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Préface AvantPropos Apprendreàcalculer
I Introduction
L’étudedesmanuelsetdesprogrammesmontrequel’enseignement
du calcul à l’école primaire, qui était resté à peu près stable pendant
plus de cent ans, est profondément modifié à la fin des années 1960.
D’abord à cause d’un changement de structures. La réforme Fou-
chet(1963)homogénéiselesenseignementsetlescorpsdesmaîtredans
les Lycées et la filière 1 des nouveaux Collèges (rebaptisés C.E.S) qui
avaient eux mêmes remplacé les cours complémentaires. L’effet de la
prolongation de la scolarité obligatoire à 16 ans, décidée en 1959 pour
s’appliquer aux élèves de 6 ans à cette date, se ressent pleinement à
partir de 1967, lorsque ces élèves atteignent 14 ans. L’enseignement
primaire qui avait été longtemps un tout couronné par le certificat
d’étudesdevientuncycleparmilesautresdanscequ’onappelledéjàle
système éducatif.
La réforme dite des mathématiques modernes, d’ailleurs parallèle
1à des bouleversements aussi importants en français (grammaire, mé-
thode de lecture), modifie grandement la présentation des nombres et
des opérations à l’école primaire. Les techniques et les savoir-faire des
maîtressontdénoncéscommeautantde"recettes"quientraveraientle
développement des jeunes esprits.
En effet l’acquisition des techniques (numération, opérations
sur les nombres..) n’est pas abandonnée. Mais la notion de
nombre gagnera à être préparée par des rudiments de gram-
mairedesensemblesetdelogique.Lesenfantssaurontcomp-
ter et calculer plus ...
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Préface
Avant
Propos
Apprendre à calculer
IIntroduction L’étude des manuels et des programmes montre que l’enseignement du calcul à l’école primaire, qui était resté à peu près stable pendant plus de cent ans, est profondément modifié à la fin des années1960. D’abord à cause d’un changement de structures. La réforme Fou-chet (1963) homogénéise les enseignements et les corps des maître dans les Lycées et la filière 1 des nouveaux Collèges (rebaptisés C.E.S) qui avaient eux mêmes remplacé les cours complémentaires. L’effet de la prolongation de la scolarité obligatoire à 16 ans, décidée en 1959 pour s’appliquer aux élèves de 6 ans à cette date, se ressent pleinement à partir de 1967, lorsque ces élèves atteignent 14 ans. L’enseignement primaire qui avait été longtemps un tout couronné par le certificat d’études devient un cycle parmi les autres dans ce qu’on appelle déjà le système éducatif. La réforme ditedes mathématiques modernes, d’ailleurs parallèle à des bouleversements1aussi importants en français (grammaire, mé-thode de lecture), modifie grandement la présentation des nombres et des opérations à l’école primaire. Les techniques et les savoir-faire des maîtres sont dénoncés comme autant de "recettes" qui entraveraient le développement des jeunes esprits.
En effet l’acquisition des techniques (numération, opérations sur les nombres..) n’est pas abandonnée. Mais la notion de nombre gagnera à être préparée par des rudiments de gram-maire des ensembles et de logique. Les enfants sauront comp-ter et calculer plus tard peut-être que ne l’imposent les pro-grammes actuels, mais ils le sauront mieux. D’autre part, du fait de la prolongation de la scolarité obligatoire, la mission de l’école primaire n’est plus d’enseigner les connaissances indispensables dans la vie courante mais surtout de former les esprits, de donner à chacun la capacité de s’adapter aux 1. Les Ecoles Normales d’Instituteurs subiront avec retard les conséquences de ces changements. Après de nombreuses réformes, recrutement de Bacheliers, introduc-tion de la psycho-pédagogie, elles seront remplacées par les I.U.F.M.
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Apprendre à calculer
conditions largement imprévisibles de l’avenir. Charte de Chambery de l’A.P.M.E.P [1] L’abandon de la réforme au début des années 1980 laisse dans l’en-seignement primaire des traces beaucoup plus profondes que dans le secondaire. Certes ce n’est pas un des objectifs de ce chapitre que d’ana-lyser les causes réelles ou supposées de cette réforme qui a sans doute surtout accompagné des changements sociologiques opérant à une toute autre échelle. Au début des années 1980, le cycle primaire avait ainsi perdu son autonomie, et il allait perdre l’école qui formait ses maîtres. Ceci représente des fractures que n’a pas connu le secondaire. Les signes deperte de mémoireentre les deux périodes sont faciles à dé-celer. Il suffit, par exemple, de rechercher dans un C.R.D.P un manuel antérieur à la réforme. On n’en trouve pas. Ces livres ont été relégué dans les Musées de l’Education avec les plumes d’oie et les papyrus. Ceci prouve qu’on considère désormais ces textes comme des curiosités inutiles aux étudiants. J’ai découvert, par hasard, l’une des dernières collections (sinon la dernière) éditée avant la réforme desmathématiques moderneset j’ai eu de surcroît la chance de rencontrer son rédacteur Max Benhaïm. Bien sûr cette collection se place dans le cadre des programmes de l’époque, qui, comme on l’a dit, faisait de l’enseignement du calcul un enseignement global visant à donner une sorte deculture arithmé-tique2aux élèves. Mais je me suis vite rendu compte que les livres de Max Benhaïm, étaient profondément originaux, même parmi ceux de ses pairs. L’auteur a construit, en relation avec ses cours, des sé-ries d’exercices gradués, qui représentent un apprentissage raisonné du calcul. Ces exercices, conçus pour la formation des instituteurs in-tervenant dans les écoles de l’Algérie de 1960, et donc pour un public non sélectionné, ont beaucoup à nous apprendre aujourd’hui. IIL’auteur et la collection. Max Benhaïm a donc rédigé la presque totalité de ces livres en Al-gérie. En 1959, promu inspecteur, il est envoyé à Bougie3dans le cadre du plan de scolarisation4Il doit former en catastrophe plusieurs di-zaines de futurs instituteurs, de jeunes français titulaires, à l’époque, du Brevet des collèges. La formation comprend six stages de quinze jours. Les cahiers des élèves, en particulier ceux du cours préparatoire seront donc en partie le fruit de cette expérience. Après l’indépendance 2. Certains problèmes de fin d’études sont très sophistiqués, par exemple les pro-blèmes de partages, et ils correspondent à la résolution par système de plusieurs équations à plusieurs inconnues. 3. actuellement Bejaia. 4. Le 16 septembre 1959 le Général de Gaulle prononce à l’Elysée le celèbre dis-cours surnioatinrmtedétolua.
Luc Sinègre
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de l’Algérie, Max Benhaïm déplace son activité dans l’une des deux cir-conscriptions éducatives du Sahara5. Le responsable de l’autre circons-cription est Albert Nadaud qui apporte une partie de son expérience pour la rédaction du livre du Cours Élémentaire. Le dernier livre de la série, pour le cours Moyen deuxième année est terminé après le re-tour de son auteur en France (en remplacement dans les Vosges).Hatier lui demande alors de rédiger un volume conforme auxMathématiques modernesla réforme va bouleverser l’enseignement pendant ladont décennie suivante. Il refuse, m’expliquant avoir pronostiqué un grave échec. En délaissant l’apprentissage du système métrique, la ré-forme allait rendre l’enfant étranger au monde qui l’entoure. Le système métrique, c’est la vie m’a-t-il dit. La carrière de l’Inspecteur se poursuit ensuite à Mantes, jusqu’au dé-but des années 1990. En 1982, il met en oeuvre, dans l’Enseignement Primaire la premièreZ.E.P.
Liste des livres. Il existe deux cahiers de Cours préparatoire. Certains ont été ré-digés pour une édition africaine. Il s’agit de dessins très simples, qui illustrent une situation reliée à une opération. D’un garage qui conte-nait dix voitures on voit en sortir trois... Sous le dessin, l’opération est posée et seul le résultat reste à trouver. Au fil du cahier, les opérations qui encadrent les dessins ne sont plus données, et c’est donc à l’élève de deviner lui-même de quelle loi il s’agit. Certains dessins invitent les élèves à imaginer eux-mêmes leurs propres problèmes. Le livre de Cours élémentaire est proposé sans délimitation précise pour les deux niveaux. Les exercices[7] sont suffisamment variés et nombreux pour répondre aux exigences de tous les Maîtres qui n’auront plus à relever ceux qui conviennent le mieux à leurs élèves. Par ce moyen, chaque classe, chaque enfant pourra suivre son rythme propre. Ils correspondent au programme en vigueur, c’est-à-dire formation des nombres de1à20, numération de1à100, puis de1à1000, système métrique (mètre, litre, gramme). Addition, soustraction etc. Les livres de Cours moyen, continuent avec l’introduction des déci-maux, multiples problèmes, volumes, aires, vitesse moyenne, thèmes qui seraient sans doute beaucoup mieux adaptés, aujourd’hui pour des 5. On peut rappeler que la fuséeDiamant, lancée àHammaguir, avait mis en or-bite, le 26 Novembre 1965 le premier satellite français,Asterix. Le champ de tir du Sahara fut fermé le1juiler967elet1.neéfsnarttayuGneér
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classes de cinquième des collèges.
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Il m’a semblé le plus intéressant de préciser mon analyse en prenant comme base principale le manuel de CE. En effet, il ne comporte que des notions encore plus ou moins enseignées dans nos Écoles actuel-lement et pourrait donc rendre encore des services. D’autre part, on y discerne facilement la méthode que l’auteur développe pour donner aux enfants le sens des opérations.
IIILe manuel de Cours Elémentaire. Comme j’ai découvert le livre de l’élève longtemps avant celui du maître, j’avais à imaginer ce que pouvait être les leçons qui précédaient ces séries d’exercices. Chaque page qui coïncide avec une leçon contient en général une petite dizaine d’exercices ce qui correspond à proposer plus de 1000 exercices dans l’ensemble du livre. Les premières leçons ne comportent que très peu de texte car la situa-tion est modélisée par un dessin. Ces dessins (bicolores) ont été réalisés par le maquétiste de Hatier, d’après les modèles de l’auteur. Ils sont clairs et stylisés, le trait est net. Max Benhaïm m’a expliqué que dans un dessin pédagogique on ne doit faire apparaître que ce qui est utile au problème. Ces dessins peuvent donc très bien remplacer un énoncé sans aucune perte de précision. Au fur et à mesure de la progression les textes vont s’intercaler et prendre une place qui ne dépassera jamais les trois quarts de ce qui est proposé. Si les phrases sont courtes, la syntaxe est, elle aussi, pré-cise, et le vocabulaire riche. Il n’y a donc pas de concession à un langage plus familier ou plus enfantin. Une bague et son écrin pèsent 19 g. L’écrin vide pèse 9g. Quel est le poids de la bague? [8] leçon 19. Au fil des leçons, et donc au fil des mois, les énoncés, comme les nombres, vont se compliquer et les subordonnées apparaître. On pourrait penser ces remarques gratuites, ou non spécifiques de cette collection si la pré-face du Vice-Recteur de Constantine, A. Jacquin, venait confirmer nos impressions: Le travail deMONSIEUR BENHAÏMest susceptible de guider d’une manière efficace quiconque se trouve en présence d’une classe nombreuse d’enfants débutants ou sachant mal ma-nier la langue française. S’il en est ainsiMONSIEUR BEN-HAÏMaura la satisfaction d’avoir prolongé et élargi l’action
Luc Sinègre
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efficace qu’il a menée l’an dernier au centre de formation de Bougie. [6] p.2. Lorsque le problème est posé sans dessin, un croquis est souvent de-mandé. L’élève, apprend ainsi qu’il peut s’aider et retrouver une situa-tion déjà connue. Les exercices ne comportent pas de données supplémentaires (ce n’était pas encore la mode). Si au début du livre les données sont strictement séparées, au fil de la progression, des exercices plus difficiles mélangent différents nombres en posant plusieurs questions6. Je pense que la conviction de l’auteur était plutôt de rassurer plutôt que de remettre sans cesse les élèves devant des difficultés qu’ils seraient incapables de maîtriser. En étudiant le livre du maître je me suis aperçu que ces croquis repre-naient les leçons7vues en classe. L’auteur propose d’ailleurs d’utiliser le procédé8ditLa Martinièreprévu pour encadrer le calcul mental.
IVDes exercices constructifs. Les exercices gradués9produisent donc une multiplicité de situa-tions, issues de la vie courante, et comme on l’a vu, introduites en classe. Les nombres et les opérations ne doivent donc pas être consi-dérés comme des concepts de base, mais des outils extraits des situa-tions10Je n’ai pas fait d’étude exhaustive pour savoir si cette pratique. 6. Il faut noter que dans le livre de Cours Elémentaire on pose toujours les ques-tions intermédiaires. Dans le manuel de Cours Moyen ce ne sera plus le cas, mais j’ai pu constater que les élèves ayant travaillé le premier livre, faisaienttnelemurelnat des étapes... 7. Qu’on n’appelait pas encore desactivités. 8. Ce procédé correspond au maniement, très ordonnancé, des ardoises par les élèves (voir par exemple René Taton le Calcul Mental, [13].) Rappelons au passage que Claude Martin légua une grande partie de sa fortune en1800, à la ville de Lyon, à charge pour celle-ci de créer une école, qui deviendra au dix-neuvième siècle, une école technique d’élite, permettant la promotion des meilleurs éléments issus des classes populaires. 9. Max Benhaïm explique que chaque exercice est doublé, ainsi en cas de succès on pourra sauter le doublon, ou au contraire retrouver la même situation. Ce sys-tème de numéros pairs et impairs était, m’a expliqué Henry Plane, d’usage fréquent à cette époque. Le maître changeait la parité des exercices d’une année sur l’autre, ce qui était utile en cas de redoublement, ou de classe unique. On remarque que Max Benhaïm infléchit cette pratique dans un sens un peu différent toutefois. 10.des termes d’une multiplication est moinsLa possibilité de permutation évidente (que celle de l’addition) aux élèves à qui il faut l’apprendre, non par une preuve théorique mais par des constations faites plus ou moins méthodiquement... Le livre du Maître, [7] p.27.
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