Analyse en stabilité et synthèse de lois de commande pour des systèmes polynomiaux saturants, Stability analysis and controller synthesis for saturating polynomial systems

De
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Sous la direction de Sophie Tarbouriech
Thèse soutenue le 08 juillet 2010: INSA de Toulouse
La classe des systèmes non-linéaires dont la dynamique est définie par un champ de vecteurs polynomial est étudié. Des modèles polynomiaux peuvent représenter différents systèmes réels ou bien définir des approximations plus riches que des modèles linéaires pour des systèmes non-linéaires différentiables. Des techniques de programmation semi-définie développées récemment ont rendu possible l'étude de cette classe de systèmes avec des outils numériques. Le problème d'analyse en stabilité locale est résolu via des conditions basées sur la positivité de polynomes. Dans le cadre de la synthèse de lois de commande nous proposons un changement de variables linéaire pour traiter la synthèse de lois de commande non-linéaire qui garantissent la stabilité locale. Les ensembles définissant des estimations de la région d'attraction, définis par des courbes de niveau de la fonction de Lyapunov pour le système, sont également donnés par des fonctions polynomiales
-Programmation semi-définie
-Systèmes non-linéaires
-Systèmes polynomiaux
-Méthode de Lyapunov
-Lois de commande polynomiales
-Saturation
-Correcteur anti-windup
-Région d’attraction
We study the class of nonlinear dynamical systems which vector field is defined by polynomial functions. A large set of systems can be modeled using such class of functions. Tests for stability are formulated as semidefinite programming problems by considering positive polinomials to belong to the class of Sum of Squares polynomials. Polynomial control law gains are computed based on a linear change of coordinates and guarantee the local stability of the closed-loop system. Lyapunov theory is then applied in order to obtain estimates of the region of attraction for stable equilibrium points. Such estimates are given by level sets of polynomial positive functions
-Semidefinite programming
-Nonlinear systems
-Polynomial systems
-Lyapunov theorey
-Polynomial control laws
-Saturation
-Anti-windup compensator
-Région of attraction
Source: http://www.theses.fr/2010ISAT0025/document
Publié le : samedi 29 octobre 2011
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InstitutNationaldesSciencesAppliquéesdeToulouse(INSAToulouse)
SYSTÈMESAUTOMATIQUES
GiórgioVALMORBIDA
8juillet2010
4ITRE
AnalyseenStabilitéetSynthèsedeLoisdeCommandepourdesSystèmes
PolynomiauxSaturants
%COLEDOCTORALE
Systèmes(EDSYS)
5NITÏDERECHERCHE
LAAS-CNRS
$IRECTEURSDE4HÒSE
SophieTARBOURIECH
GermainGARCIA
2APPORTEURS
LaurentELGHAOUI
Silviu-IulianNICULESCU
!UTRESMEMBRESDUJURY
AlessandroASTOLFI
Jean-MarcBIANNIC
OlivierSENAME
MatthewC.TURNERb
Avant Propos
La gratitude est un second plaisir, qui en prolonge un premier : comme
un ´echo de joie a` la joie ´eprouv´ee, comme un bonheur de plus pour un
plus de bonheur.
Andr´e Comte-Sponville, Petit trait´e des grandes vertus
Le travail pr´esent´e dans ce m´emoire a ´et´e effectu´e au Laboratoire d’Analyse et
d’Architecture des Syst`emes duCentre NationaldelaRecherche Scientifique (LAAS-
CNRS). Je tiens `a remercier M. Raja Chatila, directeur du LAAS, pour avoir mis `a
ma disposition toutes les ressources n´ecessaires pour le bon d´eroulement des travaux.
Je remercie ´egalement l’Asociaci´on Grupo Santander pour financement de la
bourse Al an, sans lequel ce travail n’aurait pas ´et´e possible.
J’exprime ma gratitude `a Mme. Sophie Tarbouriech et M. Germain Garcia, mes
directeurs de th`ese pour leur encouragement constant et pour m’avoir accompagn´e
tout le long de ces ann´ees sachant guider mes choix sans m’imposer les leurs.
J’exprime ma reconnaissance envers M. Laurent El Ghaoui et M. Silviu-Iulian
Niculescu d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurs de ce travail. Je remercie ´egalement M.
Alessandro Astolfi,M. Jean-MarcBiannic,M.Matthew Turneret M.OlivierSename
d’avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese.
JeremercieMme.IsabelleQueinnec,responsabledugroupeMAC,pourlesmoyens
mis `a ma disposition, notamment pour rendre possible ma participation dans des
conf´erences. Je remercie aussi tous les membres du groupe MAC, en particulier
Christophe Prieur, Dimitri Peaucelle et Didier Henrion pour toutes leurs questions
et suggestions.
Je suis ´egalement reconnaissant `a l’´ecole doctorale EDSYS qui m’as permis d’ef-
fectuer un s´ejour au sein de l’Universit´e de Leicester ou` j’ai ´et´e chaleureusement
accueilli. Je dois remercier l’Universit´e F´ed´erale du Rio Grande do Sul et l’´equipe du
Prof. Jo˜ao Manoel Gomes da Silva et `a l’Universidade Estadual de Campinas et le
Prof. Pedro Luis Dias Peres pour leurs accueils.
Je remercie aussi les coll`egues th´esards et stagiaires qui m’ont accompagn´e dans
ce parcours.
`A ma douce Ana, tout le soutien que j’ai eu lui tenant la main.
iiiiv
Je remercie ´egalement tous les amis qui m’ont soutenu de ce cˆot´e ou de l’autre
cˆot´e de l’Atlantique, dans les pages suivantes ils comprendront“porque furei nossos
churrascos”ces trois derni`eres ann´ees.Table des mati`eres
Introduction G´en´erale 1
´1 Etat de l’art 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Concepts Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Solutions Num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Syst`emes polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 M´ethodes de synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Repr´esentations des Syst`emes 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Syst`emes Polynomiaux Autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 D´efinition d’un espace augment´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Syst`emes non-autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Repr´esentation multiple des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Analyse de stabilit´e des syst`emes polynˆomiaux 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Tester la positivit´e d’un polynˆome localement . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Analyse avec des fonctions Polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Strat´egies pour l’optimisation de la ERA . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Minimiser la Trace de la matrice de Lyapunov . . . . . . . . . 45
3.4.2 Maximiser un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3 Chercher une V(x) favorable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Synth`ese des lois de commande polynomiales 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Synth`ese de retour d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v`vi TABLE DES MATIERES
4.3 Synth`ese d’un retour de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Strat´egies d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Syst`emes avec saturation en entr´ee 83
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Analyse de Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Synth`ese des correcteurs anti-windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.1 Analyse de stabilit´e des syst`emes saturants . . . . . . . . . . . 104
5.4.2 Synth`ese des correcteurs anti-windup . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Conclusion G´en´erale 113
A Quelques ´el´ements de calcul tensoriel 117
A.1 Produits de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B Matrices utiles 119
B.1 Calcul des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2 Boucle ferm´ee avec un retour de sortie dynamique . . . . . . . . . . . 125
C Donn´es des Exemples Num´eriques 131
C.1 Donn´ees des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.1.1 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.1.2 Exemples du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.2 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2.1 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2.2 Exemples du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.2.3 Exemples du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144´
Ñ
Table des figures
˙1.1 Ellipso¨ıde qui“touche”la courbe V(x)= 0. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Estimation petite par rapport `a la r´egion d’attraction de l’origine. . . 13
˙1.3 Ensembles touchant les courbes V = 0 donnant une ERA pour l’ori-
gine : E (vert) et E (rouge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2
˙1.4 Ellipsoıde qui“touche”l’ensemble V(x)= 0. . . . . . . . . . . . . . . 16¨
3.1 Inclusion de l’ensemble polynomial E(P ) dans E(P ). . . . . . . . . 40b a
n ˙3.2 Lescourbesnoiresetvertescorrespondent`al’ensemble x∈ ;V(x)= 0
pour deux fonctions quadratiques V(x) diff´erentes, remarquons que le
˙vecteur V(x ) a un angle plus petit avec la droite reliant x `a l’ori-eq eqi
gine avec la deuxi`eme courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 ERAs ellipsoıdales du syst`eme (3.56) obtenues en optimisant la fonc-¨
tion Trace(P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 ERAs ellipsoıdales du syst`eme (3.56). . . . . . . . . . . . . . . . . . 50¨
3.5 Ellipsoıde maximal obtenu avec la Corollaire 3.3 . . . . . . . . . . . 51¨
3.6 ERA obtenues avec les fonctions de degr´e 4 et de degr´e 2. . . . . . . 51
3.7 Ellipsoıde maximal obtenu avec le Corollaire 3.3 . . . . . . . . . . . 52¨
3.8 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 4 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 6 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.10 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 8 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
˙3.11 Courbe V(x)= 0 (en noir) et ensemble maximal pour une fonction de
Lyapunov de degr´e 4 (en vert). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.12 Trajectoires du syst`eme (3.5) et ERA du point d’´equilibre x . . . . 55eq2
3.13 Estimation de la R´egion d’Attraction sous forme ellipsoidale de l’ori-
gine (3.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1 Trajectoires de la boucle ouverte du syst`eme (4.72). . . . . . . . . . 76
4.2 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.72) avec la loi de commande
(4.73) et une ERA donn´ee par une fonction de degr´e 4. . . . . . . . . 77
viiviii TABLE DES FIGURES
4.3 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.72) avec la loi de commande
(4.74) et une ERA avec une fonction de degr´e 4. . . . . . . . . . . . 77
4.4 Estimations de la RA du syst`eme (4.75) avec des lois de commande
de diff´erents degr´es : en rouge g = 1 (`a l’int´erieur des deux autresu
ellipsoıdes), en noir g = 2 et en bleu g = 3 . . . . . . . . . . . . . . 79¨ u u
4.5 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.75) avec la loi de commande
(4.78) et l’estimation de la RA sous forme ellipsoıdale. . . . . . . . . 79¨
5.1 Seule la dynamique de x est affect´ee par g(x,e,u). . . . . . . . . . . . 95
5.2 ERAs ellipso¨ıdales pour le syst`eme (5.87) avec respectivement u = 1,0
u = 0.5 et u = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050 0
5.3 Les courbes rouges indiquent la fronti`ere de l’ensemble S (u ). . . . . 1060 0
5.4 Trajectoiresdelaboucleferm´eede(5.89)avecl’entr´eesaturante u = 10
pour deux lois de commande donn´ees respectivement par (5.90) et
(5.91), et les ERA avec les fonctions de degr´e 4 obtenues dans le cha-
pitre pr´ec´edent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 ERAs ellipsoıdales pour le syst`eme saturant avec respectivement les¨
lois lin´eaire et quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6 Les estimations ellipso¨ıdales du syst`eme saturant avec les lois de com-
mande lin´eaire et quadratique et des trajectoires avec la loi de com-
mande lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
′5.7 Trajectoire `a partir de la condition initiale x =[0 − 0.5]. . . . . . . 1100
5.8 Evolutiondelavariable x pourlesyst`eme avec(courbesolide)etsans2
(courbe pointill´ee) le correcteur anti-windup. . . . . . . . . . . . . . 110
5.9 Evolution de la variable x du syst`eme avec (courbe solide) et sans2
(courbe pointill´ee) le correcteur anti-windup pour la condition initiale
′x =[0 0.31]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110l
l
´
b
l
b
Liste des tableaux
3.1 Pourcentage du volume de la RA obtenu avec l’estimation. . . . . . . 56 −1 n+n ′ −1c4.1 Valeurs de d´efinissant l’ERA E(P)= ∈ ; P ≤ . 81l l
⋆5.1 Valeurs de c d´efinissant une ERA sous la forme (5.92) pour diff´erents
seuils de saturation et diff´erentes lois de commande. . . . . . . . . . 108
5.2 Gains du correcteur anti-windup (5.51) pour diff´erents valeurs du
terme quadratique a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109q
ixx LISTE DES TABLEAUX´
S
µ
´

´
´
l
l
Notations
a×b Ensemble des matrices r´eelles de dimensions a par b
a Ensemble des vecteurs r´eels de dimension a
E(P ) Ensemble `a l’int´erieur d’une courbe de niveaur
de la fonction polynomiale d´efinie par la matrice Pr
E(P ) Ensemble de points sur la fronti`ere de E(P )r r
diag{M ,...,M} Matrice bloc-diagonale compos´ee par les blocs M1 t i
null(A) Noyau de la matrice A
Ensemble des polynˆomes somme des carr´es de degr´e rr
kxk Norme euclidienne du vecteur x
“proportionnel `a”
det(P) D´eterminant de la matrice P
Trace(P) Trace de la matrice P
n×nI ∈ Matrice identit´e de dimension nn
a×b0 ∈ Matrice de z´eros avec a lignes et b colonnesa×b
⌈n⌉ Le plus petit entier plus grand que n
⌊n⌋ Le plus grand entier plus petit que n
A⊗ B Produit de Kronecker entre les matrices A et B
dim(M) Rang de lignes de la matrice M
Re( ) La partie r´eelle de
xi

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