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Problèmes inverses en imagerie et en vision 2 (Traité Traitement du Signal et de l'Image, IC2)

De
255 pages

La notion de problème inverse est maintenant devenue familière, en particulier dans les domaines de l'imagerie et de la vision par ordinateur. Parmi ces problèmes, on trouve le débruitage, la restauration par déconvolution, la ségmentation, la reconstruction 2D ou 3D en tomographie X ou en imagerie micro-onde, la reconstruction de la surface d'un objet 3D en tomographie X ou à partir de ses ombres, la reconstruction de la surface d'une scène 3D à partir de plusieurs photos satellitaires, mais aussi la construction d'une image haute résolution à partir de plusieurs images de basse résolution (super-résolution), l'estimation de mouvement dans une séquence d'images ou encore la séparation de plusieurs images mélangées par des instruments de sensibilités ou de fonctions de transfert différentes. Tous ces sujets sont présentés dans les divers chapitres de ce livre tout en gardant une même méthodologie de l'inversion sous l'angle déterministe (moindres carrés, régularisation) ou probabiliste (modélisation markovienne et estimation bayésienne).


Avant-propos. Chapitre 7. Super-résolution. Chapitre 8. Reconstruction des surfaces en tomographie. Chapitre 9. Approche bayésienne en imagerie micro-onde. Chapitre 10. Reconstruction 3D à partir des ombrages. Chapitre 11. Séparation d'images. Chapitre 12. Reconstruction stéréo. Chapitre 13. Fusion et multimodalité. Index.

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Problèmes inverses en imagerie et en vision 2




































© LAVOISIER, 2009
LAVOISIER
11, rue Lavoisier
75008 Paris

www.hermes-science.com
www.lavoisier.fr

ISBN volume 2 978-2-7462-1999-1
ISBN général 978-2-7462-1997-7


Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une part,
que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce
soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du
Code de la propriété intellectuelle.
Tous les noms de sociétés ou de produits cités dans cet ouvrage sont utilisés à des fins
d’identification et sont des marques de leurs détenteurs respectifs.


Printed and bound in England by Antony Rowe Ltd, Chippenham, September 2009.





Problèmes inverses

en imagerie et en vision 2









sous la direction de

Ali Mohammad-Djafari






















Il a été tiré de cet ouvrage
35 exemplaires hors commerce réservés
aux membres du comité scientifique,
aux auteurs et à l’éditeur
numérotés de 1 à 35

Problèmes inverses en imagerie et en vision 2
sous la direction de Ali Mohammad-Djafari
fait partie de la série TRAITEMENT DU SIGNAL ET DE L’IMAGE
dirigée par Francis Castanié et Henri Maître

TRAITÉS IC2 INFORMATION – COMMANDE – COMMUNICATION
sous la direction scientifique de Bernard Dubuisson

IC2 – Information, Commande, Communication – répond au besoin
de disposer d’un ensemble complet des connaissances et méthodes
nécessaires à la maîtrise des systèmes technologiques.
Conçu volontairement dans un esprit d’échange disciplinaire, IC2
représente l’état de l’art dans les domaines suivants retenus par le comité
scientifique :
Cognition et traitement de l’information
Information et sciences du vivant atique et systèmes d’information
Management et gestion des STIC
Réseaux et télécoms
Signal et Image
Systèmes automatisés
Technologies et développement durable
Chaque ouvrage décrit aussi bien les aspects fondamentaux
qu’expérimentaux. Une classification des différents articles contenus
dans chacun, une bibliographie et un index détaillé orientent le lecteur
vers ses points d’intérêt immédiats : celui-ci dispose ainsi d’un guide
pour ses réflexions ou pour ses choix.
Les savoirs, théories et méthodes rassemblés dans chaque ouvrage ont
été choisis pour leur pertinence dans l’avancée des connaissances ou pour
la qualité des résultats obtenus dans le cas d’expérimentations réelles.




















Liste des auteurs


Andrés ALMANSA Olivier FÉRON
Télécom ParisTech L2S
Paris CNRS-SUPELEC
Gif-sur-Yvette
Laure BLANC-FÉRAUD
CNRS Farid FLITTI
Sophia Antipolis LSIIT
Université de Strasbourg
Stéphanie BRICQ
LSIIT Fabrice HUMBLOT
Université de Strasbourg DxO Labs
Boulogne
Pierre CHARBONNIER
Laboratoire regional André JALOBEANU
des Ponts et Chaussées Centro de Geofísica de Évora
Strasbourg Universidade de Évora
Portugal
Christophe COLLET
LSIIT Ian JERMYN
Université de Strasbourg INRIA
Sophia Antipolis Méditerranée
Julie DELON
LTCI Etienne MÉMIN
Télécom Paris INRIA
Rennes-Bretagne Atlantique
Xavier DESCOMBES
INRIA Ali MOHAMMAD-DJAFARI
Sophia Antipolis Méditerranée L2S
CNRS-SUPELEC
Bernard DUCHÊNE Université Paris Sud 11
L2S Gif-sur-Yvette
CNRS-SUPELEC
Université Paris Sud 11 Laurent MUGNIER
Gif-sur-Yvette ONERA
Châtillon
Jean-Denis DUROU
CMLA-ENS Cachan Patrick PÉREZ
IRIT-Toulouse INRIA
Rennes-Bretagne Atlantique

Wojciech PIECZYNSKI Charles SOUSSEN
CITI CRAN
Télécom SudParis Université Henri Poincaré Nancy 1
Evry Vandœuvre

Hichem SNOUSSI Josiane ZERUBIA
Institut Charles Delaunay INRIA
Université de Technologie de Troyes Sophia Antipolis Méditerranée

Table des matières du premier volume
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
Chapitre 1. Problèmes inverses en imagerie et en vision . . . . . . . . . . . 21
Ali MOHAMMAD-DJAFARI
1.1. Problèmes inverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.1.1. Cas des signaux 1D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.1.2. Modèle de convolution pour la restauration d’image . . . . . . . . 24
1.1.3. Modèle linéaire général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2. Spécificité des problèmes de vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2.1. Débruitage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.2.2. Segmentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.2.3. Détection de contours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2.4. Restauration ou reconstruction en vision . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3. Modèles pour les grandeurs dépendant du temps . . . . . . . . . . . . . 32
1.4. Problèmes inverses avec entrées multiples et sorties multiples . . . . . 35
1.4.1. Déconvolution MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.4.2. Super-résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.4.3. Séparation de sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.5. Problèmes inverses non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.5.1. Imagerie micro-onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.6. Reconstructions 3D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.6.1. Reconstruction de la surface d’un objet 3D
à partir de ses radiographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.7. Problèmes inverses avec des observations multimodales . . . . . . . . . 40X Problèmes inverses en imagerie 2
1.7.1. Fusion de données de radiographie X
et d’échographie ultrasonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.8. Classification des méthodes d’inversion :
analytiques ou algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.1. Méthodes d’inversion analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.8.2. Méthodes d’inversion analytiques dans un espace dual . . . . . . 46
1.8.3. Discrétisation en pixels ou en voxels
et inversion algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.9. Méthodes déterministes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9.1. La solution filtre adaptée ou rétroprojection . . . . . . . . . . . . 48
1.9.2. La solution inverse au sens classique . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1.9.3. La solution de norme minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9.4. La solution au sens des moindres carrés (MC) . . . . . . . . . . . 49
1.9.5. La solution régularisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.9.6. Recherche d’un opérateur inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10.Méthodes probabilistes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.10.1. Approche estimation bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.11. Spécificités des problèmes de vision . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.12. Introduction aux différents chapitres du livre . . . . . . . . . . . . . 59
1.13. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Chapitre 2. Débruitage et détection de contours . . . . . . . . . . . . . . . . 67
Pierre CHARBONNIER et Christophe COLLET
2.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.1. Modèles à processus de ligne booléen . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.2. Régularisation semi-quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.1.3. Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.1.4. Contraintes sur les variables de contours . . . . . . . . . . . . . . 76
2.1.5. Régularisation sur l’intensité, segmentation région . . . . . . . . . 81
2.2. Segmentation statistique d’images bruitées . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.1. Modèles de bruit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.2.2. Bruit multiplicatif en imagerie SONAR et RADAR . . . . . . . . 82
2.2.3. Bruit gaussien indépendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.4. Bruit gaussien corrélé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.2.5. Bruit gaussien généralisé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.3. Régularisation markovienne multibande multi-échelle . . . . . . . . . . 87
2.3.1. Inférence bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.3.2. Fonction de coût . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
2.3.3. Modèles markoviens hiérarchiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.3.4. Quadarbre markovien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.3.5. Données manquantes ou aberrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
2.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97Table des matières XI
Chapitre 3. Déconvolution aveugle d’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
Laure BLANC-FÉRAUD, Laurent MUGNIER et André JALOBEANU
3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2. Le problème de la déconvolution aveugle . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
3.2.1. Problème mal posé (solutions multiples) . . . . . . . . . . . . . . 111
3.2.2. Les contraintes et les modèles de RI . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
3.3. Estimation jointe de la RI et de l’objet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.3.1. Maximum de vraisemblance conjoint . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.3.2. Maximum a posteriori joint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.3.3. Moindres carrés totaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4. Estimation marginalisée de la RI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3.4.1. Estimation par l’algorithme EM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
3.4.2. Exemple d’algorithme : BLINDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
3.5. Les différentes autres approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.5.1. Estimation à partir d’objets particuliers
ou de contraintes fortes dans l’image . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.5.2. Estimation dans le domaine des ondelettes . . . . . . . . . . . . . 123
3.5.3. Séparation des plages de zéros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.4. Modélisation ARMA et identification . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.5.5. Estimation par filtrage récursif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.6. Méthodes multi-images et diversité de phases . . . . . . . . . . . . . . 125
3.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Chapitre 4. Markov triplets et segmentation d’images . . . . . . . . . . . . 133
Wojciech PIECZYNSKI
4.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.2. Chaînes de Markov couples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.1. Modèle général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
4.2.2. CMCouples gaussiens stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
4.3. Copules dans les CMCouples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.1. Copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.3.2. Copules dans CMCouples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
4.4. Estimation des paramètres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4.1. ECI dans un modèle paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.4.2. ECI dans un modèle de mélange
généralisé avec copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
4.5. Chaînes de Markov triplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.6. Chaînes de Markov triplets et non-stationnarité . . . . . . . . . . . . . 150
4.7. Chaînes semi-markoviennes cachées
et chaînes de Markov triplets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152XII Problèmes inverses en imagerie 2
4.7.1. Chaînes semi-markoviennes cachées
comme CMT particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
4.7.2. Extensions de chaînes semi-markoviennes cachées . . . . . . . . 153
4.8. Chaînes auxiliaires multivariées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
4.9. Conclusions et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
4.10. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
Chapitre 5. Détection d’objets dans une scène . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
Xavier DESCOMBES, Ian JERMYN et Josiane ZERUBIA
5.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.2. Approches stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2.1. Champs de Markov sur graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
5.2.2. Processus ponctuels marqués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
5.3. Approches variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.3.1. Contours actifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
5.3.2. Méthodes avec forme de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
5.3.3. Contours actifs d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
5.3.4. Attache aux données et expériences . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
5.3.5. Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
5.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
Chapitre 6. Estimation de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
Etienne MÉMIN et Patrick PÉREZ
6.1. Introduction : de l’estimation de mouvement au suivi visuel . . . . . . 205
6.2. Estimation instantanée du mouvement apparent . . . . . . . . . . . . . 207
6.2.1. Invariants photométriques et régularisation . . . . . . . . . . . . . 207
6.2.2. Régularisation paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
6.2.3. Régularisation non paramétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
6.2.4. Multirésolution et grands déplacements . . . . . . . . . . . . . . . 217
6.2.5. Robustification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
6.2.6. Segmentation au sens du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . 224
6.2.7. Couplage estimation/segmentation :
lissage local/global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
6.2.8. Quelques perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
6.3. Suivi visuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
6.3.2. Suivi par appariement de détections . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
6.3.3. Suivi déterministe par détection/segmentation séquentielle . . . . 239
6.3.4. Suivi probabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
6.3.5. Suivi visuel par filtrage particulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
6.3.6. Problèmes ouverts et perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
6.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
6.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
IndexTable des matières du second volume
Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVII
Avertissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX
Chapitre 7. Super-résolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
Ali MOHAMMAD-DJAFARI et Fabrice HUMBLOT
7.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
7.2. Modélisations du problème direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
7.3. Méthodes de super-résolution classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.4. Méthodes d’inversion en SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
7.4.1. Méthodes fondées sur l’optimisation d’un critère . . . . . . . . . 269
7.4.2. Estimation conjointe des paramètres de recalage, de la FTO et de
l’image HR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
7.5. Méthodes fondées sur l’approche bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . 275
7.5.1. Modèles a priori de Gauss-Markov-Potts . . . . . . . . . . . . . . 275
7.5.2. Méthodes d’estimation bayésienne utilisant les modèles de Gauss-
Markov-Potts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
7.5.3. Nouvelles extensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
7.6. Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.7. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
7.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285
Chapitre 8. Reconstruction des surfaces en tomographie . . . . . . . . . . . 287
Charles SOUSSEN et Ali MOHAMMAD-DJAFARI
8.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
8.2. Reconstruction d’objets localisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
8.2.1. Modélisation des images radiographiques . . . . . . . . . . . . . . 290XIV Problèmes inverses en imagerie 2
8.2.2. Principe de la reconstruction surfacique . . . . . . . . . . . . . . . 294
8.3. Utilisation des contours déformables pour la reconstruction 3D . . . . 295
8.3.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3.2. Modèles de contours non paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . 295
8.3.3. Modèles de contours paramétriques simples . . . . . . . . . . . . 297
8.3.4. Modèles de contours plus généraux : notion de localité . . . . . . 300
8.3.5. Modèles indirects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
8.4. Modèles surfaciques adéquats et aspects algorithmiques . . . . . . . . 303
8.4.1. Choix de modèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.4.2. Estimation des paramètres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . 304
8.4.3. Calcul des projections d’un contour . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
8.4.4. Différentiation des projections d’un contour . . . . . . . . . . . . 306
8.4.5. Déformation d’un contour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
8.4.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.5. Reconstruction d’un contour actif polyédrique . . . . . . . . . . . . . . 309
8.5.1. Modèle polyédrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309
8.5.2. Paramétrisation du contour par la position de ses sommets . . . . 311
8.5.3. Estimation des sommets au sens du MAP . . . . . . . . . . . . . . 311
8.5.4. Simulations numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312
8.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
8.7. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
Chapitre 9. Approche bayésienne en imagerie micro-onde . . . . . . . . . . 321
Olivier FÉRON, Bernard DUCHÊNE et Ali MOHAMMAD-DJAFARI
9.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
9.2. Configuration expérimentale et modélisation du problème direct . . . . 324
9.2.1. La configuration de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
9.2.2. Le modèle direct . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
9.3. Inversion dans le cas linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.3.1. La tomographie par diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
9.3.2. L’approche bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
9.3.3. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
9.4. Inversion dans le cas non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.4.1. Le modèle direct discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
9.4.2. L’approche bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340
9.4.3. Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.5. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
9.6. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
Chapitre 10. Reconstruction 3D à partir des ombrages . . . . . . . . . . . . 353
Jean-Denis DUROU
10.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
10.2. Modélisation du shape from shading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354Table des matières XV
10.2.1. Optique photographique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
10.2.2. Modèles du SFS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
10.3. Résolution du shape from shading . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.3.1. Problèmes inverses bien ou mal posés . . . . . . . . . . . . . . . 367
10.3.2. Résolution des modèles non différentiels du SFS . . . . . . . . . 371
10.3.3. Résolution des modèles différentiels du SFS . . . . . . . . . . . 380
10.4. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
10.5. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
Chapitre 11. Séparation d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Hichem SNOUSSI et Ali MOHAMMAD-DJAFARI
11.1. Introduction générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
11.2. Séparation aveugle d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
11.2.1. Modélisation des sources et du bruit . . . . . . . . . . . . . . . . 393
11.2.2. Objectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
11.3. Formulation bayésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
11.3.1. Distribution a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
11.3.2. Sélection d’a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
11.4. Algorithmes stochastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
11.4.1. Approximations stochastiques de l’EM . . . . . . . . . . . . . . 405
11.4.2. Echantillonneur de Gibbs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
11.4.3. Contrôle de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
11.5. Résultats de simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
11.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
11.6.1. Performances de séparation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 419
11.6.2. Séparation et segmentation simultanées . . . . . . . . . . . . . . 421
11.6.3. Aspect algorithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.7. Annexe1 : distributions a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422
11.8. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423
Chapitre 12. Reconstruction stéréo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Julie DELON et Andrés ALMANSA
12.1. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
12.2. Les principes de la stéréovision satellitaire . . . . . . . . . . . . . . . 426
12.2.1. Rappels sur l’acquisition et la calibration . . . . . . . . . . . . . 426
12.2.2. Précision de mesure et rapportB/H . . . . . . . . . . . . . . . . 427
12.2.3. Modèles de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
12.3. Mise en correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
12.3.1. Attache aux données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
12.4. Régularisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
12.4.1. Méthodes variationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
12.4.2. Cas particulier duB/H faible . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
12.4.3. Méthodes d’optimisation discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . 437XVI Problèmes inverses en imagerie 2
12.4.4. Méthodes affines ou géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
12.5. Aspects numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
12.5.1. Rappels sur la théorie de l’échantillonnage . . . . . . . . . . . . 440
12.5.2. Aliasing et mise en correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . 442
12.5.3. Discrétisation et échantillonnage de la fonctionnelle de coût de
mise correspondance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
12.6. Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446
12.7. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449
Chapitre 13. Fusion et multimodalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
Christophe COLLET, Farid FLITTI, Stéphanie BRICQ et André JALOBEANU
13.1. Fusion d’images optiques multicapteur sans perte d’information . . . 453
13.1.1. Motivations et buts de la fusion de données images . . . . . . . 453
13.2. Fusion d’images multispectrales par arbre de Markov caché . . . . . 454
13.2.1. Contexte de la fusion d’images multispectrales . . . . . . . . . . 454
13.2.2. Fusion à l’échelle des niveaux de gris . . . . . . . . . . . . . . . 455
13.2.3. Théorie des copules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459
13.2.4. Fusion des cartes multi-échelles finales et reconstruction . . . . 461
13.3. Segmentation d’IRM cérébrales multimodales utilisant un atlas proba-
biliste a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464
13.3.1. Chaines de Markov Cachées (HMC) multimodales . . . . . . . 465
13.3.2. Utilisation d’un atlas probabiliste comme capteur complémentaire 469
13.3.3. Apports de la multimodalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
13.4. Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
IndexAvant-propos
La notion de problème inverse est maintenant devenue une notion familière à la
plupart des scientifiques et ingénieurs, en particulier dans le domaine du traitement
du signal et de l’image. En bref, résoudre un problème inverse consiste à estimer
une quantité (fonction mono- ou multivariée) non observable directement à partir de
l’observation d’une autre quantité (qui est aussi une fonction mono ou multivariée)
liée à la première par l’intermédiaire d’un modèle mathématique dit modèle direct.
La principale difficulté est que, généralement, le problème direct est bien posé tan-
dis que le problème inverse correspondant est mal posé. Parmi les exemples de pro-
blèmes inverses les plus classiques, on peut mentionner la déconvolution, la restau-
ration d’image et la reconstruction d’image en tomographie. Mais, bien d’autres pro-
blèmes en traitement d’image peuvent aussi être décrits sous l’angle problème inverse.
C’est par exemple le cas de la segmentation, de la reconstruction d’une scène 3D à
partir des ombres ou à partir de plusieurs photographies aériennes ou satellitaires, ou
encore de la création d’une image à haute résolution à partir d’une suite d’images de
basse résolution.
Dans les problèmes dits d’imagerie, la grandeur inconnue est souvent une fonction
bivariée (une image) ; la déconvolution et la reconstruction d’image en tomographie
en sont deux exemples classiques. La résolution de ces deux problèmes a occupé un
grand nombre de chercheurs depuis le début du vingtième siècle, avec la théorie de
la régularisation dans son sens le plus général comme outil de base. Aujourd’hui, il
existe plusieurs livres sur la notion de régularisation.
Les approches probabilistes ont aussi montré leur apport et leur efficacité en four-
nissant des outils pour généraliser la régularisation déterministe et surtout pour fournir
des mesures d’incertitude sur la solution. Il y a eu aussi, ces derniers temps, plusieurs
livres sur le sujet, entre autres le livre intitulé Approche bayésienne pour les problèmes
inverses dans cette même série IC2. Nous exposons, dans ce livre, les bases et les dif-
ficultés des problèmes inverses abordés à l’aide de méthodes d’inversion classiques,
déterministes ou probabilistes.
15XVIII Problèmes inverses en imagerie 2
Cependant, la formulation en termes de problème inverse des problèmes posés
dans d’autres communautés, en particulier en vision par ordinateur, et les nouvelles
exigences d’amélioration des méthodes d’inversion en imagerie nous ont incité à
mettre ce livre en chantier.
En effet, aujourd’hui, dans la plupart des techniques d’imagerie, on cherche non
seulement à construire une image, mais aussi à pouvoir accéder directement aux infor-
mations géométriques contenues dans celles-ci. C’est la raison pour laquelle le prin-
cipal objectif de ce livre est de se focaliser sur les problèmes d’imagerie et de vision
pour lesquels on peut clairement écrire le problème sous la forme d’un problème in-
verse où l’on cherche à estimer une fonction mono- ou multivariée et ses attributs
géométriques (contours ou étiquettes des régions d’une image) à partir de l’observa-
tion d’une autre quantité qui est aussi une fonction mono- ou multivariée liée à la
première par l’intermédiaire d’un modèle direct.
Dans ce livre, donc, nous traitons les problèmes inverses que l’on rencontre dans
divers systèmes d’imagerie et problèmes de vision par ordinateur. Parmi ces pro-
blèmes, on trouve le débruitage, la restauration par déconvolution, la reconstruction
2D ou 3D en tomographie X ou en imagerie micro-onde, la reconstruction de la sur-
face d’un objet 3D en tomographie X ou à partir de ses ombres, la reconstruction
de la surface d’une scène 3D à partir de plusieurs photos satellitaires, mais aussi la
construction d’une image haute résolution à partir de plusieurs images de basse réso-
lution (super-résolution), l’estimation de mouvement dans une séquence d’images ou
encore la séparation de plusieurs images mélangées par des instruments de sensibilités
ou de fonctions de transfert différentes. Tous ces sujets seront présentés dans les divers
chapitres de ce livre tout en gardant une même méthodologie.
En vous souhaitant bonne lecture, je serais ravi de connaître votre avis sur le
contenu de ce livre, de même que, j’en suis sûr, tous les auteurs des différents cha-
pitres.
Ali MOHAMMAD-DJAFARIAvertissement
Ce livre comporte deux tomes. La table des matières et l’index couvrent l’ensemble
des volumes et sont communs à tous les chapitres. Afin de faciliter la navigation
dans l’ouvrage, la pagination n’est pas réinitialisée au début du second tome. Les
chapitres peuvent être lus indépendamment les uns des autres et comportent une
bibliographie qui leur est propre. Chapitre 7
Super-résolution
7.1. Introduction
Dans ce chapitre, nous notons par f(r) ou f(x,y) une image haute résolution
(HR) et parg (r) oug (x,y) lal-ème image basse résolution (BR). Le problème del l
super-résolution (SR) que nous considérons ici est celui de la reconstruction d’une
image HRf(r) à partir d’un nombre fini L d’images BR g (r),l = 1,···,L (voirl
figure 7.1).
Bien entendu, lorsque nous travaillons avec des images déjà numérisées, nous
n’avons plus de fonctions, mais des tableaux de valeurs. Chaque élément y repré-
sente soit un niveau de gris (grandeur scalaire), soit une couleur (grandeur à plusieurs
composantes). Dans ce chapitre, nous ne considérons que le premier cas.
Une image HR est alors représentée par un vecteurf = [f(r),r ∈ R] oùr ∈
R représente la position d’un pixel sur une grille, et R représente l’ensemble des
positions possibles.
La principale hypothèse dans une méthode de reconstruction par SR est celle
qu’une image BR est une version bruitée de l’image HR filtrée, décalée et décimée.
La manière de modéliser ce lien est la première étape (modélisation directe) de toute
méthode de SR. La manière de combiner des images basses résolutions pour obtenir
l’image HR constitue la super-résolution, vue ici comme un problème inverse.
Dans ce chapitre, nous considérons une modélisation particulière et couramment
utilisée du problème direct. Après une description succincte des méthodes classiques
Chapitre rédigé par Ali MOHAMMAD-DJAFARI et Fabrice HUMBLOT.
261262 Problèmes inverses en imagerie 2
de résolution du problème inverse associé, nous décrirons les détails d’une méthode
fondée sur la modélisation markovienne d’une image HR, et de son estimation par une
approche bayésienne.
?
=⇒
′bg (r) f(r )l
Figure 7.1. Problème de la super-résolution : une ou plusieurs images BR
sont utilisées pour construire une image HR
7.2. Modélisations du problème direct
Différentes modélisations ont été proposées pour décrire le lien entre une image
HRf(r) et une image BRg (r). Dans toutes ces modélisations, la principale hypo-l
thèse est qu’une image BR est une version bruitée de l’image HR filtrée, décalée et
décimée. Si l’on note l’ensemble de ces opérations parH , on peut alors écrire :l
g (r)=[Hf](r)+ǫ (r), l = 1,···,L. (7.1)l l l
Ces modélisations se différencient par les différentes manières de décomposer
l’opérateursH en ses composantes que sont le filtrage passe basB, le mouvementl
M et la décimationD . Ces opérateurs sont définis comme suit.l k
Filtrage passe basB :
Z
′ ′ ′˜f(r)=[Bf](r)= f(r )h(r−r )dr , (7.2)
oùh(r) représente la réponse impulsionnelle du filtre.Super-résolution 263
Echantillonnage ou sous-échantillonnageD :k
Z
˜ ˜ ˜f(r ) =[D f](r )= f(r)b (r)dr (7.3)j k j j
avec :
– échantillonnage sans intégration :

1 si r =rjb (r)=δ(r−r ) = (7.4)j j 0 sinon
ou
– échantillonnage avec intégration :

Δx|x−x |<k j 21 si Δyb (r)= |y−y |<k (7.5)j j 2
0 sinon
oùΔx etΔy sont les pas d’échantillonnage suivant les deux axes du planr = (x,y)∈
R de l’image. Le cask = 1 correspond à l’échantillonnage, et le cask > 1 au sous-
échantillonnage, ou décimation, d’un facteurk (voir figures 7.2 et 7.3).
MouvementM :l
˜f(r)= [Mf](r)=f(r−d ) (7.6)l l
˜oùd est le décalage entref(r) etf(r). Ici, nous considérons simplement un mouve-l
ment par translation (voir figure 7.4 et figure 7.5 pour un effet combiné de mouvement
et sous-échantillonnage sans et avec intégration).
L’ordre de combinaison de ces différents opérateurs n’est pas très précis, il dépend
des hypothèses et de la modélisation du problème. Deux modèles sont courants :
g (r) = [Hf](r)+ǫ (r)= [D MBf](r)+ǫ (r) (7.7)l l l k l l
g (r) = [Hf](r)+ǫ (r)= [MD Bf](r)+ǫ (r) (7.8)l l l l k l
Les versions discrètes de ces différentes modélisations deviennent :
g = Hf +ǫ = [D MB]f +ǫ (7.9)l l l k l l
g = Hf +ǫ = [MD B]f +ǫ (7.10)l l l l k l

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