Diophante et Fermat - article ; n°4 ; vol.19, pg 289-306

Isabelle Bachmaková.

Description

Revue d'histoire des sciences et de leurs applications - Année 1966 - Volume 19 - Numéro 4 - Pages 289-306
18 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES_ET_DE_LEURS_APPLICATIONS
• Publié le: 01 janvier 1966
• Nombre de lectures: 14
• Langue: Français

Extrait

Isabelle Bach maková.
Diophante et Fermat
In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1966, Tome 19 n°4. pp. 289-306.
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Bach maková. Isabelle. Diophante et Fermat. In: Revue d'histoire des sciences et de leurs applications. 1966, Tome 19 n°4. pp.
289-306.
doi : 10.3406/rhs.1966.2507
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0048-7996_1966_num_19_4_2507Diophante et Fermat
1. Introduction
Jusqu'à présent, les historiens des sciences ont concentré prin
cipalement leur attention sur l'analyse et la géométrie antiques et
leur influence sur la formation de la science aux xvie et xvne siècles.
Ordinairement, on attribue la nouvelle algèbre aux Hindous et,
plus particulièrement, aux Arabes. Cependant, on sait que l'appa
rition de l'algèbre littérale remonte à Diophante. Nous montrerons
que de très importantes idées et méthodes qui, aujourd'hui, sont
du domaine de la géométrie algébrique lui reviennent également.
Comme on le sait, Y Arithmétique de Diophante (1) n'est pas un
ouvrage théorique. C'est un recueil de problèmes composé pour le
« vénérable Dionysios » (que P. Tannery identifie à l'évêque Dio-
nysios d'Alexandrie) et destiné à l'enseignement. Dans Y Arithmét
ique, les règles générales sont illustrées par des exemples concrets
spécialement choisis. Nous sommes en droit de supposer que les
connaissances de l'auteur étaient bien plus étendues. Ici, toutefois,
nous nous en tiendrons strictement à ce qui nous est parvenu dans
les six livres de V Arithmétique, et nous tâcherons de rétablir les
méthodes de Diophante par l'analyse de ses problèmes.
Notons que a essentiellement élargi le domaine
numérique. Certes, il donne au début la définition traditionnelle
du nombre en tant qu'ensemble d'unités, mais il cherche des solu
tions rationnelles positives de ses problèmes et il appelle nombre
(o ápi0[AÓc) chacune de ces solutions. D'autre part, les nombres
négatifs aussi sont en fait introduits dans son Arithmétique :
Diophante les désigne par le terme spécial у Xeujnç et définit
pour eux « la règle des signes » : « Minus multiplicatum in minus
(1) Alexandrini Diophanti, Opera omnia cum graecis commentariis et latine inter pre-
tatus est, Paulus Tannery, vol. 1-2, Teubneri, 1893 ; Diophante cTAlexandrie, Les
six livres arithmétiques et le livre des nombres polygones, œuvres traduites par Paul Ver
Eecke, Bruges, 1927 ; Alexandrinus Diophantus, Die Arithmetik und die Schrifft Uber
Polygmalzahlen, iibers. und Anm.erk. von .G. Wertheim, Leipzig, 1890. • , , . ;
T. XIX. — 1966 19 290 revue d'histoire des sciences
facit plus et minus in plus facit minus. Signum negationis est ф
truncatum deorsem vergens f » (1) (Хгьфк; èm Хеьфю тсоХХаттХос-
тонет wrapl;t,v, Хгьфьс Se stcI uroxp^iv rcotsZ Xsuptv, xat, tyjç
jfxswv ф éXXiTcèç xárw vsûov, | ). En outre, f n'est pas le
symbole de l'opération de soustraction comme il est admis de
l'interpréter, mais un signe caractérisant le nombre négatif. Ceci
est également confirmé par la phrase du problème IIU : « ajoutons
aux deux membres un nombre négatif » (xoivi) ттростхейзбоо т) Хеьфьс).
Le terme Xe&piç, employé pour la désignation du nombre négatif,
est un dérivé du verbe Xsïttco, dont l'une des significations est manq
uer, faire défaut. Dans sa traduction de Y Arithmétique, P. Ver
Eecke nous rend ce terme par l'expression : ce qui est de manque.
Quant à l'opération de soustraction, Diophante use de termes tout
différents : açsXstv ou acpaipsïv qui sont des dérivés du verbe
àcpaipsw (j'ôte).
Pour désigner le nombre positif, Diophante a recours au mot
{жар^ц; qui signifie : existence, et qui, employé au pluriel, peut
signifier aussi : biens, avoirs. Ainsi, la terminologie de Diophante
pour les nombres relatifs est voisine de celle utilisée en Orient et
en Europe au Moyen Age.
Bien que Diophante ne cherche que des solutions rationnelles
positives, toutefois, comme nous le verrons, il a fréquemment
recours aux nombres négatifs dans les calculs intermédiaires.
L'Arithmétique contient aussi des règles fondamentales per
mettant d'opérer avec des équations qui, par la suite, connurent
une grande renommée sous les noms arabisés de al djebra et de
al muqabala.
Nous sommes en droit d'affirmer que l'Arithmétique, ayant
été traduite et étudiée très minutieusement en Orient arabe et en
Europe aux xvie et xvne siècles, est précisément l'œuvre qui éveilla
l'idée algébrique si caractéristique pour les périodes considérées.
2. Équations de Diophante
Malgré toute l'importance des éléments de la nouvelle algèbre,
introduits par Diophante, ce ne sont pas ces derniers qui constituent
la partie durable de son œuvre. Les idées les plus profondes de
l'auteur se rapportent à ce que nous appelons aujourd'hui l'analyse
diophantienne.
(1) D'après la traduction de P. Tannery. ET FERMAT 291 DIOPHANTE
Le problème fondamental de Y Arithmétique de Diophante est
la résolution des équations indéterminées à coefficients entiers.
Ici, pour l'essentiel, nous nous limiterons aux problèmes qui se
ramènent à des équations de la forme :
[1] F(*,y)=0
où F (x, y) est un polynôme. Diophante cherche des solutions
rationnelles positives de cette équation, ou bien, si l'on a recours
au langage géométrique, des points rationnels appartenant à la
courbe algébrique plane correspondante. Dans ce qui va suivre,
bien que Diophante ne l'ait pas fait lui-même, nous nous permet
trons d'employer le langage géométrique pour élucider le sens des
méthodes de cet auteur. Les problèmes de détermination des
points rationnels des courbes algébriques sont, à l'heure actuelle,
du domaine de la géométrie algébrique. Ils se résolvent par des
méthodes de principe distinctes pour les courbes de genre 0, de
genre 1 et de genre g > 1.
Le problème des points rationnels d'une courbe de genre 0 n'a été
résolu définitivement qu'à la fin du siècle dernier et au début du xxe
dans les travaux de D. Hilbert et de A. Hurwitz (1), en 1890,
et de H. Poincaré (2), en 1901. Il a été démontré (3) que toute
courbe de genre 0 et d'ordre m est birationnellement équivalente
à une droite, si m est impair, et à une section conique, si m est
pair. Ainsi, on se ramène à l'étude des courbes du second degré
et, comme nous le montrerons, celle-ci a déjà été faite par Diophante.
En ce qui concerne les courbes de genre 1, H. Poincaré (4)
démontre que si une telle courbe possède un point rationnel, elle
est alors birationnellement équivalente à une courbe du troisième
degré. D'autre part, les courbes du troisième degré ont été égal
ement étudiées par Diophante qui a trouvé une méthode de déter
mination des points rationnels appartenant à de telles courbes.
Cette méthode contient, au fond, un procédé purement algébrique
de détermination de la dérivée qui a été remarqué et dégagé sous
sa forme générale par P. Fermat.
(1) D. Hilbert u. A. Hurwitz, Ueber die Diophantischen Gleichungen vom
Geschlecht null, Ada math., vol. 14 (1890), pp. 217-224.
(2) H. Poincarě, Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques, Journ»
de Math., vol. 7, 1901, pp. 161-233.
(3) Ibid.
(4)292 revue d'histoire des sciences
Les courbes de genre g > 1 ne se rencontrent pas chez Dio-
phante et la question de la détermination des points rationnels
appartenant à de telles courbes est d'ailleurs restée peu étudiée
jusqu'à présent.
3. Équations indéterminées du second degré
Dans le IIe Livre, Diophante établit en réalité le théorème
fondamental suivant : toute courbe du second degré ne possède
aucun point rationnel, ou en possède une infinité. Dans le dernier
cas, leurs coordonnées peuvent être exprimées à l'aide de fonctions
rationnelles dépendant d'un paramètre et à coefficients rationnels.
Le raisonnement de Dio