Introduction au traitement du signal : exercices, corrigés et rappels de cours (coll. Traitement du signal)

collection traitement du signal
Introduction
Patrick Duvaut
François Michaut
Michel Chue
HERMES
au traitement
du signal
exercices, corrigés
et rappels de cours Introduction au traitement
du signal Collection Traitement du signal
dirigée par Patrick DUVAUT et Dominique GARREAU
Le traitement du signal est devenu une discipline à part entière. La diversité des
champs d'application et le degré d'expertise qu'il véhicule nécessitent - afin d'être
présentés avec le même niveau d'exhaustivité et d'impartialité - une véritable
collection. Celle-ci éditera des ouvrages didactiques fondamentaux et des mono­
graphies spécialisées sur des thèmes à la pointe de la recherche : analyse de
signaux non stalionnaires, déconvolution...
DÉJÀ PARUS
Traitement du signal - concepts et applications, Patrick DUVAUT, 1991 et
2E édition revue el complétée, 1994.
Méthodes adaptatives pour le signal - outils mathématiques et mise en
œuvre des algoritlunes, François MICHAUT, 1992.
Temps-fréquence, Patrick FLANDRIN, 1993.
Réseaux neuronaux et traitement du signal, Jeanny HÉRAULT et Christian
JUTTEN, 1994. Introduction
au traitement
du signal
Exercices, corrigés et rappels de cours
Patrick Duvaut
François Michaut
Michel Chue
HERMES © Hermès, Paris, 1996
Editions Hermès
14, rue Lantiez
75017 Paris
ISBN 2-86601-529-0
ISSN 1159-103X
Catalogagc Electre-Bibliographie
Duvaut, Palrick*Michaut, François*Chuc, Michel
Introduction au traitement du signal : exercices, corrigés et rappels de cours. - Paris :
Hermès, 1996. - (Traitement du signal)
ISBN 2-86601-529-0
RAMEAU : traitement du signal : problèmes et exercices
DEWEY : 621.61 : Physique appliquée. Théorie du signal et des communications.
Traitement du signal
Le Code de la propriété intellectuelle n'autorisant, aux termes de l'article L. 122-5, d'une
part, que les "copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non
destinées à une utilisation collective" et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations
dans un but d'exemple et d'illustration, "toute représentation ou reproduction intégrale, ou
partielle, laite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est
illicite" (article L. 122-4).
Celte représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc
une contrefaçon sanctionnée par les articles L. 335-2 et suivants du Code de la propriété
intellectuelle. Table des matières
Introduction 7
Notations et abréviations 9
Première partie : fiches des cours et exercices 11
Chapitre 1. Transformées3
1.1. Transformation de Fourier
1.2. Transformée en z 20
1.3.e de Fourier discrète 25
Chapitre 2. Echantillonnage 37
Chapitre 3. Filtrage discret 49 e 4. Caractérisation du second ordre 6
4.1. Corrélation et DSP
4.2. Filtrage des signaux aléatoires 78
Chapitre 5. Analyse spectrale non paramétrique 8e 6. Estimation linéaire supervisée 9
Deuxième partie : corrigés des exercices 103
Chapitre 1. Transformées5
1.1. Transformation de Fourier
1.2. Transformée en z 118
1.3.e de Fourier discrète 12
Chapitre 2. Echantillonnage 141 e 3. Filtrage discret 159
Chapitre 4. Caractérisation du second ordre 18
4.1. Corrélation et DSP
4.2. Filtrage des signaux aléatoires 206
Chapitre 5. Analyse spectrale non paramétrique 21
Chapitre 6. Estimation linéaire supervisée 235
Bibliographie 243
Index6 Introduction au traitement du signal
REMARQUE. Numérotation des énoncés, corrigés d'exercices et des formules.
Les énonces des exercices et corrigés associés portent exactement le même numéro
qui commence par le rang du chapitre correspondant (exemple : énoncé et cor­
rigé 5.1. relatifs au chapitre 5). Les numéros des formules contenues dans les fiches
de cours utilisent comme préfixe le rang du chapitre où elles sont introduites, elles
sont présentées entre parenthèses (exemple : (5.4) désigne une formule de cours du
chapitre 5). Les numéros des formules apparaissant dans les énonces et corrigés
n'utilisent pas le préfixe du chapitre. Files sont aussi présentées entre parenthèses
(exemple : la relation (3) de l'énoncé 5.2. et la formule (4) du corrigé 5.4.). Introduction
Les traiteurs de signaux ont élaboré depuis maintenant une quarantaine d'années
des outils de mise en forme, de filtrage, de débruitage, de caractérisation, de
détection, d'estimation, d'optimisation, d'interprétation, etc., qui visent tous à révéler
avec la plus grande acuité possible, l'information contenue dans des signaux extraits
de champs opératoires très souvent "hostiles" en ce qui concerne les conditions
d'enregistrement : faible rapport signal sur bruit, temps de mesure très court, non-
stationnarités...
En outre, les progrès considérables accomplis ces vingt dernières années en
termes de rapidité, de capacité des mémoires, de facilité de programmation des
calculateurs et processeurs spécialisés, mettent désormais à la disposition des
utilisateurs, des algorithmes numériques "temps réel" d'implantation de tous ces
outils.
Le traitement du signal, TS, est ainsi devenu une "métadiscipline" qui rend
d'immenses services dans des champs d'application tels que les télécommunications,
l'aéronautique, l'automobile, le spatial, l'exploitation de l'énergie nucléaire, la
défense, le multimédia, la sûreté des installations industrielles, la médecine,
l'astrophysique, l'agriculture, la prospection pétrolière, la sismique, le traitement de
la parole, etc.
Le nombre et la diversité des industriels et grandes institutions d'état, faisant
appel à un savoir-faire en traitement du signal témoignent de l'universalité et de
l'enjeu crucial de cette discipline dans le cursus et l'emploi de l'ingénieur scientifique
de demain.
A cet égard, les formations scientifiques de l'enseignement supérieur (IUP, /UT,
BTS, écoles d'ingénieurs, premier, second et troisième cycles des universités)
présentent toutes désormais les éléments de base du traitement du signal, ou y font
largement référence. I^s ouvrages en la matière sont nombreux, mais exercices
corrigés et cours sont rarement réunis dans un même livre. 8 Introduction au traitement du signal
C'est la volonté du présent ouvrage.
A la lumière d'une expérience d'une dizaine d'années dans l'enseignement de la
discipline à tous les niveaux, de sa pratique industrielle et dans des laboratoires de
recherche, les auteurs collectent dans ce livre les connaissances en TS et certaines
applications associées, indispensables à la formation scientifique dans ce domaine.
Manière et forme sont originales et faciles d'accès puisque chaque thème abordé
fait l'objet d'une fiche de cours très complète présentant les résultats essentiels. Elle
est suivie d'énoncés d'exercices de base. Des applications plus approfondies sont
traitées dans des sujets dont la difficulté est signalée par une ou deux étoiles. Les
corrigés correspondants sont donnés de manière très détaillée dans la seconde partie
de l'ouvrage, afin de susciter la réflexion du lecteur.
Intérêt pédagogique et souci de réalisme, à l'attention du plus grand nombre de
profils de lecteurs, nous ont inclinés à considérer seulement les signaux numériques.
Nous n'avons pas jugé utile de consacrer un chapitre aux probabilités qui font partie
intégrante de la culture générale du scientifique. Quelques points d'entrée sont
cependant proposés dans la liste des références bibliographiques en fin d'ouvrage.
Les thèmes retenus, l'échantillonnage, le filtrage numérique, la transformée de
Fourier discrète, les signaux aléatoires stationnaires, l'analyse spectrale non
paramétrique et l'estimation linéaire supervisée sont destinés aux étudiants d'IUT,
de BTS , d'IUP, de licence-maîtrise, de première et deuxième années d'écoles
d'ingénieur qui s'initient au TS.
Les étudiants de DEA de TS, non spécialistes du domaine, ainsi que des
ingénieurs généralistes ou de spécialité autre y trouveront également les
mécanismes de mise en application des bases, qui leur font parfois défaut. Les
professeurs trouveront également des indications pédagogiques pour l'élaboration de
leurs cours.
En reprenant les thèmes de base de l'ouvrage TS, Concepts et Applications, paru
chez le même éditeur, cet ouvrage les aborde à travers des exercices corrigés, dans
un langage direct et explicatif.
Le 22 décembre 1995,
Patrick Duvaut, François Michaut, Michel Chue. Notations et abréviations
R,C,Z,N
H=L2(ii)
H=Rd
<x,y>
L2([a,b])
Ll
11
|2
S
s1
o
x(v)
X(7.)
*t) =x(-t)* , x [n]=x[-n]*
Yx(p)
Y°x(v) ,ve[l]
Y x(/)
[1]
U(t), U[nJ
8(t), S[n]
vp
TF
TZ
TFD
TFR, FFT
FLID
RIF\transverse
RII, récursif
Ensembles numériques
Espace de Hilbert des v.a. de carré intégrable
Espace euclidien standard
Produit scalaire sur H espace de Hilbert
Fonctions de carré intégrable sur [a,b] s sommables sur R
suites sommables sur Z
suites de carré sommable sur Z
Fonctions C°° à décroissance rapide sur R
Distributions tempérées, dual de S
TF du signal x
TZ de la séquence x[n]
signal retourné conjugué
fonction de corrélation de x
densité spectrale (dsp)
densité en z du p.a.d. stationnairc x
intervalle des fréquences de longueur 1
échelon unité (continu ou discret)
Dirac (continu ou discret)
Distribution en valeur principale
Transformée de Fourier e en z
Transformée de Fourier Discrète e de Fourier Rapide
Filtre Linéaire Invariant Discret
Filtre à réponse impulsionnelle finie
Filtre àee infinie 10 Introduction au traitement du signal
RSB, S/B
va. , VA
p.s.
m q.
eqm
dsp, DSP
p.a. , PA
i.i.d., bruit blanc fort
p.a.d., PAD
DDP
PC
FR
Rapport Signal sur Bruit
variable aléatoire
propriété "presque sûre" (avec proba 1 )
en moyenne quadratique (convergence)
erreur quadratique moyenne
densité spectrale de puissance
processus aléatoire
indépendant identiquement distribué (p.a.)
processus aléatoire discret
densité de probabilité
Fonction caractéristique d'une v.a. n de Répartition d'une v.a. Première partie
Fiches des cours et exercices Chapitre 1
Transformées
1.1. Transformation de Fourier
FICHE DE COURS
TF sur L1
alors TF(f)=iF(f)=f définie par feL1 si :/ I f(t) I dt <+«
R
(1.1)
(1.2) • Propriétés générale»
a»
b»
c«
d»
e»
o
f est une fonction continue, nulle à l'infini
J(f*g)=^(f).Jfe)
fF( f(t-a))=e-2ijcva iT(f)
f(f')= 2iKV. !T(f)
J(-2ijrt.f)= J(f) '
f • Inversion Si ^(DeL1, «t)=J1 ( f) (t) = / f(v) e2i7tvt dv
R
f(v) =/f(t) e-2i7CVtdt
R 14 Introduction au traitement du signal
TF sur S
Si feS ( fonctions C°° à décroissance rapide) ,
La TF est une isométrie sur S :
Parseval (1.3) <f,g>=/f(t)g(t)*dt =<f ,°g>
R
TF sur , isométrie
Sur l'espace de Hilbert L2 des fonctions de carré intégrable, muni du
produit scalaire ci-dessus, l'isométrie If définie sur le sous-espace
dense S se prolonge de façon unique. Son inverse est ^ Pour
feL2, on a
jF(f)(v)=lim m.q. pour L—
TF des distributions tempérées ( S )
La TF d'une distribution tempérée D (agissant sur <pe S ) est définie
par dualité:
<jT(D),(p>=<D, J(<p)> (1.4)
If est alors une application linéaire continue de S dans S , à
laquelle s'étendent toutes les propriétés élémentaires ci-dessus.
Exemples fondamentaux:
lf(8)=l
Peigne de Dirac:
(1.5)
(1.6)
5(UJT)=^ Wi/r Transformation de Fourier 15
Rappel : dérivation au sens des distributions
Si f(t) est continue par morceaux, discontinue en tk , derivable sur
ses intervalles de continuité, f (t) sa dérivée au sens des fonctions pour
tetk, la distribution Df associée a pour dérivée
EXERCICES
Propriétés de base
1.1.1 x(t) est une fonction réelle. Relation entre TF(x(t)) et TF(x(-t))?
Application: déduire de jT(U(t)e-at ) fie'0-111 ).
1.1.2 Modulation: Evaluer jF(cos(27rvot)f(t)). Exemple: f(t)=l[.a)a](t),
visualiser.
1.1.3 Dérivation: Déduire du (1) que
En déduire par parité J{ 111 e"a 1 *1 ).
1.1.4 Calculer xa*xD(t) pour
1.1.5 Soit x(t)=lM/2,i/2](t) et y(t)=l[.U](t).
a) écrire la formule de Parseval appliquée à <x,x> et <x,y>.
b) Calculer h(t)=x*y(t), fF(h), Il J{h)\\ 2. 16 Introduction au traitement du signal
1.1.6 Signaux à bande limitée (*)
On rappelle que la TF est une isométrie de l'espace de Hilbert
H=LC2(R) sur lui-même :
Vf.geH <f,g>=/flt)g(t)*dt =<f ,°g>
R
a) Montrer que si f,geH, f*g existe et f*g=
_ \ o o
F (f.g) (Interpréter en terme de produits scalaires)
b) On note Hi=BL2[-0,+aJ le sous-espace de H des fonctions x(t)
o
dont la TF x(v) est nulle hors de la bande L-o,+a] :
x(v) e H2=L2f-a,o], et Hi est l'image de H2 dans H par *T
Energie: E=ll xll 2 (1)
Que devient par f ^ la base hilbertiennc de H2
(2)
1 o
On notera (pn(t)=j (<pn) • L'exprimer en fonction de (po(t).
c) Pour x(t)eHi, développer
-\-oo
x(t)=^ c,-! cpn(t)
- DO
et calculer cn. Ecrire Bessel-Parseval et interpréter ce
développement.
d) Propriétés des fonctions BLa : déduire de (1) que
lx(t)l <yfïôË
x(t)e C°°(R) et I x(n)(t) I < (2rco)n V2ÔË
x(t) est analytique entière , donc ses zéros sont isolés et
x(t) ne s'annule sur aucun intervalle
e) Meilleure approximation dans H\
Soit x(t)€H. Montrer que sa projection orthogonale sur Hi est
Pax= V2Ô x* <po Transformation de Fourier 17
Calculer le développement
TF des distributions
1.1.7 Soit g(x) la fonction 1-périodique, t.q. g(x)=7i2(2x2-2x+l/3) sur
10,1].
c) Calculer directement et sur la série de Fourier la dérivée (au
sens des distributions) g "(x), et en déduire que
puis par changement de variable obtenir la série de Fourier
de WT(x).
1.1.8 TF de la distribution vp(l/t) (')
a) La représenter.
b) Montrer que
V est la valeur principale de 1/t.
a) Montrer que x.V=l
b) En déduire jF(V)
et comparer au cn de 3) et interpréter.
Evaluer l'erreur quadratique minimale II x- P0xll 2
Exemple: Traiter le cas de
Soit U(t) l'échelon unité, et i la distribution tempérée
définie par 18 Introduction au traitement du signal
Indication: déduire de a) !f(V) ' puis intégrer et utiliser le fait
que V est une distribution impaire pour déterminer la
constante d'intégration.
c) Calculer 5(U(t)), J(tU(t)), T( 111 ).
1.1.9 Formule sommatoire de Poisson
Soit f(t) e S (fonction C°° à décroissance rapide) et <p(t)=f*lllT(t).
o
Calculer cp(v) =TF{(p), puis retrouver f(t) par inversion de
Fourier.
En déduire, pour t=0
1.1.10 TF des suites numériques (*)
Soit {x(n)}nez une suite complexe, à croissance modérée à
l'infini. On lui associe la distribution tempérée
o
a) Préciser la nature de x(v) selon que la suite x(n) est bornée,
dans W, dans l2 , à décroissance exponentielle. Dans le cas l2
(énergie finie), écrire les relations d'isométrie (Bessel-
Parseval).
Suites N-périodiques
On suppose que x(n+N)=x(n). On note
La TF de x est alors la TF de la distribution Tx, série de Fourier 1-
périodique
b) Exprimer Tx à l'aide de XN(t). Transformation de Fourier 19
o o
c) Calculer la TF x]\j(v) de x^Ct), puis exprimer x(v) .
o m
d) Exprimer la 1-périodicité de x(v) à l'aide du peigne ID(v), et
en déduire par TF inverse
avec
Il en résulte le couple de relations, entre les 2 suites N-
périodiques x(n) et
Discrète (TFD):
, appelé Transformée de Fourier
, du vecteur X=[x(0),...,x(N-l)]T dans
la base orthogonale ej^te^inkn/N Jo<n<N-l et écrire les
relations d'isométrie de la TFD qui en résultent.
e) Interpréter les relations ci-dessus comme décomposition,
dans l'espace muni de son produit scalaire canonique 20 Introduction au traitement du signal
FICHE DE COURS
Définition
La Transformée en z (ou TZ) associe à une séquence numérique, une
fonction analytique de z sur une couronne: c'est l'équivalent discret de la
Transformée de Laplace bilatérale.
On notera ici lan;neZl«-»A(z) la correspondance entre suites et T.Z. Cet
outil est étroitement lié à la convolution discrète des suites, définie par
Remarque: dans les autres chapitres, la TZ de la séquence {ykl sera
aussi notée y(z).
Opérations élémentaires
(1.9)
a
b
c
d
1.2. Transformée en z
(a*b)n<->A(z)B(z)
an-k z"kA(z) Transformée en z 21
INVERSION
Elle est définie pour le couple (A(z) , D=(ri<|z |<r2)l , D étant une
couronne d'analyticité de A(z): on obtient l'original de A en la
développant en série de Laurent sur
. Les formules
intégrales de Cauchy donnent:
y cercle de centre 0 contenu dans D (1.10)
En utilisant le théorème des résidus, on obtient:
pi pôles de A intérieurs à y (1.11)
• Cas des fractions rationnelles
L'inversion est réalisée après décomposition en éléments simples.
L'unique inverse causal est obtenu par (cf. El.2.4):
pour | z | > | a | (1.12)
EQUATIONS AUX DIFFERENCES FINIES (EDF)
Ce sont les équations récurrentes linéaires à coefficients constants:
ao Yk+a 1 yk-1 +••• +ap yk-p= uk (EDF non-homogène)
aOYk+ai yk-l+- +ap yk-p= 0F homogène ) m
On associe à (1) son équation caractéristique:
anrP+airP-U... +ap =P(r)=0 (1.13)
Racines: ri,r2,.,rm multiplicités ai,...,am avec I ai=p 22 Introduction au traitement du signal
Théorème:
L'ensemble des solutions de (2) est un espace vectoriel de
dimension p. Une base en est
{eij} i=là m, j=0 à od-1 • avec eij(k)=kJ.rik
La solution générale de (1) s'écrit alors y(k)=yo(k)+yi (k),
où yo est solution générale de (2), y i solution particulière de (1)
TZ et EDF
On s'intéresse à la solution causale (c-à-d nulle pour k<0) de (1) et (2).
On peut alors utiliser efficacement la TZ.
• Réponse impulsionnelle et TZ
La r.i. (causale) de (1) est l'unique solution causale hfc de (1) avec
uk=ô(k). On a la relation de TZ:
, A(z)=ao+aiz_1+...+apZ"P (1.14)
H(z) est appelé transfert en z de l'EDF (1).
• Solution générale
Si U(z) est la TZ de l'entrée (u^) (supposée causale) de (1), l'unique
solution causale (y^) est définie par
yk=h*u(k) ^ Y(z)= H(z)U(z) (1.15) Transformée en z 23
EXERCICES
Propriétés de la TZ
1.2.1 Calculer les TZ de
ô(n-a), U(n)=l(n>o), U(n)-U(n-a) aeN, U(n)an , alnl
Pour x(n)=U(n)-U(n-a), calculer x*x.
1.2.2 On suppose que TZ{ yk)=Y(z).
a) Quelles sont les TZ de yk-rri) kyk, k2yk ?
Exemple: on prend yk=U(k)ak.
b) Application: soit à calculer
Etablir une récurrence entre ym+iet ym. En déduire une
équation différentielle sur Y(z) puis calculer Y(z).
1.2.3 Soit
a) Calculer ses développements de Laurent sur les domaines
Di=llzl>2) et D2=(lzl<2|.
b) En déduire les inverses causale et anticausale de F(z).
1.2.4 a) Déterminer l'inverse causale de
b) l'inverse de sur D={ I a I < I z I <l/l a I }.
c) Démontrer la relation (1.12) par développement en série de
1.2.5 Montrer qu'une fraction rationnelle F(z) possède une inverse
causale et une inverse anticausale. Comment peut-on les
déterminer ? 24 Introduction au traitement du signal
1.2.6 TZ et séries de Fourier
a) Soit la suite (yklke z de TZ Y(z). A quelle condition le cercle
unité I z I = 1 appartient-il à la couronne de convergence de
Y(z)?
b) On pose alors f(v)=Y(e2mv). Que peut-on dire de la fonction
Kv)? Quelle relation relie f(v) et (ykl ?
Déterminer yk en fonction de f(9).
c) On suppose que la suite (ujj a aussi une TZ U(z) convergente
sur le cercle unité, on poseg(v)=U(e2i7tv).
Quelle est la fonction h(v) associée à la suite hk=ykUk ?
Equations aux différences finies
1.2.7 Soit l'EDF yk-Yk-l-yk-2 =uk- Calculer la réponse causale aux
entrées uk=l, ak (pour k>0)
(par calcul direct)
1.2.8 Soit l'EDF (E) yk-3yk-i +2yk-2 - uk
a) Déterminer une solution particulière de (E) pour uk=k.
b) Calculer la réponse impulsionnelle causale (gk)
c) On suppose que uk=l(k>0) • Exprimer la réponse causale yk de
(E) par convolution et la calculer.
Retrouver le résultat par inversion causale de la TZ Y(z) de
yk-
1.2.9 On considère les 2 EDF en cascade:
(1) xk=axk-i+uk (2) yk=byk-l+xk a,beC
a) Déterminer les réponses impulsionnelles causales h et g de (1)
et (2), et leurs TZ.
b)r la r.i. et le transfert en z S(z) du système complet
(uk)—>(yk)- En déduire l'EDF reliant ces 2 suites.
Exemples: a,beR, cas où a=b? Cas où a=reie etb=re"ie.
c) On prend uk 4-périodique, avec uo=ui=l et U2=U3=0. Exprimer
yk par convolution (sans calculer la sommation). Calculer
également U(z) et Y(z). TFD 25
1.3. Transformée de Fourier discrète (TFD)
FICHE DE COURS
DEFINITION
Soit x[n] e C une séquence de longueur finie N pour 0 < n < N -1.
. TFD directe d'ordre N :
. TFD inverse d'ordre N :
La transformée de Fourier discrète établit une correspondance
bijective entre deux séquences complexes de longueur finie N. Elle
permet, en pratique, le calcul de la transformée de Fourier directe ou
inverse par des voies numériques.
(1.16)
(1.17) 26 Introduction au traitement du signal
RELATION TF - TFD
. TFD vue comme la discrétisation de la TF sur [0, 1]
. TFD équivalente à une série de Fourier discrète
Soient x[n] etx j^[k] sa TFD, toutes deux séquences de longueur finie
N sur [0, N -1J. On construit les 2 séquences N-périodiques suivantes :
. séquence obtenue par périodisation de x[n] :
. séquence x ^[k] périodisée obtenue par discrétisation de x(v), ve R :
soit encore :
La TFD met en correspondance les deux séquences AT-périodiques x
o
[nj et x N[k] :
(1.18)
(1.19)
(1.20) TFD 27
. TFD et échantillonnage de la TF :
PROPRIETES
Les propriétés de la transformée de Fourier discrète - obtenue par
discrétisation de la TF - se déduisent directement des propriétés de la
transformée de Fourier. Attention à la périodicité implicite des séquences
lors des décalages qui s'effectuent sous forme circulaire !
. Décalage circulaire d'une séquence :
Si la séquence est de longueur supérieure à N, la périodisation
temporelle introduit du "repliement de séquence " !
-» le décalage circulaire est un décalage modulo N. Il est équivalent au
décalage linéaire de la séquence Af-périodique associée, la séquence
résultante étant observée dans la fenêtre [0, AMJ.
. Convolution circulaire :
La correspondance produit <-> produit de convolution est également
vérifiée pour la TFD, mais les convolutions sont circulaires:
Echantillonnage de la TF
(1.21)
(1.22)
(1.23)
(1.24) 28 Introduction au traitement du signal
. Relation de PARSEVAL :
EXERCICES
1.3.1 Augmentation de la résolution de la TFD. Soit une séquence
x[n] de longueur finie N et sa TFD d'ordre N notée x N\k]. Des
séquences de longueur 2N peuvent être obtenues à partir de x[n\
de différentes façons, dans le but de doubler le nombre de points
de spectre.
Les démonstrations seront faites pour un ordre N quelconque. On
pourra ensuite, pour aider à la compréhension des résultats, les
appliquer à la séquence particulière de longueur N = 8 représentée
sur la figure.
(a) Première séquence y[n] de longueur 2N :
y[n] = x[n] + x[n-N\ , n e [0, 2N-1]
Exprimer .y 2Nik], TFD d'ordre 2N de y[n], en fonction de x
iVbH Discuter de l'intérêt de cette méthode.
(b) Deuxième séquence v[n] de longueur 2N :
v[n] = x[n] , ne [0,N-l]
v[n] = 0 , n € [N, 2N-1]
Exprimer v 2A'bH TFD d'ordre 2N de v[n], en fonction de x
flj[k~\. Discuter de l'intérêt de cette méthode.
(c) Troisième séquence w[n] de longueur 2N :
w[2p] = x[p] , peLO.AM]
w[2p+l] = 0 , p e L0, N-l]
Exprimer w 2MH TFD d'ordre 2N de w[n], en fonction de x
I\/[k]. Discuter de l'intérêt de cette méthode.
(d) Comparer les résultats du (a) et du (c) et montrer qu'ils
peuvent se déduire l'un de l'autre par dualité. 1.3.2 Calcul d'une convolution par TFD (*). Un filtre non récursif F
a une réponse impulsionnelle h[n] de longueur finie L = 73 points
telle que h[n] = 0 pour n < 0 et pour n>L.
L'entrée du filtre F est une séquence x[n] de longueur finie M = 128
points telle que x[n] = 0 pour n < 0 et pour n>M.
La sortie y[n] de F peut se calculer par le produit de convolution :
où fi(y) et x(v) sont respectivement les transformées de
Fourier des séquences h[n] et x[n\. Cependant, la formule ci-
dessus n'est pas exploitable pour réaliser le calcul de x[n\ en
machine, à cause de l'intégrale continue. En pratique, on
cherchera à effectuer ce calcul par une transformée de Fourier
discrète inverse d'ordre Af, soit :
_
(a) Quelle est la longueur de la séquence y[n]? Combien de
multiplications réelles doit on effectuer pour calculer la totalité
des points de la séquence y[n] ?
(b) On pourrait théoriquement calculer y[n] par transformée de
Fourier inverse, soit:
TFD 29
Exercice 1.1 Introduction au traitement du signal
Les séquences h[n] etx[n\ sont complétées par des zéros pour
en faire deux séquences de longueur finie N. Dans le domaine
temporel, yp[n] est une séquence de longueur N correspondant
à la convolution circulaire de h[n\ et de x[n\:
On cherche à voir dans quelle mesure on peut utiliser une
convolution circulaire pour calculer une convolution linéaire.
L'ordre N de la TFD utilisée reste à déterminer.
En comparant les relations (1) et (2), préciser les points de la
séquence yp[n\ qui sont identiques à ceux de la convolution
linéaire y[n] pour les valeurs de N suivantes:
. N = 128;
. N = 200.
En déduire, en fonction de L et M, l'ordre N minimum
permettant d'obtenir tous les points de la séquence y[n].
On désire maintenant filtrer une séquence w[n] semi-infinie
causale (w[n] = 0 pour n < 0) par le même filtre F.
On opère par combinaison de convolutions circulaires de h[n] avec
des sections de w[n]. Les algorithmes rapides de calcul de TFD
nécessitent un ordre égal à une puissance de 2 : on choisit JV=256.
(c) Une première méthode consiste à découper la séquence w[n\
en sections consécutives de longueur M, sans recouvrement.
Déterminer M pour que le résultat de chaque convolution
circulaire partielle soit identique à une convolution linéaire.
Comment faut-il recombiner les différents produits de
convolution partiels ?
(d) Une seconde méthode consiste à découper la séquence w[n] en
sections de longueur N (ordre de la TFD).
Préciser comment réaliser le découpage et comment
recombiner les résultats.
-> Aide : on sera amené à faire se chevaucher les sections, et à
commencer la première section pour n < 0.
(e) La grande séquence w[n\ comporte P=2.104 points . Préciser,
pour chacune des méthodes précédentes, le nombre de TFD à
calculer pour obtenir les Q points attendus en sortie du filtre.
30
(2) TFD 31
Sachant que le calcul d'une TFD d'ordre N (directe ou inverse)
demande 2iV.log2(A0 multiplications réelles, en déduire le
nombre de multiplications réelles nécessaires pour calculer,
par TFD, une convolution circulaire partielle.
En déduire, pour chacune des deux méthodes précédentes, la
complexité de calcul en terme de nombre de multiplications
réelles par point de résultat en sortie du filtre,
(f) Comment peut-on choisir au mieux l'ordre N de la TFD?
Comparer la complexité de calcul correspondante avec ce que
donnerait le calcul direct par (1).
1.3.3 Loupe spectrale . On désire agrandir la tranche de spectre d'une
séquence comprise entre les fréquences réduites v0 et v0+l/(2M),
avec M entier :
La TFD d'ordre N prise directement sur la séquence x[n] fournit
NI2 points de spectre x(v) dans l'intervalle 0<v<0.5. L'effet de
loupe a pour but d'obtenir une meilleure résolution spectrale en
donnant N/2 points de spectre entre v0 et v0+l/(2M), sans
augmentation de l'ordre de la TFD.
On utilise à cette fin le système représenté sur la figure ci-après
comprenant un produit, un filtre numérique et un décimateur
d'ordre M .
Le fdtre numérique de fonction de transfert h(z) est un passe-bas
idéal de fréquence de coupure réduite vc=l/(2M). La sortie du
décimateur vaut y[n]=X2[Mn] (voir l'exercice 3.7.2).
(a) Déterminer la séquence w[n\ telle que le spectre de x\[n\ est
une version translatée de x{v) , la tranche de spectre désirée
se trouvant ramenée entre 0 et 1/(2M).
(b) Représenter les spectres de x\[n], X2[n] et y[n] . Conclure sur
l'effet de loupe escompté. Quel est le rôle du filtre numérique
passe-bas ? 32 Introduction au traitement du signal
(c) Application numérique : iV=1024. M=100, Q = 200. La
fréquence d'échantillonnage d'entrée vaut Fe=102.4 kHz.
Calculer la distance Af(en Hz) entre deux points successifs de
la TFD de x[n] ainsi que la distance Af (en Hz) entre deux
points successifs de TFD de y[n] .
1.3.4 Calcul du gain complexe d'un filtre par TFD. On désire
calculer JV points du gain complexe d'un filtre linéaire invariant
causal en utilisant la TFD. Le filtre est défini par une équation
aux différences de forme générale, soit :
avec R>0 et Q<M pour un filtre causal.
(a) Donner l'expression du gain complexe $(v) du filtre.
(b) On veut calculer N points de gain complexe soit n(k/N) ,
0<k<N-l. Déterminer l'expression de fi(k/N) et montrer que
deux TFD d'ordre N permettent d'en effectuer le calcul.
Préciser comment sont constituées les séquences dont on
prend la TFD.
(c) Exemple : soit le filtre
y[n] = 0.5y[n-l] + 0.2y[n-2] - O.lyt/i-3] + x[n-l] + 2x[n-2]
On veut calculer N-8 points de gain complexe. Déterminer les
deux séquences {an\ et \bn\ que l'on devra utiliser pour le
calcul des TFD.
Comment faut-il procéder pour augmenter le nombre de points
de gain complexe? TFD 33
1.3.5 Transformée de Fourier discrète vue comme une base
orthogonale dans . On définit le vecteur signal X associé à
une séquence [x[n]\ de longueur finie N par :
X = [JC[0], x[l], x[2], ... , x[n], ... j[N-l\]T (1)
Cette relation correspond à la décomposition de X dans la base
canonique de CN.
(a) Montrer que les vecteurs <ï>k définis par :
(2)
forment une base orthogonale de CN.
(b) Le vecteur X admet une décomposition dans la base ) :
(3)
Montrer que la A:-ième composante est égale au A-ième
point de TFD x ^lk] .
-» Aide :
(4)
(c) Démontrer la relation de PARSEVAL, en utilisant le fait que
Il X II2, carré de la norme du vecteur signal, est indépendant
du choix de la base.
1.3.6 Transformée de Fourier rapide (FFT : Fast Fourier Transform)
(*). Des algorithmes efficaces permettent le calcul de la
transformée de Fourier discrète d'ordre N d'une séquence avec
une réduction importante du nombre d'opérations élémentaires à
effectuer. Cet exercice présente l'étude de l'algorithme dit Radix 2
(ou algorithme de COOLEY-TUKEY), applicable lorsque l'ordre
de la TFD est une puissance de 2. 34 Introduction au traitement du signal
La relation (1.1) de TFD directe d'une séquence x[n] peut se mettre
sous la forme habituelle suivante :
(1)
en ayant posé, pour alléger l'écriture :
(2)
(a) On effectue une partition de la séquence x[n] en deux sous-
séquences a[p] et b[p\ définies par :
N
. a[p] = x[2p] , 0 < p < — - 1 (termes de rang pair)
N
. b[p] = x[2p+l], 0 <p < - 1 (termes de rang impair)
Montrer que la TFD de x[n] se met alors sous la forme :
x jyt*] = a Nl2[k] + a(k,N).l N/2[k] , 0<k<N-l (3)
où a et 8 sont les TFD d'ordre N/2 respectives
des séquences a\p\ et b[p].
Préciser l'expression du terme a(k,N).
(b) Vérifier que a N/2iki et % Nl'Àh] sont des séquences de période
N/2 et en déduire les relations suivantes:
x N[k] = a N/2[k] + a(k,N).l Nl2[k] , 0 < k < N/2-1 (4)
x N[f +k] = a N/2[k] - a(k,N).t> Nl2[k\ , 0 < k < N/2-1 (5) TFD 35
Ces deux relations sont traditionnellement représentées sous
forme d'un graphe appelé "papillon FFT ":
x° [k]
hNI2 W
oc(*,A0
•
x°N[NI2 + k\
(c) Les relations (4) et (5) montrent que tous les points d'une
TFD d'ordre N peuvent être calculés à l'aide de deux TFD
d'ordre moitié N/2, lesquelles peuvent, de façon récursive,
s'obtenir à l'aide de deux TFD d'ordre N/4, etc.
On pose que l'ordre N est une puissance de 2, soit :
N=2q (6)
On peut alors poursuivre par récurrence la méthode de calcul
jusqu'à l'ordre 2. Combien d'étapes de récurrence sont-elles
nécessaires?
Représenter le papillon FFT pour l'ordre 2.
(d) On considère une TFD d'ordre N=8. Représenter, sous forme
graphique, les calculs à effectuer en faisant apparaître
l'ensemble des papillons FFT nécessaires.
En déduire l'ordre (dit entrelacement ) dans lequel doivent être
placés initialement les points de la séquence x[n\ pour le calcul
des premières TFD d'ordre 2.
(e) Soit^li] ,0<t <N-1, la séquence entrelacée. Les échantillons
de cette séquence sont les mêmes que ceux de la séquence
initiale, mais placés dans un ordre différent, soit :y[i] = x[n]
avec i = f{n). On recherche une méthode pour déterminer
l'entrelacement.
D'après la relation (6) ci-dessus, le rang n se décompose en
base 2 à l'aide de q bits selon:
(7) 36 Introduction au traitement du signal
Montrer que la première partition de x[n] en deux sous-
séquences a[p] et b[p] est déterminée par TOQ.. Préciser
l'expression de p en fonction des bits mj.
Utiliser ce résultat pour montrer que les partitions suivantes
sont successivement déterminées par mi, TO2, ... , mq.i.
En déduire l'expression du rang i de la séquence entrelacée y[i]
en fonction des bits mj et préciser comment, en pratique,
obtenir i à partir de n .
(f) Déterminer en fonction de l'ordre N de TFD :
- le nombre P de papillons FFT par étape de récurrence;
- lee Q d'étapes de récurrence.
Sachant qu'un papillon FFT requiert une multiplication
complexe et 2 additions complexes, en déduire le nombre total
de multiplications et d'additions complexes à effectuer pour le
calcul de tous les points de TFD par l'algorithme Radix 2.
(en pratique, les coefficients de la forme W/v* sont calculés une
fois pour toutes et rangés en mémoire).
(g) Calculer le nombre de multiplications et d'additions complexes
requises pour un calcul de tous les points de TFD par la
relation de définition (1) de la fiche de cours.
Le gain en rapidité de calcul dû à l'algorithme Radix 2 peut
s'apprécier par le facteur de réduction R du nombre de
multiplications (la multiplication étant l'opération la plus
coûteuse en temps de calcul). Déterminer l'expression de R en
fonction de l'ordre de TFD N et interpréter le résultat obtenu.
Application numérique : AT=1024. Calculer R.
(h) Comment faut-il modifier l'algorithme pour calculer une TFD
inverse ? Chapitre 2
Echantillonnage
FICHE DE COURS
DEFINITION
. Signal échantillonné idéal
Soit xa(t) un signal à temps continu (signal analogique). L'échan­
tillonnage idéal de xa(t) avec une période Te, est défini par :
(2.1)
soit : xe(t) = xa(t).UiTJ(t) (2.2)
avec: , peigne de Dirac
PROPRIETES
. Transformée de Fourier du signal échantillonné :
(2.3) 38 Introduction au traitement du signal
L'opération d'échantillonnage temporel entraîne une périodisation du
spectre originel; il en résulte un éventuel repliement spectral si certaines
portions de spectre sont amenées à se chevaucher.
.Transformée de Fourier de la séquence associée :
Soit x[n] - xa(nTe) la séquence associée au signal échantillonné. On
rappelle l'expression de la TF de x[nj :
hc(l) = sinC (nFet) (2.7)
La TF de x[n] est liée à celle du signal échantillonné par :
. Théorème d'échantillonnage de Shannon :
Un signal analogique à temps continu xa(t) peut être échantillonné à la
fréquence Fe sans perte d'information, sous rései-ve que les deux
conditions suivantes soient satisfaites:
a/ le spectre de xa(t) est borné dans [-B, B ];
b/ la fréquence d'échantillonnage Fe est supérieure ou égale à 2B.
. Reconstitution analogique à partir du signal échantillonné :
La relation (2.6) prouve la possibilité de reconstruire le signal
analogique originel à partir de ses échantillons, sous réserve que ce
signal remplisse rigoureusement les conditions du théorème
d'échantillonnage. Cette relation correspond au produit de convolution du
signal échantillonné avec la réponse impulsionnelle non-causale d'un
filtre cardinal donnée par :
(2.6)
(2.5)
(2.4) Echantillonnage 39
La relation (2.7) montre que ce filtre cardinal effectue une opération
d'interpolation sur le signal discrétisé. De façon plus théorique, on
montre que l'ensemble des signaux à spectre borné dans [-B, B ] est un
sous-espace S de l'espace fonctionnel des signaux d'énergie finie. Les
fonctions en sinC[27tC(/-n/2fl)] constituent une base orthonormée de S; la
formule d'interpolation (2.6), avec Fe = 2B , correspond alors à la
décomposition d'un signal membre de S dans cette base.
EXERCICES
2.1 Echantillonnage idéal. Soit un signal analogique à temps
continu xa(t) dont la Transformée de Fourier (TF) x a(f) est à
support borné dans l'intervalle [-F, +F\. On échantillonne xa(t) à la
fréquence Fe = VTe = 9F.
L'échantillonnage idéal, réalisé à l'aide d'un peigne de Dirac,
conduit au signal échantillonné xe(t) = xa(l).U)Te(t)- La figure
suggère une allure simplifiée de la TF de xa{t) que l'on pourra
utiliser pour la représentation des différents spectres.
(a) Représenter graphiquement x e(f) pour fe [-30F , 30F].
(b) xa(t) s'exprime en volts. Quelles sont les unités respectives de
xe(t),xa(f) etxe(f)7
(c) On échantillonne maintenant un signal à temps continu de la
forme xa(i < A.cos(2nfat) + C0. La suite des échantillons ainsi
obtenue cou litue la séquence [x[n\ )={xa(nTe)}.
Déterminer l'expression de x[n]. Calculer et représenter sa TF
x(v) pour -1 < v < 1. Quelle est l'unité de x(v) ?
Application numérique : A =1; C0=1.5; f0=l kHz; Fe =5 kllz.
Préciser les masses des différentes raies présentes dans
S(v).
F=5kHz
A
-F
0
+F
1
Exercice 2.1 40 Introduction au traitement du signal
2.2 Echantillonnage réel à l'aide d'un bloqueur.
La fonction "bloqueur" est représentée sur la figure où x\(t)
constitue une forme de signal échantillonné. L'opération
d'échantillonnage réel est ici modélisée par un échantillonnage
idéal suivi d'une convolution avec un signal à temps continu h{t).
De façon à permettre des comparaisons avec l'échantillonnage
idéal, on reprendra, pour la TF de xa(t), l'allure dessinée sur la
figure de l'exercice (2.1).
x (/)
0
(n+\)Te
i
Exercice 2.2
(a) Représenter le signal h(t) permettant d'obtenir x\(t) à partir
du signal échantillonné idéal xe(t). Quelle est l'unité de h(t)?
(b) Calculer la TF de x\(t) en fonction de x a(f); représenter le
module de x \{f) pour ©=Te /3.
(c) Même question pour Q=Te (cas d'un échantillonneur-bloqueur
classique).
(d) Avec quelle unité s'exprime x \{f) ?
(e) Le signal analogique xa(t) est maintenant sinusoïdal de la
forme -jca{t) = A.cos(2nf0t) + C0.
Un convertisseur analogique-numérique, placé en aval du
bloqueur, effectue une conversion pendant la durée 0 et délivre
une séquence x[n] (on ne prendra pas en compte l'aspect de
quantification lié au codage du signal).
Déterminer l'expression de x[n] et de sa TF x(v).
(f) Quelle serait la TF du signal analogique xar(t) reconstitué à
partir de x[n\ à l'aide d'un convertisseur numérique-analogique
classique? Comparer cette TF à x a(f) et déterminer le
traitement à effectuer sur xar(t) pour retrouver exactement, à
un retard pur près, le signal initial xa(t). Echantillonnage 41
2.3 Echantillonnage réel à l'aide d'une porte . La fonction "porte"
est définie sur la figure où X2(t) représente une forme de signal
échantillonné. L'opération d'échantillonnage réel est ici modélisée
par un produit avec un signal à temps continu w(t).
De façon à pouvoir effectuer des comparaisons avec
l'échantillonnage idéal, on reprendra, pour la TF de xa(t), l'allure
dessinée sur la figure de l'exercice (2.1).
a
G
(n+l)Te
t
Exercice 2.3
(a) Représenter la fonction w{t) telle que X2(t)=xa(t).w(t) et
déterminer son unité sachant que xa(t) s'exprime en volts.
(b) Calculer la TF de X2(t) en fonction de x a{f). Représenter le
module de x 2(f) pour 0 = Te /3 et pour Q=Te .
(c) Avec quelle unité s'exprime x 2(f) ?
2.4 Sous-échantillonnage (**). Un signal analogique xa(t), de
spectre borné dans [-F, +F\, module en amplitude une porteuse
sinusoïdale de fréquence f0, d'où le signal résultant:
pa(t) = k xa(t).cos(2nfot)
Valeurs numériques:
. F = 5kHz
.f0= 110kHz
L'allure du spectre de xa(t) est représentée sur la figure de
l'exercice (2.1).
Le signal de porteuse modulée est à bande passante limitée entre
fQ-F et f0+F, avec bien sûr la symétrie hermitienne habituelle sur
les fréquences négatives.
On désire transmettre une version échantillonnée de cette porteuse
modulée, les échantillons étant émis sous forme numérique. La
fréquence d'échantillonnage est appelée Fe.
On négligera dans tout le problème les effets dus à la
quantification du signal. 42 Introduction au traitement du signal
(a) En appliquant le théorème d'échantillonnage de Shannon au
signal de porteuse modulée, trouver le nombre minimal
d'échantillons à transmettre par seconde.
(b) On échantillonne de façon idéale la porteuse modulée en
amplitude à la fréquence Fe-40kHz, d'où le signal pe(t).
Dessiner l'allure du spectre de pc{t) dans la bande 0,120kHz.
(c) Qu'obtient-on en filtrant ce signal échantillonné idéal avec un
filtre passe-bande dont la bande passante s'étend de 105 à
115kHz?
(d) Qu'obtiendrait-on en filtrant le signal échantillonné idéal pe(t)
avec un filtre cardinal passe-bas de fréquence de coupure 20
kHz?
(e) Conclure sur l'intérêt de cette méthode. Discuter des
problèmes liés à la stabilité des fréquences /h et Fe.
(f) La question précédente a montré que l'on peut, dans certains
cas, échantillonner un signal à une fréquence très inférieure à
la fréquence minimale de Shannon. Dans cette question, on
cherche à établir des relations générales valables pour le sous-
échantillonnage.
En écrivant qu'après échantillonnage les multiples bandes de
fréquence issues du repliement ne se chevauchent pas, trouver
deux inégalités que doivent satisfaire les fréquences /o, F et Fe
Ces inégalités font intervenir un nombre entier K. (Aide : écrire
que la Kième image et la (X+l)ième image de la bande
centrée sur -/n doivent encadrer la bande centrée sur +/h)
(g) Calculer :
- la valeur maximale possible de K en fonction de F et de f0;
- lar minimalee pour Fe; en déduire une forme
généralisée du théorème d'échantillonnage.
Dans quelle plage la fréquence d'échantillonnage minimale
peut-elle être choisie ?
2.5 Simulation numérique d'un système à temps continu.
Dans le système représenté sur la figure, un signal analogique
xa{t) est appliqué à l'entrée d'un filtre analogique de réponse
impulsionnelle haU) à priori quelconque.
Le signal xa(t) est supposé à bande limitée dans [-Fe/2, Fe/2] et
vérifie donc les conditions du théorème d'échantillonnage. On
prélève régulièrement, avec une période Te, des échantillons à
l'entrée et, en synchronisme, à la sortie du filtre; on obtient ainsi
les deux séquences [xa(nTc)} et \ya(nTe)}. Echantillonnage 43
On cherche dans quelle mesure on peut simuler numériquement le
comportement du filtre analogique à l'aide d'un filtre discret.
[a) Montrer que le signal ya(t) vérifie également les conditions du
théorème d'échantillonnage.
[b) Exprimer l'échantillon courant de sortie ya{nTe) en fonction des
échantillons {xa(nTe)} prélevés à l'entrée.
-> Aide : xa{t), vérifiant les conditions de Shannon, est
décomposable suivant la formule d'interpolation (2.6).
[c) En déduire l'expression, en fonction de ha(t), de la réponse
impulsionnelle h[n] du filtre discret équivalent, c'est-à-dire tel
que y[n] =ya(nTe), rceR.
[d) Même question qu'en (c) si la réponse impulsionnelle ha(t) du
filtre vérifie elle aussi les conditions du théorème
d'échantillonnage.
[e) Application : on utilise une version échantillonnée de la
réponse impulsionnelle du filtre analogique comme réponse
impulsionnelle du filtre discret, soit :
h[n] = X.ha(tiTe) , neZ
Préciser la valeur de la constante X. Dans quelle mesure une
telle simulation peut-elle donner un résultat rigoureusement
exact en pratique ?
xa(t) .
Kit)
yjt)
x (nT )
a e
h[n]
y[n\
i i
Exercice 2.5
2.6 Quantification uniforme (*). En pratique, l'échantillonnage
d'un signal à temps continu est suivie d'un codage de chaque
échantillon x en une valeur Q[x] représentée sous forme numérique
(conversion analogique-numérique). Cette opération constitue une
discrétisation du signal, avec un pas de quantification A que l'on
supposera ici constant. 44 Introduction au traitement du signal
Pour iA < x < (i+l')A (i'ème intervalle de quantification), le
procédé de quantification retenu dans cet exercice est un arrondi
de la valeur de x à ±A/2 près, soit :
Si (x - iA < A/2) alors Q[x] = iA sinon Q[x] = (i +1)A.
Si l'on utilise un code binaire sur b bits, la plage de codage vaut
A=2b.A .
La figure représente un codage en complément à 2 avec 6=3.
A QUI
Exercice 2.6
Une erreur de quantification apparaît, définie par :
e(x) = Q[x]-x (1)
(a) Déterminer l'expression de l'erreur de quantification e(x)
en fonction de x , pour x situé dans le t-ième intervalle de
quantification et tracer l'allure du graphe correspondant.
(b) On admet que l'erreur de quantification e - encore appelée
bruit de quantification — est une variable aléatoire continue
non corrélée à x et dont la densité de probabilité (DDP) pe(e)
est uniforme, soit :
= 0 , ailleurs Echantillonnage 45
(on peut montrer que ces hypothèses sont plausibles si x
franchit plusieurs niveaux de quantification d'un échantillon
codé à l'autre).
Montrer que e est centrée et exprimer sa variance ae^ en
fonction de A.
(c) On définit un rapport signal à bruit de quantification (en dB)
par :
(3)
où ox2 est la variance de x. La dynamique de .r est supposée
ne pas dépasser la plage de codage, soit -A/2 < x < A/2
(absence de saturation).
Déterminer l'expression de V^B en fonction de ax, du nombre b
de bits et de l'amplitude A de la plage de codage.
Quel est l'apport en dB d'un bit supplémentaire ?
(d) Calculer la valeur maximum de r^u avant saturation pour un
codage sur 16 bits avec les signaux suivants supposés centrés:
- signal sinusoïdal;
-l gaussien, dont la valeur crête sera estimée à 4aA.
(e) Soit px(£) la DDP de x. La sortie y = QLJC] du quantificateur est
une variable aléatoire discrète dont la DDP, interprétée au
sens des distributions, se met sous la forme:
(4)
Calculer la probabilité P(y = kA). En déduire que py(v)
correspond à l'échantillonnage du produit de convolution de
pxiÇ) avec une fonction w(^) à déterminer (on fera ici
l'approximation que la plage de codage est étendue à
l'ensemble des réels),
(f) Calculer la fonction caractéristique (FC) Q>y(u) de y en fonction
de la FC <t>x(u) de x .
Aide : relation entre FC et DDP d'une VA à l'aide de la TF:
, avec 46 Introduction au traitement du signal
Montrer que la FC <t>y(u) est périodique et préciser sa période
Interpréter ce résultat sous une forme similaire au théorème
d'échantillonnage, en montrant que la DDP du signal originel
x peut être retrouvée de façon exacte à partir de la DDP du
signal quantifié y , sous réserve de conditions que l'on
précisera.
(g) Application : x est gaussien, centré et d'écart-type ax = N.A.
Les conditions d'application du théorème défini à la question
(f) peuvent-elles être rigoureusement vérifiées pour ce type de
signal ou seulement de façon approximative ? Comment doit-
on alors choisir N ?
Aide : la FC d'une VA gaussienne centrée est donnée par :
<!>x(u) = e - °x2 "2/2 (5)
2.7 Echantillonnage et signaux aléatoires à bande limitée (**).
Soit un processus aléatoire centré et stationnaire à temps continu
x(l) de fonction d'autocorrélation yx(x) e L2(R) et de densité
spectrale de puissance y x(f). On échantillonne x(t) aux instants
nT+Q, 0 étant une variable aléatoire de densité de probabilité
uniforme dans [0, T], non corrélée à x(t), et destinée à rendre le
processus échantillonné y(t) stationnaire. On reconstitue ensuite
un signal analogique zU) en filtrant y(t) par un filtre cardinal de
gain complexe et de réponse impulsionnelle donnés par:
(1)
et : (2)
Filtre cardinal
x(t) y(t)
Ht)
z(f)
UJ^Cr - 0)
y(t) = x{t).\Uiit - O) ; z(t) = (h * y)(t). Echantillonnage 47
(a) En utilisant le développement en série de Fourier du peigne de
Dirac :
(3)
vérifier formellement que la fonction d'autocorrélation (non
centrée) de la distribution aléatoire A(t) = Wqit-Q) est :
(4)
(b) Montrer que la fonction d'autocorrélation de z(t) vaut :
(5)
V V
où : yh(x) = (h* h )(T) , avec h(x) = h(-x)
En déduire que la densité spectrale de puissance de z(t) est :
fz(f) =(& *F2\UF)(f).\hf) I2
(6)
Interpréter la relation entre le spectre de x(t) et celui de z(t).
Que se passe-t-il si xU) est à bande limitée [-a, a] ?
(c) Le signal x(t) est à bande limitée [-o, a]. On a alors yz(x) -
yx(x) et cette fonction de BL2[-a,a] vérifie le tbéorème
d'échantillonnage de Shannon :
(7)
(cl) Expliciter z(t) à l'aide de h(t-nT). En déduire que :
E[x(t).zU)] = Y*(0)
(8)
(c2) Déduire de (cl) que E{[x(t)-z(t)]2} - 0. Justifier alors le
théorème d'échantillonnage appliqué au PA x(t), soit :
(presque sûrement) (9)
•&(t) = i(yx • FWr ) * YAJ(X) Chapitre 3
Filtrage discret
FICHE DE COURS
DEFINITION
. Filtre linéaire invariant discret :
x[n] T{ }
•y[n]
- Linéarité :
T{ Xi.xiM + 3l2JCi[n] } = Xi.TtxiIn]} + X2.T{x2M ) (3.1)
- Invariance par translation temporelle :
T{ x[n]} = y[n] => T{ x[n-p]} = y[n-p] (3.2)
- Réponse impulsionnelle :
fc = T{ô) (3.3)
- Produit de convolution discret :
y[n] = (x * h)[n] =
keZ
^jc[k].h[n-k] (3.4)
PROPRIETES
. Propriétés du produit de convolution discret :
- Commutativité :
(x * h)[n] = (h * x)[n] (3.5) 50 Introduction au traitement du signal
(3.12)
- Associativité :
{x * (hi * h2)} In] = (Ce * hi) * h2\ M (3.6)
- Distributivité sur la somme :
[x *(hi + h2)\ [n] = (x * hiAn] + (x * h2)[n] (3.7)
- Elément neutre : séquence de Kronecker:
(x * $)[n] = (S * x)[n] = x[n] (3.8
. Stabilité (condition nécessaire et suffisante) :
XlMn]| <<*> (3.9)
neZ
. Causalité (condition nécessaire et suffisante) :
h[n] = 0 pourrc<0 (3.10)
FILTRE DEFINI PAR UNE EQUATION AUX DIFFERENCES FINIES
N M
y[n] = ^jik.y[n-k] + ^bp.x[n-p] (3.11)
k=l p=L
. Filtre à réponse impulsionnelle finie (RIF) ou filtre non-récvirsif :
ak = 0,l<k<N bp = h[p] , L<p<M
. Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RU) ou filtre récursif :
-> il existe au moins un coefficient * 0 dans (3.11)
FONCTION DE TRANSFERT : Filtrage discret 51
. Filtre défini par une équation aux différences finies.
, Gain complexe (réponse en fréquence) :
h(y) = TF {h[n\ ) = h{e>2™) (3.14)
, Propriétés :
Stabilité
Un filtre linéaire invariant est stable si et seulement si le cercle
\z | =1 est situé dans le domaine de convergence de sa fonction de
transfert h(z) .
Filtre stable et causal
Un filtre linéaire invariant causal est stable si et seulement si
tous les pôles de sa fonction de transfert h(z) sont situés à
l'intérieur du cercle |z|=l.
Filtre stable et anti-causal
Un filtre linéaire invariant anti-causal est stable si et seulement
si tous les pôles de sa fonction de transfert h(z) sont situés à
l'extérieur du cercle |z|=l.
Existence du gain complexe
Si la fonction de transfert h(z) existe, le gain complexe existe si et
seulement si le cercle |z|=l est situé dans le domaine de
convergence. A noter qu'il est possible que le calcul de n(v)
puisse éventuellement converger bien que la fonction de transfert
h(z) n'existe pas : en effet, le cercle |z|=l, anneau de largeur
nulle, ne constitue pas un domaine de convergence valide pour 1 a
TZ .
(3.13) 52 Introduction au traitement du signal
Calculer n pour les signaux et .r2iw]-
EXERCICES
3.1 Filtrage non-récursif : moyenneur mobile. On considère un
filtre linéaire invariant discret causal (type RIF) de séquence
d'entrée x[n] et de séquence de sortie y[n]. La réponse
impulsionnelle du filtre, représentée sur la figure, possède une
longueur finie égale à M points.
(a) Déterminer l'équation aux différences non-récursive du
filtre et la fonction de transfert h(z) correspondante. En
déduire que le traitement effectué s'apparente bien à une
moyenne mobile.
(b) Il existe un filtre récursif (type RII) équivalent de même
réponse impulsionnelle quelle est son équation aux
différences? Quel est l'intérêt de ce filtre par rapport au
précédent ?
En pratique, les variables y[n-l], x[n-l], x[n-2] ...etc.
apparaissant dans les équations aux différences, peuvent
avoir une valeur initiale (pour n = 0) à priori quelconque.
Comment se comporte chaque type de filtre vis-à-vis de ce
problème ?
(c) Calculer le gain complexe &(v) du filtre récursif. Tracer la
courbe du module avec M=3 pour 0<v<l.
(d) Soient les signaux stationnaires suivants comprenant une
composante continue et une composante variable aléatoire :
. xiln] = CQ + A cos (2îtvo« + où <J> possède une DDP
uniforme entre 0 et 2n.
. x-2[n] = CQ + b[?i], où b[n\ est un bruit blanc centré de variance
a*.
On considère la composante variable comme un "bruit" qu'il
s'agit de réduire grâce à l'effet de "lissage" apporté par le
moyennage mobile. Pour des signaux du type ci-dessus, on
définit un "rapport signal à bruit" par la quantité :
Ce rapport est noté Vx à l'entrée et Ty à la sortie.
On peut définir une "efficacité de lissage" par le rapport: Filtrage discret 53
(e) Déterminer, par convolution discrète, la réponse indicielle
w[n] du moyenneur et représenter celle-ci pour A/=3.
Quel est, en nombre d'échantillons, le temps de réponse du
filtre ?
. Un]
Exercice 3.1
3.2 Filtrage récursif du premier ordre
Soit la fraction rationnelle :
Cette fonction de la variable complexe z est la transformée en z de
h\[n] (séquence causale) et de ti2[n] (séquence non causale).
(a) Calculer h\[n] et h2in] et préciser les domaines de
convergence des transformées en z associées.
(b) /ti[ra] et h2[n] sont les réponses impulsionnelles de deux
filtres récursifs appelés respectivement Fi et F2.
Ecrire les équations aux différences de ces deux filtres.
(c) On suppose I et I <1. Ecrire l'expression du gain complexe
(réponse en fréquence) fi i(v) du filtre Fi. Que peut on dire du
gain complexe du filtre F2 ?
(d) Représenter le module du gain complexe h i(v) sur
l'intervalle 0 < v < 1 pour a = - 0,5 et a = + 0,5. Préciser le type
de filtre obtenu (passe-bas, passe-haut, etc.).
(e) Représenter le diagramme des pôles et des zéros du filtre Fi
et trouver graphiquement la valeur de l'argument de & i(v) .
Tracer l'allure de la courbe de phase de fi i(v) sur le même
intervalle que le module pour a = - 0,5 et a = + 0,5. 54 Introduction au traitement du signal
3.3 Filtrage récursif du second ordre. Soit la fraction rationnelle :
dans laquelle I a I < 161 et G > 0.
(a) Trouver toutes les séquences hjjji] dont hiz) peut être la
transformée en z et préciser les domaines de convergence
associés.
Application numérique : a = 0.5; 6 = - 2; G = 1. Préciser quelle
séquence correspond à la réponse impulsionnelle d'un filtre
stable. Représenter cette séquence entre n = - 3 et n = 2 et
vérifier sa compatibilité avec l'équation aux différences.
(b) a = p.ry0; b = p.e"^9. Parmi toutes les séquences hg[n], on
choisit la séquence causale, notée hc[n]. Quel est le domaine
de convergence associé pour la transformée en z ?
Préciser la condition de stabilité du filtre correspondant et
écrire son équation aux différences.
(c) En utilisant les résultats de (a), montrer que la réponse
causale peut se mettre sous la forme :
a et P étant des fonctions de n.
(d) Application numérique :
p = 0.95; 0 = jt/4; G = 1.
Représenter le diagramme des pôles et des zéros et en déduire
l'allure du module de la réponse en fréquence du filtre.
3.4 Synthèse d'un filtre récursif par invariance temporelle . Une
méthode de synthèse d'un filtre discret, qui semble à priori assez
naturelle, consiste à "copier" la réponse temporelle d'un filtre
analogique donné. On espère ainsi obtenir un filtre numérique
"équivalent" au filtre analogique en question.
Cet exercice montrera en fait que les conséquences de
l'échantillonnage rendent cette méthode peu efficace, en
imposant des limitations sur la forme du gabarit en fréquence du
filtre discret. Filtrage discret 55
(a) Soit le filtre analogique causal de fonction de transfert :
La constante de temps T vaut 0.5 s.
Calculer sa réponse impulsionnelle ha(t) et sa réponse
indicielle va(t).
(b) Dans la méthode de l'invariance impulsionnelle, on
échantillonne ha(t) avec la période Te = x.ln(2). On obtient
ainsi une séquence ha(n.Te). Ecrire la fonction de transfert
h i(z) d'un filtre discret de réponse impulsionnelle
h\[n]=ha{n.Te) ainsi que son équation aux différences.
Calculer sa réponse indicielle ui|n] et tracer sa réponse en
fréquence. Comparer ces réponses à celles du filtre
analogique de départ et interpréter les différences observées.
(c) Dans la méthode de l'invariance indicielle, on
échantillonne va(t) avec la période Te = T.ln(2). On obtient
ainsi une séquence va(n.Te). Ecrire la fonction de transfert
h 2(z) d'un filtre discret de réponse indicielle v2M-va{n.Te)
ainsi que son équation aux différences.
Calculer sa réponse impulsionnelle fi2[n] et tracer sa réponse
en fréquence. Comparer ces réponses à celles du filtre
analogique de départ et interpréter les différences observées.
(d) Une fonction de transfert h a(p) ne comportant que des pôles
simples admet un développement en éléments simples du 1er
ordre. Montrer que la méthode de l'invariance
impulsionnelle appliquée à cette fonction de transfert
transforme les pôles - mais pas les zéros - selon une relation
z=<P(p) (ceci reste vrai également pour des pôles multiples,
mais la démonstration est lourde).
On posep = a + jil. Par cette transformation <£>, comment se
transforment, dar.s le plan z, le demi-plan gauche et l'axe
imaginaire du plan p ? Cette transformation est-elle
bijective ?
Conclure sur l'intérêt de cette méthode de synthèse, en ce qui
concerne la stabilité du filtre numérique obtenu.
(e) On désire réaliser un filtree récursif du 1er ordre
de type passe-bas, ayant une fréquence de coupure à -3 dB
égale à fc.
La fréquence d'échantillonnage vaut Fe. On décide pour cela
d'appliquer la méthode de l'invariance indicielle sur le
filtre h a(p)-56 Introduction au traitement du signal
On pose Te = x.ln(l/a) avec 0 < a < 1. (a voisin de 1
correspond à un échantillonnage de va(t) à une fréquence Fe
élevée, a voisin de 0 à une fréquence Fe faible).
On pose vc = fc/Fe. Ecrire la relation qui lie COS(2TCVc) à a sous
la forme COS(2TCVC) = g(a), et tracer l'allure de g(a). Discuter
des possibilités de choix de vc et de la valeur de la fréquence
d'échantillonnage Fe .
(f) Conclure sur les limitations des méthodes par invariance
temporelle pour la synthèse de filtres dont le gain doit
satisfaire à un gabarit donné défini par une bande passante
et une bande atténuée.
3.5 Synthèse des filtres recurs ifs par passage d'une équation
différentielle à une équation aux différences (*). Pour éviter les
inconvénients des méthodes par invariance temporelle mis en
évidence dans l'exercice 3.4, on peut tenter de remplacer
l'équation différentielle du filtre analogique par une équation
aux différences.
Soit le filtre analogique de fonction de transfert h a(p)
correspondant à l'équation différentielle suivante (l'entrée est
xa(t) et la sortie estyA(0 ):
On synthétise un filtre à temps discret à partir de ce filtre
analogique, en remplaçant les dérivées par des différences aux
instants t = nTe :
(a) Montrer que l'on peut trouver directement la fonction de
transfert h(z) du filtre discret en posant p = 4>i(z) dans la
fonction de transfert h• a(p) du filtre analogique. Filtrage discret 57
(b) Quelle est l'image de la droite p = jQ dans le plan z par cette
transformation <b\ ?
—» Aide : dans le plan complexe, l'inverse d'une droite est un
cercle.
Comment se transforme le demi-plan gauche du plan p dans
le plan z ? Conclure sur l'intérêt de cette méthode de synthèse
vis-à-vis :
. de la stabilité du filtre numérique obtenu;
. de la réalisation d'un filtre à partir d'un gabarit en
fréquence.
(c) Appliquer cette méthode à un filtre analogique du premier
ordre de fonction de transfert :
Comment évolue la réponse en fréquence du filtre discret
synthétisé, lorsque Te varie dans l'intervalle ]0..t] ?
(d) Le passage de l'équation différentielle à l'équation aux
différences peut également se faire en posant :
Montrer que cette opération revient à poser p = <I>2(z) dans la
fonction de transfert h a(p) du filtre analogique. En étudiant
l'image dans le plan z de la droite p=j£l par cette
transformation <I>2> montrer que l'on risque d'obtenir un
filtre discret instable bien que le filtre analogique soit stable.
3.6 Synthèse d'un filtre récursif par transformation bilinéaire
La transformation bilinéaire est définie par la relation:
(1)
Faisant correspondre la droite p = jQ et le cercle unité z = o?-™ -
comme la suite de l'exercice le montrera - elle est donc la seule
transformation utilisée pratiquement pour synthétiser un filtre
récursif répondant à un gabarit donné en partant d'une
analogique de fonction de transfert ha(p) . 58 Introduction au traitement du signal
La valeur choisie pour k n'a pas d'influence sur les
caractéristiques du filtre discret obtenu et peut donc être
quelconque. En pratique, on choisira k de façon à partir d'un
filtre analogique normalisé.
(a) Montrer que la transformation bilinéaire fait correspondre
la droite p = jÇi et le cercle unité z =e^27rv. En déduire 1 a
relation liant Q et v. Montrer qu'un filtre analogique stable
conduit, par transformation bilinéaire, à un filtre discret
stable également.
(b) On désire fabriquer un filtre discret passe-bas, fonctionnant
avec une fréquence d'échantillonnage égale à 8 kHz. Le
gabarit de ce filtre est représenté ci-dessous.
dB
0
-3
-18
800 H/.
1480 Hz r
Représenter le gabarit du filtre discret pour 0 <v <1.
En utilisant la relation liant Q. et v, construire le gabarit du
filtre analogique associé. On choisira la valeur de k qui
donne un gabarit du filtre analogique normalisé (pulsation
de coupure Çlç = 1).
Synthétiser le filtre analogique sous forme d'un filtre de
Butterworth, et en déduire, par transformation bilinéaire, le
filtre numérique cherché.
—> Aide : le carré du module de la fonction de transfert d'un
filtre passe-bas de Butterworth normalisé d'ordre n est
donné par :
(2)
Cette relation permet de déterminer l'ordre minimum du
filtre analogique recherché.
La table ci-dessous donne les paramètres des étages
analogiques passe-bas du premier et du second ordre à mettre Filtrage discret 59
en cascade pour fabriquer un filtre de Butterworth passe-bas
normalisé d'ordre n.
Les fonctions de transfert d'un étage du premier ordre et d'un
étage du second ordre sont respectivement de la forme :
étage 2m
Q0
2 1 1,414214
1
3 1
2 1
!
4 1
2
1,847759
0,765367
5 1
2
3
1,618034
0,618034
j
(c) Soit le filtre analogique du premier ordre :
La sortie y(t) de ce filtre aux instants nTe vérifie :
(3)
En approximant le calcul de l'intégrale par la méthode des
trapèzes, établir une équation aux différences liant y(nTe) à
y[(n-l)Te\, x(nTe) et x[(n-l)Te].
Montrer que cette approche de résolution approchée d'une
équation différentielle est un cas particulier de la
transformation bilinéaire. 60 Introduction au traitement du signal
3.7 Filtres non-invariants par translation : décimateur et
interpolateur (*). Afin de faciliter la compréhension des
traitements effectués par ces filtres, on pourra utiliser les
représentations suivantes, bien que la correspondance par
Fourier soit fausse :
x[n]
*[0] x[l]
x[2]
*[9]
0 12345 678 9
n
x(v)
0 v0
0.5
1
v
La séquence x[n] est supposée de spectre borné dans l'intervalle de
fréquence réduite [-0.5, 0.5] comme sur la figure.
3.7.1 Filtre interpolateur d'ordre M :
x[n] •| M y[n]
Le traitement effectué par ce filtre est défini par :
y[M.p] = x[p]
= 0
,p GZ
, ailleurs
Les diverses représentations graphiques seront faites pour M = 3.
(a) Représenter l'allure de y[n]. Examiner les propriétés de
linéarité, de causalité, de stabilité et d'invariance par
translation pour ce type de filtre.
(b) Exprimer y{z) en fonction de x{z) . En déduire l'expression
de>'(v) en fonction dex(v) . Dessiner l'allure dey(v) . Quel
est l'effet du filtrage sur le spectre? Filtrage discret 61
3.7.2 Filtre décimateur d'ordre M (échantillonnage à temps discret) :
x[n]
4 M
y[n]
Le traitement effectué par ce filtre est défini par :
y[n] = x[M.n] ,neZ
Les diverses représentations graphiques seront faites pour M = 3.
(a) Représenter l'allure de y[n]. Examiner les propriétés de
linéarité, de causalité, de stabilité et d'invariance par
translation pour ce type de filtre.
(b) On introduit pour la suite la séquence x\[n] construite à partir
de x[n] en ne gardant que les échantillons multiples de M ,
les autres étant remis à zéro, soit l'opération :
x\[n] =x[n] . WMM (1)
avec UJ^/[n] , "peigne de Kronecker", défini par :
(2)
keZ
Dessiner l'allure de xi[n] et déterminer l'expression de xi(v)
en fonction de x(v) . Représenter l'allure du spectre
correspondant.
(c) Montrer que l'on obtient la séquence x\[n] en faisant passer
y[/i] dans un filtre interpolateur d'ordre M (voir l'exercice
3.7.1).
En déduire l'expression de y(v) en fonction de x(v) et
représenter l'allure du spectre correspondant.
(d) On peut également interpréter cette opération de décimation
comme l'échantillonnage "discret" de la séquence x[n] avec
une période égale à M.
Sous quelles conditions est-il possible de reconstituer x[n\ à
partir de la séquence "échantillonnée" y[n]? Quel traitement
faut-il effectuer pour y parvenir?
En déduire l'énoncé d'un théorème d'échantillonnage des
séquences à temps discret s'inspirant du théorème
d'échantillonnage des signaux à temps continu (voir la fiche
de cours "Echantillonnage" correspondante).
o[n - kM] 62 Introduction au traitement du signal
3.7.3 Association d'un filtre décimateur et d'un filtre interpolateur :
x[n] 4 M,
x'[n]
M2 y[n]
(a) Déterminer l'expression de y(v) en fonction de x(v) .
Représenter y(v) avec M\=4 et Af2=3.
(b) La séquence x[n] a été obtenue à partir d'un signal
analogique xu(t) avec une fréquence d'échantillonnage Fe.
Quelle est la cadence d'échantillons F'e dey[n]?
(c) On fait passer la séquence y[n] dans un filtre numérique
passe-bas idéal de fréquence de coupure VC=VQM\IM2 et de
gain égal &M\. On reconstitue ensuite — sans défaut - un
signal analogique wa{t) à partir de la séquence w[n\ de sortie
du filtre numérique.
Comparer les signaux xa(t) et wa(t). Quel est l'intérêt du
traitement effectué? Sous quelle réserve a-t-on un
fonctionnement correct ?
3.7.4 Association de filtres invariants et de filtres non-invariants :
Dans les deux ensembles (I) et (II) ci-dessous, ¥\ et F2 sont des
filtres linéaires invariants discrets.
(a) Déterminer les expressions deyilrc] et dey2(n] en fonction de
x[n] .
—> Aide : on effectuera les calculs au niveau temporel en
utilisant le produit de convolution discret.
(b) Quelle relation doit-il y avoir entre les deux réponses
impulsionnelles hi[n] et h'2ln] pour que les deux traitements
ci-après soient équivalents ?
(I)
x[n]
M. M
x'[n]
F1
y M
h{[n\ M
ai)
x[n]
M
x"[n]
F2
hjn]
3.8 Conséquences de la réalisation numérique des filtres récursifs
En pratique, un filtre numérique est réalisé à l'aide d'un
processeur de signal exécutant un programme. Les diverses
grandeurs numériques (échantillons et coefficients) sont Filtrage discret 63
stockées sous forme binaire dans un format permettant la
représentation de valeurs non entières signées. Le format le plus
simple est dit à virgule fixe et comporte 6+1 bits en codage
complément à 2:
0 -1 -b
2 2 - 2
X . X X X ... X
La plage de valeurs représentables dans ce format s'étend de -1 à
1-2^ , avec une résolution numérique A=2A
En filtrage numérique, le calcul à effectuer est défini par
l'équation aux différences. Exemple : filtre du premier ordic :
y[n] = a.y[n-l] + x[n] (1)
Ce calcul nécessite une multiplication suivie d'une addition. Le
résultat de la multiplication doit être suivi par un arrondi (ou une
troncature) pour revenir au format initial, alors que l'addition ne
présente pas de problème (hormis un éventuel débordement que
l'on supposera ne pas se produire dans cet exercice).
Soit w une valeur signée quelconque etQ[w\ son arrondi dans le
format virgule fixe retenu. Si t'A est la jieme valeur codable
immédiatement inférieure à | w |, l'arrondi, supposé effectué sur
la valeur absolue, se définit de la façon suivante:
Si | w | - iA < A/2 alors Q{\w\} = iA Sinon Q{ \w | J = (i+l)A.
Il en résulte la double inégalité :
(2)
(a) La première conséquence due à la réalisation numérique est
l'existence d'un cycle limite se traduisant, pour un filtre
théoriquement stable, par une réponse impulsionnelle
asymptotiquement non nulle . On suppose que l'équation aux
différences (1) est mise en oeuvre avec un format virgule fixe
comportant 6=3 bits derrière la virgule. Le calcul réellement
effectué est donné par :
yln} = Q{a.y[n-l]\ +x[n1 (3)
Le filtre est supposé causal et stable . Déterminer la réponse
du filtre pour x[n\ = 0.5.ô[n] pour a-+0.5 puis a=-0.5 et en
déduire la nature du cycle limite dans chaque cas. 64 Introduction au traitement du signal
(b) On considère maintenant un filtre du premier ordre causal
stable (|a|<l) avec b quelconque. En partant des relations
(2) et (3), en déduire la plage de valeurs de la sortie y'[n] où le
phénomène de cycle limite est susceptible de se produire (cette
plage est appelée bande morte).
Montrer que, dans cette bande morte, tout se passe comme si
la fonction de transfert du filtre possédait un pôle situé sur le
cercle unité (filtre instable).
Application: déterminer la bande morte dans le cas d'un
codage en virgule fixe sur 1 octet (6=7) et pour | a | =0.95.
(c) Déterminer la bande morte pour un filtre du second ordre
causal dont l'équation aux différences est donnée par:
y[n] = a\.y[n-l] + a2-y[n-2] + x[n] (4)
On supposera que les pôles de la fonction de transfert sont
complexes conjugués. On notera que la mise en oeuvre de (4)
requiert deux arrondis et que le filtre devient instable dans
la bande morte (pôles situés sur le cercle unité pour a2=-l).
Un autre type de problème, en présence d'une excitation d'entrée
x\n\ quelconque, est celui du bruit de calcul. Il s'agit de l'erreur
observée en sortie du filtre réel — où des arrondis sont effectués -
par rapport à la sortie du filtre théorique.
L'erreur due à un arrondi sur une grandeur w[n] peut être vue
comme un bruit d'arrondi additif q[n], soit :
Q[w[n]\ = w [n] + q[n] (5)
L'aspect non-linéaire du processus d'arrondi rend les calculs
complexes. On peut faire une étude approchée moyennant les
hypothèses suivantes :
- q[n] est un bruit blanc;
- la densité de probabilité de q[n] est uniforme dans l'intervalle
entre deux valeurs successives f-A/2, A/2];
- q[n\ n'est corrélé ni avec w[n\, ni avec.r[/i];
Par ailleurs, on peut montrer que q[n] est centré et de variance
oy2=A2/12 (voir l'exercice 2.6 "Quantification uniforme"). Filtrage discret 65
(d) On considère un fdtre du premier ordre causal dont
l'équation aux différences théorique est donnée par la
relation (1) alors que le calcul réel effectué en pratique
correspond à (3).
Le bruit de calcul e[n] observé en sortie est défini par :
e[n] = y'[n] - y[n] (6)
Déterminer la moyenne me et la variance e>c2 de e[n\.
—> Aide : montrer au préalable que le bruit d'arrondi q[n] est
filtré par le même filtre théorique (1) que x[n].
(e) On considère un filtre du second ordre causal dont les pôles
de la fonction de transfert sont supposés complexes conjugués
de la forme :
zltz2 = r.e#e
L'équation aux différences du filtre théorique est alors
donnée par l'expression :
yln] = 2r.cos9.y[n-l] - r2.y[n-21 + x[n] (7)
Le filtre réel effectue en fait un calcul avec la présence de
deux arrondis :
y'[n] = Q(2r.cos8.y[n-l]} - Q[r2.y[n-2]) + x[n] (8)
Déterminer la moyenne me et la variance ae2 de e[n].
—» Aide : introduire deux bruits d'arrondi q\[n] et q2\n] - que
l'on supposera non-corrélés entre eux - et montrer que ces
deux bruits sont filtrés par le même filtre (7) que x[n\. Par
ailleurs, la réponse impulsionnelle du filtre du second ordre
est donnée par l'expression:
(9)
cette séquence vérifiant la relation :
(10) Chapitre 4
Caractérisation du second ordre
Dans ce chapitre, on s'intéresse aux caractérisations énergétiques
(ou de puissance) du second ordre sur différents types de signaux
déterministes ou aléatoires (partie 4.1) , puis au filtrage de ces
caractéristiques (corrélation ou densité spectrale de puissance) (partie
4.2).
4.1. Corrélation et DSP
FICHES DE COURS
Un signal est un élément xe H, H est un espace de Hilbert muni
d'un produit scalaire <(> , enfin le signal x dépend d'un indice
temporel teR (cas du temps continu) ou neZ (cas du temps discret). On
suppose que l'on sait définir sur H, en plus des propriétés énergétiques
liées à la norme quadratique, les opérations suivantes :
Propriétés générales sur les espaces de signaux (4.1)
a» Produit scalaire <x,y>
b» Energie ou Puissance moyenne Px= I Ixl l2=<x,x>
c* Renversement temporel x(t) =x(-t)*
d» Translation Tax(t)=xa(t)=x(t-a)
e» Convolution x*y(u)=<x,y > 68 Introduction au traitement du signal
• Signaux déterministes
Energie finie x(t)eL,2(R) (4.2)
T-Périodiques x(t)eL2(T) (4.3)
Puissance moyenne finie
Remarque: ce n'est même pas un espace vectoriel !
Pseudo-produit scalaire (4.4)
• Signaux aléatoires stationnaires L2(Q)
X(t) est un processus aléatoire vérifiant
Var(X(t))<+°° , stationnaire au second ordre
Par opposition aux signaux déterministes, le produit scalaire (et donc
les propriétés du second ordre) sont ici définies pour le processus
aléatoire centré associé à X(t)
<X,Y>=E(XC.YC*) =cov{X,Y) (4.5)
X(t) est caractérisé par ses moments d'ordres 1 et 2:
Moyenne mx(t)= E{ X(t) (4.6)
Covariance rx(t,t-T)=cov(X(t),X(t-T)} (4.7) Corrélation et DSP 69
Stationnante (2° ordre) rx(t,t-T)=yx(x) VteR
(4.8)
Autocorrélation yx(T)=cov{X(t))X(t-x))=<X(t),X(t-t)>
(4.9)
FONCTION DE CORRELATION: PROPRIETES (4.10)
a» Produit scalaire Yx(x)=<x,xT>
b« Symétrie hermitienne Yx(~T)=Yx(*)
c • Energie ou puissance de x: Yx(0)>0
d • Schwarz I YX(T) ' ^Yx(O)
e» Positivité ^jT^j^k* Yx(tj-tk) ^0
Densité spectrale de puissance (DSP)
Entant que fonction bornée, la fonction de corrélation Yx(T) est une
distribution tempérée, et a donc une TF dans S ,appelée dsp
Y x(v)=TF | YX(I) ) (TF sur S ) (4.11)
La propriété de positivité (4.10 e) permet de préciser la nature de cette
dsp.
Théorème de Bochner: Si la fonction de corrélation est continue, i 1
o
existe une fonction de répartition spectrale T x(v) croissante de
R->L0,Yx(0)J telle que
(4.12)
gx(t) est la TF de la mesure positive
de x
densité spectrale 70 Introduction au traitement du signal
INTERCORRELA'nON DE 2 PROCESSUS
X(t) et Y(t) sont mutuellement stationna ires si
Gxy(t>t-t)=cov{X(t),Y(t-t))=gxy(t) (4.12 b)
7Xy(t)=intercorrélation de X et Y
(4.13) • Propriétés de l'intercorrélation
a •
b •
c •
d •
e •
Yxy(T)=<x,yT>
Yxy(-t)=Yyx(t)*
Schwarz
Décorrélation:
Addition
t Yxy(t) I 2 <Yx(0)7y(0)
si Yxy(t)=°
Yx+y =Yx +Yy +Yxy +Yyx
Cas des signaux à temps discret
On peut adapter toutes les définitions ci-dessus au cas de signaux à
temps discret (échantillonnés) représentés par des suites (x[n] }neZ- On
obtient alors une fonction de corrélation discrète (suite)
yx(p) =<x, xp > (4.14)
La dsp est la TF (au sens des suites numériques) de l'autocorrélation
(4.15)
et c'est une mesure positive 1-périodique (Théorème d'Herglotz). On
utilise aussi fréquemment, lorsqu'elle existe, la densité en z de x Corrélation et DSP 71
THEOREME DE WIENER-KINTCHINE
Soit X(t) un p a. centré, stationnaire. On le prend ici à temps
continu, la transposition au cas discret est immédiate.
Problème:
Lien entre la définition abstraite (Bochner) de la d.s.p. d'un
processus X(t) et la d.s.p. déterministe mesurable sur les réalisations
tronquées (signauxs d'énergie finie)
• Analyse spectrale de la Réalisation tronquée:
2
Si YX(T) est continue les trajectoires x(t) sont p.s. dans
(4.16)
• Puissance et d.s.p. de x (t)
T
Parseval: (4.17)
Interprétation: est la d.s.p. de x (t)
T
A
yrp(v) est un estimateur de la d.s.p. 7XM
Théorème de Wiener-Kintchine
lim E{ yT(v) )= Yx(v)
(limite au sens des distributions dans S' )
(4,18)
YT(V)
x(v)
O
est un estimateur asymptotiquement non-biaisé delà d.s.p. y 72 Introduction au traitement du signal
EXERCICES
Signaux déterministes
4.1.1 Signaux d'énergie finie: L2(R)
a) Explicter dans ce cas l'autocorrélation Yx^)-
b) Partant de l'interprétation (4.6a), utiliser l'isométrie de
Fourier et en déduire l'expression explicite de la densité
spectrale (d'énergie ici).
c) Pour T=0, en déduire la double expression de l'énergie Ex et
justifier l'appellation de densité spectrale (d'énergie).
4.1.2 Signaux T-périodiques : L2(T)
a) Expliciter ici la puissance moyenne et la corrélation Yx^)-
Nature de cette fonction ?
b) Ecrire la décomposition en série de Fourier de x(t) et
l'isométrie (ici entre 1.2(T) et 12(Z) ) de Bessel-Parseval sur
Px-
c) Montrer que les coefficients de Fourier de Yx(T)sont lclJ2 •
Ecrire la série de Fourier de l'autocorrélation.
d) Par TF de la série de Fourier, obtenir l'expression explicite
de la dsp. Interpréter en terme de nature du spectre de
puissance.
4.1.3 Calculer la corrélation et la dsp de
a) x(t)=U(t)e"at (U(t) est l'échelon unité)
t
b) x(t)=cos(7t- ) l[-i,i](t)
c) x(t) obtenu à partir de sin(t), en mettant à 0 une période sur 2
4.1.4 Corrélation du peigne de Dirac
Soit A(t)=i- l[-a/2,a/2] * U^T (t) avec 0<a<T/2. Calculer YA(T) et sa
TF.
Passer à la limite si a-»0, en déduire la corrélation et la dsp du
peigne WT (t) Corrélation et DSP 73
Signaux aléatoires stationnaires
4.1.5 Processus poissoniens
Soit (Nt)t>o est un processus de Poisson d'intensité X: on
rappelle que No=0, que les accroissements Nt-Nu sont
indépendants (sur des intervalles de temps disjoints) et de loi
de Poisson p(X(t-u)). Donc
On appelle basculeur poissonien le processus défini par
X(t)=(-l)NtX0 où
Xn v.a. indépendante de Nt, de loi de Bernoulli b(p):
P(Xo=D=p P(Xo=-l)=q=l-p
a) Représenter une trajectoire de X(t).
Calculer mx(t) et rx(t,t-x). Le processus est-il continu et
derivable en m.q. ? A quelle condition est-il stationnaire à
l'ordre 1, à l'ordre 2? Donner alors sa corrélation YX(T) et sa
dspYx(v).
b) Soit (bn) une suite de v.a. indépendantes, indépendantes de
Nt, centrées de variance a2. On construit le processus
Y(t)=bn si tn<t<tn+i
où les t„ sont les temps d'arrivée de N^
Montrer que Y(t) est stationnaire, déterminer sa corrélation
et sa dsp. Comparer avec le (a), ainsi que les trajectoires, et
conclure.
4.1.6 Signal T-périodique
Soit x(t) une fonction T-périodique de L2(T). On lui associe
le processus aléatoire X(t)=x(t-©), où 0 est une v.a. de loi
uniforme sur [0,T]. 74 Introduction au traitement du signal
moyenne temporelle de x(t) et la fonction d'autocorrélation
déterministe de x(t) (à une constante de centrage près).
L'analyse spectrale de x(t) comme fonction ou comme
processus aléatoire est donc identique,
b) Ecrire la décomposition de Fourier de x(t), celle de yx(x), en
déduire le spectre de puissance (dsp) de x(t) et de X(t).
4.1.7 Détection de sinusoïde par intercorrélation
On observe lae bruitée y(t)=x(t)+b(t) où
x(t)=sin(coot+4>) «I> phase aléatoire U[0,2n]
b(t) bruit centré, indépendant de x(t), et f I yb(x) I dx <+°°
R
Pour détecter x(t) dans y(t), on réalise l'intercorrélation
temporelle avec s(t)=2cos(cnot) en calculant
y(t)=s(t)+b(t)=R( t)cos( wot+*(t))
a) Montrer que C(x)=Cx(x)+Z(x), où
CX(T)-»X(T) si T-x», EfZ(x))=0, Var Z(t)-»0 si T-*».
4.1.8 Multiplexage, signaux à bande étroite
a) Soient A et B 2 v.a. indépendantes de moyennes a,b et
variances ya et yb. On forme le signal de multiplex
x(t)=Acos(coot+0)+Bsin((oot+(I>)
où O phase aléatoire U|0,2nJ indépendante de A,B. Montrer
que x(t) est centré, stationnaire à l'ordre 2. Calculer yx(x) et
la dsp .
b) Canal de Rayleigh:
On fait passer le signal déterministe s(t)=a cos coot dans un
canal gaussien à bande étroite autour de wO, qui ajoute le
bruit de sortie b(t)=A(t)cos coot + B(t) sin (HQt. Les amplitudes
(A(t),B(t)) sont indépendantes de loi fA^O.o).
Le signal de sortie aléatoire à bande étroite est Corrélation et DSP 75
Le signal de sortie aléatoire à bande étroite est
y(t)=s(t)+b(t)=R(t)cos( ioot+<I>(t))
Vérifier que le couple enveloppe-phase (R(t),<Kt)) de ce
processus est relié à (A(t),B(t)) par le changement de variable
A=Rcos(<D)-a , B=-Rsin(0)
c) En déduire la densité de probabilité de (R,4>). Exprimer les
densités de probabilité marginales de R et 4> en fonction de
On lui associe le processus asynchrone Y(t)=X(t-0) où 0 est
aléatoire de loi U[0,TJ, indépendant des An.
a) Représenter une trajectoire de X(t). Calculer s(t)=E|X(t)J et
mY=E|Y(t)). Vérifier que Y(t) est stationnaire à l'ordre 1.
b) Calculer rx(t,t-t) (on distinguera t>b et 0<t<b, dans ce cas on
montrera que c'est une fonction T-périodique de t fx(t)). En
déduire le moment d'ordre 2 non-centré
La loi de R est une loi de Rayleigh généralisée. Cas où a=0?
Processus impulsionnels
Ces processus servent à transmettre de l'information codée par
modulation d'impulsions de durée fixe T. Leurs spectres sont en
général de type mixte (spectre de raies à 1/T et spectre continu). Pour le
calcul de ces spectres, il est souvent commode d'utiliser le Th. de
Wiener-Kintchine plutôt que le calcul de l'autocorrélation.
4.1.9 Modulation d'amplitude aléatoire
La forme d'impulsion est h(t)=l[o)b](t) avec 0<b<T/2. On la
module par la suite aléatoire i.i.d. (An)nez de moyenne a et
variance o2. Le processus impulsionnel s'écrit
(1) 76 Introduction au traitement du signal
Rx(t,t-T)= E{X(t).X(t-T)}
c) Calculer Ry(t,t-'r)=E{Y(t)Y(t-T)) à l'aide de ys(x). En déduire
que Y(t) est stationnaire au second ordre et donner son
autocorrélation yyd). La représenter graphiquement.
o
d) En déduire la dsp y y(v). La représenter.
4.1.10 PUMA (Processus Impulsionnel à Modulation d'Amplitude):
cas général, calcul par Wiener-Kintchine (**)
On traite maintenant le cas général d'un Processus
Impulsionnel à Modulation d'Amplitude, qui s'écrit
(1)
où (Au) est une suite stationnaire de moyenne a=E{An), de
corrélation yk=Cov{An ,An_kl, et h(t) est une impulsion de
support [0,T].
Le processus stationnaire associé est encore Y(t)=X(t-0).
On se propose ici de calculer la dsp directement par
utilisation du Théorème de WK. On prend le signal Y(t)
N
tronqué sur 2N+1 périodes Y>j(t)=^ An h(t-nT-0) .
-N
a) Calculer sa TF puis sa dsp , puis l'espérance
mathématique y N(V) de cette dsp.
o
Indication: utiliser h(v) =TF(h(t)) et l'écriture
b) Par passage à la limite N->°° on sait que y N(V) converge
vers R Y(V)= 7 Y(V)+IÏ1Y2 8(V). Faire ici ce calcul et en
déduire que la dsp s'écrit sous la forme suivante: Corrélation et DSP 77
(3)
où on précisera les raies pures Ck et le spectre continu G(v).
En déduire l'écriture de l'autocorrélation y\(x) en fonction
de Ys(x) (où s(t)=E(X(t)| ), Yh(x) et yk-
c) Application au processus 4.19: retrouver les résultats de E4.1.9.
Signaux aléatoires à temps discret
4.1.11 On considère le signal x[n]=Asin((on+<I>), où A est aléatoire et
E(A2)=a2, <t> est aléatoire (indépendante de A) de loi U[0,2JI].
a) Calculer mx, Yx(p) et la dsp .
4.1.12 Un bruit blanc est un signal aléatoire b[n] , suite de v.a.
centrées, non-corrélées, de variance commune a2.
a) Ecrire la fonction de corrélation Yb(p)> la ^P e* la densité en
z.
b) Soit le signal x[n]=b[n]-b[n-l]+2b[n-2]. Déterminer sa
moyenne, sa corrélation, sa dsp et sa densité en z (avec son
domaine de convergence).
c) Soit un réel a€[0,l[ et le processus aléatoire y[n] défini par
l'équation récurrente
y[n]=ay[n-l]+b[n] neZ
Ecrire la solution y[nj en fonction des |b[k], k<n), vérifier la
convergence en m.q. de la série et calculer var(y[n]).
d) Déduire du c) la fonction d'autocorrélation Yy(p)- Calculer
la densité en z et son domaine de convergence. En déduire la
dsp et la représenter selon a. 78 Introduction au traitement du signal
4.2. Filtrage des signaux aléatoires
FICHE DE COURS
L'opération fondamentale de traitement des signaux est le filtrage
linéaire (invariant temporellement). La formalisation de cette
opération est la conuolution. Pour le cas discret, voir le chapitre 3 qui en
détaille les propriétés.
Nous nous intéressons ici au filtrage des propriétés statistiques du
second ordre des signaux aléatoires: corrélation et dsp.
Nous écrivons ici les formules du filtrage pour les signaux à temps
continu, la transposition au cas discret sera vue en exercice.
FILTRAGE D'UN PROCESSUS ALEATOIRE STATIONNAERE
X(t) est un processus stationnaire (1° et 2° ordre). On le filtre selon le
schéma ci-dessous, par un filtre de réponse impulsionnelle h(t)
(supposée réelle et stable) , de transfert H(p)=TL{h(t)}.
X(t)
H(p)
Y(t)
Gain complexe
Filtrage
h(v) =TF{h(t))=H(2inv)
Y(t)=X* h(t)
• Filtrage de la moyenne
o
my=h(0) mx
(4.19)
• Filtrage de la corrélation et d.s.p.
Yyd)=Yh * Yx (t)
yy(v)=lh(v) I2 yx(v) (4.20)
où Yh('c)=h*h(t) = f h(u)h(u-t)du=<h,hT> (autocorrélation du filtre) .
R Filtrage des signaux aléatoires 79
FORMULE DES INTERFERENCES
On s'intéresse à X(t),U(t) 2 processus mutuellement stationnaires,
que l'on filtre par deux filtres de transferts Hi(p) et H2(p).
X(t)
Hl(p)
Y(t).
U(t)
H2(p)
• Intercorrélations
Yyv(*)=Yxu* Yl2(t)
(4.21)
où
est l'intercorrélation des deux filtres.
• Densités interspectrales
o o o ^ o
Y yv(v)=hi(v)h 2(v) Y xu(v)
(4.22)
Yl 2(t)=h l *h 2(t)=<h 1 ,h2 T>=/h i(u)h2(u-t)du
R
EXERCICES
Signaux analogiques
4.2.1 Formule des interférences sur L2(R)
a) Pour x,ye L2 , vérifier que Yxy(t)=x * y W avec y W =y('T)*
b) On filtre les deux signaux de L2 xi(t) et X2(t) par les filtres de
réponses impulsionnelles hi(t) et h2(t), on note yi(t) et y2(t)
les sorties. Montrer que
Yyly2 = Yhlh2 * Yxlx2 80 Introduction au traitement du signal
Exemple: qu'obtient-on si h2=ô ?
c) Si x(t)e L2 a une dérivée x'(t)e L2, évaluer yxx' et Yx'
d) On filtre x(t)=U(t)e"at par h(t)==r l[o,Tj(t), la sortie est y(t).
Que fait ce filtre ? Calculer l'énergie Ey du signal de sortie.
4.2.2 Filtrage du premier ordre
On considère le filtre RC du premier ordre suivant, d'entrée
X(t) et sortie Y(t):
X(t)
R
C
Y(t)
X(l)
H(p)
Y(t)
oc
On pose oc=l/RC, le transfert est H(p)=—j— et la réponse
impulsionnelle h(t)=cœ"at l(t>0)
a) On suppose que X(t)=W'(t) bruit blanc gaussien unitaire
(dérivée du processus de Wiener-Lévy W(t)),
o
d'autocorrélation ô(t). Déterminer YyW et la dsp y y(v).
b) Ecrire Y(t) comme intégrale de Wiener à l'aide de b(t) et
retrouver par calcul formel direct l'autocorrélation .
c) Déterminer l'autocorrélation et la dsp de Z(t)=X(t)+Y(t).
d) On suppose maintenant que X(t)=a.cos(u)t)+B(t) où B(t) est un
bruit gaussien centré de corrélation Yb(T)=e"^" '1 ' •
o
Calculer my(t), yvCx), Yy(v)-
e) Définir et calculer le Rapport signal sur Bruit (RSB) en
entrée et sortie du filtre. Tracer le gain en RSB F(a) selon a,
déterminer les valeurs de a pour lesquelles F(a)>l, et ao qui
maximise F(a).
4.2.3 Détecteur quadratique
Pour estimer la puissance moyenne du signal aléatoire x(t)
gaussien, centré, d'autocorrélation Jxii), on utilise le
dispositif suivant Filtrage des signaux aléatoires 81
x(t)
Cane
xA2
y(t),
Filtre h(t)
z(tl
a) Pourquoi y(t) est-il stationnaire (fortement) ? Calculer my et
la corrélation Yy(x) (utiliser la formule des moments d'ordre
4 d'un vecteur gaussien).
o N .
b) On suppose maintenant que Yx(v)=^" 1[-B,B] • Déterminer la
dsp Yy(v). Quelle condition doit vérifier le filtre h(t) pour que
mz=cx2 ?
o „
c) On suppose que h(v) =l[-b,b] • Calculer az • Montrer que si
b/B-^0, oz2 =2N2Bb. Conclure quant à l'écart-type relatif
d'estimation de la puissance cx2 : az /E{Z).
Signaux aléatoires à temps discret
4.2.4
Réécrire les formules 4.19 à 4.22 pour des signaux aléatoires
stationnaires à temps discret x[n], y[n] . On utilisera la
r.i. du filtre numérique h[nj, sa TF ou réponse en fréquence
o
h(v), son transfert en z h(z) , on écrira les relations sur les
fonctions de corrélation, dsp et leurs TZ y x(z)> Y y(z)
(lorsqu'elles existent).
4.2.5 Applications de la formule des interférences
a) Interprétation de la dsp: on filtre x[n] par le filtre passe-
bande pur de réponse en fréquence l[v>v+Avl • Quelle est la
puissance du signal filtré, Cas où Av—>0?
b) Filtrage et décorrélation : on filtre 2 signaux mutuellement
stationnaires x[n] et y[n] par deux filtres à bandes disjointes
(le produit des réponses en fréquences est nul). Que vaut
l'intercorrélation des sorties ? 82 Introduction au traitement du signal
c) Identification par intercorrélation: on considère le système
linéaire suivant:
x[n]
H(z)
v[n] y[n]
b[n]
b[n] est un bruit blanc unitaire, indépendant du signal
d'entrée x.
- Exprimer l'intercorrélation YVX.
- On suppose que x est un bruit blanc unitaire. Que vaut alors
Yyx?
Interpréter en terme d'identification du transfert H(z), et
discuter l'intérêt de la méthode.
4.2.6 Filtre récursif d'ordre 1 et réduction de bruit
On considère le filtre linéaire causal de transfert
H(z)=——r avec I a I <1 etbeR . Son entrée est un processus
l-az_i
aléatoire en stationnaire d'ordre 2, la sortie est xn.
On suppose pour l'instant que en se compose d'une
composante déterministe constante C (le signal utile) et d'un
bruit blanc un centré de variance a2
en=C+un
(1)
a) Evaluer le coefficient b pour que le filtrage ne déforme pas le
signal utile.
b) Déterminer la puissance de bruit en sortie en fonction de a.
Comment optimiser le choix de a? Discuter le compromis à
réaliser.
c) On estime maintenant la moyenne C par le filtre moyenneur
RIF :
(2) Filtrage des signaux aléatoires 83
Comparer les performances de (2) avec le filtre H(z) du (a) en
terme de RSB et de temps de réponse. Comparer également les
complexités de réalisation des deux filtres,
d) On suppose ici que le signal utile est une sinusoïde :
en=cos(27tvon+4>)+un (3)
O aléatoire unif. [0,2n] indépendant de un
Calculer le RSB en sortie. Déterminer les paramètres du
filtre H(z) qui optimisent ce RSB.
4.2.7 Modèle AR2
On considère le processus AR2 xn, généré par filtrage
récursif d'ordre 2 causal et stable à partir d'un bruit blanc
(suite i.i.d. centrée) en de variance 1 :
xn-rxn.i+r2xn.2=£n 0<r<l (1)
a) calculer la dsp de xn et examiner son allure en fonction de r.
b) justifier que en est indépendant des (xn-k)k>0 • Que vaut
Yfx(k) pour k>0 ? En déduire, par multiplication de (4) par
xn_k , les relations de récurrence vérifiées par
l'autocorrélation y(k) de xn :
y(0)-r y(l)+r2 y(2)=l (2)
y(k)-r Y(k-l)+r2 y(k-2)=0 k>0
c) En déduire la valeur de y(0), y(l), y{2) en fonction de r.
Quelle sera la forme d'expression générale de Y(k) et son
comportement quand k—?
Examiner le lien entre la corrélation du signal et la position
des pôles du filtre.
4.2.8 Modèle générateur d'une corrélation
Soit le signal xn centré, stationnaire , d'autocorrélation
(1)
a) Calculer la densité en z de xn 84 Introduction au traitement du signal
b) Montrer qu'on peut factoriser cette densité sous la forme
suivante
y x(z)=o2H(z)H(z-1) (2)
où H(z) est un filtre causal stable unitaire (ho=l).
c) On peut donc générer la corrélation (1) en filtrant par H(z)
un bruit blanc en de variance a2. Déterminer l'équation
récurrente générant alors xn à partir de en.
Cette opération s'appelle la factorisation spectrale de la
corrélation (1) ou du spectre qui lui est associé. On parlera ici
de factorisation forte car H(z) est aussi inversible d'inverse
causal et stable.
On peut facilement étendre la méthode à toute corrélation (ou
spectre) rationnel .
4.2.9 Filtre moyenneur et estimation de puissance
Soit le signal aléatoire stationnaire
sn=sin(con+<))) co=2nvoe [0,7ij <|> aléatoire U[0,2TCJ (1)
On sait alors que E(sn)=0 et ys(p)=^ cos(cop).
a)
1»
Que vaut la dsp 7s(v) ?
Pour estimer la puissance ys(0), on utilise le dispositif de
filtrage suivant:
s(n)
I lA2
y(n)
h
M
z(n)
où Vn=(sn)^ et hjyj est le filtre moyenneur d'ordre M, de
réponse impulsionnelle et gain complexe
(2)
b) Calculer E(yn) et yy(k). En déduire la dsp Yy(v).
c) Calculer E(zn). Cet estimateur de ys(0) est-il biaisé? Filtrage des signaux aléatoires 85
d) Exprimer la variance az2=yz(0) à l'aide de Yy(v) et n(v) .
En déduire la valeur explicite de o~z2 en fonction de M et de eu.
Vérifier que l'estimateur est convergent, examiner sa
vitesse de convergence et comparer au cas classique de la loi
des grands nombres.
e) Comment se comporte oz2 si a>—>0 ? Quelles conséquences
pratiques en tirez-vous pour le choix de M selon o ? Chapitre 5
Analyse spectrale non
paramétrique
FICHE DE COURS, DEFINITIONS
. x[n] Processus étudié : 0 < n < N-l ; centré, stationaire, complexe ;
• Yx [p] Séquence de corrélation de x[n] ;
o
• Yx(v) Densité spectrale de puissance moyenne de x[n] ;
• wa,b M Fenêtre de troncature, wa>b [n] * 0 pour a < n < b ;
• ra,b M rectangulaire ;
. AN [n] Fenêtre triangulaire ; AN [n] = (1 r-(N-i),N-i M
. Estimateur on biaisé de la corrélation
PNBtp] = N^
x[n]x* [n-p]pour 0<p<N-l ; PNB[p] = 0P°ur P^N
PNB[-P]= PNB tp]
(5.1) 88 Introduction au traitement du signal
. Estimateur biaisé de la corrélation
PB[-P]=ferp] (5.2)
. Corrélogramme rectangulaire
XT(v) = TFLpNB W] (5.3
. Cor ré logra m me triangulaire
A-A(v) = TF[pB [p]] (5.4)
PROPRIETES FONDAMENTALES
. Comportement moyen des estimateurs de corrélation
EtPNB [p]l = ^N-I,,N-I [p] Yx [p] (5.8)
EipB [p]J = AN [pJ Yx [p] (5.9
. Périodogramme standard de fenêtre w[n]
(5.5)
. Périodogramme moyenne
(5.6)
(5.7) Analyse spectrale non paramétrique 89
En moyenne, les estimateurs de la corrélation se comportent comme
la séquence théorique d'autocorrélation multipliée par une fenêtre
(rectangulaire dans le cas non biaisé et triangulaire dans le cas
biaisé). Pour une illustration de cet effet d'apodisation, voir les figures
5.1. à 5.6.
. Variance des estimateurs de corrélation, dans le cas réel et centré,
ergodisme du second ordre en moyenne quadratique (ex. 5.7 et 5.8)
Dans la suite, la variable indice V prend les deux significations
suivantes : V = NB ou bien V = B, on établit alors :
VAR[pvLp]]= ÇVlN,p] %[?]
(5.10)
(5.11) où : ÇNB [N,p] =
r-(N-l),N-l [p]
où: ÇB[N,p] (5.1 Ibis)
où : GN [p] =
AN-|p| [k] YyPM =
(5.12)
où yD In] = x[n]x* [n-p] et où FM(V) désigne le noyau de Fejer,
M e îV* :
(5.13)
dont on rappelle la propriété fondamentale :
(5.13bis) 90 Introduction au traitement du signal
La séquence [p] est commune aux variances des estimateurs
biaisé et non biaisé. Ils ne diffèrent donc que par la séquence [N,pJ .
La séquence Ç^g, [N,p] est croissante en p. ^3 [N,p] par contre décroît
avec p.
Le processus x[n] est ergodique du second ordre (cela concerne
l'estimation de sa fonction d'autocorrélation) en moyenne quadratique
(il s'agit du type de convergence considérée) E2MQ si et seulement si la
variance (5.10) des estimateurs empiriques de la corrélation, donnés
par (5.1) et (5.2), tend vers zéro quand le nombre N d'échantillons
mesurés tend vers l'infini.
On établit que x[n] est ergodique du second ordre en moyenne
quadratique ssi :
o
Yyp(v) n'admet pas de raie à l'origine
Dans ces conditions, pour N grand :
VARtPytp]] =Çy[N,p] Yyp(O) (5.10bis)
En résumé, la variance de l'estimateur non biaisé augmente
lorsque le rang de la corrélation estimée se rapproche de l'horizon de
mesure. Cette divergence est réprimée dans le cas de l'estimateur
biaisé. Les figures 5.2., 5.3., 5.5. et 5.6. illustrent ce comportement.
. Variance des estimateurs de corrélation, dans le cas réel, centré et
gaussien (ex. 5.5 et 5.8), ergodisme du second ordre en moyenne
quadratique
Cette fois, compte tenu de l'expression des moments du quatrième
ordre de variables conjointement gaussiennes (voir ex. 5.5) en
fonction des moments du second ordre, on a, dans la relation (5.12) :
2
Yyp [kj = Yx [k] +Yx [k+p]yx [k-p]
(5.12bis)
Sous l'hypothèse gaussienne supplémentaire, par rapport à (5.10),
o
x[n] est E2MQ ssi Yx(v) est continue.
. Comportement moyen des corrélogrammes
Dans ce qui suit, W - R ou bien W = A, voir (5.3) et (5.4). Analyse spectrale non paramétrique 91
En moyenne, un corrélogramme se comporte comme la densité
spectrale théorique convoluée par la transformée de Fourier d'une
fenêtre (rectangulaire ou triangulaire), voir les figures 5.7. et 5.8.
. Comportement moyen du périodogramme standard (ex. 5.1 et 5.6)
Le périodogramme à fenêtre rectangulaire est un estimateur)
asymptotiquement sans biais :
lim^^ E[7tr(v) ] = Yx(v) (5.16
Le résultat (5.16) constitue le théorème de Wiener-Kintchine (cf
(4.18).
. Variance du périodogramme standard : processus blanc, réel,
centré, gaussien de variance <Tx (ex. 5.3 et 5.6)
La variance du périodogramme standard ne tend pas vers zéro
lorsque le nombre d'échantillons tend vers l'infini. Pour le
périodogramme rectangulaire, on a dans le cas d'un processus réel,
blanc et gaussien :
En moyenne, le périodogramme se comporte comme la densité
spectrale théorique convoluée par la "densité'' de la fenêtre de
pondération des données. 92 Introduction au traitement du signal
. Variance du périodogramme moyenne à partir d'une suite de
périodogrammes standards indépendants
(q)
Lorsque les TIW(V) , l<q<Q voir (5.6) et (5.7), sont indépendants,
alors :
5.1. Biais du périodogramme (*)
x[n] est un processus stationnaire, centré, à valeurs complexes, de
fonction d'autocorrélation yx[pj ; w[nj étant une fenêtre de pondération
de durée N, (non nulle pour 0 < n < N-l), on appelle séquence de
corrélation déterministe de w[n], la quantité :
(5.20)
Les figures 5.9 à 5.12 illustrent la diminution de la variance par
moyennage.
EXERCICES
(1)
La puissance de la fenêtre Pw n'est autre que yw [0]. En cohérence
avec les attributs descriptifs des grandeurs stochastiques, on appelle
densité spectrale déterministe de puissance, la Transformée de
o
Fourier yw(v) de yw [p].
a) Exprimer w[n] en fonction de sa TF dans (1). En utilisant
l'identité :
où ÔXv) est la distribution de Dirac, déterminer l'expression de
o o
Yw(v) en fonction de la TF w(v) de la fenêtre w[n].
o
Application. Donner la densité spectrale yr(v) de la fenêtre
rectangulaire r[n]. On exprimera la densité obtenue en fonction du
noyau de Fejer, défini parla relation (5.13).
(2) Analyse spectrale non paramétrique 93
b) Calculer l'espérance mathématique du périodogramme
standard nw(v) du processus x[n], de fenêtre wfn], en fonction des deux
corrélations yw [p] et yx [p], puis en fonction des deux densités associées
o o
yx(v) et yw(v) . Interpréter le résultat en termes de biais du
périodogramme. Montrer que le périodogramme standard à fenêtre
rectangulaire est asymptotiquement sans biais (on utilisera l'identité
(4)).
c) On suppose que :
(5)
où a est une amplitude déterministe et 4> est une phase aléatoire
uniformément répartie sur [0,2ît]. Quelle est la valeur maximale de
l'espérance du périodogramme rectangulaire ?
5.2. Influence de la puissance de la fenêtre de pondération sur le
comportement moyen du périodogramme
a) En partant du résultat de la question 5.1. b), calculer
l'espérance mathématique du périodogramme de fenêtre quelconque
w[n], d'un processus blanc centré de variance o~x , en fonction de ox et
de la puissance de la fenêtre Pw .
Application. Choisir la puissance Pw , de façon à annuler le
biais du périodogramme d'un processus blanc, quel que soit N.
b) On utilise l'aire sous le périodogramme comme estimée de la
puissance du processus analysé :
(1)
Dans le cas du processus de la question 5.1. c) calculer
l'espérance mathématique de ax en fonction de a et Pw .
Application. Choisir Pw de façon à conférer à l'estimateur
un biais nul dans le cas d'un processus composé d'une raie pure (défini
par la relation (5) de 5.1.).
5.3. Densité de probabilité du périodogramme standard
rectangulaire, dans le cas d'un processus blanc, réel, centré et
gaussien (**) 94 Introduction au traitement du signal
x[n] est un processus à valeurs réelles, blanc, gaussien, de variance
et centré. On note x(v) la transformée de Fourier normalisée, après
troncature de x[nj sur l'horizon [0, N-l] :
(1)
o o
On désigne par x^v) etx/v) les parties réelles et imaginaires de
x(v) .
a)
o o
Déterminer l'intercorrélation entre x^v) etx/v) :
p(v) = E[x^(v)x/v) ] (2)
b)
c)
Que vaut p(k/N), 0<k<N-l ? Conclusions ?
Déterminer l'intercorrélation :
n(v,v') = E[x(v)x*(v') ] (3)
d) Que vaut r|(k/N,m/N) pour k*m, avec : 0<k<N-l et 0<m<N-l ?
Conclusions ?
On rappelle que x[n] étant un processus gaussien, x^(v) et x/v) sont
des variables aléatoires gaussiennes pour chaque valeur de la
fréquence v, car elles se déduisent toutes les deux par une
transformation linéaire des variables x[n], 0<n<N-l.
(4)
e)
etx/(v) .
f) Préciser les valeurs moyennes et variance des variables
x^k/N) et xVk/N) , pour l<k<N-l.
g) Quelle est la loi de la variable aléatoire suivante, pour l<k<N-
1 (voir la note ci-dessous) :
o
Préciser les valeurs moyennes et variance des variables x^(v) Analyse spectrale non paramétrique 95
h) Déduire de la question g) la moyenne et la variance du
périodogramme échantillonné en fréquence ^r^) . de fenêtre
rectangulaire de taille N.
Note 5.3.1. Une variable aléatoire du KHI2 à P degrés de liberté est
égale à la somme du carré de P variables aléatoires gaussiennes
indépendantes, centrées et de variance unité. On a de plus : E[KHI2] = P
et VAR[KHI2] = 2P.
5.4. Densité de probabilité du périodogramme moyenne, dans le
cas d'un processus réel, blanc, gaussien et centré; application à
l'extraction d'une sinusoïde (*)
, o k
On considère la moyenne a posteriori de Q variables l<q<Q, I Xq*^")
12 définies chacune par la relation (4) de l'exercice 5.3. et
indépendantes entre elles (obtenues par TF de séquences disjointes
extraites du processus x[n] de l'exercice 5.3). On note la moyenne :
(1)
a) Quelle est la loi exacte de la variable Q< | xq(^r) |2 > ?
l<k<N-l; voir la note 5.4.1.
b) En appliquant le théorème de la limite-centrale, préciser la loi
approximative de la variable moyenne. En déduire celle du
périodogramme moyenne correspondant.
Application. On considère la loi approximative de la variable
moyenne. On admet que la probabilité qu'a une variable gaussienne de
moyenne m d'écart type X de dépasser la valeur m+2.3Z est égale à 1%.
On précise d'autre part que la valeur maximale de l'espérance
mathématique du périodogramme moyenne d'un processus sinusoïdal
à valeurs réelles :
y[n] = a cos(2rcvo n+<I>) (2)
a2
vaut N— , où a est une amplitude déterministe et <I> une phase
aléatoire uniformément répartie sur [0,2JI].
Dans le cas où le processus défini par (2) est noyé dans un bruit blanc
gaussien centré b[n] indépendant de y[n] et de variance Gb , préciser
l'inégalité que doit vérifier le produit N^Q , qui garantit une probabilité 96 Introduction au traitement du signal
a2 2
de l'événement : (l'amplitude du bruit reste inférieure à N-^-+a|j I, au
moins égale à 99%.
Note 5.4.1. La somme d'une variable aléatoire du KHI2 à P degrés de
liberté et d'une autre indépendante à Q degrés de liberté, est une
variable aléatoire du KHI2 à P+Q degrés de liberté.
5.5. Variance des estimateurs de corrélation, cas gaussien (*)
x[nj est centré, gaussien à valeurs réelles.
Démontrer la relation (5.12bis).
5.6. Variance du périodogramme rectangulaire, calcul direct (**)
2
x[n] est centré, gaussien, blanc, à valeurs réelles et de variance ox .
Démontrer la relation (5.17).
5.7. Variance des estimateurs de corrélation, cas général (**)
x[n] est centré et à valeurs réelles.
Démontrer les relations (5.9) à (5.12).
5.8. Ergodisme du second ordre en moyenne quadratique, cas
d'un AR1 gaussien (**)
x[n] est est processus autorégressif d'ordre 1, généré par le filtre
récursif causal d'équation aux différences :
x[n] + ax[n-l] = e[n] (1)
où e[nj est un bruit blanc gaussien, centré, de variance o~z ; a est un
coefficient réel de valeur absolue inférieure à 1.
a) Calculer la séquence d'autocorrélation de x[n].
b) Vérifier, en utilisant les propriétés des moments du quatrième
ordre de variables conjointement gaussiennes, que la corrélation du
processus y p [n] = x[n]x [n-pj est à décroissance exponentielle. Donner
dans ces conditions la forme approchée (lorsque N est grand) de la
variance de l'estimateur non biaisé (voir (5.1)) de la corrélation de
xlnj.
c) On prend p = 0. Evaluer explicitement yyo(0) . Quel lien y a-t-il
entre le paramètre a et la variance de l'estimateur ? Interpréter. Chapitre 6
Estimation linéaire supervisée
DEFINITIONS
. y : grandeur de référence (son utilisation rend l'estimation
supervisée), élément de l'espace de référence f ;
. <.,.> : produit scalaire dont est muni l'espace y ;
. x : grandeur observée, élément de X ;
. L(.) : application linéaire de X dans W, appelé espace observation et
sous-espace de J;
.y = L(x) : approximation linéaire quelconque de y dans "W, (souvent
appelée par abus de langage, estimation linéaire quelconque de y) ;
.y = L0(x) : linéaire optimale de y dans "W, au sens
du produit scalaire <.,.>, (souvent appelée par abus de langage,
estimation linéaire optimale de y) ;
. e = y-y : erreur d'estimation linéaire ;
• y = y- y : innovation du problème ;
. l'application linéaire optimale minimise le carré de la norme de
l'erreur :
L0(.) = ARG{MIN {<e,e>} = ARG{MIN {<y-y ,y-y >} (6.1)
1A •) 1A.)
ARG{MIN{.}| signifie l'argument du minimum. 98 Introduction au traitement du signal
PROPRIETES
. l'innovation se confond avec l'erreur dont le carré de la norme est
minimal.
. suit le principe de projection ou encore principe
d'orthogonalité :
. L'innovation est orthogonale à l'espace observation :
VU), <L(x), y =y-y > = 0 (6.2)
soit encore, V L(.), <L(x), y- L0(x) > = 0 (6.3)
. Les performances se mesurent par le carré de la norme de
l'innovation ; d'après le principe de projection :
<y S > = <y»y> - <L0<X) ,L0(x) > (6.4)
INTERPRETATION
Le débruitage d'une mesure perturbée constitue l'exemple illustratif
élémentaire par excellence, des principes généraux de l'estimation
linéaire supervisée.
A cet effet, on considère les éléments suivants : y - s+b, où s est une
mesure considérée comme déterministe ; b est une perturbation,
assimilée à une variable aléatoire à valeurs réelles, centrée, de
variance finie a§ ; x = p, bruit d'observation, variable aléatoire à
valeurs réelles, centrée, de variance finie o~p ; p et b sont des variables
corrélées : E[bp] * 0, si E[] désigne l'espérance mathématique.
L(x) = ap où est a une constante réelle ; L0(x) = a0 p ; 0'- x = IV =
espace des variables aléatoires, à valeurs réelles, de variance finie ;
<a,b> = E[(a-ELaJ)(b-Elb])].
Le principe de projection (6.2) conduit à l'équation :
V a, E[ap(b - a0 p)]- 0 ; (b=y-E[y]) Estimation linéaire supervisée 99
avec, d'après (6.3), pour performances :
<y y > = cf§d-PDp)
o
où pbp est le carré du coefficient d'intercorrélation normalisée entre
b et p, compris entre 0 et 1, d'après l'inégalité de Schwarz.
EXERCICES
6.1. Approximation linéaire d'un vecteur aléatoire
y et x sont des vecteurs aléatoires centrés, tous deux à réalisations
N
dans C . On introduit les matrices de covariance suivantes :
Ty = E[y yf J ; Tx = E[xxf J ; = E[y x J (1)
On supposera Tx inversible.
a) Calculer la matrice optimale M0 , telle que M0 x soit la
meilleure approximation linéaire en moyenne quadratique de y, en
fonction de x.
b) Calculer les performances correspondantes en fonction de la
trace de la différence de deux matrices à préciser.
6.2. Approximation linéaire d'un vecteur déterministe
On désire approximer un vecteur y par une combinaison linéaire de
P vecteurs x; l<i<P, (P < N) algébriquement indépendants. Plus
précisément, on recherche le jeu de coefficients optimaux h, 0 qui
minimisent le carré de la norme euclidienne de la différence :
y- P X; hi (1)
i = 1
N
On précise que y et les Xj sont des éléments de C . On note X la
matrice dont les vecteurs colonnes sont confondus avec les Xj . On note
Im{X) l'espace image de la matrice X.
a) Définir l'espace observation du problème. Quelle est sa
dimension ?
b) La matrice X X est-elle inversible ? Discuter. 100 Introduction au traitement du signal
c) Ecrire le principe d'orthogonalité. En déduire l'équation
p
vérifiée par le vecteur h0 de C des coefficients optimaux.
A
d) Donner une interprétation de y .
e) Interpréter également le carré de la norme euclidienne de
l'innovation du problème.
6.3. Prédiction linéaire
On cherche à prédire linéairement l'échantillon x[n] à partir de P
échantillons extraits de son passé immédiat : Xn-p , avec :
X^.p = { xln-k], 1 < k < P) (1)
On suppose que le processus stochastique dont sont extraits tous les
échantillons considérés dans l'exercice, est stationnaire, centré, à
valeurs complexes, de fonction d'autocorrélation finie, y[m], avec :
y[m] = E[x[n]x* [n-m]J (2)
On introduit les grandeurs suivantes :
x[n-lj = [x[n-l] ... x[n-PJ]T
x [n] = -hT x[n-l] ; x [n] = -xT [n-l]a (3)
En accord avec les notations de la fiche 6, -h est un vecteur
quelconque de prédiction linéaire et -a est le vecteur optimal de
prédiction linéaire.
a) On suppose que :
x[n] = a(o)) COS(2TCVO n+<|)((I))) (4)
où a et ()) sont des grandeurs aléatoires. En appliquant une
formule trigonométrique classique évaluer x[n]+x[n-2J. Conclusions ?
On revient au cas général, on appelle Tp et Tp+i les matrices de
covariance respectives des vecteurs x[n-lj et x'[n], avec :
x'[n] = [x[n] x[n-l] ... x[n-P]]T (5) Estimation linéaire supervisée 101
rP = E[x*[n-l]xT[n-lJ] (6)
b) Comment s'interprète en termes de prédiction la singularité
de rP+i ?
Dans la suite de l'exercice, on suppose que rP+i est de rang plein.
c) Démontrer que FP existe.
d) En appliquant précisément le principe de projection donner le
système d'équation dont a est solution.
e) Donner l'expression de la variance de l'innovation en
fonction de y[0], Tp et d'un vecteur de taille P, à définir.
f) Donnern de la variance den en
fonction de rP+i et d'un vecteur de taille P+l dont les P dernières
composantes sont celles de a.
6.4. Egalisation
y[nj est un processus d'apprentissage connu, injecté dans un canal
dont on veut identifier la fonction de transfert
Erreur!. Le signal observable x[n] à l'autre extrémité de la
transmission est une version bruitée additivement de la sortie effective
slnl du canal. Le bruit de sortie b[n] est supposé blanc, centré,
indépendant de s[n] (donc de y[n]) et de variance oi, . On cherche à
retrouver yln] par filtrage linéaire invariant du processus x[n] :
(1)
Les séquences h[k] sont réelles et d'énergie finie, ainsi la variance
de y In] est toujours bornée. Le filtre optimal de réponse impulsionnelle
h0 [n], minimise la variance de l'erreur :
e[nj = y[n]- (h* x)[n] (2)
yln] est à valeurs réelles et centré.
a) Ecrire le principe d'orthogonalité et en déduire une équation
sous la forme :
(3) 102 Introduction au traitement du signal
où T. est l'espace des séquences d'énergie finie et où w[m] est
une séquence à exprimer en fonction de Yyx ImJ, h(, [mj et Yx [mJ> avec :
Yyx fm] = E[y[n]x[n-m]J et Yx [m] = E[x[n]x[n-m]] (4)
b) Aucune contrainte de causalité (donc de mise en œuvre en
temps réel) n'est imposée aux filtres h. Donner l'expression du
transfert en z, h0(z) du filtre optimal en fonction des transformées en z,
YyX(z) et Yx(z) des séquences Yyx [mJ et Yx tm] •
2
c) Exprimer h0(z) en fonction de yyS(z) , ys(z) et o"b .
d) On suppose que y[n] est un bruit blanc de variance oy On
introduit le rapport signal d'entrée sur bruit de sortie :
T) = Oy /Ob (5)
Exprimer le produit h0(z)g(z) en fonction de n et du produit
g(z)g(l/z) . Que se passe-t-il lorsque n tend vers l'infini ?
e) Calculer la variance de l'innovation et démontrer qu'elle est
toujours positive. Deuxième partie
Corrigés des exercices Chapitre 1
Transformées, corrigés
1.1. Transformation de Fourier
l.l.l
Par changement de variable t-»-t, on obtient j- (x(-t))=x (-v) =x (v) .
1.1.2
Visualisation: il s'agit de la demi-somme des translatés du spectre
autour de VQ et de -vn. 106 Introduction au traitement du signal
1.1.3
D'après 1.1.1 et (1.2e) on a
et on simplifie par (-2iïï)n
Pour n=l cela donne et par parité:
1.1.4
On utilise le fait que pour des
fonctions réelles paires
(Gaussienne centrée de variance a2) .
Interprétation probabuiste: la loi d'une somme de 2 gaussiennes
indépendantes est une gaussienne, les variances s'additionnent.
1.1.5 Transformation de Fourier, corrigés 107
a) Parseval (1.3)
b) h(t)=x*y(t). Il s'agit de la convolution de 2 portes symétriques
autour de 0. On la retrouve en sachant :
-qu'il s'agit d'un trapèze
-que son support est la somme des supports, c-à-d ici [-3/2, 3/2J
-que le plateau est défini par les décalages maintenant le support de
x intérieur au support de y, donc [-1/2,1/2], et que sa valeur vaut alors la
largeur de x donc 1.
1.1.6 Signaux à bande limitée (*) 108 Introduction au traitement du signal
c) avec cn=<x,(pn>
- oo
L'isométrie (1.3) et l'expression (1) donnent alors :
(3)
On obtient la formule d'échantillonnage de Shannon (au sens L2 )
(4)
permettant la reconstitution exacte du signal x(t) à bande limitée
[-G,+G] à l'aide de ses échantillons à la période T=l/2c. De plus,
l'isométrie (Bessel-Parseval) donne les 2 expressions de l'énergie du
signal :
(5)
d) L'utilisation de l'inégalité de Schwarz, puis de l'isométrie
(Parseval) nous donne
(6)
Pour la dérivée nieme, on majore en module puis on applique à
nouveau Schwarz : Transformation de Fourier, corrigés 109
(7)
Interprétation: ces inégalités de Bernstein donnent une mesure
chiffrée du fait qu'une fonction à bande limitée est infiniment lisse et à
variations pas trop rapides.
Enfin le caractère analytique entier de x(t) résulte du développement
en série entière de rayon R=°° (d'après (7)):
e) Soit x(t)€H. Par l'isométrie de Fourier, il est équivalent de
projeter x(t) sur H2 (domaine temporel) ou de projeter sa TF sur Hi
(domaine fréquentiel).
Notons des 2 côtés Pa cet opérateur. Or il est clair que
y(v)=l[.0>0].3i(v)eHi , VzeHi < x(v)-y(v), z(v)>=0
d'où on déduit en utilisant la propriété de convolution (1.2b) que
P0 x(v) =l[-0,o]- Xv) => Pax(t)= 71 ( P0 x(v)) =y/2~â . x*(po (t) (8)
On obtient une autre expression de cette projection en utilisant la
base orthonormée ((pn) de H2 :
(9)
et l'isométrie de Fourier nous donne alors 110 Introduction au traitement du signal
Interprétation: Les relations (8) et (9) nous montrent que, pour un
signal x qui n'est pas à bande limitée, la meilleure approximation en
m.q. de x par un signal BL2[-o,o] n'est pas donnée par la formule
d'interpolation brute (4) (qui redonnerait exactement x aux points nT
d'échantillonnage, mais pas en dehors), mais par la projection (8) :
celle-ci consiste en une troncature du spectre de x dans la bande [-a,o] ,
donnant le signal Pax(t) qui lui peut ensuite être échantillonné sans
erreur de reconstitution.
En terme physique, on retrouve ici la procédure pratique utilisée par
l'électronicien pour échantillonner correctement un signal x(t): on
applique d'abord le filtre anti-repliement de réponse >/2Ô (po(t), puis on
échantillonne. Ceci permet de garder les mêmes propriétés spectrales
pour x(t) et PGx(t) dans la bande utile [-a,a], en évitant le repliement du
spectre dû à un échantillonnage direct de x(t).
L'erreur énergétique dans l'approximation, minimale, est alors
TF des distributions
1.1.7
a) La fonctionl-périodique g(t) et ses dérivées ont la
représentation suivante: g' est une fonction, discontinue tous les
entiers.
(Energie hors bande) Transformation de Fourier, corrigés 111
graphe de g(x)
dérivée g'(x)
4
-2
0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
20
0
-20
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
b) Le développement de Fourier de g(x) sur la base orthonormée
je2i7tnxj de L2[0,l] est donné par
(1)
La fonction g étant continue et C1 par morceaux, la série de Fourier
converge pour tout x vers g(x), et la convergence est uniforme et absolue
sur R.
c) Le graphe de g'(x) prouve que, au sens des distributions, on a
d'après (1.6b)
(2)
2
0 112 Introduction au traitement du signal
Interprétation: cette égalité s'interprète comme le développement en
série de Fourier du peigne de Dirac de période 1 (tous coefficients=l), ou
comme le fait que la TF du peigne de période 1 est lui-même.
Cas du peigne de période T : sachant que S(ax)- . ^ . S(x), on a :
(3)
-oo
En passant à la TF sur la dernière égalité, on obtient :
1.1.8 TF de la distribution vp(l/t) (*)
a) U(t)=lL0)+~] (t) et V=vp(l/t).
xV=l
b) 7(xV)=!F(x)*!F(V)=o
où la deuxième égalité a été obtenue par dérivation 2 fois de la série de
Fourier (1) (légitime terme à terme au sens des distributions). On en
déduit par regroupement des termes et division par 4jt2, l'égalité
recherchée: Transformation de Fourier, corrigés 113
En intégrant cette équation, on a V =-2i7u(U(v)+K) , et on détermine
o
la constante en sachant que V est imaginaire pure impaire comme TF
d'une distribution réelle impaire. Donc K=-l/2 et
c) On déduit de l'équation précédente que !f 1(V) =2inU(v)-iJi.
On applique alors Fourier à cette équation, d'où
Enfin on obtient ( 111 ) par symétrisation de t.U(t) d'où
1.1.9 Formule de Poisson
On a la fonction T-périodique et C°° de T définie par
Par application de la TF on obtient
Par inversion de Fourier on obtient 114 Introduction au traitement du signal
Cette série de Fourier est normalement convergente sur R car
1.1.10 TF des suites numériques (*)
a) La TF de la séquence (x(n))n6z est la série de Fourier 1-
périodique
On a donc égalité point par point des 2 fonctions et en t=0 cela donne
(1)
• si (x(n)) est une suite bornée (ou à croissance modérée: majorée
par un polynôme), la série converge dans l'espace S des distributions
tempérées : la TF x(v) est donc en général une distribution 1-
périodique, contenant à la fois un spectre continu (fonction plus ou
moins régulière de v) et un spectre de raies (somme discrète de masses
de Dirac l-périodiques=peignes de Dirac).
la série est normalement
convergente en norme uniforme sur R, sa somme est une fonction
continue 1-périodique. Transformation de Fourier, corrigés 115
, la série converge en m.q. dans
L2l0,n vers une fonction de carré intégrable sur [0,1]- On a alors
l'isométrie (Bessel-Parseval) donnant la double expression de
l'énergie
(2)
• si (x(n)) est à décroissance exponentielle: lx(n)l <C p'n' , p<l
la série x(v) est la valeur sur le cercle unité d'une fonction analytique
sur le disque I z I < 1/p, et est donc une fonction analytique 1-périodique
de v.
Dans la suite, on suppose que x(n+N)=x(n), et on pose
b) Tx est donc la répétition périodique, à la période N, du motif
élémentaire XN(t):
Tx=xN*LUN(t) (3)
c) Par TF de cette relation, on obtient :
(4)
est un polynôme trigonométrique.1
NOTES CHAPITRE 1.
(1) On rappelle qu'un polynôme trigonométrique est un polynôme en la
variable z=exp(2inv) 116 Introduction au traitement du signal
d) La distribution (4) est 1-périodique, de motif élémentaire
(5)
donc on peut l'exprimer à l'aide du peigne LU et de ce motif par
x(v) = LU * y (v) (6)
o
La TF inverse de y(v) est
et l'inversion de
(6) donne :
(7)
La comparaison de (7) avec la définition de Tx permet de conclure:
Ce couple de relations entre les 2 séquences N-périodiques |x(n)) et
o k
{z(n)=x N(J^") I est appelé TFD (Transformation de Fourier discrète) et
TFD inverse. Il est à la base des algorithmes de calcul effectif des TF
de séquences numériques ou de signaux analogiques sur calculateur.
f) Interprétation dans
On peut interpréter la relation (8) comme décomposition du vecteur
de CN X=[x(0),...,x(N-l)]T dans la base orthogonale ek=t e2i7tkn/N ]
0<n<N Par rapport au produit scalaire standard:
sur CN : Transformation de Fourier, corrigés 117
La relation d'isométrie (qui n'est autre ici que le théorème de
Pythagore appliqué à la suite orthogonale le^l avec <ek,ej>=^- 5kj)
s'écrit alors:
(10)
(9) 118 Introduction au traitement du signal
1.2. Transformée en z
Propriétés de la TZ
1.2.1
TZ{5(n-a)}=z"a D=C*
sur I zI>1
sur C* (z=l n'est pas un pôle)
sur IzI>I a I
sur lal<lzl<l/lal
Le support de x*x est la somme des supports, càd S=[0..2a-2]. Pour keS
(fonction triangulaire centrée sur a-1)
1.2.2
a) (1)
(2)
(3) Transformée en z, corrigés 119
b) On a, partant de C^1 _/2m^ > ]a reiation (vraie pour tout me Z en
zm (m!)2
prolongeant par 0 pour les indices négatifs)
(m+l)ym+i =(4m+2)ym
Utilisant la relation (2) du a), on obtient l'équation différentielle
(4z-z2) Y'(z)=2Y(z)
qui donne par décomposition en éléments simples et intégration
1.2.3
a) Sur Di, (domaine causal)
b) On a donc par identification les séquences inverses
-sur Di yn=2n"6 U(n-6) séquence purement causale
-sur D2 yn=2n"6 U(5-n)e anticausale translatée
1.2.4
a) On sait que sur le domaine causal I z I > I a I,
On en déduit par (1.9a) l'inversion par convolution 120 Introduction au traitement du signal
On peut aussi retrouver ce résultat par dérivation (cf. exercice 1.2.2)
b) On note que la fraction F(z) est symétrique en z et z"1, ainsi que le
domaine D: il en résulte que la séquence originale est paire, il suffit de
la calculer pour n>0. Alors, appliquant la formule des résidus (1.11) ,
avec l'unique pôle z=a intérieur à D, on a (formule du résidu pour un
pôle double)
qui donne après évaluation de la dérivée et symétrisation en n:
c) On cherche un développement causal, donc en série de z1 , de
par un développement en série standard sur laz_1J<l. Le changement
d'indice m=n+k donne
Application: on obtient par décalage les inverses causales de tous les
éléments simples ~T~T > e^ donc de toute fraction rationnelle qui se
(l-az)k+1
décompose en somme de tels éléments.
1.2.5
Une fraction rationnelle F(z) est analytique sur C moins les pôles.
L'inverse causale (au sens large: nombre fini de termes non nuls pour
n<0) est obtenue par inversion de F(z) sur le domaine causal
D2=llzl>r2l où T2 est le module maximal des pôles, et l'inverse est
obtenue par
pi ensemble des pôles de z11"1 F Transformée en z, corrigés 121
L'inverse anticausale (au sens large: nombre fini de termes non
nuls pour n>0) est obtenue par inversion de F(z) sur le domaine
anticausal Di={ I z I <ri) où ri est le module minimum des pôles non
nuls de F(z). L'original est alors :
an =Rés{ F(z)znl ;0} neZ
1.2.6 TZ et séries de Fourier
a) Le cercle unité appartient au domaine D non vide de convergence
de la TZ Y(z) ssi
3p<l,etM: I yn l<Mplnl neZ
et alors D contient au moins le disque |p< I z I <l/p).
Remarque: ceci implique en particulier la convergence sur le cercle
unité, càd mais cette condition ne suffit pas à assurer
l'existence de la TZ sur une couronne non vide.
b) Sous l'hypothèse a), on a convergence normale en norme
uniforme de la série de Fourier
qui est donc une fonction continue et analytique (donc C°° ) de v, 1-
périodique: c'est la TF de la séquence yn. L'inversion de Fourier
donne alors :
Cette forme intégrale n'est autre que l'écriture paramétrée sur le
cercle unité z=e2l7CV de l'intégrale de Cauchy (1.10) appliquée à Y(z). 122 Introduction au traitement du signal
c) Pour 2 suites (y^) et (uk) vérifiant la condition large du a) càd
e 1-kZ), la suite hk=ykuk e l1 et on a :
La série étant normalement convergente, on peut intervertir
intégrale et sommation, pour obtenir
La multiplication des séquences se traduit par la convolution
(périodique) de leurs TF.
Equations aux différences finies
1.2.7
L'équation caractéristique est p(r)=r2-r-l=0, racines simples
La solution homogène est donc hk=A.rik+ur2k , et la r.i.
causale s'obtient avec les conditions initiales hn=l, h_i=0 d'où
La r.i. est donc hk= C(rik+1 -r2k+1)
La réponse à une entrée u^ quelconque est u*h(k). On obtient:
(on suppose a* ri et r2) Transformée en z, corrigés 123
1.2.8
a) Le polynôme caractéristique est p(r)=r2 -3r+2 , racines ri=l et
r2=2. Comme 3 n'est pas racine, la solution particulière est de la forme
yk=(ak+b)3k => a=9/2 et b=-45/4
b) La solution générale de l'équation homogène est gk=a+b.2k , on
obtient la r.i. causale avec les conditions initiales
gO=l=a+b , d'où
c) Si uk=U(k) (échelon unité),
Calcul par TZ: sur lzl>l. D'après (1.14) et (1.15)
sur I z I >2. Par résidus, on obtient
pour n>0
yn=Rés( F,l)+Rés(F,2( avec
Pour le pôle simple z=2, Rés(F,l)={(z-2)F(z)| (2)=2n+2
Pour le pôle double z=l,
d'où
yn=-n-3+2i+2 conformément au calcul direct.
1.2.9
a) hk=akU(k),
gk=bkU(k),
sur I z I > I a I
sur I z I > I b I 124 Introduction au traitement du signal
b) On a pour les solutions causales de (1) et (2) :
Pour a*b, on a donc :
pour a=b (pôle double)
sk= (k+l)ak U(k)
Le transfert en z est sur
I z I >Max{ I a I, I b I}.
De ce transfert en z, on déduit l'EDF reliant u et y:
(1- (a+b)z_1 +ab z-2) Y(z)=U(z) => yk- (a+b)yk-i +ab.yk-2=uk
Exemples: Pour a=b, Sk=(k+l)ak ,
Pour 2 pôles complexes conjugués a=rel9 et b=re"ie,
c)
sur 1 z ! >1 , Y(z)=U(z)S(z)
sur le domaine I z I >Max(l, I a I, I b I} TFD, corrigés 125
1.3. Transformée de Fourier discrète
1.3.1 Augmentation de la résolution de la TFD
(a) La TZ de la séquence y[n] est donnée par :
y Os) =(l+z'N) .x(z)
D'où la TFD de y[n] :
d'où :
On en déduit :
.k = 2p: , 0<p<N-l
.k = 2p +1: y 2^^+11-0 , 0<p<N-l
On a bien doublé le nombre de points de spectre mais les N points
supplémentaires sont en fait des zéros ! (cette méthode ne présente
évidemment aucun intérêt).
(b) Les séquences x[n] et v[n] sont identiques pour neZ, d'où:
On en déduit, suivant les valeurs de k :
. k = 2p : , 0<p<N-l 126 Introduction au traitement du signal
, 0<p<N-l
(il n'y a pas de relation avec la TFD de x[n\ pour k impair)
On retrouve les N points de TFD de x[n] pour k pair; les points
supplémentaires, obtenus pour k impair, correspondent bien à la
discrétisation attendue du spectre continu x(v) . Cette méthode s'avère
donc utile pour augmenter le nombre de points de spectre : il suffit de
compléter la séquence à analyser par des zéros !
(c) Les points de séquence de rang impair sont systématiquement
nuls; pour calculer la TFD, il suffit donc de sommer sur les points de
rang pair n=2p :
d'où : , 0<k<2N-l
Etant donné que x pjlk+N] = x , on obtient en fait deux fois la
même suite de points de spectre; cette méthode ne permet donc pas
d'augmenter la résolution spectrale.
(d) La dualité se manifeste par la propriété suivante : la
duplication d'une séquence dans le domaine temporel (respectivement
fréquentiel) se traduit par des zéros intermédiaires dans le domaine
fréquentiel (respectivement temporel).
1.3.2 Calcul d'une convolution par TFD
(a) Etant donnés les supports finis des séquences x[n] et h[n], le
produit h[k] .x[n-k] ne peut être différent de zéro que si l'on vérifie les
deux conditions:
1°)
2°)
0 < n-k < M - 1 k<n<M - l + k
0<k<L-l TFD, corrigés 127
On en déduit le domaine [nm{n , nmax] rassemblant les points de
convolution non-nuls, soit:
(1)
La longueur de la séquence de convolution linéaire y[n] vaut donc:
L + M -1 = 200 points.
La relation (1) de l'énoncé montre que chaque point de y[n] requiert
L=73 multiplications réelles : le calcul de tous les points de la séquence
de convolution nécessite donc L.(L + M - 1) = 14 600 multiplications
réelles.
(b) La compréhension du calcul de convolution circulaire (2) de
l'énoncé est facilitée grâce au schéma suivant (attention, les séquences
sont périodiques !) :
Jlik]
x[n-k]
L-l N
k
n N+n-M+1 L-l N+n
k
On voit apparaître un certain nombre de produits K [k].x [n-k] pour
N+n-M+1 < k < L-l qui n'existent pas dans le produit de convolution
linéaire (1) de l'énoncé; il en résulte des résultats différents pour les
valeurs de n telles que N+n-M+1 < L-l, soit :
La condition pour que tous les points soient justes depuis n=0 est :
soit : (3)
• iV=128 : on obtient 72 points faux pour 0<n<71, suivis de 56 points
justes pour 72</t<127.
N>L + M-1
(2) 128 Introduction au traitement du signal
• A^=200 : on a N=L+M-\ et donc, d'après (3) ci-dessus, tous les points
sont justes.
La condition (3) ci-dessus conduit à l'interprétation suivante : la
convoiution circulaire donne le même résultat que la convolution
linéaire si on prend un ordre de TFD au moins égal à la longueur du
produit de convolution linéaire.
(c) Le découpage de la séquence w[n\ en sections de M points peut
s'écrire sous la forme :
w[n] = XQ[II] + x\[n-M] + X2[n-2M\ + ... + xp[n-pM\ + ... (4)
où les sections xp[n] sont des séquences de longueur finie M sur
l'intervalle 0<n <M-1.
On utilise deux propriétés du produit de convolution:
. distributivité sur la somme;
. invariance par translation.
Il en résulte, en utilisant la relation (4) ci-dessus:
{w *h}[n] = {xQ*h)[n] + {xi*h}[n-M] + ... +{xp*h)[n-pM] + ... (5)
Chaque produit de convolution partiel \xp*h}[n] est calculé
séparément par convolution circulaire (à l'aide de la TFD). La
condition (3) du corrigé implique, pour que tous les points soient justes,
une longueur maximum de section :
M<N-L + \ => M < 184 points par section
Les produits de convolution partiels étant de longueur supérieure à la
longueur de chaque section, la recombinaison de ceux-ci nécessite -
d'après (5) ci-dessus - une sommation des zones qui se chevauchent.
Exemple pour M = N - L + 1 = 184 : TFD, corrigés 129
[h *sc0}[n]
0
AM=255
n
[h+x^ln-M]
M =184
\hw2)[n-2M)
n
2M 2M+N-1
(d) D'après les résultats de la question (b), chaque convolution
circulaire partielle fournit L-l=72 points faux et JV-L+1=184 points
justes. Deux sections consécutives de w[n], Xjln-kj,] et xi+i[n-ki+U\, sont
décalées de D échantillons, de telle façon que les points justes se
succèdent en continuité (on élimine les tranches de points faux):
L-l
faux
N-L+l
justes
[h \[n-kt]
n
% :+N-l
l '
lh@xi+^[n-k -+D]
n
kt+D
On en déduit que le décalage D entre 2 sections consécutives vaut:
D =N-L + 1 = 184 échantillons
On est conduit à aligner la 1ère section de w[n] sur un rang &o
négatif de façon à obtenir les N-L+l premiers points justes du produit de
convolution cherché (depuis n=0), soit, d'après la figure :
ko = - L + 1 = -72
(e) La longueur du produit de convolution de w[n\ avec h[n J vaut :
Q = P + L- 1 = 20 072 points. 130 Introduction au traitement du signal
Chaque convolution circulaire, calculée par TFD, exige le calcul:
17 de la TFD directe de la section courante;
27 des N produits complexes de deux TFD, celle de h[n], fixe, étant
calculée d'avance une fois pour toutes;
37 d'une TFD inverse.
Sachant qu'un produit complexe nécessite 4 multiplications réelles,
le nombre total de multiplications réelles pour une convolution
circulaire partielle est donné par:
Pour N=256, il faut donc :
Nmuit = 92W
multiplications réelles par convolution circulaire.
- V méthode :
w[n] est sectionnée en sections de M=N-L+1 points.
—> il faut P/(N-L+1) - 108,7 sections, soit 109 sections (on
complétera la dernière section par des zéros).
Le coût en multiplications réelles par point de résultat vaut :
- 2e méthode :
[w*h}[n] est sectionnée en sections de M=N-L+1 points.
-> il faut (P+L-1)/(N-L+1) = 109,8 sections, soit 110 sections (on
complétera la dernière section par des zéros).
Le coût en multiplications réelles par point de résultat vaut :
Nmult = 2 x 2N\og2(N) + 4N = 4N[1 + log2(A0] (6)
On constate que pour P élevée, les deux méthodes se valent en terme
de complexité de calcul (la 2ème méthode évite cependant les additions
entre tranches recouvrantes). TFD, corrigés 131
(f) Les deux méthodes ont sensiblement la même complexité de
calcul exprimée en nombre de multiplications réelles par point de
résultat, soit :
Pour L =73, et N=2P, on obtient les valeurs suivantes :
(7)
P
7 8 9 10 11 12 13
N 128 256 512 1024 2048 4096 8192
m 73 50 46.5 47.3 49.7 52 56
L'ordre optimal de TFD est ici égal à 512, avec 46.5 multiplications
réelles par point de résultat contre 73 pour le calcul direct (1) de
l'énoncé; la réduction de complexité est égale à 36%.
1.3.3 Loupe spectrale
(a) La séquence correspondant au spectre translaté se calcule par
TF inverse, soit :
On en déduit : iv[n] = e'J2ltv°n (séquence complexe).
Soit, en effectuant le changement de variable 9=v+vn : 132 Introduction au traitement du signal
(b) Spectre des diverses séquences :
La TFD d'ordre N de y[n\ fournit N/2 points de spectre entre 0 et 0.5.
Ceci correspond bien à l'effet de loupe recherché, puisque la distance
entre deux points successifs de la tranche agrandie vaut l/(MN) au lieu
de 1/N pour la tranche initiale.
Le filtre numérique passe-bas empêche le chevauchement des deux
tranches de spectre de x 2(v) avant l'expansion spectrale réalisée par le
décimateur. Ce filtre agit en filtre anti-repliement, l'opération de
decimation étant équivalente à un échantillonnage discret (voir
l'exercice 3.7.2).
(c) Af- Fe/N =100 Hz;
Af = Fe/(MN ) = 1 Hz;
P> 102 201 points —> T>P/Fe - 1 s. TFD, corrigés 133
1.3.4 Calcul du gain complexe d'un filtre par TFD :
(a) Le gain complexe du filtre vaut:
(1)
(b) Le k'eme point de spectre est donné par :
(2)
On peut faire apparaître deux TFD d'ordre N dans (2) ci-dessus :
(3)
avec : . N > Sup(M,Q)
. {ap) : ao = 1 ; les dp sont nuls pour M <p <N-1.
. {&/) : les bi sont nuls pour 0<1<P et pour Q <l <N-1
(c) Les séquences de coefficients sont les suivantes :
[an) = 11,-0.5, -0.2, 0.1,0, 0, 0, 0}
[bn\ = (0, 1, 2, 0, 0, 0, 0, 0)
Pour augmenter le nombre de points de gain complexe, il suffit
d'augmenter l'ordre de la TFD, en complétant les séquences de
coefficients |a«| et [bn] par des zéros (voir l'exercice 1.1). 134 Introduction au traitement du signal
1.3.5 Transformée de Fourier discrète vue comme une base
orthogonale dans
(a) Le produit scalaire de deux vecteurs <î>k vaut :
(1)
où (p,;[ra] est la i'-ième composante du vecteur 4>j dans la base
canonique de C^.
(2)
.i=j:
soit encore, en rassemblant ces résultats :
(3)
L'expression (3) est bien une relation d'orthogonalité : les N
vecteurs linéairement indépendants {<!>&) constituent donc une base
orthogonale de CN .
(b) En utilisant la relation (4) de l'énoncé et la relation (3) ci-
dessus, on vérifie l'égalité :
(4)
(c) On pose que le carré de la norme de X est la même dans les
deux bases, soit, en utilisant les relations (3) et (4) du corrigé : TFD, corrigés 135
ce qui démontre la relation de Parseval.
1.3.6 Transformée de Fourier rapide (FFT)
(a) (1)
Sachant que: on déduit de (1) ci-dessus:
d'où le résultat (3) de l'énoncé avec a(k, N) = WN1*, soit :
(2)
(b) Les séquences de TFD sont périodiques de période N , soit :
(3)
et: (4)
De plus, on observe que :
(5)
La relation (4) de l'énoncé n'est autre que la relation (2) du corrigé
exprimée pour les N/2 premiers points de TFD. La relation (5) de
l'énoncé - donnant les N/2 derniers points de TFD - s'obtient à partir
des relations (2) (3), (4) et (5) du corrigé. 136 Introduction au traitement du signal
(c) On a les ordres successifs N, N/2, N/4, 2, soit q étapes. Pour
N=2, on obtient 2 points de TFD à partir de 2 points de séquence ce qui
correspond au papillon FFT suivant :
v[0]
41]
o
w2 = 1
x2[0]
x 2[0]=x[0]+x[l]
x 2[l]=x[0]-x[ï\
(obtenu aussi à partir de la relation (1) de l'énoncé avec N=2).
(d) Le calcul de la TFD comprend ^=3 étapes de récurrence, soit :
x[0]
x[4]
x[2]
x[6]
x[l]
x[5]
x|JJ
xL7]
Etape 3 Etape 2 Etape 1
x>]
L'entrelacement de x[n] s'obtient en étudiant l'évolution des rangs
d'échantillon dans les sous-séquences successives :
X>1
x>]
x°8[5]
x>]
x°8[7]
x [2]
8 TFD, corrigés 137
01234567
0 2 4 6 13 5 7
0 4 21 5 3
ordre 8
ordre 4
ordre 2
(e) Les rangs pairs de n s'expriment en base 2 avec ITIQ = 0 et les
rangs impairs avec mo = 1; ceci montre que la première partition de
x[n] est bien déterminée par mo, avec :
Partition des sous-séquences a[p] et a[p] à l'ordre N/2:
on a :p = 2q'2.m(]_j + ... +mi
Les partitions à l'ordre AT/2 sont déterminées par mi. Par itération,
on voit que les partitions suivantes s'effectueront en fonction de TO2,
m3, rriq.\, ce qui montre que le rang i de la séquence entrelacée se
décompose en base 2 selon :
soit : (6)
Exemple avec N=8 :
m0=0
m1=0
m2=0
i = 138 Introduction au traitement du signal
On voit donc que l'on passe facilement de n à i en renversant l'ordre
des bits (cette propriété est mise à profit dans les processeurs de
signaux, ceux-ci possédant un mode d'incrémentation de l'adresse des
échantillons depuis les poids forts vers les poids faibles dit "reverse-
car ry").
On vérifie cette méthode sur le résultat de la question (d) :
i n
000=0 000=0
001=1 100=4
010=2 010=2
011=3 110=6
100=4 001=1
101=5 101=5
110=6 011=3
111=7 111=7
(f) On obtient :
P = N/2
et :
Q = g = log2(A0
On a donc au total:
. N.\og2{N)
multiplications complexes
additions complexes
(g)
Le calcul direct par la formule de définition nécessite :
. iV2 multiplications complexes
.N(N-l) additions complexes. TFD, corrigés 139
Le facteur R de réduction du nombre des multiplications vaut donc :
Ce facteur augmente lorsque l'ordre de la TFD augmente :
l'efficacité de l'algorithme de FFT est d'autant meilleure que l'ordre
est élevé !
Pour N = 1024 (soit q = 10 itérations), le gain vaut R ~ 205.
(h) L'algorithme de TFD directe est utilisable en changeant
WNk=cos(2nk/N) -j sin(2nk/N) en WN'k= cos(2nk/N) + j sin(2nk/N)
soit un simple changement de signe dans l'exploitation des tableaux de
sinus.
Une division par N est requise en final, division que l'on peut
effectuer de façon rapide par q décalages à droite puisque N est une
puissance de 2 par hypothèse. Chapitre 2
Echantillonnage, corrigés
2.1 Echantillonnage idéal
(a) On utilise la relation (2.3):
(1)
-27F -18F -9F -F OF 9F 18F 27F
xe(f)
9AF\
f
(b) L'identité, pour tout x réel :
(2)
stipule que l'unité de 6(t-x), notée [ÔXf-t)], est l'inverse de celle de t.
La définition (2.1) de xe(t), fournit l'unité du signal échantillonné,
soit:
[xe(t)] = V.s-1. (3) 142 Introduction au traitement du signal
Par ailleurs, la définition de la TF d'un signal x(t) quelconque
conduit à l'équation aux dimensions suivante:
[*(*)].[*] = [x(f) ]
D'après tout ce qui précède, il vient :
[x a(/)J= V.set£e(/)J = V (4)
Les unités des relations (4) et (1) du corrigé sont compatibles.
(c) x[n] = A cos (2JIVO«) + CQ , avec vo = foTe fréquence réduite.
La TF du signal analogique vaut:
(5)
La relation (2.3) fournit la TF du signal échantillonné:
(6)
On utilise la relation (2.5) pour calculer la TF de la séquence x[n].
On note au préalable l'effet du changement de variable sur un peigne
de Dirac:
(7)
d'où : (8)
o
X (V)
1.5
0.5
-1
-vo 0
vQ=l/5
v Echantillonnage, corrigés 143
La relation (2.4) montre que l'unité de x(v) est la même que celle de
la séquence x[n J, c'est à dire celle de xa(t) (volt).
2.2 Echantillonnage réel à l'aide d'un bloqueur
(a) Le signal en sortie du bloqueur se met sous la forme :
(1)
Soit finalement : (2)
Le signal de sortie du bloqueur s'obtient en faisant passer le signal
échantillonné idéal dans un filtre de réponse impulsionnelle h{t)
rectangulaire :
MO
i
0 e
L'unité de h(t) peut s'obtenir à partir de l'équation aux dimensions
tirée de la relation (2) ci-dessus:
[Xl] = V = [hUxeUt] (3)
Sachant que xe (t) s'exprime en V.s'1 (cf. exercice 2.1), la relation (3)
ci-dessus montre que h(t) est sans dimension.
(b) La TF de xi(t) s'obtient en prenant la TF des deux membres de
la relation (2) du corrigé, puis en utilisant la relation (2.3) :
xi(t) = (h * xe ) (t) 144 Introduction au traitement du signal
(4)
avec : Uf) = 0 sinCCn/me-J*/'0 (5)
Pour 0 - Te/3, le module dex \(f) prend l'allure suivante :
m
3 a
\'U)\
-21F -18F -9F -F 0 F 9F 18F 27F
(d) Unité de x i (/) : V.s (depuis la formule de définition de la TF).
(e) La suite de valeurs numériques produites par le convertisseur
analogique-numérique est exactement égale à la suite {xa(nTe)) (en
considérant l'instant nTe comme étant l'instant de début du blocage).
Tout se passe donc comme si l'on avait un échantillonnage idéal du
signal. On en déduit l'expression de la séquence x[n] :
x[n] = A cos (2rtVQ/0 + CQ , avec VQ = foTc .
La TF de x[n] est donnée par (8) du corrigé de l'exercice 2.1:
(e) Allure du module de x \(f) pour 0 = Te :
A
-27F -18F -9F -F OF 9F 18F 27F Echantillonnage, corrigés 145
(f) Un convertisseur analogique-numérique agit comme un
bloqueur, avec une durée de blocage égale à la période
d'échantillonnage; on obtient un signal identique à x\(t) - voir la
question (c) - et, par conséquent :
X ar(f) = x \(f)
(6)
Dans la mesure où il n'y a pas repliement (F<FE/2), la portion de
spectre dex ar(f) comprise entre -F et +F est égale à x a(f) multipliée par
le gain complexe fiif) du bloqueur.
On peut retrouver le signal originel xa{t) en filtrant xar(t) à l'aide
d'un filtre passe-bas - dit filtre de "lissage" - éliminant les
composantes spectrales situées à l'extérieur de la bande [-FQ/2, +FJ2\.
De façon à compenser le gain du bloqueur, le filtre de lissage doit
avoir un gain en sinC'l et sa phase doit rester linéaire en fonction de la
fréquence dans sa bande passante (retard pur).
2.3 Echantillonnage réel à l'aide d'une porte
(a) La fonction w(t) est une "porte" périodique de largeur 0 et de
période Te. Le "motif d'une période est l'impulsion rectangulaire h(t)
rencontrée à la question (a) de l'exercice (2.2), d'où :
(1)
L'unité de X2(t) étant la même que celle de xa(t), on en déduit que w(t)
est sans dimension.
(b) La périodisation correspondant à la relation (1) ci-dessus peut
est obtenue par une convolution avec un peigne de Dirac :
w(t) = (h *\UTe)U) (2)
d'où : &(f) = Uf) .FE WFe(f) (3) 146 Introduction au traitement du signal
Sachant que X2(t)=xa(t).w(t), on en déduit :
x 2(D = ( x a * u> ) (f)
= [°xn * d Fe WFe)](f)
(4) d'où :
avec : h(kFe ) = 0 sinC(nkFe 0).e-J^^0
. Pour 0 = Tc /3 , le module de x 2<7) prend l'allure suivante :
m
[AIT
-21F -18F -9F -F°F 9F 18F 27F
Ce résultat est voisin de celui obtenu avec le bloqueur - exercice 2.2,
question (b) - mais on notera ici l'absence de déformation des motifs
triangulaires ainsi qu'un spectre rigoureusement nul autour des
multiples de 3Fe .
. Pour 0 = Te , le terme fi{kFe ) est nul partout sauf pour k=0 où il vaut
Tc. On en déduit, à partir de la relation (4) du corrigé, que x 2(f) = x a(f).
Ce résultat se retrouve facilement puisque Q=Te correspond à
l'ouverture permanente de la "porte", ce qui entraîne évidemment X2(t)
= xa(t).
(c) Unité de x 2(/) : tel = V, d'où [x 2] = V.s . Echantillonnage, corrigés 147
2.4 Sous-échantillonnage
(a) Spectre de la porteuse modulée :
P<ff>
•fo-F -fo
()
f
Fe > 2 (f0 + F) -» Fe > 230 kHz
A priori, il faut donc transmettre le signal avec une cadence
minimale égale à 230 000 échantillons/s.
(b) Spectre de la porteuse modulée échantillonnée :
,Pv(f) F2
-10
0
10 30 50 70 90 110
/(kHz)
Fl
Du fait de la périodisation spectrale, les fréquences sur lesquelles se
centrent les portions (triangulaires) de spectre sont de la forme :
fk = ±f0±kFe (1)
Valeurs en kHz : +110-40*
-110+ 40 A:
= 110 (k=0)
= 70 (k=l)
= 30 (Jfe=2),...
= 10 (£=3)
= 50 (k=4)
= 90 (£=5),...
(c) Le filtrage passe-bande Yl redonne exactement le signal de
porteuse à temps continu d'origine.
(d) Le filtrage passe-bas F2 donne une porteuse modulée dont la
fréquence est égale à 10 kHz (à une inversion des bandes près). Il est
possible de retrouver exactement le signal xa(t) d'origine, après
démodulation.
h >o+JP 148 Introduction au traitement du signal
(e) La question (d) montre qu'il est possible d'effectuer un sous-
échantillonnage conduisant à une réduction du débit d'échantillons
(soit 40 000 échantillons/s dans l'exemple).
La transposition de la fréquence porteuse - sur 10 kHz dans
l'exemple - résulte d'une différence de fréquences : ceci demande une
très bonne stabilité de /n et de Fe .
(f) Spectre de la porteuse échantillonnée au voisinage de /h :
L'absence de chevauchement nécessite les deux conditions :
(2)
(3)
(g) Les relations (2) et (3) ci-dessus conduisent à :
(4)
On obtient la condition suivante sur K :
soit :
(5)
La soustraction membre à membre des relations (2) et de (3) du
corrigé donne :
Fe>4F (6)
La relation (6) du corrigé peut s'interpréter comme une forme
généralisée du théorème d'échantillonnage avec Fe > 2B, où B = 2F est
bien la largeur de bande occupée par le signal de porteuse modulée.
-f0+Kfe
-fQHK+])Fe
f0-F
h)
ÎQ+F Echantillonnage, corrigés 149
Sous cette forme, on obtient une valeur de fréquence d'échantillonnage
beaucoup plus faible que celle obtenue dans la question (a) avec la
version classique du théorème d'échantillonnage.
D'après la relation (4) du corrigé, la fréquencee
est minimale pour K maximal; pour K max =10, on a la plage :
20.91 kHz<Fe(min) < 21 kHz
2.5 Simulation numérique d'un système à temps continu
(a) Le produit.? a(/)=-°* a(f)-R a(P a le même support borné que x
a(f). Le signal ya(t) vérifie donc bien les conditions du théorème
d'échantillonnage.
(b) La formule d'interpolation (2.6) appliquée à xa(t) donne :
(1)
avec :
Le signal de sortie du filtre analogique se calcule par une
convolution à temps continu :
yaU) = (*a *ha)(t)
En utilisant la relation (1) ci-dessus et en appliquant la propriété de
distributivité du produit de convolution sur la somme, puis
d'invariance par translation, il vient :
Pour t = nTc , on obtient le résultat recherché :
(2) 150 Introduction au traitement du signal
(c) Le filtre discret est caractérisé par la convolution :
(3)
La comparaison des relations (2) et (3) ci-dessus donne le résultat :
(4)
(d) Si n a(f) est à support borné dans [-Fe/2, Fe/2], on a alors :
(K c(f) est le transfert complexe d'un filtre cardinal de gain Te)
D'où, en utilisant la relation (4) du corrigé :
h[n] = Te Jia(n Te ) (5)
(e) La relation (5) ci-dessus prouve la possibilité d'une simulation
exacte à l'aide de la réponse impulsionnelle échantillonnée du filtre
analogique (à un facteur multiplicatif Te près), sous réserve que
l'entrée et la réponse impulsionnelle du système analogique vérifient
ensemble les conditions du théorème d'échantillonnage.
En pratique, ces conditions ne peuvent pas être remplies, notamment
en raison du fait de l'incompatibilité de la causalité et du bornage du
support en fréquence. Le repliement spectral qui en résulte peut
toutefois être minimisé en choisissant une fréquence
d'échantillonnage suffisamment élevée.
2.6 Quantification uniforme (*)
(a) Pour iA < x < iA + A/2 : e(x) = iA - x ;
iA + A/2<x< (i+l)A: e(x) = (i+l)A - x Echantillonnage, corrigés 151
e(x)
2
0
" 2
x
0+1) A
(b) Moyenne de l'erreur de quantification :
Variance de l'erreur de quantification :
(c) Rapport signal à bruit de quantification :
d'où : (1)
Un bit de codage supplémentaire rapporte +6 dB.
(d) Pour un signal sinusoïdal, la valeur crête vaut y/2 ax et la
condition de non-saturation s'écrit : 152 Introduction au traitement du signal
De même, pour un signal gaussien de valeur crête estimée à
4ax , on obtient :
(e) On a : P(y=kA) = P(£A-A/2 < x < kA+A/2), soit :
(2)
-> une fonction "porte" sur [-A/2, A/2] u>(Ç) est utilisée dans la
relation (2) précédente de façon à pouvoir étendre le domaine
d'intégration sur l'ensemble des réels :
(3)
On constate que la relation (2) du corrigé peut s'interpréter comme le
produit de convolution de la DDP de x avec la porte w. La probabilité
P(y=kA) est une valeur ponctuelle de cette convolution, soit :
P(y=kA) = (px * w)(kA)
En utilisant la relation (4) de l'énoncé, la DDP de y s'écrit :
Cette dernière relation montre que la DDP du signal quantifié y
s'obtient par une opération d'échantillonnage idéal, soit :
Py(v) = (Px * W)(V) . \UA(X>) (4)
(f) La FC de y s'obtient en prenant la TF inverse des deux
membres de la relation (4) précédente. La TF inverse du produit de
convolution est égale au produit suivant:
TF"l[(px * w) (u)] = cpx(x).A sinC(TtxA) Echantillonnage, corrigés 153
L'échantillonnage qui suit entraîne une périodisation en 1, soit :
En posant x = U/2K, on obtient finalement la FC dey, soit :
(5)
La relation (5) montre que la FC du signal quantifié est périodique,
la période valant 27t/A, soit l'allure suivante :
q («).sinc(i^)
-jt
A
0 7C _2K
A
4JÇ_
A
Si <&x(") est à support borné et si le pas de quantification A est
suffisamment faible (cas représenté sur la figure), il n'y a pas de
repliement sur <J>y(u) et l'on peut retrouver <J>V(M). En considérant la
propriété de bijectivité de la TF, on voit donc que la DDP de x peut être
retrouvée, en théorie, à partir de la DDP du signal quantifié y.
Ceci constitue une sorte de théorème analogue au théorème
d'échantillonnage classique, mais s'appliquant ici aux DDP dans le
cadre d'une opération de quantification.
Remarques :
- la pondération de la FC de x par un sinus cardinal dans la relation
(5) du corrigé est parfaitement prédéterminée et peut donc être
compensée.
- en pratique, la dynamique - et donc la DDP - de x est bornée;
compte tenu des propriétés de la TF, la FC de x est alors nécessairement
à support infini et le théorème ci-dessus ne peut s'appliquer que de
façon approchée (le même problème existe pour l'échantillonnage
temporel classique). 154 Introduction au traitement du signal
(g) En toute rigueur, la FC de x n'est pas bornée : le théorème
trouvé à la question précédente ne peut donc pas rigoureusement
s'appliquer.
De façon approchée, on pourra cependant considérer que le
"repliement" sur <t>y{u) est négligeable si la valeur de 4>x(u) reste très
faible au-delà de u=n/A. Compte tenu de l'expression de <t>x(u), ceci
correspond à la condition :
Soit, sachant que ax = N .A :
Cette condition est effectivement vérifiée si l'on admet l'hypothèse,
formulée initialement dans l'énoncé, de l'étalement du signal sur
plusieurs niveaux de quantification.
2.7 Echantillonnage et signaux aléatoires à bande limitée (**)
(a) Fonction d'autocorrélation de la distribution aléatoire Ait) :
YA(T) = E [Ait). A(t - T)] Echantillonnage, corrigés 155
D'après la relation (3) de l'énoncé, on remarque que
l'autocorrélation de la distribution AU) est en peigne de Dirac, soit :
(1)
(b) On utilise la formule des interférences appliquée au filtre de
réponse impulsionnelle h(t) :
Yz(x) = (ïy * Y/J(T)
(2)
L'autocorrélation du processus échantillonné y(t) est donnée par :
7Y(T) = E [y(t). y(t -x)]
= E [x(t)AU). x(t - x)A(t - T)]
= Y*(t)YA(t) , sachant que x(t) et AU) sont non-corrélés.
d'où :
(3)
En remplaçant yy(x) dans la relation (2) du corrigé, il vient :
yz(x) = [(yx . F U)T ) * Y/j](t) , soit le résultat (5) de l'énoncé.
D'après la relation (3) de l'énoncé, on peut écrire :
d'où, en prenant la TF des deux membres de la relation (5) de
l'énoncé:
Sachant que :
y°h (f) = TF [(h * h )(!)] = l(f) .K *(f) = I ÎUf) 12 •
on aboutit ainsi au résultat (6) de l'énoncé.
Interprétation :1a densité spectrale de puissance du processus
échantillonné y(t), soit fy(f) =(yx *F2WF)(/\ correspond donc à la 156 Introduction au traitement du signal
périodisation de la densité spectrale du processus aléatoire x(t), au
facteur multiplicatif^ près : on retrouve donc ainsi le même résultat
que celui déjà obtenu dans le cas des signaux déterministes.
La relation (6) de l'énoncé établit que le spectre (DSP) de z(t) est
obtenu par filtrage linéaire du spectre périodisé de x(t). Si x(t) est à
bande limitée [-a, a], il n'y a pas de repliement et l'on peut écrire :
(4)
Les processus z(t) et x(t) ont donc même densité spectrale et, par
conséquent, même fonction d'autocorrélation.
(c) La relation (7) de l'énoncé correspond à la formule de
reconstitution (2.6) avec le remplacement formel xa(x) = yx(x-u).
(cl) Le processus z(t) correspond au filtrage du processus y(t), soit :
soit :
d'où :
(5)
On en déduit que : Echantillonnage, corrigés 157
Soit, en posant t' = t - Q:
L'utilisation de la relation (7) de l'énoncé conduit au résultat final
suivant :
soit la relation (8) de l'énoncé.
<c2) E[[x(t) - z(t)]2} = E[x2(t) ] - 2E [*(*). z(t) ] +E [z2(t) ]
= -fo(O) - 2 yx(0) + yz(0) = 0 , car y2(t) = yx(x).
Le résultat ci-dessus établit que la distance en moyenne quadratique
entre les deux processus x(t) et z(t) est nulle.
En reprenant la relation (5) du corrigé, on en déduit le résultat
attendu (9) de l'énoncé, soit :
Cette dernière formule démontre la reconstitution du processus
aléatoire x(t) à partir de ses échantillons prélevés aux instants nT + 0. Chapitre 3
Filtrage discret, corrigés
3.1 Filtrage non-récursif : moyenneur mobile
(a) D'après (3.11) : bp = h[p] = VM pour 0 <p < M-l, d'où :
(D
(2)
La relation (1) ci-dessus met en évidence un calcul de moyenne
mobile à partir des M échantillons présents et passés de l'entrée x[n] ,
x[n-l\ , x[n-p].
(b) La somme de la série géométrique (2) ci-dessus vaut :
(3)
—> on peut également trouver ce résultat en décomposant la réponse
impulsionnelle à l'aide de deux échelons :
L'équation aux différences recursive s'obtient alors facilement à
partir de la relation (3) du corrigé:
(4) 160 Introduction au traitement du signal
Intérêt : la méthode récursive nécessite moins d'opérations que la
méthode non-récursive.
Le filtre non-récursif possède une mémoire du passé finie qui
s'étend sur M échantillons : l'élimination des conditions initiales est
assurée au bout d'un temps fini. En revanche, le filtre récursif
conserve en permanence la mémoire de la valeur initiale dont la
remise à zéro ne devra pas être omise.
(c) En partant par exemple de la forme récursive, on obtient :
Courbe du module pour M=3 :
gain
!
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 !
Fréquence réduite
(d) . Séquence xiln] :
d'où :
L'efficacité de lissage dépend de la fréquence réduite vo mais reste
toujours supérieure à 1 (sauf pour un "bruit" constant); elle devient
infinie (réjection parfaite) pour v = kIM. Filtrage discret, corrigés 161
. Séquence X2M :
En effet, ay2 = o2/M car les x[n-k\ forment une suite de variables
aléatoires non corrélées.
On en déduit : T|2 = M.
(e) Réponse indicielle :
d'où :
w[n]
3
3
1
Ô 1 2 3 4 5
ii
Le régime permanent est atteint au bout de M échantillons.
3.2 Filtrage récursif du premier ordre
(a) On peut utiliser le développement en série :
d'où :
(b) Les deux filtres ont la même équation aux différences, soit :
y[n] = a y[n-l] + x[n] 162 Introduction au traitement du signal
(c) Gain complexe du filtre
Le gain complexe du filtre F2 n'existe pas_car le cercle |z|=l n'est
pas situé dans le domaine de convergence de h 2(2).
(d)
• a = - 0.5 : filtre passe-haut
gain
2
1.5
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence réduite
• a = 0.5 : filtre passe-bas
gain
2
1.5
I
0.5
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Fréquence réduite Filtrage discret, corrigés 163
(e) Diagramme des pôles et des zéros :
Fréquence réduite
Fréquence réduite
• a = + 0.5 : 164 Introduction au traitement du signal
3.3 Filtrage récursif du second ordre
(a) On effectue une décomposition en éléments simples :
• 0 < 12 | < \a \ <\b\ : séquence anti-causale
• \a \ < 12 | < I 6 I : séquence infinie à gauche et à droite
• 12 | > \b \ >\a \ : séquence causale
Seule /12M inclue le cercle \z | =1 dans son domaine de convergence:
c'est donc la réponse impulsionnelle du filtre stable.
h2[n]
0.4
0.1
-2
-3
-0.2
-1
0.2
0 1 2
0.1
0.05 11
Equation aux différences du filtre :
y[n] = -1.5 y[n - 1] + y[n - 2] + x[n]
On vérifie :
y[-l] = -1.5yt-2]+y[-3] = 0.4
yiO] =-l.5y[-l]+y[-2] + 1 = 0.4
y[l] = etc. Filtrage discret, corrigés 165
(b) La fonction de transfert du filtre s'écrit :
Les pôles sont complexes conjugués, la séquence causale correspond
donc au domaine de convergence \z \ > p. Le filtre est stable donc si p<l
et possède l'équation aux différences suivante :
y[n] = 2 p cos(6).y[n - 1] - p2.y[n -2] +G .x[n]
(c) La réponse causale est donnée par :
(d) Diagramme des pôles et des zéros :
Le module du gain complexe se calcule géométriquement par 166 Introduction au traitement du signal
Allure :
gain
10
5
0 0.1 i
•g
0.2 0.3 0.4 0.5
Fréquence réduite
NB : le maximum est atteint pour v=l/8.
3.4 Synthèse d'un filtre récursif par invariance temporelle
(a) Réponse impulsionnelle :
(1)
Réponse indicielle :
(2)
flV> R/^nnnsp imniilsionnelle et fonction de transfert du filtre :
h\[n\ = 2 ,(0.5)%[n] (3)
l'où :
(4)
L'équation aux différences associée est la suivante :
y[n] = 0.5 y[n-l] +2 x[n] (5)
La TZ de la réponse indicielle du filtre discret vaut :
(6) Filtrage discret, corrigés 167
d'où : Vl[n] = 2(2- 0.5").u[n] (7)
• Réponses indicielles :
On compare v\[n] donnée par la relation (7) du corrigé à la réponse
indicielle échantillonnée du filtre analogique tirée de la relation (2) du
corrigé :
(8)
4
3
2,
1
0
0 1 2 3 4 5
n
vl[„t
va(nTe)
• Réponses en fréquence :
gain
4
3
2
!
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 I
Fréquence réduite (v)
hl(v)
ha(v) 168 Introduction au traitement du signal
Interprétation :
Les deux filtres ont des réponses indicielles et des réponses en
fréquences respectivement fort différentes! La cause de ces
phénomènes est l'échantillonnage : en effet, ce dernier introduit un
repliement spectral dû à la périodisation du gain complexe n a(f), ainsi
qu'un facteur multiplicatif par Fe=2.89 Hz sur le gain.
(c) La réponse indicielle du filtre discret est donnée par la
relation (8) du corrigé, soit :
v2M = va(nTe) = (1 - 0.5n).u[n] (9)
La TZ de cette séquence vaut :
(10)
On identifie la fonction de transfert du filtre depuis la relation (10)
ci-dessus, soit :
(11)
L'équation aux différences correspondante est déduite de la relation
(11) ci-dessus, soit :
y[n] = 0.5y[rc-l] + 0.5 x[n] (12)
On obtient la réponse impulsionnelle du filtre discret, soit à l'aide de
(11) où de (12) ci-dessus, celle-ci se mettant sous la forme :
h2W = 0.5".u[n-l] (13)
Réponses impulsionnelles :
On compare la réponse du filtre discret (13) ci-dessus à la réponse
échantillonnée ha{nTe) = hiln] du filtre analogique : Filtrage discret, corrigés 169
Réponses en fréquence :
Fréquence réduite (v)
Interprétation : bien que les résultats obtenus avec cette deuxième
méthode apparaissent un peu meilleurs, le repliement spectral dû à
l'échantillonnage est évidemment toujours présent.
Ces deux méthodes sont donc globalement peu intéressantes, à moins
d'échantillonner à une fréquence très élevée en vue de réduire le
repliement .
gain
I
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
h2(v)
ha(v)
2,
1.5
1
0.5
0
0 1 2 3 4 5
n
ha(nTe)
h2[n] 170 Introduction au traitement du signal
(d)
Si Te est la période d'échantillonnage :
d'où :
- > au pôle pi correspond le pôle
L'invariance impulsionnelle revient donc à appliquer la
transformation z = e e pour les pôles.
Par cette transformation, on a:
d'où :
On en déduit que le demi plan gauche du plan p se transforme en
l'intérieur du cercle \z | =1 dans le plan z (l'image de l'axe imaginaire
du plan p étant le cercle) : cette transformation conserve donc la
stabilité des filtres.
Cependant, cette transformation n'est pas bijective; en effet :
JiiTe _ J(QTe + 2kn) _ JT^Q. + 2knFe)
a< 0 => \z | < 1 Filtrage discret, corrigés 171
Cette périodicité conduit à un repliement dans le plan z :
Pour chaque bande horizontale du plan p de hauteur 2nFe , l'image
obtenue dans le plan z , pour Re(p) < 0, est l'intérieur du cercle unité.
L'image de chaque bande complète est donc le plan z entier.
(e) D'après la relation (2) du corrigé, la réponse indicielle
échantillonnée vaut :
v[n] = (1 - an).u[n] (14)
En s'inspirant des calculs de la question (c), on trouve :
(15)
On atteint un gain de -3dB pour v = vc , soit :
d'où : (16)
Im
plan p
nFe
-3nF,
Im
plan z
Re
1 -1 172 Introduction au traitement du signal
Sachant que 0 < vc < 0.5 , soit -1 < cos (2rcvc ) < 1, la valeur minimale
de a dans 10, 1] est amin = 3-VcT = 0.17157. On aura donc les deux cas
limites suivants :
. vc = 0 : a = 1 et Fe —> °° (le repliement devient négligeable)
.vc = 0.5 : a = amin et Fe = 0.567/t = Femin (repliement maximum).
(f) Conclusion : tous les gabarits ne sont pas réalisables : on ne
peut pas, par exemple, faire un passe-haut de façon satisfaisante. De
plus, le repliement inévitable interdit des réjections importantes, ce
phénomène devenant prépondérant lorsque la fréquence
d'échantillonnage est trop faible : cette méthode oblige en fait à
suréchantillonner (choix dune valeur faible de vc).
3.5 Synthèse des filtres récursifs par passage d'une équation
différentielle à une équation aux différences (*)
(a) (1)
8 («)
1
0
-1
-2
-3
-4
0 0.5
1 1.5 2
a Filtrage discret, corrigés 173
Par ailleurs, en posant ya(nTe) - y[n] , on obtient :
d'où :
Par conséquent :
d'où : (2)
La comparaison des relations (1) et de (2) du corrigé donne la
correspondance :
(3)
(b) Image de p = jil. D'après la relation (3) ci-dessus, on a :
(4)
Le lieu dans le plan z correspondant est le cercle (C) (1/2, 0) de rayon
1/2. En effet, on a successivement les transformations suivantes:
inversion géométrique de centre O de la droite (A) — d'après (4) - du
corrigé) puis symétrie par rapport à l'axe des réels (arg (1/z) = -arg(z)). 174 Introduction au traitement du signal
On cherche la transformée du demi-plan Re(p) < 0 :
. p' = 1 - pTe : correspond à une homotétie, suivie d'une symétrie
centrale puis d'une translation; le résultat est le demi-plan Re(p') > 1
situé à droite de (A) (point P).
. 1/p' : inversion géométrique de centre O -> point P' (OP.OP' = 1)
suivi d'une symétrie par rapport à l'axe des réels —> point P" (d'affixe
finale égale à z); étant donné que OM.OM' = OP.OP' = 1 , on obtient :
Ce qui montre que P" est bien à l'intérieur du cercle C.
Si le filtre analogique est stable (parties réelles des pôles de sa
fonction de transfert toutes négatives), les pôles du filtre discret obtenu
par cette transformation sont tous situés à l'intérieur du cercle (C). Ces
pôles sont donc nécessairement placés aussi à l'intérieur du cercle
\z |=1, ce qui assure la stabilité du filtre discret.
En revanche, lorsque p se déplace sur l'axe imaginaire (p=jÇl), z ne
se déplace pas sur le cercle z = eJ^nw et, par conséquent, Je gain complexe
h(eJ^KV) du filtre discret diffère du gain complexe ha(j£i) du filtre
analogique, sauf au voisinage du point de tangence des cercles (point
2=1, soit v=0). Le filtre discret est alors — avec une certaine
approximation - utilisable pour de faibles valeurs de la fréquence
réduite, ce qui oblige à suréchantillonner (d'où les mêmes difficultés
que celles mises en évidence dans l'exercice (3.4)).
(c) (5)
Im
(C)
M'
(A)
O
P
Re
rV1
I Filtrage discret, corrigés 175
On note que : ft(0) =1 , \/Te
Te -» 0 : a -> 1 (sur-échantillonnage)
Te = x : a = 0.5
Fréquence réduite
Pour a faible, la réponse du filtre discret devient proche de la réponse
du filtre analogique (pour v pas trop élevée). Ce n'est évidemment pas
le cas pour a=0.5.
(d)
d'où : (6)
Dans la transformation p —> z définie par (6) ci-dessus, le demi-
plan Re(p) < 0 a pour image le demi-plan Re(z) < 1 (la droite p se
transformant en la droite (A) Re(z) = 1). Les images des pôles de la
fonction de transfert du filtre analogique ne restent pas confinés de
manière sûre à l'intérieur du cercle \z\ = 1 : il est donc possible
d'obtenir un filtre discret instable à partir d'un filtre analogique
stable, notamment si la période d'échantillonnage Te est trop grande.
Cette méthode présente par ailleurs les mêmes défauts que la
précédente.
gain
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2 0.4 0.6 0.8 1
a=0.5
a=l.l 176 Introduction au traitement du signal
3.6 Synthèse d'un filtre récursif par transformation bilinéaire
(a) (1)
On a une correspondance bijective entre les deux fréquences.
L'image du demi-plan Re(p) < 0 est l'intérieur du cercle \z\ =1, d'où
une conservation de la stabilité; en effet :
d'où :
On vérifie bien que : a < 0 entraîne \z \ < 1 (avec k >0).
Gabarit du filtre discret :
Gabarit du filtre analogique associé :
Valeur du paramètre k : 1 = k . tg(0.1 n) -> k = 3.078
d'où l'on déduit : Qa = 2.022
v
1/2
1/4
k
dB
0
-3
-18
0.1 0.185 v
dB
-3
-18
I
"a
il Filtrage discret, corrigés 177
Ordre minimum du filtre analogique :
La fonction de transfert du 3è ordre est donné par:
(2)
On applique la transformation bilinéaire définie par la relation (1)
de l'énoncé, d'où, après simplification :
(3)
Courbe de gain du filtre discret synthétisé :
(c) En utilisant la méthode des trapèzes, on obtient, depuis la
relation (3) de l'énoncé :
(4)
Le filtre du 1er ordre suit l'équation différentielle :
(5)
-10
-20
-30
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
Gain (en dB) fonction de la fréquence normalise! 178 Introduction au traitement du signal
Soit, après remplacement dans la relation (4) du corrigé :
En considérant les séquences associées, on obtient :
(6)
On en déduit la fonction de transfert du filtre discret :
(7)
La comparaison de (7) ci-dessus avec l'expression de ha(p) permet
d'établir la correspondance :
(8)
Cette relation constitue bien un cas particulier de la transformation
bilinéaire avec k = 2/71e.
3.7 Filtres non-invariants par translation : décimateur et
interpolateur (*)
3.7.1 Filtre interpolateur d'ordre M :
(a)
y[n]
40]
x[l]
x[2]
x[3]
n
b
12 3 4 5 6 7 8 9 Filtrage discret, corrigés 179
Le filtre est linéaire, causal, stable mais non-invariant par
translation : en effet, un retard d'un échantillon sur x[n] se traduit par
un retard de M échantillons sur la sortie y[n].
(b)
(1)
d'où :
(2) y(\) = x(Mv)
L'effet obtenu correspond à une compression spectrale.
3.7.2 Filtre décimateur d'ordre M (échantillonnage à temps discret) :
(a)
Le filtre est linéaire, non-causal, stable mais non-invariant par
translation : en effet, un retard d'un échantillon sur l'entrée x[n] se
traduit sur y[n\ par une sélection d'échantillons différents (x[2], x[5] et
x[8]).
v
y[n]
x[0]
x[3]
x[6]
x[9]
0 1
2 3 4 5
n 180 Introduction au traitement du signal
(b)
En partant de la relation (1) de 1 énoncé, on voit que la TF de x\[n]
est égale au produit de convolution de x(v) par la TF du peigne de
Kronecker de période M. La TF du peigne vaut :
d'où :
soit :
x[0] x[3]
x[6]
x[9)
'0 1 2
3
4 5 6 7
8
9
n Filtrage discret, corrigés 181
On obtient une périodisation (de période 1/M) du spectre de x[n] :
(c) On a :
xilMp] = x[Mp]=y\p] , peZ
= 0 , ailleurs
ce qui montre (voir l'exercice 3.7.1) que la séquence x\[n] est bien
obtenue en faisant passer y[n] dans un filtre interpolateur d'ordre M.
En utilisant le résultat (2) (compression spectrale), on obtient :
x\(v) =j'(Mv)
soit encore : (4)
Al'aide du résultat (3), il vient finalement :
(5)
L'allure du spectre en sortie du décimateur s'obtient - d'après le
résultat (4) - par expansion spectrale de x i (v) : 182 Introduction au traitement du signal
(d) En observant la représentation de x i(v), on constate qu'il est
possible de retrouver le spectre de la séquence initiale x[n] à partir du
spectre de sous réserve que l'échantillonnage effectué par le
peigne de Kronecker ne conduise à aucun repliement spectral. Si cette
condition est remplie, les opérations requises pour reconstruire x[n]
comprennent une interpolation d'ordre M suivie d'un filtrage passe-
bas de gain M:
La reconstitution de x[n] est parfaite si et seulement si :
al x[n] possède un spectre à support borné;
b/ la fréquence maximum vniax du spectre de x[n] respecte la
condition:
M.Vmax ^ 1 - M.vmax
Soit une condition sur la fréquence d'échantillonnage :
(6)
L'énoncé ci-dessus constitue le théorème d'échantillonnage des
séquences à temps discret, dont la forme est identique à celle du
théorème d'échantillonnage des signaux à temps continu.
y°(v)
o 3vo
l-3vQ 1
v
yln] M
F
HZ) x[n] Filtrage discret, corrigés 183
3.7.3 Association d'un filtre décimateur et d'un filtre interpolateur :
(a) On utilise les relations (2) et (5) du corrigé, ce qui donne :
(7)
(b)
(c) La TF de w[n] s'obtient à partir de la relation (7) du corrigé, en
remarquant que le filtre numérique passe-bas ne conserve que les
portions de spectres correspondant à p = 0. On note également que le
facteur 1/A/i est compensé par le gain du filtre; on trouve ainsi :
(8)
La TF du signal échantillonné we(t) associé à la séquence w[n]
vérifie la relation :
d'où finalement :
wa(t) = xa(t) (9)
Le traitement effectué correspond à un changement de fréquence
d'échantillonnageé au niveau discret. D'après la relation (9) du
corrigé, le signal initial peut être intégralement retrouvé, sous réserve
qu'il n'y ait pas de repliement spectral : la condition (6) du théorème
d'échantillonnage à temps discret doit ici être vérifiée avec M = M\. 184 Introduction au traitement du signal
3.7.4 Association de filtres invariants et de filtres non-invariants :
(a) On obtient :
(I):
(II):
(b) L'identité y>2[n] = yitn] implique que l'on ait h2bi] = h\[Mn]
(h.2[n] est obtenue par décimation de h\{n] ).
3.8 Conséquences de la réalisation numérique des filtres récursifs
(*) :
(a)
. n=+0.5 : n
0
1
2
3
4
x[n]
0.5
0
0
0
0
a.y'[n-l]
0.000000
0.010000
0.001000
0.000100 0
y'M
0.100 = +1/2
0.010 =4
0.001 = +1/8
0.001 =8
0.001 = -tl/8
Le cycle limite consiste en une sortie constante égale à +1/8.
. a=-0.5 : n
0
1
'/
3
-'3
x[n]
0.5
0
0
0
0
a.y'[n-l]
0.000000
1.110000
0.001000
1.111100
0.000100
y'[n]
0.100 = +1/2
1.110 = -1/4
0.001 = +1/8
1.111 = -1/8
0.001 = +1/8
—> Le cycle limite consiste en une suite alternée +1/8, -1/8, ...etc.
(b) La relation (2) de l'énoncé, appliquée à l'arrondi du produit
a.y{n-\\, donne :
(1) Filtrage discret, corrigés 185
Le cycle limite est atteint lorsque l'on a :
(2)
Après remplacement dans (1) ci-dessus et sachant que |a|<l et que
A=2~k , on en déduit la bande morte :
(3)
La relation (2) du corrigé équivaut à avoir |a|=l : le pôle de la
fonction de transfert est alors sur le cercle unité. Tout se passe donc
comme si le filtre devenait instable dans la zone de bande morte.
Pour 6=7 et |a | =0.95, la bande morte correspond à \y'[n] | < 10/128, ce
qui représente 10 fois la valeur absolue la plus faible égale à 1/128.
(c) Le filtre réel met en oeuvre une équation aux différences
comportant deux arrondis, soit:
y'[n] = Q{ai.y'[n-1]) + Q{a2.y[n-2]\ + x[n] (4)
Dans la zone de bande morte, le filtre est instable, soit:
Q{\a2.y[n-2]\] = \y'[n-2]\ (5
(ce qui équivaut à \a2 I =1).
La relation (2) de l'énoncé conduit alors à:
Les relations (5) et (6) du corrigé donnent, avec A=2"^, la bande morte
suivante:
(7)
(6)
(d) La sortie du filtre réel se met sous la forme :
y'[n] = a.y'tn-1] + q[n] + x[n] (8)
En utilisant l'équation (1) du filtre théorique donnée dans l'énoncé,
le bruit de calcul en sortie se met sous la forme :
e[n] = y'[n] -y[n] = a.y'[ra-l] - a.y[n-l\ + q[n] 186 Introduction au traitement du signal
d'où :
e[n] = a.e[n-l] + q[n] (9)
La relation (9) ci-dessus montre que le bruit d'arrondi q[n] est filtré
par le filtre théorique (1) de l'énoncé. Si h[n] est la réponse
impulsionnelle de ce filtre, on obtient alors :
- d'après le filtrage linéaire de la moyenne :
me -- niq .fi(0) - 0 (10)
—> le bruit de calcul est centré;
- d'après le filtrage linéaire de l'autocorrélation:
Yetp] = ( Jq * lh * h ]} [pj , avec h [p] = h[-p]
(11)
L'autocorrélation de q[n], bruit supposé blanc, étant de la forme:
Jqlp] = Oq2 8lp] ,
on obtient, après remplacement dans la relation (11) du corrigé :
(12)
La réponse impulsionnelle du filtre du 1er ordre causal théorique
étant de la forme h[n] = an.u[n], on trouve finalement :
(13)
(e) En introduisant les bruits q\[n\ et q>2[n] dans la relation (8) de
l'énoncé, l'équation aux différences (7) de l'énoncé donne:
y'[n]-y[n]=2r.cosB{y'[n-l]-y[n-l]}-r2[y'[n-2]-y[n-2]}+qi[n]+q2[n] Filtrage discret, corrigés 187
En posant :
w[n] = qi[n] + q2[n]
on obtient :
e[n] = 2r.cos0 e[n-l] - r2e[n-2] + w[n] (14)
La relation (14) ci-dessus montre que la somme w[n] des bruits
d'arrondis subit le même filtrage que x[n] dans le filtre théorique (7) de
l'énoncé. En utilisant le résultat (12) ci-dessus, on obtient alors :
La non-corrélation supposée de q\[n] et de q2ln] entraîne :
Soit finalement, à l'aide des relations (9) puis de (10) de l'énoncé:
(15) Chapitre 4
Caractérisation du second ordre,
corrigés
4.1. Corrélation et DSP
4.1.1
Donc Yx(x)e Crj(R) (fonction continue et nulle à l'infini), et on obtient
y x(v) =TF{ Yx(x))= lx(v) |2
c) L'isométrie de Fourier donne:
o
qui permet d'interpréter yx(v) comme une densité spectrale d'énergie:
l'énergie totale est obtenue par intégration de cette densité sur
l'ensemble des fréquences.
4.1.2
dt (fonction T-périodique) 190 Introduction au traitement du signal
(puissance moyenne)
L'isométrie (Bessel-Parseval) de L2(T) sur 12(Z) donne ici
Puissance moyenne
c) Les coefficients de Fourier gk de la fonction T-périodique yx(T)
s'écrivent:
puis par Fubini
On fait dans l'intégrale interne le changement de variable t-x=u , et
tenant compte de l'invariance de l'intégrale sur 1 période T par
translation des bornes, on obtient
d'où le développement de Fourier
d) Par TF de l'équation ci-dessus, on obtient la dsp:
Interpétation: on a un spectre de raies pures réparties tous les 1/T,
dont les amplitudes sont les modules carrés des coefficients de Fourier
de x(t). Corrélation et DSP, corrigés 191
4.1.3
a) x(t)=U(t)e-at . Pour x>0 :
Par parité de la fonction de corrélation (cas réel), on obtient donc
b) x(t)=cos()x^ ) l[_i>ij(t). Il s'agit donc d'un signal à support fini,
donc d'énergie finie. Le support de yx(t)=x*x(t) est la somme des 2
supports, càd ici [-2,2]. Pour 0<T<2, on a
calcul direct et la parité donnent alors l'expression:
Pour le calcul de la dsp, on applique Fourier à yx(t)=x*x(T) , donc
ïx(v) =TF( YX(T))= lx(v) I2
D'où finalement 192 Introduction au traitement du signal
c) x(t) est le signal 4n-périodique, dont la période est :
2n
On a Yx(x)=â-J x(t)x(t-t)dt f sin(t).sin(t-x)dt (pour 0<T<2JI) . Le
T 71 t
calcul donne, après symétrie et periodisation à 4n, la corrélation (voir
graphe )
Yx(t)= g-[sinltl +(2ji-ItI)cos(x)] *lD4jt('c)
Graphe yx(T)
La dsp s'obtient (cf. Exercice 4.12) à partir des coefficients de Fourier de
x(t): Corrélation et DSP, corrigés 193
On a alors pour l'autocorrélation et la dsp:
4.1.4 Corrélation du peigne de Dirac
Soit A(t)=i- l[-a/2,a/2J * U*T (t)=An*IUT (t) avec 0<a<T/2. Son
autocorrélation (comme signal déterministe T-périodique) est ici
car la convolution périodique coïncide (au facteur 1/T près) avec la
convolution du motif de base An (dans la mesure où il n'y a pas
recouvrement par périodisation: le support de YAO est [-a,a] , inclus
dans la période [-T/2.T/2J parce que a<T/2).
Il s'agit donc d'une impulsion triangulaire, de support [-a,a] et
hauteur 1/aT (donc de surface 1/T) périodisée à la période T. Si a—>0,
chaque impulsion converge vers un Dirac d'amplitude 1/T. Donc
On a utilisé pour ce résultat la continuité de la TF (au sens des
distributions), et la TF d'un peigne (cf. 1.6)
Conclusion: si a—>0, A(t)—(t) , l'autocorrélation du peigne Ulx
4.1.5 Processus poisson niens
(Nt)t>o est un processus de Poisson d'intensité X. X(t)=Xn.(-l)^'
a) Une trajectoire de X(t) est un signal binaire, constant par
morceaux soit à +1 soit à -1, dont les instants de basculement sont les
temps d'arrivées Tj du processus Nt. La valeur de départ Xn est tirée au
sort selon la loi b(p). 194 Introduction au traitement du signal
Par indépendance,
Donc X(t) n'est pas stationnaire au premier ordre, sauf si p=l/2.
Interprétation: la non-stationnarité résulte de la dissymétrie
éventuelle de la répartition initiale, dont la mémoire ne s'estompe le
long de la trajectoire qu'au bout d'un temps infini.
rx(t,t-T)=cov{X(t),X(t-x)|=E{X(t)X(t-x)}-mx(t)mx(t-t)
On suppose ici x>0.
E|X(t)X(t-T))=E(X02 .(-l)Nt+N(t-T) }=E{(-l)2N(t-T) .(_!)Nt-N(t-T) j (2)
où on a utilisé le fait que XQ2=1, et fait apparaître les accroissements
indépendants du processus de Poisson. Comme (-i)2N(t-t) e^ NfNt-
x suit la loi de Poisson p(Xx), l'application à (2) de (1) donne
si T>0 rx(t,t-t)= e"2^ -(2p-l)2 e-2^<2t-x) (3)
A nouveau cette covariance dépend en général de t et de x, donc X(t)
n'est pas stationnaire au second ordre (toujours par mémoire de la
condition initiale). La stationnante a cependant lieu si p=l/2 (cas
symétrique), et alors
(4) Corrélation et DSP, corrigés 195
b) On définit le processus Y(t)=bn si tn<t<tn+i Nt=n.
Les v.a. bn sont centrées indépendantes, de variance o2. Donc
(processus centré)
Alors rY(t,t-T)=E|Y(t)Y(t-t)}. Or
-si Nt * Nt-t , cov!Y(t),Y(t-t)}=cov{bn,bm)=0 car nstm
-si Nt=Nt.T , cov{Y(t),Y(t-T)}=var{bn)=o2
donc finalement pour T>0
rY(t,t-î)=P(Nt-Nt.x=0).o2= a2 e^x (5)
Ceci prouve que Y(t) est stationnaire au second ordre, avec
Interprétation: on retrouve une forme similaire à (4), qui peut être
identique pour un choix convenable de X et o2, bien que les trajectoires
des processus X(t) et Y(t) soient fort différentes: Y(t) prend sur chaque
intervalle (tn,tn+i) une valeurs fixe mais aléatoire quelconque bn , et
non ±1. Ceci montre bien que les mêmes statistiques d'ordre 1 et 2
peuvent décrire des processus aux trajectoires et lois très différentes.
4.1.6 Signal T-périodique
(compte-tenu de la périodicité
de x(t)). Ici la moyenne probabiliste de X(t) coïncide avec la moyenne
temporelle de x(t), et X(t) est stationnaire au premier ordre.
La dernière égalité a été obtenue par le changement de variable
t-0=u, et la périodicité de la fonction intégrée. Il en résulte que X(t) est
stationnaire au second ordre, et de fonction d'autocorrélation 196 Introduction au traitement du signal
Yx(*)=Yx(t)-mx2 (1)
Elle diffère de l'autocorrélation déterministe par le centrage: mx2 est
en effet la moyenne temporelle de la fonction T-périodique Yx(t).
b) La décomposition de Fourier de x(t) s'écrit
Pour l'autocorrélation Yx(T)> fonction T-périodique, on a la
décomposition
m
Remplaçant dans et appliquant le Th. de
Fubini( inversion des 2 signes d'intégration), on obtient
On a effectué dans l'intégrale en tie changement de variable u-t=v, et
utilisé à nouveau la T-périodicité de la fonction sous l'intégrale, ainsi
que le caractère réel du signal x(t). Donc
Par TF de cette série de Fourier, on obtient la dsp déterministe
et la dsp du processus aléatoire X(t) devient d'après (1)
(5)
(4) Corrélation et DSP, corrigés 197
Interprétation:
Le spectre de puissance du signal aléatoire X(t)=x(t-©) est un spectre
de raies pures tous les 1/T, moins la raie en 0, dont les amplitudes sont
les modules carrés du spectre complexe de x(t).
4.1.7
Par décomposition du produit , la première intégrale donne
Ainsi l'erreur déterministe dans l'estimation de X(T) décroît en
1/(T(00).
Pour la perturbation aléatoire Z(t) due au bruit b(t), on a (en prenant
les espérances sous le signe d'intégration) E(Z(x)|=0 et
d'après l'hypothèse garantissant la convergence de l'intégrale.
Donc la fluctuation aléatoire décroît vers 0 en
On remarque qu'elle est donc prépondérante largement devant
l'erreur déterministe, et on peut connaissant M choisir l'horizon
d'intégration T en fonction de la précision souhaitée sur l'estimation
du signal utile X(T). 198 Introduction au traitement du signal
4.1.8
a) On a clairement E(x(t)|=0. Notant xi(t) et x2(t) les 2 composantes
en quadrature, on a
Yx(t)=ïl(t)+Y2(T)+Yl2('t)+Y2l('t).le calcul direct donne
b) L'identification directe donne A+a=RcosO , B=Rsin<I>
c) La densité de probabilité du couple (A,B) est par hypothèse
Le changement de variable défini par (b) (coordonnées polaires
décentrées) possède le jacobien r et donne donc par substitution la
densité de (R,<J>)
On obtient par intégration les densités marginales
Cette intégrale se ramène par le changement de variable x=acos((|))-r à Corrélation et DSP, corrigés 199
On voit que en général (a*0), les v.a. R et <I> sont dépendantes.
Si a=0, il y a indépendance, R suit la loi de Rayleigh et 4> est U[0,2n].
4.1.9
a) Une trajectoire ou réalisation de X(t) est de la forme suivante:
Sur [nT,(n+l)T], X(t)=Anh(t-nTj donc mx(t)=ah(t-nT). Donc mx(t)
est le signal déterministe T-périodique
Si a*0, il dépend de t et X(t) n'est pas stationnaire à l'ordre 1.
Moyenne de Y(t):
mY(t)=E( X(t-0)}= E© 1 ElX(t-e) I 0=O))=E0 | s(t-6)(
(car X(t) indépendant de 0, on peut supprimer le conditionnement) d'où 200 Introduction au traitement du signal
Donc cette moyenne ne dépend pas de t, Y(t) est stationnaire à l'ordre 1
et sa moyenne coïncide avec la moyenne temporelle de s(t).
b) Pour un décalage t>b, ou bien X(t) et X(t-x) sont dans 2 impulsions
différentes donc indépendantes et de covariance nulle, soit ils sont
dans une même impulsion et l'un des 2 est toujours nul (hors du support
de largeur b de l'impulson). Dans les 2 cas, on obtient
rx(t,t-T)=0 six>b
Pour 0<x<b, on a 2 cas possibles, avec t=nT+0 et 0<8<T:
-on est dans un même support d'impulsion:
0<8-x<e<b cov(X(t),X(t-x))=var(An)=a2
-on n'est pas dans le même support d'impulsion:
0<TOU 9>b covfX(t),X(t-x)}=0
donc on obtient une fonction T-périodique fx (t):
(1)
Pour le moment non-centré Rx(t,t-x)=fT(t)+s(t)s(t-x). On voit que ces
moments dépendent de t et x (de façon T-périodique), donc X(t) n'est pas
stationnaire à l'ordre 2.
(2)
c) RY(t,t-x)=E(X(t-0)X(t-x-0))=Ee{ Rx(t-0,t-x-0)}
ceci est indépendant de t, donc Y(t ) est stationnaire à l'ordre 2 et
(3) Corrélation et DSP, corrigés 201
Sachant que b<T/2, l'autocorrélation de la fonction porte T-
périodique s(t) est un triangle T-périodique de support [-b,b], de hauteur
On obtient donc le graphe suivant de YY(T).
d) Par TF de (3), on obtient la dsp ou spectre de puissance de Y(t), qui
est un spectre mixte
- raies pures tous les 1/T sauf 0, par TF de Ys(T)'ms2
o2b (
-spectre continu par TF de -=r~ l 1--^— l[-b,bj(T)
Les TF s'obtiennent en sachant que la TF d'un triangle [-L,L] est
proportionnelle à un sinC(7ivL)2, la valeur en 0 étant la surface du
triangle, et multiplié par 1/T pour le triangle périodique. D'où
4.1.10 PIMA: cas général, calcul par Wiener-Kintchine
Nous traitons ici une généralisation de l'exercice précédent, mais
en calculant directement la dsp par Wiener-Kintchine, sans passer par
le calcul de l'autocorrélation.
Rappelons la démarche de W-K:
1) troncature du signal: ici sur [-NT-O,(N+l)T-0]
2) transformée de Fourier, module carré, moyennage temporel
3) moyennage probabiliste sur toutes les réalisations (espérance
mathématique)
4) passage à la limite : horizon d'observation infini, N-»+°o 202 Introduction au traitement du signal
Nous travaillons ici directement sur le signal Y(t) non-centré, le
passage à la limite nous donnera donc la TF de RY(t,t-t)=R y(v), et le
centrage pour passer à yy(T) se traduira en TF par la soustraction d'une
raie en 0.
a) TFI h(t-nT-9)}= h(v) .e-2iJtv(nT+6) f on obtient donc :
Pour l'espérance mathématique, on a E( AnAm} = yn.m +a2 , donc :
L'expression finale est donc
b) On passe à la limite au sens des distributions (donc terme à terme
dans la série) dans l'égalité ci-dessus, pour N->°°. Alors
La première série n'est autre que la TF du peigne de Dirac de période T
(cf. formule (1.6)), la deuxième s'exprime en fonction de la TF de la
suite numérique yt ( fonction continue 1-périodique) que l'on notera
(D Corrélation et DSP, corrigés 203
(2)
et la dsp est Yy(v)=R y(v)_ mY2 8(v). La raie en zéro disparaît donc de
T
a r a 0
ce spectre, car mY= TJT J h(t)dt = TJT h(0) . On obtient donc,
0
conformément à la relation (3) de l'énoncé, un spectre de raies pures
(sauf en zéro) tous les 1/T, et un spectre continu, avec
(3)
Par TF inverse, on obtient l'autocorrélation
(4)
c) Application: on reprend les hypothèses particulières de l'exercice
4.1.9. Donc
et on retrouve par (3) les 2 composantes du spectre:
conformément à l'équation (4) de E4.1.9 ci-dessus.
(5) 204 Introduction au traitement du signal
Signaux aléatoires à temps discret
4.1.11
a) Yb(p)=cov(bn,bn_pl=a2 6(p) d'après la non-corrélation du bruit.
La dsp est donc y b(v) =°* (constante, d'où l'appellation bruit blanc) et
la TZ vaut également c2.
b) On supposera ici par simplicité d'écriture c2=l.
E|xn )=0, xn est décorrélé des xn_k pour k>2 , et on a par produit
scalaire direct dans la base orthogonale b^ deL2(ii) (th. de Pythagore):
yx(0)=E(xn2|= 6 Yx(D=E{xnxn.i)=-3 yx(2)=2
enfin cette suite de corrélation est paire.
On a donc un processus à corrélation finie, et sa dsp est le polynôme
trigonométrique
Y x(v) =6-6cos(2rtv)+4cos(4nv) Yx(z)=6-3(z+z-1)+2(z2+z-2)
Le domaine de la TZ est donc C*.
c) On cherche à résoudre, dans l'ensemble des processus aléatoires
stationnaires du second ordre, l'équation récurrente:
y[n]=ay[n-l]+b[n] neZ (1)
Pour I a I <1, la résolution causale donne y[n]=X a^ b[n-k] . Comme la
0
suite (b[n-k]) est une suite orthogonale, la convergence en moyenne
quadratique de la série équivaut à
ce qui est vrai pour I a I < 1. La série définit donc un unique processus
y[n] du second ordre, qui est stationnaire car b[nj l'est. Corrélation et DSP, corrigés 205
d) L'autocorrélation Yy(p) pour p>0 s'écrit:
Par parité, on obtient Yy(p)=o*2
a'P"
(corrélation à décroissance exponentielle) . La TZ de cette
1-a^
séquence est
La série se décompose en (converge pour I z I > I a I ) et
(converge pour I z I <1/1 a I ) . Donc la densité en z existe
sur la couronne D={ I a I < I z I <l/l a 11, non vide dès que I a I <1, et vaut
Compte-tenu de la parité de la corrélation, on obtient évidemment une
fonction symétrique en z et z"1. Enfin la dsp s'obtient en substituant
dans la densité en z : z=e2in:v , ce qui donne
Sur [0,1], cette fonction est symétrique par rapport à 1/2. Pour a>0, elle
croît de 206 Introduction au traitement du signal
4.2. Filtrage des signaux aléatoires
4.2.1
a) D'après (4.13-a) et le produit scalaire (4.2), on peut écrire
b) On a
d'où Yyly2 =(hi*xi)*( &2 *X2 )= Yhlh2 * 7x1x2 (par associativité de *).
Ainsi la formule des interférences s'exprime identiquement pour
les signaux déterministes ou aléatoires.
Exemple: si h2=ô, on a y2=x2 , Yhlh2=hi et YylX2=hl* YXIx2
c) On interprète la dérivation comme filtre linéaire de r.i. 8', de
gain complexe 2i)xv. Pour ce filtre, la corrélation est
8'*S' =TF_1{ 4TI2V2)=-5" d'où
Yxx'=-ô'*Yx=-Yx' Yx --ô"*Yx=- Yx"
d) Le filtre h(t) est le moyenneur temporel sur un horizon T. Son
autocorrélation est Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 207
L
Pour x(t), l'autocorrélation est (cf. exercice 4.1.3)
et l'énergie de sortie Ey s'exprime par
4.2.2
La dsp vaut alors
et E(Y(t)=0 car w'(t) est centré. Donc
L'intégrale interne en v devient (par l'hypothèse bruit blanc) pour t>0
d'où on tire en intégrant en u:
conformément au a). Ceci prouve l'extension valide de la formule des
interférences au processus généralisé (distribution aléatoire) de
puissance infinie qu'est le bruit blanc à temps continu W'(t), à
corrélation en Ô(T).
Remarque: notons que le processus Y(t) peut aussi s'interpréter
comme la solution stationnaire de l'équation différentielle
stochastiaue : 208 Introduction au traitement du signal
Y'(t)+ccY(t)=a W'(t)
c) Yz=Yx+Yy+Yxy+Yyx » et 1» formule des interférences donne
Yyx(t)= h*yx(t)=h(t)= ae"at l(t>0) YXY(t)=YYX(-t)=cxeat l(t<0)
Il en résulte que Yz(t)=ô(t)+2ae~a 111.
d) X(t)=s(t)+B(t) (sinusoide déterministe+bruit) ,
mx(t)=s(t) et Yx(t)=YB(t).
Notons que le signal X(t) est non-stationnaire à l'ordre 1 et
stationnaire à l'ordre 2. Le signal filtré se décompose en
Y(t)=S(t)+Z(t).
E(Z(t))=0 (car E(B(t)=0) ,
o
my(t)=S(t)=a.h(vo) sin(a)t+cp)
(filtrage d'une sinusoïde à fréquence
YY(t)=YZ(t)=Yh*YB(t)
e) En entrée, la puissance du signal utile s(t) est
puissance de bruit est YB(0)-1 et donc
En sortie, la puissance du signal utile S(t) est
puissance du bruit Z(t) est Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 209
On peut donc définir le gain en RSB de ce filtrage par
Le graphe de cette fonction est le suivant: (ici A=10,M=3)
Le gain 1 est dépassé à partir de a=a>2/A., le gain maximum est
atteint pour :
4.2.3
a) x(t) étant gaussien et stationnaire, est fortement stationnaire (en
loi). Donc toute fonction de x(t) est fortement stationnaire, c'est le cas
de y(t).
my=E|x2(t)l=Yx(0)
L'accès aux moments du second ordre de y nécessite le calcul de
moments d'ordre 4 de x(t): ceci se fait dans le cas gaussien par la
formule classique des moments d'ordre 4 d'un vecteur gaussien:
ErXiX2X3X4]=E(XiX2)EfX3X4)+E{XiX3)E{X2X4l+E|XiX4}E(X2X3}
qui donne ici :
Yy(t)=E(x2(t)x2(t-T)}-Yx(0)= 2 yx(t)2 (1) 210 Introduction au traitement du signal
b) La dsp est donc
o
c) Le filtre de gain h(v) =l[-b,bj vérifie la condition ci-dessus, donc
on a ici mz=ax2 et z(t) est un estimateur aléatoire non-biaisé de cette
puissance de x(t). Sa fluctuation est déterminée par la variance
pour b<B. Si b«B, le deuxième terme est négligeable et on obtient
l'équivalent recherché. La valeur à estimer est
donc l'écart-type relatif de fluctuation est
d'autant plus précise que b /B sera petit.
l'estimation sen
Signaux aléatoires à temps discret
4.2.4
Pour un signal aléatoire stationnaire à temps discret (x[n], neZ), la
fonction de corrélation est une suite numérique Yx(p)-cov(x[n)x[n~pJl-
La densité spectrale de puissance est sa TF (série de Fourier de
coefficients yx(p)) et la densité en z est sa TZ:
Le signal filtré est y[n]= h*x[n] , donc pour la moyenne Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 211
Pour la corrélation, on peut sans restriction raisonner sur un signal
centré. On suppose ici le signal et le filtre réels.On a alors :
Faisons le changement d'indice k-m=j, on obtient :
On en déduit que y est stationnaire au second ordre, d'autocorrélation
Yy=Yh*Yx avec yh=h*K et n [n]=h*[-n] (3)
Cette relation est identique à (4.20). Par TF et TZ, on obtient :
où on a utilisé pour la séquence réelle h[n] que TZ(h[-n])=h(^) .
L'écriture s'étend au cas d'un filtre complexe sous la forme
La généralisation de la formule des interférences (4.21) et (4.22) est
analogue et s'écrit de façon identique pour le cas discret. Ces relations
se complètent de la relation sur les densités en z (les signaux d'entrée
sont xjet X2, de sortie yi et y2 , et les 2 filtres hi et h2 )
(5)
(4) 212 Introduction au traitement du signal
4.2.5
o °
a) On filtre xn , de dsp y x(v), par le filtre passe-bande pur h(v)
o o
= llv,v+Av]- Pour le signal filtré yn, on obtient la dsp y y(v)=Y
X(v).l[v,v+Av] donc la puissance moyenne
o
ce qui justifie l'interprétation de yx(v) comme une densité spectrale de
puissance: multipliée par dv, elle représente la puissance du signal x
dans la bande [v,v+dv].
o o
b) On filtre 2 signaux x et y par hi et h2 avec hi(v) . h 2(v)=0. Il en
résulte que l'intercorrélation des signaux de sortie est nulle:
Interprétation: le filtrage par des filtres disjoints décorrèle les
signaux.
c) On utilise l'hypothèse de décorrélation entre x et b, et applique la
formule des interférences aux couples d'entrée (x,x) et de sortie (y,x)
avec les filtres (h,ô):
Yyx = Yvx +Ybx = Yvx =(h*ô)*Yx=h*Yx
Si on met en entrée un bruit blanc unitaire, Yx=S et Yyx=h-
Interprétation: si on mesure la sortie bruitée y du système, puis
réalise son intercorrélation avec le bruit blanc d'entrée que l'on a
envoyé, on obtient la réponse impulsionnelle du système linéaire.
L'intérêt est de se débarrasser du bruit de sortie, quelle que soit sa
puissance. En pratique, l'estimation correcte de l'intercorrélation
demandera un temps d'intégration plus ou moins long, mais on pourra
toujours améliorer la précision de mesur de la r.i. en allongeant la
duréee de mesure.
Une mesure directe par envoi d'une impulsion (outre le fait qu'elle
peut être physiquement impossible) nécessite une mesure instantanée
avec peu de signal en entrée et donc une extrême sensibilité au bruit de
sortie. Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 213
4.2.6
a) On a C=E(en], moyenne du processus d'entrée. En sortie, on aura
un signal xn stationnaire à l'ordre 1, de moyenne mx=H(l).C qui sera
égale à C ssi H(l)=b/(l-a )=1 , donc il faut b=l-a.
b) La sortie est donc xn=C+yn, où yn est le processus AE1 filtré du
bruit blanc un par H(z), solution de l'équation récurrente
yn=ayn-l +b-un (1)
L'autocorrélation dey est donc Yy(p)=Yu*Yh(p)= 0"2Yh(p)- Le filtrage
étant causal, la r.i. est l'inverse causale de H(z), càd h(n)=b.anU(n)
(échelon unité U(n)), et pour p>0
C 1+a
Le RSB en sortie est donc —r -:— , fonction croissante sur ]-l,l[ de 0 à
o" i_a
+°°: l'estimation du signal utile C sera d'autant meilleure que a—>1.
L'obtention d'une forte réduction de bruit (a proche de 1) se paiera
évidemment d'un temps de réponse du filtre d'autant plus long,
puisque la r.i. à décroissance exponentielle h(n)=b.an devient très
longue si a->l. On doit donc gérer un compromis entre la précision
d'estimation et le temps de réponse désiré.
c) L'estimation ou le filtrage du signal utile C peut aussi se faire par
un filtre non-récursif, filtre RIF moyenneur de taille finie N. On a
nour vn ainsi obtenu:
E{vn)=C (non biaisé)
A nouveau, on peut améliorer autant que souhaité la précision en
augmentant N, au prix d'un temps de réponse (la taille N du filtre)
croissant.
Intérêt du filtre récursif RII: pour H(z), le fait de modifier a
n'augmente pas la complexité du filtrage, généré par l'EDF (1) (1
multiplication et 1 case mémoire).
Pour le moyenneur, l'EDF (2) qui réalise le filtre a une complexité
en N additions et N cases de mémoire , augmentant avec N.
d) Le signal utile est maintenant sn=cos(2jivnn+<ï>), de puissance
1/2. 214 Introduction au traitement du signal
En sortie il est filtré en tn=H(e2i7tv0).sin(2 jtvnn+\|/) , de puissance
2
I H(e2i7Cv0) I 12. Le RSB en sortie est donc (tenant compte de (2))
Le gain en RSB F(a) possède le graphe suivant: pour vo=0.02 et 0.15
Les gains maximum sont respectivement de 3.2357 et 1.2361.
Le numérateur de F'(a) est 2a2cos(a>o)-4a+2cos(a)o), il s'annule sur
l-sin(coo) 1
[0,1] pour an= ; T" . P0UI* Ie maximum F(ao)=-^-; r . On a donc
L ' J*~ u cos(u)o) sin(wo)
une bonne amélioration du RSB aux basses fréquences.
4.2.7
xn- r Xn.i+r4 xn.2 =en
0<r<l (1)
a) L'équation récurrente (1) donne le transfert en z du filtre
H(z)=l/A(z) avec A(z)=l-rz_1+r2z-2. Les pôles du filtre sont ai=re'^ et
a2=re_i7t/'3 , de module r<l: le filtre est donc causalement stable.
La dsp est factorisée à l'aide des pôles sous la forme:
(2) Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 215
où z=e2i7tv est le point courant du cercle unité, d'affïxe M, Ai et A2 sont
les affixes de ai et a2 (intérieurs au cercle, à G=±7t/3 et r). On suit donc
facilement les variations de la dsp selon v: 1 minimum haut à 0,
croissance avec pic maxi autour de n/3 (d'autant plus marqué que r est
proche de 1), décroissance jusqu'à un minimum bas en TI càd v=0.5. Ci-
dessous les 2 dsp (en dB) pour r=0.8 et r=0.95.
nu
b) On a l'intercorrélation Y£x(-P->=Yxe(p)=h*ô(p)=h(p)=0 si p<0 (par
causalité du filtre) et h(0)=l d'après l'EDF (1). Donc x n'est corrélé
qu'aux e antérieurs à lui et E{xn_k£nl=l si k=0, =0 si k>0. Multipliant
(1) par xn_k et prenant l'espérance, on obtient les récurrences sur la
suite de corrélation Yk=Yx(k)
k=0: Yo - i7l +1-2 YO = 1 (3)
k>0: Yk - ryk-1 +r2 Y0=0
c) La résolution du système linéaire des équations (3) pour k=0,l,2
donne 216 Introduction au traitc-ment du signal
Forme générale de la solution: l'EDF homogène de (3) pour k>0 a la
solution générale Yk=rk[ A cos ^ +B sin ^— ] puisque le polynôme
caractéristique n'est autre que z2A(z). On a donc une corrélation à
décroissance exponentielle en r^ , d'autant plus rapide que le module
des pôles r est proche de 0.
Interpretation: un modèle AR est d'autant plus fortement corrélé
que ses pôles sont proches du cercle unité.
4.2.8
a) La densité en z est
. On en déduit
b) La factorisation est toute faite et on a o~2=l-a4,
H(z)=—\—T (filtre causal stable, d'inverse causal stable, unitaire) .
l+a^z^
Elle est unique.
c) L'équation aux différences associée à H(z) est
xn+ a2 xn_2= en » En bruit blanc ae2=l-a4
Remarque: on a fait ici la factorisation spectrale (forte) d'un spectre
analytique rationnel. Ceci s'étend facilement à toute corrélation
rationnelle (càd y(p) combinaison de suites exponentielles complexes
à coefficients polynômiaux en p). Pour une corrélation quelconque ,
une démarche de modélisation consistera à chercher à l'approcher par
un modèle rationnel (AR ou ARMA) d'ordre plus ou moins élevé.
4.2.9 Filtrage des signaux aléatoires, corrigés 217
La dsp est doncyy(v)=-£ [ uJ(v-2vn)+UJ(v+2vo)].
c) Il est clair que E(znl=E{yn|=ys(0). L'estimateur est non-biaisé.
d) Utilisant l'expression ci-dessus de y y(v) (2 Dirac purs sur [0,1],
on a
Cette variance tend vers 0 si M->°o, en 1/M2 (au lieu de 1/M pour le
cas standard d'un M-échantillon statistique) , l'estimateur est donc
rapidement convergent: ceci traduit le fait qu'une sinusoïde est un
processus quasi-déterministe, peu aléatoire.
e) La vitesse de convergence obtenue en d) dépend du facteur
fsin(o)M)y . . 1% 2
— , qui augmente lorsque o>-»0jusqua Mz: ceci montre que
l'estimation est d'autant meilleure que la fréquence est élevée, et qu'à
la limite oo—»0 il y a perte d'ergodisme (la variance devient alors
constante lorsque M-»°o et ne tend pas vers 0).
Interprétation pratique: en pratique, la puissance de la sinusoïde
sera correctement estimée si la fenêtre d'observation [0,M-1] contient
quelques périodes. Cette fenêtre doit donc s'allonger au fur et à mesure
que a)—>0 (donc que la période -»<»). Chapitre 5
Analyse spectrale non
paramétrique, corrigés
5.1. Biais du périodogramme
a) L'écriture de w[n] en fonction de sa TF entraîne :
L'identité (1) de l'énoncé 5.1. conduit à remplacer la somme ci-
dessus par un peigne de Dirac dont la seule distribution qui apporte une
contribution non nulle est 8(v+v') compte tenu des domaines
d'intégration des deux intégrales en v et en v'. L'une des deux
intégrales disparaît alors d'après les propriétés de la distribution de
Dirac. La forme demandée s'obtient pour finir en remplaçant w(-v)
par
Erreur!:
o
(2)
Il vient donc :
(3) 220 Introduction au traitement du signal
Application. A partir de la relation (3), on trouve que la DSP
déterministe de la fenêtre rectangulaire est égale au noyau de Fejer.
b) L'espérance mathématique du périodogramme standard
s'écrit, en explicitant la TF de x[nj :
En passant du couple de variables (k,q) au couple {p = k-q,q|, il
vient :
En d'autres termes, l'espérance mathématique du périodogramme
standard est la transformée de Fourier du produit de l'autocorrélation
de x[n] et de celle de la fenêtre de pondération w[n]. La transformée de
Fourier du produit étant égale au produit de convolution des TF, on a
encore :
Pour une valeur finie de N, le périodogramme standard est donc
biaisé. Lorsque N tend vers l'infini, la DSP de la fenêtre rectangulaire
étant égale au noyau de Fejer FN(V) , on note en vertu de la propriété (4)
o
de l'énoncé 5.1. que E[nr(v) ] tend vers : Yx(v) • H s'agit du théorème de
Wiener-Kintchine.
c) La DSP du processus décrit par la relation (5) de l'énoncé 5.1.
s'écrit :
L'espérance mathématique du périodogramme rectangulaire n'est
autre que, après report de la relation (7) dans l'identité (6) et compte
tenu des propriétés de la distribution de Dirac : Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 221
Au regard de la définition (3) de l'énoncé (5.1.), la valeur
maximale, égale à N, du noyau de Fejer est atteinte lorsque son
argument s'annule. On a, par conséquent :
5.2. Influence de la puissance de la fenêtre de pondération sur le
comportement moyen du Périodogramme
a) La DSP d'un bruit blanc n'est autre que sa variance ax . La
puissance de la fenêtre w[n] coïncide avec l'intégrale de la DSP
déterministe. Conclusion, à l'appui de la relation (6) du corrigé 5.1., on
trouve :
E[TIW(V) ] = ax Pw (1)
Synthèse : une fenêtre de puissance moyenne unité annule le biais
du périodogramme d'un bruit blanc.
b) D'après les relations : (1) de l'énoncé 5.2., (6) et (7) du corrigé
5.1., il vient :
Application.il suffit de choisir une puissance moyenne unité.
5.3. Densité de probabilité du périodogramme standard, dans le
cas d'un processus blanc réel, centré et gaussien
a) x[n] étant à valeurs réelles, l'intercorrélation entre parties
réelle et imaginaire s'écrit, après un calcul direct :
où SinC(u) = Sin(u)/u.
(3)
(2) 222 Introduction au traitement du signal
b) On déduit de (3) la propriété suivante :
p(k/N) =0, 0<k<N-l (4)
o o
En d'autres termes, x^(k/N) et x/k/N) , 0<k<N-l, sont des
variables aléatoires décorrélées, lorsque x[nj est blanc.
c) En partant de la définition (3) de l'énoncé 5.3., on obtient :
d) On a, d'après (5) :
ce qui entraîne l'identité :
Deux canaux fréquentiels distincts de la TFD d'un bruit blanc sont
donc décorrélés.
e) Les valeurs moyennes des parties réelles et imaginaires sont
nulles. En ce qui concerne la variance, un calcul direct donne :
f) Après échantillonnage en fréquence, les valeurs moyennes
restent nulles et les variances prennent la valeur 1, pour : 1 < k < N-l,
d'après (8) et (9).
g) La variable définie par l'identité (4) de l'énoncé 5.3. est une
o
variable du KHI2 à 2 degrés de liberté car les variables x<^(k/N) et
o
x /(k/N) sont gaussiennes centrées, de variance unité et
indépendantes, pour l<k<N-l. L'indépendance provient du caractère
gaussien conjoint et de la décorrélation des 2 variables. Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 223
h) D'après les propriétés des variables du KHI2,
D'autre part, la définition du périodogramme stipule le lien suivant:
qui induit les deux résultats fondamentaux :
5.4. Densité de probabilité du périodogramme moyenne, dans le
cas d'un processus réel, blanc, gaussien et centré; application à
l'extraction d'une sinusoïde
a) La variable ' est du KHI2 à 2Q degrés de liberté,
b) Le théorème de la limite-centrale stipule que la variable
moyenne est asymptotiquement gaussienne de moyenne 2 et de
variance 4/Q. On en déduit que le périodogramme moyenne est
2 4
asymptotiquement gaussien de valeur moyenne o~x et de variance 0X
/Q, l<k<N-l.
Application. D'après ce qui précède, il suffit que :
où RSB est le rapport signal sur bruit.
(1)
(2)
Un calcul direct donne :
E[7ir(0) 1 = et VAR[7ir(0) ] = 2ox (13) 224 Introduction au traitement du signal
2 2
Yx fp]+Yx fk-i] +Yx [k-i+pfyx [k-i-p]) (1)
identité valable lorsque x[nj est une séquence réelle, centrée et
gaussienne.
5.6. Variance du périodogramme standard, calcul direct (**)
Le point de départ des calculs de ce corrigé est la relation (5.5), pour
une fenêtre rectangulaire : [n] = r0N.! In]. Une évaluation
directe donne, compte tenu de la stationnante de x[n] :
Le changement de variables (k,m) —> (k, p=k-m) et la définition :
font évoluer (1) vers :
ce qui justifie, au passage, le comportement moyen du
périodogramme décrit par (5.15). Le processus x[n] étant de plus supposé
blanc, Yx fpJ = ®\ ô[p] (séquence de Kronecker ô[0J = 1, nulle sinon), cela
induit :
E[;cr(v) J = ox (4)
5.5. Variance des estimateurs de corrélation, cas gaussien (*)
Il suffit de remplacer dans tous les calculs de l'exercice 5.7 :
E[x[kjx[k-p]xlijx|i-p]], par : Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 225
Sous l'hypothèse de blancheur, le moment d'ordre 4 de variables
réelles, centrées conjointement gaussiennes s'écrit :
E[x[k]x[mjx[k']x[m']] =
= crx (ô[k-m] 5[k'-m'] +ô[k-k'] ôlm-m'J +S[k-m'] ô[k'-m] ) (5)
Ce moment intervient dans :
On rappelle, en outre que :
L'injection lente de l'identité (5) dans (6) et la prise en compte de (8)
et (4) aboutit à :
VAR[;tr(v)] =
L'achèvement du calcul s'accélère en notant lucidement que la
somme double de (9) se factorise sous forme du produit de 2 sommes
simples conjuguées complexes l'une de l'autre, chacune des 2 sommes s faisant apparaître d'autre part une sempiternelle progression
géométrique. L'objectif (5.17) cat finalement atteint ! On retrouve par
un calcul direct un des résultats de l'exercice 5.3. 226 Introduction au traitement du signal
5.7. Variance des estimateurs de corrélation, cas général (**)
A l'instar de la fiche de cours, V est une variable indice qui se
confond avec NB ou B, selon que l'on considère les estimateurs donnés
par (5.1) ou (5.2). On note rxy [N,p] la constante de normalisation qui
précède les signes sommes des deux formules (5.1) et (5.2). Par
définition, on a pour un processus à valeurs réelles :
VAR[pV[p]] = E[pvtp]]-E2[(iv[p]] (1)
Les premiers développements qui suivent considèrent p sur le
domaine [0, N-1J, l'extension aux valeurs négatives s'obtient par des
considérations de symétrie. On rappelle d'autre part qu'en dehors de
l'horizon [-(N-l), N-1J les estimateurs de corrélation sont nuls. Une
évaluation directe, à partir de (5.1) et (5.2) conduit à :
Etpv[p]J = ocV[N,p] (N-p) E[y [n]] (2)
En tenant compte de l'identité :
E[yp [n]]yp [i]] = Yyp [n-i] + Efyp [nJ]E[yp [i]] (3)
il vient, à l'appui également de (1), (2) (5.1) et (5.2) :
VAR[pV[p]] =<4LN>PJ •
Le changement de variables (k,i) -> (k,q=k-i) est ensuite préconisé.
On trouve sans difficulté, en multipliant et divisant aussi par N-1 p | : Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 227
Les formules (5.10) à (5.13) se déduisent quant à elles de
considérations de symétries, du fait que les estimateurs sont nuls, par
construction, en dehors de l'intervalle [-(N-l), N-l] et des 2 relations
suivantes :
Çv[N,p] =ay[N,|p|] (N-1p | ) rwwi [p] (7)
Yr.pfql = AN.|p| [q] (8
La seconde égalité de l'identité (5.12) provient pour finir de la
relation de Parseval.
5.8. Ergodisme du second ordre en moyenne quadratique, cas d'un
AR1 gaussien
a) Le filtre générateur étant causal, la réponse impulsionnelle
est égale à a11 u[n] où u[n] est l'échelon de Heaveside discret. Il vient
alors :
La blancheur de l'entrée, conjuguée à la définition de
l'autocorrélation conduisent à :
En faisant converger la série géométrique et eu égard à la parité de
l'autocorrélation d'un processus réel, on obtient : 228 Introduction au traitement du signal
b) D'après la relation rappelée dans l'exercice 5.5, et le résultat
(3)établi ci-dessus, on a :
La relation (4) atteste la décroissance exponentielle de la corrélation
de yp [n], sa DSP est donc continue. Il y a E2MQ et la relation (5.10bis)
de la fiche de cours est applicable. Il vient alors :
VARL pNB Lp]] a
c) Lorsque p = 0, (5) devient :
La décroissance de la variance de l'estimateur est en 1/N. Plus a est,
en valeur absolue, proche de 1 plus la corrélation de x[n] est longue et
plus il faut d'échantillons (N grand) pour garantir une faible
variance, donc 1E2MQ. Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 229
FIGURES
Figure 5.1. Trajectoires d'un processus sinusoïdal
Figure 5.2. Estimateur non biaisé de la corrélation d'un processus
sinusoïdal 230 Introduction au traitement du signal
Figure 5.3. Estimateur biaisé de la corrélation d'un processus
sinusoïdal
Figure 5.4. Trajectoires d'un bruit blanc Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 231
Figure 5.5. Estimateur non biaisé de la corrélation d'un bruit blanc
Figure 5.6. Estimateur biaisé de la corrélation d'un bruit blanc 232 Introduction au traitement du signal
Figure 5.7. Corrélogramme rectangulaire d'un processus
sinusoïdal
Figure 5.8. Corrélogramme triangulaire d'un processus sinusoïdal Analyse spectrale non paramétrique, corrigés 233
Figure 5.9. Différents périodogranunes standards d'un bruit blanc
Figure 5.10. Différents périodogrammes moyennes d'un bruit blanc 234 Introduction au traitement du signal
Figure 5.11. Différents périodogrammes standards d'un processus
sinusoïdal noyé dans un bruit blanc
Figure 5.12. Différents périodogrammes moyennes d'un processus
sinusoïdal noyé dans un bruit blanc Chapitre 6
Estimation linéaire supervisée,
corrigés
6.1. Approximation linéaire, estimation linéaire d'un vecteur
aléatoire.
En guise de préliminaire, on rappelle différentes formes du produit
scalaire de 2 vecteurs u et v de l'espace vectoriel M défini sur le corps
des complexes C, des vecteurs aléatoires centrés de taille N et de
matrices de covariance finies :
où TRU désigne la trace d'une matrice et t l'opération de
transposition-conjugaison. On note pour finir M l'espace vectoriel des
matrices carrées de taille N, à coefficients complexes. La seconde
partie de l'identité (1) s'obtient en écrivant explicitement les deux
membres de l'égalité correspondante.
a) En appliquant le principe d'orthogonalité (relations (6.1) et
(6.2)) et compte tenu de l'expression du produit scalaire (1), il vient :
L'identité (2) étant valable pour n'importe quelle matrice M de
l'espace ;W, elle entraîne nécessairement l'équation matricielle :
<u,v> = E[u v ] = TR(E[vu]) (1)
V M e % TR{E[yx+ - M0 JOL ]M*} = 0 (2)
(3) 236 Introduction au traitement du signal
b) Le résultat (3) conjugué à la relation (6.4) adaptée au produit
scalaire (1) conduisent à :
<y $> = TRiry - Tyx r"x Txy | (4)
6.2. Approximation linéaire d'un vecteur déterministe.
a) L'espace observation est confondu avec Im|X) qui est de
dimension P, car les x; sont, par hypothèse, algébriquement
indépendants.
t
b) L'inversibilité de X X est effective car, d'après les résultats
de a), son rang est égal à P.
c) D'après (6.2), il vient :
Vhe C, HVY - XXh0) =0 (1)
d) On déduit de (1) :
Y =X(XtX)"1XTY = NXY (2
où Fix est la matrice de projection orthogonale sur l'espace Im{X) :
l'approximation linéaire à distance euclidenne minimale de Y à partir
de X n'est autre que la projection orthogonale de Y sur Im{X|.
J_ N
e) On note Im (X) l'espace orthogonal, dans C , à Im{X), Uxi
désigne le projecteur sur Im1 {X}. La relation (6.4) donne ici :
<Y|> = TR(NX)i YY1 (3)
6.3. Prédiction linéaire
a) xLn]+x[n-2] = 2 cos(27rvo ) x[n-l]. Par conséquent, x[n] s'écrit
comme une combinaison linéaire presque certaine (les formules
trigonométriques sont applicables sur chaque réalisation) de x[n-l] et
x[n-2]. L'innovation correspondante est presque sûrement nulle. Le
processus x[n] est dit parfaitement prédictible ; x[nj appartient à
l'espace observation X^.2 -
b) Lorsque Tp+i est singulière, son noyau est non nul. Il existe
alors un vecteur g de taille P+l, non nul tel que la chaîne suivante
d'égalités ait lieu : Estimation linéaire supervisée, corrigés 237
rP+ig*=o d)
gTrP+ig*=o (2
VAR[x'T ln]g* ] = 0 (3
x'T [njg* pis" 0 (4)
On en déduit alors que x[n] est une combinaison linéaire presque
certaine de P échantillons de son passé immédiat, et n'ajoute pas à cet
égard d'information statistique supplémentaire par rapport aux x[n-k],
1 < k <P. Le processus est parfaitement prédictible. Il s'agit d'une
généralisation des résultats du a). Cette propriété est une condition
nécessaire et suffisante de singularité de Tp+i , la réciproque s'établit
directement en partant de (4).
c) Plusieurs démonstrations sont possibles, cl) Si Fp était
singulière, alors d'après la question b) x[nj serait une combinaison
linéaire presque sûre de P-l échantillons de son passé, donc a fortiori
de P échantillons ce qui entraînerait la singularité de Tp+i qui est
supposée régulière. c2) Tp est une sous-matrice de rp+i , donc régulière
par hypothèse.
d) Le principe d'orthogonalité s'écrit ici :
V h e (?, E[(hT x[n-l])*(x[nJ+xT[n-l]a) J = 0 (5)
soit encore :
VhetP, hT(yp+rPa) = 0 (6
où : yp = [y[lj ... y[P]]T (7)
L'égalité (6) devant être vraie pour tout h, le vecteur a est solution du
système d'équations :
yp +Tpa = O (8)
e) En appliquant la formule générale de la variance de
l'innovation, on trouve directement :
VARLx [n]] = y[0] - YP fp1 YP (9) 238 Introduction au traitement du signal
f) L'autre forme de la variance de l'innovation provient de
l'écriture de l'innovation sous forme d'un produit scalaire :
x [n] = [1 aT Jx'[n] (10)
La définition de la variance d'une variable centrée à valeurs
complexes conduit ensuite à :
VAR[x [n]] = [1 aT ]rP+][^] (11)
6.4. Egalisation
a) L'innovation du problème s'écrit :
Le principe de projection s'énonce alors en ces termes :
compte tenu de l'expression de y [n]. En distribuant l'espérance
mathématique dans (2) et en écrivant explicitement l'innovation, il
vient :
w[m] = Yyx [m] - (h0* Yx (4)
w[m] appartient aussi par hypothèse à £.
b) Si aucune contrainte de causalité n'est imposée aux filtres h,
l'identité (3) entraîne que la séquence w[m] est identiquement nulle,
pour tout m dans l'ensemble des relatifs Z. L'équation dont la réponse
optimale est solution s'écrit alors :
V m e Z, Yyx [m] = (h0* Yx )[m] (5) Estimation linéaire supervisée, corrigés 239
soit encore, en prenant la Transformée en z membre à membre :
(6)
c) x[nj = s[n]+bln] où s et b sont indépendants, les densités en z
(transformées en z des fonctions d'autocorrélation) s'ajoutent donc.
D'autre part b[n] étant blanc, yb(z) = db • Pour finir, y et b étant
indépendants : YyX(z) = Yys(z) • La synthèse de tous ces éléments
conduit à :
d) D'après la formule des interférences appliquée à un filtrage
réel de transfert g(z), on a :
Yys(z) = gd/z) Yy(z) et Ys(z) = g(z)g(l/z) Yy(z) (8)
Si de plus on remplace sous hypothèse de blancheur Yy(z) Par , 1 a
relation (7) multipliée membre à membre par g(z) devient :
Si n tend vers l'infini, le produit h0(z)g(z) tend vers 1 et
l'égalisation est parfaite.
e) D'après les résultats généraux,
VAR[y [n]] = VAR[y[n]J - VAR[y [n]] (10)
Démontrer que cette quantité est toujours positive, en dehors de la
justification triviale inhérente à la positivité intrinsèque d'une 240 Introduction au traitement du signal
variance, revient à exprimer les variances en fonction des densités
spectrales des processus. On a :
soit encore d'après (6) :
o
L'intégrant de (11) est toujours positif : Yx(v) egt une densité
spectrale de puissance moyenne et (Yy(v)Yx(v) - lYyx(v) I ) n'est
autre que le déterminant de la matrice spectrale du processus vectoriel
de dimension 2 de composantes x[n] et y[n], matrice spectrale qui est
définie non négative. Ce déterminant est nul si y[n] et x[n] sont reliés
par un filtrage linéaire invariant. Bibliographie
Les références qui suivent ne se veulent en rien exhaustives : elles constituent le
réservoir bibliographique unique de l'ouvrage. Ont été sélectionnés pour chaque
thème abordé, des livres disponibles dans le plus grand nombre de bibliothèques et
consultés, eu égard à la force de l'usage, par de nombreux "praticiens" de tous bords,
du traitement du signal. A cet égard, les articles de revue qui bien souvent ne sont
pas accessibles à tous rapidement ont été omis délibérément.
Probabilités
J.BASS, Eléments de calcul des probabilités, troisième édition, Masson, Paris,
1974.
P. BREMAUD, Introduction aux Springer Verlag, Berlin, 1984.
Traitement numérique du signal
M. BELLANGER, Traitement numérique du signal, Masson, Paris, 1984.
M. BOITE, Les filtres numériques, Masson, Paris, 1980.
Signaux aléatoires & estimation
P. BREMAUD, Signaux aléatoires pour le traitement du signal et des
télécommunications, Ellipses, Paris, 1993.
B. PICINBONO, Signaux aléatoires, Dunod, Paris, 1994.
Analyse spectrale
S.M. KAY, Modem spectral estimation : theory and application, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.
S.L. MARPLE, Digital spectral analysis with applications, Prenticc-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.
Ouvrages généraux traitant de l'ensemble des thèmes
B. PORAT, Digital processing of random signals .theory & methods, Prentice-Hall,
Englewood Cliffs, New Jersey, 1994.
P. DUVAUT, Traitement du signal : concepts et applications, deuxième édition,
Hermès, Paris, 1994. Index
Analyse spectrale 71, 87, 219
anticausale 24, 119
anti-repliement 110
apodisation 89
Autocorrélation 69, 70, 88, 101
bande limitée 17, 47, 108, 109
Bernstein 109
Bessel-Parseval 17, 19, 109,
115, 190
biais 88, 89, 92, 93, 220, 222
bloqueur 40
Bochner 69
bruit blanc 77, 81, 205
bruit de quantification 45
causal 51, 119
causale 23, 24
Causalité 50, 103, 228, 239
convolution 20, 49, 67, 78, 120,
122
Corrélation 67, 69, 79, 189, 226
corrélogramme 88, 91
Covariance 68, 100
cycle limite 63
décimateur 61
Décorrélation 70, 82
densité en z 70
Densités interspectrales 80
densité spectrale 88
Densitée de puissance
69
distribution tempérée 15, 19
égalisation 102, 239
énergie finie 102
Equations aux différences
finies 22, 25, 50, 51, 122
ergodisme 91, 97, 228
espace d'observation 98, 100,
224,237
estimateur 71, 88, 97
estimation linéaire 98, 100, 236
factorisation spectrale 85
FEJER 90, 221
fenêtre de pondération 88, 94,
221
FFT34
filtre cardinal 39
Filtre linéaire invariant 49
Fonction de transfert 50
formule des interférences 240
Fourier 14, 38, 105
Gain complexe 51, 78
Hilbert 15, 67
innovation 99, 101, 102, 103,
237,239
intercorrélation 70, 74, 80, 83,
95
interférences 80, 82
interpolateur 60
Invariance par translation 49
isométrie 14, 20, 110, 117, 190
Kronecker 50, 61, 225 244 Introduction au traitement du signal
Laplace 20
Linéarité 49
Moyenne 68, 79
moyenne quadratique 100, 205,
228
non-biaisé 71
Parseval 14, 28, 71, 109
peigne de Dirac 15, 38, 47, 72,
112,193
périodogramme 89, 92, 93, 94,
96, 220, 221, 223
Poisson 19, 73, 114, 194
Positivité 69
prédiction 101
prédiction linéaire 237
principe d'orthogonalité 99,
102, 236, 238, 239
projection orthogonale 17, 237
Puissance moyenne 67
Quantification 44
repliement 27, 38, 110
Réponse impulsionnelle 23, 49
RIF 50
RII 50
Rayleigh 74
Schwarz 69, 70, 109
série de Fourier 18, 19, 25, 26,
112
série de Laurent 21
Shannon 38, 108
Stabilité 50, 51
stationnaire 68, 78
Stationnante 69
TF 26, 27, 88, 93
TFD 20, 25, 26, 117
Théorème d'échantillonnage 38
transformation bilinéaire 57
TZ 20, 103, 118, 240
valeur principale 18
variance 89, 91, 92, 97, 224, 226
Wiener-Kintchine 71, 75, 92,
202, 221 CET OUVRAGE A ETE COMPOSE
PAR LES ÉDITIONS HERMÈS
REPRODUIT ET ACHEVÉ D'IMPRIMER
PAR L'IMPRIMERIE FLOCH À MAYENNE
EN MARS 1996. DÉPÔT LÉGAL : MARS 1996.
N° D'IMPRIMEUR : 39313. Forts de dix ans d'expérience dans l'enseignement,
la pratique industrielle et les laboratoires de
recherche, les auteurs réunissent dans ce livre les
connaissances en TS et certaines applications
associées, indispensables à une formation
scientifique du domaine.
Chaque thème abordé fait l'objet d'une fiche de
cours très complète présentant les résultats
essentiels, suivie d'énoncés d'exercices de base et de
corrigés.
L'ouvrage traite seulement des signaux numériques.
Les thèmes retenus sont l'échantillonnage, le filtrage
numérique, la transformée de Fourier discrète, les
signaux aléatoires stationnaires, l'analyse spectrale
non paramétrique et l'estimation linéaire super-visée.
Il s'adresse aux ingénieurs généralistes, aux
étudiants d'IUT, de BTS, d'IUP, de licence-maîtrise,
de première et deuxième années d'écoles
d'ingénieurs qui s'initient aux TS, et également aux
étudiants de DEA de TS non spécialistes du
domaine.
Les auteurs
Patrick Duvaut, François Michaut et Michel Chue
enseignent à l'ENSEA. Patrick Duvaut est
responsable du DEA « traitement des images et du
signal » de l'université de Cergy-Pontoise et anime
avec Dominique Garreau aux Editions Hermès, la
collection Traitement du signal.
Éditions HERMES
14, rue Lantiez
75017 Paris
9 782866 015299