Cette publication est accessible gratuitement
Télécharger


0RÏSENTÏEETSOUTENUEPAR
&
%0$503"5%&

%
-
0
LE
$
5
5
%
0
0
3
6
"
$ISCIPLINEOUSPÏCIALITÏ
5
3

*
%
²
&
%&506-064&

&
-6/*7&34*5²
5
-
6

0
6
4
/

*

7
&
4
%NVUEDELOBTENTIONDU
$ÏLIVRÏPAR
InstitutNationaldesSciencesAppliquéesdeToulouse(INSAToulouse)
SYSTÈMESAUTOMATIQUES
GiórgioVALMORBIDA
8juillet2010
4ITRE
AnalyseenStabilitéetSynthèsedeLoisdeCommandepourdesSystèmes
PolynomiauxSaturants
%COLEDOCTORALE
Systèmes(EDSYS)
5NITÏDERECHERCHE
LAAS-CNRS
$IRECTEURSDE4HÒSE
SophieTARBOURIECH
GermainGARCIA
2APPORTEURS
LaurentELGHAOUI
Silviu-IulianNICULESCU
!UTRESMEMBRESDUJURY
AlessandroASTOLFI
Jean-MarcBIANNIC
OlivierSENAME
MatthewC.TURNERb
Avant Propos
La gratitude est un second plaisir, qui en prolonge un premier : comme
un ´echo de joie a` la joie ´eprouv´ee, comme un bonheur de plus pour un
plus de bonheur.
Andr´e Comte-Sponville, Petit trait´e des grandes vertus
Le travail pr´esent´e dans ce m´emoire a ´et´e effectu´e au Laboratoire d’Analyse et
d’Architecture des Syst`emes duCentre NationaldelaRecherche Scientifique (LAAS-
CNRS). Je tiens `a remercier M. Raja Chatila, directeur du LAAS, pour avoir mis `a
ma disposition toutes les ressources n´ecessaires pour le bon d´eroulement des travaux.
Je remercie ´egalement l’Asociaci´on Grupo Santander pour financement de la
bourse Al an, sans lequel ce travail n’aurait pas ´et´e possible.
J’exprime ma gratitude `a Mme. Sophie Tarbouriech et M. Germain Garcia, mes
directeurs de th`ese pour leur encouragement constant et pour m’avoir accompagn´e
tout le long de ces ann´ees sachant guider mes choix sans m’imposer les leurs.
J’exprime ma reconnaissance envers M. Laurent El Ghaoui et M. Silviu-Iulian
Niculescu d’avoir accept´e d’ˆetre rapporteurs de ce travail. Je remercie ´egalement M.
Alessandro Astolfi,M. Jean-MarcBiannic,M.Matthew Turneret M.OlivierSename
d’avoir accept´e de participer au jury de cette th`ese.
JeremercieMme.IsabelleQueinnec,responsabledugroupeMAC,pourlesmoyens
mis `a ma disposition, notamment pour rendre possible ma participation dans des
conf´erences. Je remercie aussi tous les membres du groupe MAC, en particulier
Christophe Prieur, Dimitri Peaucelle et Didier Henrion pour toutes leurs questions
et suggestions.
Je suis ´egalement reconnaissant `a l’´ecole doctorale EDSYS qui m’as permis d’ef-
fectuer un s´ejour au sein de l’Universit´e de Leicester ou` j’ai ´et´e chaleureusement
accueilli. Je dois remercier l’Universit´e F´ed´erale du Rio Grande do Sul et l’´equipe du
Prof. Jo˜ao Manoel Gomes da Silva et `a l’Universidade Estadual de Campinas et le
Prof. Pedro Luis Dias Peres pour leurs accueils.
Je remercie aussi les coll`egues th´esards et stagiaires qui m’ont accompagn´e dans
ce parcours.
`A ma douce Ana, tout le soutien que j’ai eu lui tenant la main.
iiiiv
Je remercie ´egalement tous les amis qui m’ont soutenu de ce cˆot´e ou de l’autre
cˆot´e de l’Atlantique, dans les pages suivantes ils comprendront“porque furei nossos
churrascos”ces trois derni`eres ann´ees.Table des mati`eres
Introduction G´en´erale 1
´1 Etat de l’art 5
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Concepts Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Solutions Num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Syst`emes polynomiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.1 M´ethodes de synth`ese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Repr´esentations des Syst`emes 21
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Syst`emes Polynomiaux Autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.1 D´efinition d’un espace augment´e . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.3 Syst`emes non-autonomes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4 Repr´esentation multiple des formes quadratiques . . . . . . . . . . . . 32
2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Analyse de stabilit´e des syst`emes polynˆomiaux 35
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2 Tester la positivit´e d’un polynˆome localement . . . . . . . . . . . . . 35
3.3 Analyse avec des fonctions Polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.4 Strat´egies pour l’optimisation de la ERA . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.4.1 Minimiser la Trace de la matrice de Lyapunov . . . . . . . . . 45
3.4.2 Maximiser un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.4.3 Chercher une V(x) favorable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4 Synth`ese des lois de commande polynomiales 59
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Synth`ese de retour d’´etat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
v`vi TABLE DES MATIERES
4.3 Synth`ese d’un retour de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.4 Strat´egies d’optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.5 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
5 Syst`emes avec saturation en entr´ee 83
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Analyse de Stabilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
5.3 Synth`ese des correcteurs anti-windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Exemples num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4.1 Analyse de stabilit´e des syst`emes saturants . . . . . . . . . . . 104
5.4.2 Synth`ese des correcteurs anti-windup . . . . . . . . . . . . . . 108
5.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Conclusion G´en´erale 113
A Quelques ´el´ements de calcul tensoriel 117
A.1 Produits de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
B Matrices utiles 119
B.1 Calcul des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
B.2 Boucle ferm´ee avec un retour de sortie dynamique . . . . . . . . . . . 125
C Donn´es des Exemples Num´eriques 131
C.1 Donn´ees des exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.1.1 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
C.1.2 Exemples du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
C.2 R´esultats num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2.1 Exemples du chapitre 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C.2.2 Exemples du chapitre 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
C.2.3 Exemples du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144´
Ñ
Table des figures
˙1.1 Ellipso¨ıde qui“touche”la courbe V(x)= 0. . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2 Estimation petite par rapport `a la r´egion d’attraction de l’origine. . . 13
˙1.3 Ensembles touchant les courbes V = 0 donnant une ERA pour l’ori-
gine : E (vert) et E (rouge) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 2
˙1.4 Ellipsoıde qui“touche”l’ensemble V(x)= 0. . . . . . . . . . . . . . . 16¨
3.1 Inclusion de l’ensemble polynomial E(P ) dans E(P ). . . . . . . . . 40b a
n ˙3.2 Lescourbesnoiresetvertescorrespondent`al’ensemble x∈ ;V(x)= 0
pour deux fonctions quadratiques V(x) diff´erentes, remarquons que le
˙vecteur V(x ) a un angle plus petit avec la droite reliant x `a l’ori-eq eqi
gine avec la deuxi`eme courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 ERAs ellipsoıdales du syst`eme (3.56) obtenues en optimisant la fonc-¨
tion Trace(P). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.4 ERAs ellipsoıdales du syst`eme (3.56). . . . . . . . . . . . . . . . . . 50¨
3.5 Ellipsoıde maximal obtenu avec la Corollaire 3.3 . . . . . . . . . . . 51¨
3.6 ERA obtenues avec les fonctions de degr´e 4 et de degr´e 2. . . . . . . 51
3.7 Ellipsoıde maximal obtenu avec le Corollaire 3.3 . . . . . . . . . . . 52¨
3.8 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 4 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.9 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 6 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.10 ERAs d´efinies par des fonctions de degr´e 8 obtenues en optimisant la
trace et un ensemble int´erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
˙3.11 Courbe V(x)= 0 (en noir) et ensemble maximal pour une fonction de
Lyapunov de degr´e 4 (en vert). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.12 Trajectoires du syst`eme (3.5) et ERA du point d’´equilibre x . . . . 55eq2
3.13 Estimation de la R´egion d’Attraction sous forme ellipsoidale de l’ori-
gine (3.5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1 Trajectoires de la boucle ouverte du syst`eme (4.72). . . . . . . . . . 76
4.2 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.72) avec la loi de commande
(4.73) et une ERA donn´ee par une fonction de degr´e 4. . . . . . . . . 77
viiviii TABLE DES FIGURES
4.3 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.72) avec la loi de commande
(4.74) et une ERA avec une fonction de degr´e 4. . . . . . . . . . . . 77
4.4 Estimations de la RA du syst`eme (4.75) avec des lois de commande
de diff´erents degr´es : en rouge g = 1 (`a l’int´erieur des deux autresu
ellipsoıdes), en noir g = 2 et en bleu g = 3 . . . . . . . . . . . . . . 79¨ u u
4.5 Trajectoires de la boucle ferm´ee de (4.75) avec la loi de commande
(4.78) et l’estimation de la RA sous forme ellipsoıdale. . . . . . . . . 79¨
5.1 Seule la dynamique de x est affect´ee par g(x,e,u). . . . . . . . . . . . 95
5.2 ERAs ellipso¨ıdales pour le syst`eme (5.87) avec respectivement u = 1,0
u = 0.5 et u = 0.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1050 0
5.3 Les courbes rouges indiquent la fronti`ere de l’ensemble S (u ). . . . . 1060 0
5.4 Trajectoiresdelaboucleferm´eede(5.89)avecl’entr´eesaturante u = 10
pour deux lois de commande donn´ees respectivement par (5.90) et
(5.91), et les ERA avec les fonctions de degr´e 4 obtenues dans le cha-
pitre pr´ec´edent. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.5 ERAs ellipsoıdales pour le syst`eme saturant avec respectivement les¨
lois lin´eaire et quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.6 Les estimations ellipso¨ıdales du syst`eme saturant avec les lois de com-
mande lin´eaire et quadratique et des trajectoires avec la loi de com-
mande lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
′5.7 Trajectoire `a partir de la condition initiale x =[0 − 0.5]. . . . . . . 1100
5.8 Evolutiondelavariable x pourlesyst`eme avec(courbesolide)etsans2
(courbe pointill´ee) le correcteur anti-windup. . . . . . . . . . . . . . 110
5.9 Evolution de la variable x du syst`eme avec (courbe solide) et sans2
(courbe pointill´ee) le correcteur anti-windup pour la condition initiale
′x =[0 0.31]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110l
l
´
b
l
b
Liste des tableaux
3.1 Pourcentage du volume de la RA obtenu avec l’estimation. . . . . . . 56 −1 n+n ′ −1c4.1 Valeurs de d´efinissant l’ERA E(P)= ∈ ; P ≤ . 81l l
⋆5.1 Valeurs de c d´efinissant une ERA sous la forme (5.92) pour diff´erents
seuils de saturation et diff´erentes lois de commande. . . . . . . . . . 108
5.2 Gains du correcteur anti-windup (5.51) pour diff´erents valeurs du
terme quadratique a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109q
ixx LISTE DES TABLEAUX´
S
µ
´

´
´
l
l
Notations
a×b Ensemble des matrices r´eelles de dimensions a par b
a Ensemble des vecteurs r´eels de dimension a
E(P ) Ensemble `a l’int´erieur d’une courbe de niveaur
de la fonction polynomiale d´efinie par la matrice Pr
E(P ) Ensemble de points sur la fronti`ere de E(P )r r
diag{M ,...,M} Matrice bloc-diagonale compos´ee par les blocs M1 t i
null(A) Noyau de la matrice A
Ensemble des polynˆomes somme des carr´es de degr´e rr
kxk Norme euclidienne du vecteur x
“proportionnel `a”
det(P) D´eterminant de la matrice P
Trace(P) Trace de la matrice P
n×nI ∈ Matrice identit´e de dimension nn
a×b0 ∈ Matrice de z´eros avec a lignes et b colonnesa×b
⌈n⌉ Le plus petit entier plus grand que n
⌊n⌋ Le plus grand entier plus petit que n
A⊗ B Produit de Kronecker entre les matrices A et B
dim(M) Rang de lignes de la matrice M
Re( ) La partie r´eelle de
xi