Mathématiques et frontières

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Gabriel Baudrand professeur agrégé de mathématiques s'intéresse au thème de la frontière. La perception commune du mathématicien est celle d'un technicien enfermé dans son monde, qui dresse une frontière entre son activité et le reste de la vie. Le formalisme de cette science entretient cette frontière alors que paradoxalement les mathématiques sont partout et que le concept même de frontières est mathématique. Autant de pistes de réflexions que l'auteur nous invite à explorer.
Publié le : mardi 1 décembre 2015
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EAN13 : 9782336397641
Nombre de pages : 106
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Gabriel Baudrand
Mathématiques & frontières
Série RETINA Collection Eidos
Mathématiques & frontières
ème Ce livre est le 71 livre de la
dirigée par François Soulages & Michel Costantini Comité scientifique international de lecture Argentine(Silvia Solas, Univ. de La Plata), (Alberto Olivieri, Univ. Fédérale de Bahia,),Bulgarie(Ivaylo Ditchev, Univ. de Sofia St Clément d’Ohrid),Chili(Rodrigo Zuniga, Univ. du Chili, Santiago),Corée du Sud(Jin-Eun Seo (Daegu Arts University, Séoul),Espagne(Pilar Garcia, Univ. Sevilla),France(Michel Costantini & François Soulages, Univ. Paris 8),Géorgie(Marine Vekua, Univ. de Tbilissi), Grèce(Panayotis Papadimitropoulos, Univ. d’Ioanina),Japon(Kenji Kitamaya, Univ. Seijo, Tokyo), Hongrie(Anikó Ádam, Univ. Pázmány Péter, Egyetem),Russie(Tamara Gella, Univ. d’Orel),Slovaquie(Radovan Gura, Univ. Matej Bel, Banská Bystrica),Taïwan(Stéphanie Tsai, Unv. Centrale de Taiwan, Taïpei) Série RETINA3 François Soulages (dir.),La ville & les arts11 Michel Gironde (dir.),Les mémoires de la violence 12 Michel Gironde (dir.),Méditerranée & exil. Aujourd’hui13 Eric Bonnet (dir.),Le Voyage créateur 14 Eric Bonnet (dir.),Esthétiques de l’écran. Lieux de l’image 17 Manuela de Barros,Duchamp & Malevitch. Art & Théories du langage 18 Bernard Lamizet,L'œil qui lit. Introduction à la sémiotique de l'image 30 François Soulages & Pascal Bonafoux (dir.),Portrait anonyme 31 Julien Verhaeghe,Art & flux. Une esthétique du contemporain 35 Pascal Martin & François Soulages (dir.),Les frontières du flou36 Pascal Martin & François Soulages (dir.),Les frontières du flou au cinéma37 Gezim Qendro,Le surréalisme socialiste. L’autopsie de l’utopie38 Nathalie ReymondÀ propos de quelques peintures et d’une sculpture39 Guy Lecerf,Le coloris comme expérience poétique40 Marie-Luce Liberge,Images & violences de l'histoire41 Pascal Bonafoux, Autoportrait. Or tout paraît42 Kenji Kitayama,L'art, excès & frontières43 Françoise Py (dir.),reenoptsm-doemsiréitralàanmDu 44 Bernard Naivin,Roy Lichtenstein, De la tête moderne au profil Facebook 48 Marc Veyrat,La Société i Matériel. De l’information comme matériau artistique, 1 49 Dominique Chateau,Théorie de la fiction. Mondes possibles et logique narrative 51 Patrick Nardin,Effacer, Défaire, Dérégler... entre peinture, vidéo, cinéma e 55 Françoise Py (dir.),Métamorphoses allemandes & avant-gardes au XX siècle 56 François Soulages & Sandrine Le Corre (dir.),Les frontières des écrans 57 Agathe Lichtensztejn,Le selfie aux frontières de l’egoportrait 58 François Soulages & Alejandro Erbetta (dir.),Frontières & migrations60 François Soulages & Aniko Adam (dir.),Les frontières des rêves 61 M. Rinn & N. Narváez Bruneau (dir.),L’Afrique en images.62 Michel Godefroy,Chirurgie esthétique & frontières de l’identité 63 Thierry Tremblay,Frontières du sujet. Une esthétique du déclin 64 Stéphane Kalla Karim,Les frontières du corps & de l'espace. La métaphysique de Newton65 Marc Veyrat,Never Mind, De l’information comme matériau artistique, 2 66 Vladimir Mitz,La transgression des frontières du corps. La chirurgie esthétique 67 Bernard Salignon,Frontières du réel. Où l’espace espace 68 Dominique Chateau,L’art du fragment. Frontières apparentes & frontières souterraines69 Pierre Kœst,Aux frontières de l’Humain. Essai sur le transhumanisme 70 Aniko Adam,Du vague des frontières. Espaces, littératures & langues 71 Gabriel Baudrand,Mathématiques & frontières Suite des livres publiés dans la CollectionEidosà la fin du livre Publié avec le concours de
Gabriel Baudrand Mathématiques & frontières
ème Ce livre est le 49 de
Sous la direction de François Soulages FONDEMENTS DES FRONTIÈRES géoartistiques & géopolitiques, géoesthétiques & géothéoriques François Soulages (dir.),Géoartistique & Géopolitiques. Frontières,Paris, L’Harmattan, Coll. Local & Global, 2012 Gilles Rouet & François Soulages (dir.),Frontières géoculturelles & géopolitiques,Paris, L’Harmattan, Coll. Local & Global, 2013 Gilles Rouet (dir.),Quelles frontières pour quels usages ?,Paris, L’Harmattan, Coll. Local & Global, 2013 François Soulages (dir.),& frontières. Arts, cultures & politiques Mondialisation , Paris, L’Harmattan, Coll. Local & Global, 2014 Éric Bonnet & François Soulages (dir.),Lieux & mondes. Arts, cultures & politiques,Paris, L’Harmattan, Coll. Local & Global, 2015PROBLÈMES des Frontières géoartistiques & géopolitiques François Soulages (dir.),Biennales d’art-contemporain & frontières,Paris, L’Harmattan, coll. Local & Global, 2014 Benoît Blanchard,Circulations & frontières. La Polynésie des Biennales, Paris, L'Harmattan, coll.Local & Global, 2015 Pedro San Ginès & François Soulages (dir.),Fronteras, Conflictos & Paz, Granada, Edición de la Universidad de Granada, Colección Eirene Instituto de la Paz y los Conflictos, 2014 Pedro San Ginès & François Soulages (dir.),Frontières, Conflits & Paix, Granada, Edición de la Universidad de Granada, L’Harmattan, Colección Eirene Instituto de la Paz y los Conflictos, 2014 François Soulages, Alejandra Niedermaier & Alejandro Erbetta (dir.),La experiencia fotográfica en diálogo con las experiencias del mundo, Buenos Aires, Cuaderno 59, 2015 François Soulages & Alejandro Erbetta (dir.),Frontières & migrations. Aller-retour géoartistiques & géopolitiques, (dir.), Paris, L'Harmattan, coll.Eidos, série RETINA, 2015 François Soulages & Sandrine Le Corre (dir.),Les frontières des écrans, Paris, L’Harmattan, Coll.Eidos, Série RETINA, 2015 Suite des titresFrontièresà la fin du livre © L’Harmattan, 2015 5-7, rue de l’Ecole-Polytechnique, 75005 Paris . http://www.harmattan.fr diffusion.harmattan@wanadoo.fr ISBN : 978-2-343-07951-6 EAN : 9782343079516
Introduction La perception commune du mathématicien est celle d’un technicien enfermé dans son monde, coupé des préoccupations communes, et qui dresse une frontière entre son activité et le reste de la vie. Il est vrai que, en retour, le mathématicien se retrouve isolé en son pays. Le formalisme impliqué par cette science ne facilite pas la communication. Cela est paradoxal, dans la mesure où les mathématiques sont partout, et façonnent notre monde contemporain dans ses aspects les plus emblématiques. Le thème de la frontière, fil conducteur de ce chantier de recherche internationale, est peut-être une occasion de tenter de rétablir une communication, de donner des pistes pour une réflexion commune, en commençant par tenter de cerner ce que les mathématiques – il faudrait dire, plus exactement, un modeste professeur de mathématiques – ont à dire sur ce thème de la frontière. Il se trouve que la frontière est un concept mathématique, et plus exactement un concept topologique. Dans unpremier chapitre, nous explicitons ce concept, sans aucun formalisme, mais en nous
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efforçant d’éviter tout à-peu-près trompeur. Il m’a paru intéressant au plus haut point de confronter la définition mathématique de la frontière et les usages courants de ce mot. Force est de constater qu’il n’y a pas de rupture, pas de contradiction, et que si le choix du mot « frontière » pour désigner un être mathématique précis, est arbitraire, il n’est néanmoins pas dû au hasard, et que le choix ainsi fait a été fort judicieux. En effet, l’utilisation que l’on fait de ce mot, et de son environnement (ouvert, fermé, intérieur, extérieur...) en mathématiques, trouve une résonance frappante dans l’utilisation courante des mêmes mots. Il y a un effet en retour, unfeedback: le mathématicien emprunte un mot au langage courant, mais l’utilisation qu’il en fait éclaire et enrichit la signification courante du mot en question. Du moins est-ce le cas, nous semble-t-il, pour lafrontière. La frontière mathématique par excellence nous semble être la fractale, l’objet fractal, tel que le concept en a été dégagé essentiellement par Benoît Mandelbrot, et c’est l’objet de notredeuxième chapitre.Dans son ouvrageLes objets fractals, Mandelbrot pose la question « Quelle est la longueur des côtes de Bretagne ? ». On voit le lien avec la problématique de la frontière. Ici nous définirons et étudierons des objets mathématiques fractals (ensembles de Julia, ensemble de Mandelbrot) sans nous soucier d’applications concrètes. Nous nous sommes efforcé ici aussi d’exposer les choses exactement, mais avec le minimum de formalisme et de notations. Cela passe par quelques inévitables répétitions et redondances. À travers cette étude, la frontière nous apparaît comme étant le lieu de cristallisation des contradictions, tensions, complexités, quand on répète (itération) un grand nombre de fois un certain processus (transformation) à tous les éléments d’un certain 6
substrat. Il est possible que cela ne soit pas sans intérêt pour d’autres aspects du savoir possible sur la frontière. Letroisième chapitre est de nature un peu différente. Les mathématiques y sont vues comme franchissement de frontières, non pas mathématiques, mais épistémologiques. Le sujet est immense, et on pourrait, je pense, écrire l’histoire entière des mathématiques sous cet angle. Ce franchissement de frontière se fait sous la pression de qu’on pourrait appeler le réel, et qui est, en mathématiques comme en d’autres sciences, d’après Deleuze, l’épanouissement maximum d’un mode opératoire, d’un fonctionnement. Nous décrivons trois exemples : franchissement de la frontière de la significationmode (le opératoire « élévation à la puissance » abolit tout en la conservant la signification homonyme) ;franchissement de la frontière de la représentationmode opératoire (le géométrique aboutit à une représentation nécessaire d’êtres géométriques qui échappent à toute possibilité de visualisation) ; et enfinfranchissement de la frontière de la Création, où il nous semble que le mathématicien inspiré peut rejoindre quelquefois la puissance du geste du Créateur. Nous nous sommes efforcé tout au long de l’ouvrage de rester à un niveau formel élémentaire, et d’expliquer toutes les notions utilisées, dès qu’elles sortent d’un cadrea prioriconnu de tous : ensembleNdes nombres entiers, ensembleQ des nombres rationnels, ensembleRdes nombres réels ; opérations élémentaires ; couple, triplet, quadruplet de nombres ou d’ensembles, avec la notation (a;b) par exemple ; coordonnées d’un point dans un repère. Le vocabulaire des ensembles est peut-être moins familier, nous donnons donc ici la définition des éléments utilisés :AetB étant deux ensembles 7
(collections d’objets), la réunion deA etB est l’ensemble des objets qui appartiennent àAà ou B; l’intersection deA etB est l’ensemble des objets qui appartiennent à la fois àAet àB; si tout objet deAappartient àB, on dit queAest inclus dansB, ou que Aune partie, ou un sous-ensemble de est B, et le complémentaire deA dansB, notéB\A, est l’ensemble des objets deB qui n’appartiennent pas à A. Un ensemble discret est un ensemble dont tous les points sont « isolés ». C’est le cas deN, par exemple : entre les entiers naturels 1 et 2, il n’y a pas d’entier naturel intermédiaire.
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Chapitre 1 Définition de la frontière La topologie La topologie est une branche des mathématiques dont l’objet est l’étude des lieux (topos, lieu ;logos, étude), en un sens précis. Il s’agit d’étudier des lieux (figures, formes), donc d’une géométrie, et plus précisément d’étudier les propriétés invariantes de ces lieux quand on leur fait subir une certaine catégorie de transformations (homéomorphismes) : la transformation doit être continue et réversible, et la transformation inverse (qui permet de revenir au point de départ) doit être aussi continue. Mais les distances, les angles peuvent être altérés. Ainsi, un cercle peut être déformé continûment en un triangle, et réciproquement :
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