Le rôle des équations fonctionnelles dans l'Analyse algébrique de Cauchy - article ; n°1 ; vol.45, pg 25-50

Jean Dhombres

Description

Revue d'histoire des sciences - Année 1992 - Volume 45 - Numéro 1 - Pages 25-50
RÉSUMÉ. — Vers 1820, les équations fonctionnelles introduites au siècle précédent par Euler et d'Alembert étaient à la mode. Présentes en force dans le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Lacroix (2e édition en 3 volumes, 1810-1819), elles figuraient au sommaire des Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (1810-1831) de Gergonne. Cauchy les intégra dans son Cours d'Analyse, publié en 1821. Nous évoquons les circonstances de cette incorporation en proposant une interprétation du rôle ainsi joué par les équations fonctionnelles dans l'architecture de l'Analyse.
SUMMARY. — Around 1820, functional equations were fashionable. Introduced during the 18th century by Euler and d'Alembert, they were particularly used in Lacroix's Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2nd ed. in 3 volumes, 1810-1819) and discussed in Gergonne's Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (1810-1831). Cauchy integrated such equations into his Cours d'Analyse, published in 1821. We put forward the circumstances of this use and we propose an interpretation for the role played by functional equations in the foundations of Analysis.
26 pages
Source : Persée ; Ministère de la jeunesse, de l’éducation nationale et de la recherche, Direction de l’enseignement supérieur, Sous-direction des bibliothèques et de la documentation.

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• Publié par: REVUE_D-HISTOIRE_DES_SCIENCES
• Publié le: 01 janvier 1992
• Nombre de lectures: 18
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Extrait

M JEAN DHOMBRES
Le rôle des équations fonctionnelles dans l'Analyse algébrique
de Cauchy
In: Revue d'histoire des sciences. 1992, Tome 45 n°1. pp. 25-50.
Résumé
RÉSUMÉ. — Vers 1820, les équations fonctionnelles introduites au siècle précédent par Euler et d'Alembert étaient à la mode.
Présentes en force dans le Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Lacroix (2e édition en 3 volumes, 1810-1819), elles
figuraient au sommaire des Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (1810-1831) de Gergonne. Cauchy les intégra dans
son Cours d'Analyse, publié en 1821. Nous évoquons les circonstances de cette incorporation en proposant une interprétation du
rôle ainsi joué par les équations fonctionnelles dans l'architecture de l'Analyse.
Abstract
SUMMARY. — Around 1820, functional equations were fashionable. Introduced during the 18th century by Euler and d'Alembert,
they were particularly used in Lacroix's Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2nd ed. in 3 volumes, 1810-1819) and
discussed in Gergonne's Annales de Mathématiques Pures et Appliquées (1810-1831). Cauchy integrated such equations into
his Cours d'Analyse, published in 1821. We put forward the circumstances of this use and we propose an interpretation for the
role played by functional equations in the foundations of Analysis.
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DHOMBRES JEAN. Le rôle des équations fonctionnelles dans l'Analyse algébrique de Cauchy. In: Revue d'histoire des
sciences. 1992, Tome 45 n°1. pp. 25-50.
doi : 10.3406/rhs.1992.4230
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1992_num_45_1_4230Le rôle
des équations fonctionnelles
dans Y Analyse algébrique
de Cauchy
RÉSUMÉ. — Vers 1820, les équations fonctionnelles introduites au siècle pré
cédent par Euler et d'Alembert étaient à la mode. Présentes en force dans le
Traité du calcul différentiel et du calcul intégral de Lacroix (2e édition en 3 volumes,
1810-1819), elles figuraient au sommaire des Annales de Mathématiques Pures
et Appliquées (1810-1831) de Gergonne. Cauchy les intégra dans son Cours
d'Analyse, publié en 1821. Nous évoquons les circonstances de cette incorporat
ion en proposant une interprétation du rôle ainsi joué par les équations fonc
tionnelles dans l'architecture de l'Analyse.
SUMMARY. — Around 1820, functional equations were fashionable. Intro
duced during the 18th century by Euler and d'Alembert, they were particularly
used in Lacroix' s Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2nd éd. in
3 volumes, 1810-1819) and discussed in Gergonne 's Annales de Mathématiques
Pures et Appliquées (1810-1831). Cauchy integrated such equations into his Cours
d'Analyse, published in 1821. We put forward the circumstances of this use and
we propose an interpretation for the role played by functional equations in the
foundations of Analysis.
Les équations fonctionnelles de Cauchy
Indéniablement, Cauchy adopta le thème des équations fonc
tionnelles. Dans son Cours d'Analyse de l'Ecole royale polytech
nique, il attaquait la résolution simultanée des quatre équations
qui résultent de l'échange des opérations de multiplication et
d'addition :
(A) ф{х + у) = ф(х) + ф(у),
(B) ф(х + у) = ф(х)ф(у),
Rev. Hist. ScL, 1992, XL V/l 26 Jean Dhombres
(C) ф(ху) = ф(х) + ф(у),
(D)= ф(х)ф(у).
Dans chacun des cas, il s'agit de déterminer la fonction
inconnue ф, sachant que l'équation correspondante est valide pour
toutes les valeurs réelles des variables x et y. L'abord de telles
équations est abrupt chez Cauchy, en ce sens qu'aucune indication
n'est donnée quant à l'origine du questionnement. Ou plutôt, le
titre même du chapitre où elles interviennent en façonne la thémat
ique : « Détermination des Fonctions continues d'une seule variable
propres à vérifier certaines conditions (1) ». Elle est précisée par
une description des équations (A) à (D), description rhétorique qui
est fort bien résumée par le néologisme de morphisme :
« § 1 Recherche d'une Fonction continue formée de telle manière que
deux semblables Fonctions de quantités variables, étant ajoutées ou mult
ipliées entre elles, donnent pour somme ou pour produit une Fonction
semblable de la somme ou du produit de ces variables. »
Si la raison de cette intervention relève du formalisme, par la
contrainte logique de déterminer les morphismes fondamentaux, la
présence du qualificatif « continu » à l'occasion de la recherche
témoigne surtout qu'il s'agit du premier emploi effectif de la conti
nuité (à laquelle les quatre premiers théorèmes du Cours de Cauchy (2)
sont liés dès le chapitre 2 de l'ouvrage. De telle sorte que la question
se pose de savoir s'il s'agit, avec la résolution de ces équations fonc
tionnelles, d'une simple illustration, au demeurant anecdotique, de
la continuité ou si le cheminement obéit à une nécessité, répondant
à la tectonique générale de l'Analyse algébrique.
Le propos du présent article est de répondre à une telle question,
dont le sens est éclairé par la dénomination désormais traditionnelle
pour ces équations : équations de Cauchy (3).
(1) A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse de l'Ecole Royale Polytechnique, lre partie : Analyse
algébrique (Paris : Debure frères, 1821), chap. V, 103-122 (citation p. 103). { = OC (2), III,
chap. V.) Reproduction du Cours : Paris, Ed. J. Gabay, 1989.
(2) Rappelons que ces quatre théorèmes, véritables piliers de la construction de Cauchy,
sont successivement la version en termes de limite d'une fonction continue de plusieurs
variables (/. e. en se restreignant à une seule variable : lim f(xn) = /( lim *„)), la sta- Л— 00 Л—ОО
bilité de la continuité par composition de fonctions continues, sous la double forme d'une
ou de plusieurs variables, et, enfin, le théorème des valeurs intermédiaires.
(3) Voir entre autres exemples : R. D. Carmichael, A generalization of Cauchy's functional
equations, Amer. Math. Monthly, 18 (191 1), 198-203. On trouvera en fin de texte une bibliogra
phie succincte sur les équations fonctionnelles : E. Hille& R. S. Phillips [1957], J. Aczél [1966],
M. Kuczma [1968], G. Targonsky [1981], M. Kuczma [1985], J. Aczél & J. Dhombres [1989]. rôle des équations fonctionnelles 27 Le
Nous commencerons par rendre compte de la méthode de réso
lution utilisée par Cauchy, et nous la situerons par rapport à celles
mises en place aussi bien par ses contemporains que par ses prédé
cesseurs. Ce qui nous conduira, en un deuxième temps, à préciser
les motivations fonctionnelles expliquées par ces derniers depuis
le début du xvme siècle. De telle sorte qu'examinant l'imbrication
des résultats de l'ouvrage de Cauchy, et soulignant ceux qui utili
sent explicitement la résolution des équations fonctionnelles évo
quées, nous pourrons statuer sur la place tenue par ces équations
dans la construction de Y Analyse en ce premier tiers du
xixe siècle (4).
Une méthode simple articulée par la continuité
La résolution en deux temps de l'équation fonctionnelle (A)
est paradigmatique : manipulations de calcul algébrique aboutis
sant à l'établissement de la forme de la fonction inconnue ф pour
les valeurs d'un sous-ensemble dense (5) de l'axe réel puis, par
continuité, passage à toutes les valeurs réelles.
De la relation (A), Cauchy déduit en effet
ф(х + y + z + и +...) = ф(х) + ф(у) + ф&) + Ф(и) + ...,
qui livre ф(та) = тф(а) en faisant égales à a les m variables
x, y, z, u; m étant un entier. Le passage des entiers aux nombres
rationnels — se fait à partir de nfi = ma, égalité que l'équation (A)
П / yy, \ yy,
= тф(а), soit ф(Р) = ф\ — а)=— ф(а). La transforme en пф(/$)
\n ) n
(4) Soulignons que nous n'entendons pas évoquer ici le calcul différentiel et intégral
tels que conçus par Cauchy dans ses cours à l'École (depuis la rentrée 1815). De nomb
reuses études ont paru à ce sujet : I. Grattan-Guinness, Bolzano, Cauchy and the "New
Analysis" of the early nineteenth century, Arch, for Hist, of Exact Sciences, 6 (1970),
372-400; J. V. Grabiner, The Origins of Cauchy's Rigorous Calculus (Cambridge, Mass. :
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