues, qui ne
sont pas répertoriés dans leurs propres pages.
Aucun barbier ne rase tous les barbiers, et uniquement les bar-
biers, qui ne se rasent pas eux-mêmes. Si Figaro rase tous les bar-
biers qui ne se rasent pas eux-mêmes, alors Figaro se rase lui-même
(s'il ne le fait pas, il le fait) et donc Figaro ne rase pas uniquement
les barbiers qui ne se rasent pas eux-mêmes.
Le problème découvert par Russell dans les Lois fondamenta-
les de Frege est que, par le biais de définitions exactes, on pouvait
démontrer que (p) un certain ensemble contient tous les ensem-
bles, et uniquement les ensembles, qui ne se contiennent pas eux-
mêmes. En utilisant la seule logique, on peut aisément démontrer,
comme on pourrait très certainement le faire en utilisant les Lois
fondamentales de Frege, que (non-p) aucun ensemble ne contient
tous les ensembles, et uniquement les ensembles, qui ne se con-
tiennent pas eux-mêmes, tout comme aucun barbier ne rase tous
les barbiers, et uniquement les barbiers, qui ne se rasent pas eux-
mêmes. On peut ainsi démontrer, dans le système de Frege, une
contradiction de la forme p-et-non-p.
Il est à noter que, bien que la logique nous contraigne à admet-
tre qu'un tel ensemble ne puisse exister, il peut nous sembler hau-
tement surprenant que tel ne soit pas le cas. Car il existe assuré-
ment un certain nombre d'ensembles qui ne se contiennent pas
eux-mêmes. L'ensemble des nombres pairs en est un exemple à
savoir l'ensemble des nombres pairs n'est pas un nombre pair et
donc ne se contient pas lui-même. L'ensemble des êtres humains
en est un autre car il n'est pas un être humain. Intéressons-nous
maintenant plus particulièrement à ces ensembles qui ne se con-
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tiennent pas eux-mêmes : l'ensemble des nombres pairs, l'ensem-
ble des êtres humains, etc. Ne Dorr-IL pas exister une chose telle
que la réunion, la totalité de toutes ces choses que nous avons com-
mencé de répertorier, à savoir ces ensembles qui ne se contiennent
pas eux-mêmes? Et une réunion, une totalité n'est-elle pas, d'une
certaine façon, la même chose qu'un ensemble? Comment NE PEUT-
IL PAS exister un ensemble qui contienne tous les ensembles, et uni-
quement les ensembles, qui ne se contiennent pas eux-mêmes?
On pourrait être tenté de dire que, s'il n'existe pas d'ensemble
qui ne contienne que les ensembles qui ne se contiennent pas eux-
mêmes, il existe une union de ces ensembles. Mais n'existe-t-il
pas alors une union contenant toutes les unions, et uniquement les
unions qui ne se contiennent pas elles-mêmes? Il est de fait impos-
sible de résoudre ce paradoxe en se contentant de substituer un
mot à un autre. (Le mathématicien allemand Ernst Zermelo remar-
qua, lui aussi, cette contradiction logique, et adressa à David Hil-
bert une lettre à ce sujet. Il ne faut pas croire que, sans Russell,
nous continuerions à nous bercer d'illusions.)
La formulation que donna Russell de ce paradoxe est de loin la
plus connue. Celle que Frege examine dans l'appendice des Lois
fondamentales est cependant plus intéressante car elle permet de
mieux comprendre la découverte de Frege que j'ai mentionnée pré-
cédemment.
Frege découvrit que l'arithmétique pouvait être dérivée d'un
seul axiome qui, comme c'est toujours le cas en logique, possède
la forme d'un truisme. On peut de plus démontrer que le système,
muni de cet axiome, ne renferme aucune contradiction. (Ou, plus
prudemment, que s'il se révélait en contenir une, cela constituerait
assurément la découverte la plus inattendue de l'histoire des ma-
thématiques.) Cette découverte fut cependant totalement éclipsée,
tant à nos yeux qu'à ceux de Frege lui-même, du fait que le para-
doxe de Russell semblait rendre caduque l'ensemble du travail de
formalisation accompli par Frege.
Afin d'expliquer en quoi consiste la découverte de Frege, il me
faut expliciter certaines des idées directrices de son second livre
« en prose », à savoir Les Fondements de l'arithmétique.
On trouve, dans les Fondements, trois notions fondamentales :
celles d'objet, de concept et d'extension. Il est difficile d'expli-
quer ce qu'est un objet autrement qu'en disant qu'il s'agit d'une
chose mais que cette chose n'est pas nécessairement physique ou