Aspects of confinement in QCD from lattice simulations [Elektronische Ressource] / put forward by Daniel Spielmann

Dissertationsubmitted to theCombined Faculties of the Natural Sciences and Mathematicsof the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germanyfor the degree ofDoctor of Natural Sciencesput forward byDipl.-Phys. Daniel Spielmann, M.A.born in HeidelbergOral examination: January 12, 2011Aspects of confinement in QCDfrom lattice simulationsReferees: Prof. Dr. Jan M. PawlowskiProf. Dr. Michael G. SchmidtAspekte des Confinement in der QCD aus GittersimulationenZusammenfassung. Wir untersuchen Confinement (Farbeinschluss) in der Quantenchromody-namik mittels numerischer Simulationen im Rahmen der Gittereichtheorie. In Landau-Eichung istderConfinement-Mechanismus durchdieGribov–Zwanziger- undKugo–Ojima-Szenarien mitdemInfrarotverhalten der Geist- und Gluonpropagatoren verbunden. Aus diesen Szenarien folgt einbestimmtes ‘Scaling’-Verhalten der Propagatoren. Funktionale Methoden im Kontinuum ergebensowohl dieses Verhalten als auch ‘Decoupling’-Lösungen, während Gitterrechnungen in drei undvier Dimensionen nur letztere bestätigen. Eine mögliche Erklärung für diese Diskrepanz bestehtin Eigenschaften der Eichfixierung. Daher erforschen wir in reiner SU(2)-Eichtheorie in zwei, dreiund vier Dimensionen mehrere Alternativen zu üblichen Eichfixierungsalgorithmen.
Publié le : samedi 1 janvier 2011
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Dissertation
submitted to the
Combined Faculties of the Natural Sciences and Mathematics
of the Ruperto-Carola University of Heidelberg, Germany
for the degree of
Doctor of Natural Sciences
put forward by
Dipl.-Phys. Daniel Spielmann, M.A.
born in Heidelberg
Oral examination: January 12, 2011Aspects of confinement in QCD
from lattice simulations
Referees: Prof. Dr. Jan M. Pawlowski
Prof. Dr. Michael G. SchmidtAspekte des Confinement in der QCD aus Gittersimulationen
Zusammenfassung. Wir untersuchen Confinement (Farbeinschluss) in der Quantenchromody-
namik mittels numerischer Simulationen im Rahmen der Gittereichtheorie. In Landau-Eichung ist
derConfinement-Mechanismus durchdieGribov–Zwanziger- undKugo–Ojima-Szenarien mitdem
Infrarotverhalten der Geist- und Gluonpropagatoren verbunden. Aus diesen Szenarien folgt ein
bestimmtes ‘Scaling’-Verhalten der Propagatoren. Funktionale Methoden im Kontinuum ergeben
sowohl dieses Verhalten als auch ‘Decoupling’-Lösungen, während Gitterrechnungen in drei und
vier Dimensionen nur letztere bestätigen. Eine mögliche Erklärung für diese Diskrepanz besteht
in Eigenschaften der Eichfixierung. Daher erforschen wir in reiner SU(2)-Eichtheorie in zwei, drei
und vier Dimensionen mehrere Alternativen zu üblichen Eichfixierungsalgorithmen.
Aus stochastischer Quantisierung erhalten wir ein Infrarotverhalten der Propagatoren im Ein-
klang mit Resultaten üblicher Eichfixierung auf dem Gitter, während das Spektrum des Faddeev–
Popov-Operators auf teils unterschiedliche Eigenschaften hinweist. Im Grenzfall starker Kopplung
stellen unsere Ergebnisse dagegen das bisherige Bild in Frage. Insbesondere finden wir in einer
nichtperturbativen Vervollständigung der Landau-Eichung eine so starke Wirkung der Gribov-
Ambiguität, dass kein Infrarotverhalten ausgeschlossen werden kann. Zudem untersuchen wir den
Gluonpropagator mit freien Randbedingungen. Erst auf großen Volumina resultiert weitgehend
das übliche Verhalten. Zum Vergleich implementieren wir nichtperiodische Eichtransformationen.
Darüber hinaus analysieren wir zwei Themen aus dem Bereich des QCD-Phasendiagramms.
Erstens untersuchen wir das Vorzeichenproblem für Fermionen auf dem Gitter, indem wir das
dreidimensionale Thirring-Modell mit einer komplexen Langevin-Gleichung simulieren. Der Al-
gorithmus erbringt ein ‘Silver Blaze’-Verhalten der Observablen, jedoch nicht die korrekte Position
des Übergangs zu einer Phase mit nichtverschwindender Dichte. Zweitens gelingt es uns, Eigen-
schaften des Deconfinement-Phasenübergangs der reinen SU(2)-Eichtheorie in 2+1 Dimensionen,
wie die kritische Temperatur, anhand des Gluonpropagators in Landau-Eichung zu bestimmen.
Aspects of confinement in QCD from lattice simulations
Abstract. We study confinement in quantum chromodynamics via numerical simulations in the
framework of lattice gauge theory. In Landau gauge, the mechanism of confinement is related to
the infrared behavior of the ghost and gluon propagators via the Gribov–Zwanziger and Kugo–
Ojima scenarios. These scenarios entail a scaling behavior. Functional methods in the continuum
allowbothforthisbehaviorandfordecouplingsolutions,whilelatticesimulationsinthreeandfour
dimensionsyieldonlythelatter. Apossibleexplanationforthismismatchisbasedonlimitationsof
standard lattice gauge fixing methods. Hence, we investigate a number of alternative gauge fixing
algorithms in pure SU(2) gauge theory in two, three and four dimensions.
We find that stochastic quantization yields an infrared behavior of the propagators in agree-
ment with the results of standard procedures, even though the Faddeev–Popov operator spectrum
indicates some different properties. In the strong-coupling limit, our results challenge the standard
picture. In particular, we find in a non-perturbative completion of Landau gauge an enormous
effect of the Gribov ambiguity. It entails that no subset of infrared solutions can be excluded yet.
Moreover, we study the gluon propagator with free boundary conditions. On large lattices, the
results mostly show the standard behavior. We also examine non-periodic gauge transformations.
Furthermore, we analyze two topics related to the phase diagram of QCD. First, we explore
the sign problem for fermions on the lattice by simulating the three-dimensional Thirring model
with a complex Langevin equation. The algorithm succeeds in yielding a ‘Silver Blaze’ behavior of
observables, but it does not reliably describe the onset to a phase with non-zero density. Second,
wedeterminepropertiesofthedeconfinement phasetransitionofpure SU(2) gaugetheoryin2+1
dimensions, like the critical temperature, by means of the gluon propagator in Landau gauge.CONTENTS
1 Introduction and outline 1
2 Infrared QCD and confinement 7
2.1 Continuum QCD in a nutshell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.1 Action and gauge symmetry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.1.2 Gauge fixing and the Faddeev–Popov method . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 Confinement and infrared Yang–Mills propagators . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.1 The notion of confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.2 Infrared propagators in Landau gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.3 Confinement scenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2.4 More on the relation of the infrared behavior to confinement . . . . . 26
2.3 Lattice gauge theory . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3.2 Gauge fixing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.4 Physical units and the quark–antiquark potential . . . . . . . . . . . . 40
2.4 Lattice and continuum results for the infrared propagators . . . . . . . . . . . 43
2.4.1 Previous lattice results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Gauge fixing problem and relation to continuum results . . . . . . . . 46
3 Stochastic quantization and a toy model 48
3.1 Introduction to stochastic quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.1 Basic concepts and Langevin equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.1.2 Formulations and applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
3.2 A toy model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2.2 Details and numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
viiviii Contents
4 Lattice Landau gauge with stochastic quantization 59
4.1 Introduction and motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Stochastic gauge fixing on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Preliminaries and continuum formulation . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.2 Closer look at the lattice formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
4.3 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.1 Gluon and ghost propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.3.2 Faddeev–Popov operator spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.3.3 Further observations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
5 Strong-coupling limit 92
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.1.2 Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.2.2 Gluon and ghost propagators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.2.3 Effective running coupling in various dimensions . . . . . . . . . . . . 104
5.2.4 Discretization effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
5.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
6 Gribov ambiguity at strong coupling 110
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
6.1.2 Non-perturbative completions of Landau gauge . . . . . . . . . . . . . 111
6.1.3 Landau max-B gauge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.1 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.2.2 Further issues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
6.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
7 Free boundary conditions 126
7.1 Motivation and implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.1 Introductory remarks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
7.1.2 A closer look . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
7.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.1 Strong-coupling limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
7.2.2 Finite coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
7.3 Non-periodic gauge transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.1 Implementation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
7.3.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
7.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140Contents ix
8 Deconfinement transition at non-zero temperature 141
8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
8.1.2 Non-zero temperature on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.2 Numerical results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2.1 Preliminaries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
8.2.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
8.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
9 Sign problem and stochastic quantization 158
9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.1 Non-zero density and the sign problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.1.2 Complex stochastic quantization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
9.2 Thirring model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
9.2.2 Preliminaries to numerical studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
9.2.3 Results of numerical studies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
9.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
10 Conclusions 186
10.1 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
10.1.1 Infrared propagators and confinement scenarios . . . . . . . . . . . . . 186
10.1.2 Further results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
10.1.3 Most concise listing of the main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
10.2 Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A Notation and conventions 193
A.1 Generalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
A.2 Some group-theoretical notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B Issues of implementation 197
B.1 Markov chain Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
B.2 Gauge fixing on the lattice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
B.3 Ghost propagator calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
B.4 Parallelization procedure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
C Miscellaneous results 214
C.1 Discretization effects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
C.2 On the Faddeev–Popov spectrum at imperfect gauge fixing . . . . . . . . . . 224
C.3 Propagators at weak coupling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
List of figures 227
Bibliography 231
Acknowledgments (in German) 264

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