Comportement asymptotique des solutions du problème de Cauchy-Dirichlet généralisé pour des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses, Large time behavior of solutions of a generalized Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations

De
Publié par

Sous la direction de Guy Barles, Olivier Ley
Thèse soutenue le 17 juin 2010: Tours
Cette thèse, constituée de trois grandes parties, a pour objet l’étude générale ducomportement, en temps grands, de l’unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet pour deséquations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques. Après un bref rappeldes notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui constitue le cadre de ce travail, lapremière partie établit des résultats sur l’existence globale en temps et l’unicité de la solution deviscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet. La deuxième partie s’intéresse au comportement decette solution pour des Hamiltoniens sur quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nousprouvons que le comportement de la solution dépend du signe de l’unique constante ergodiquec du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d’état. Lorsquec∗ < 0; nous obtenons (i) une convergence vers l’unique solution du problème stationaire associétandis que lorsque c∗ ≥ 0; nous obtenons (ii) un comportement de type Hamilton-Jacobi (ou detype ergodique) se produit. Dans la troisième partie, consacrée à l’étude pour des Hamiltonienssous-quadratiques, nous montrons qu’il se produit un comportement de type (i) lorsque l’uniqueconstante ergodique c∗; du problème ergodique associé à des conditions aux limites de typeexplosives, est strictement négative et lorsque c∗ > 0 et 3/2< m ≤ 2; un comportement de type(ii) se produit, où m représente l’exposant du terme en gradient. Mais lorsque c∗ = 0 ou c∗ > 0et 1 < m ≤ 3/2; nous prouvons que pour certains domaines, la fonction u(x; t) + c∗t n’est pasminorée où u est la solution des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses étudiées, produisantainsi un résultat de non-convergence.
-Estimations de type Hölder
-Estimations de type Lipschitz
The main goal of this thesis is the general study of the large time behavior of theunique solution of the Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi equations of subandsuperquadratic types. This work splits into three parts. After a brief review of basic conceptsof the theory on the viscosity solutions which is the framework of this work, the first part mainlyprovides results on the global in time existence and the uniqueness of the viscosity solution of theabove mentioned Cauchy-Dirichlet problem. The second part studies the large time behavior ofthat solution for superquadratic Hamiltonians. Under rather general assumtions, we prove thatthe behavior of the solution depends on the the sign of the unique ergodic constant c∗ of theergodic problem associated with boundary condition of state constraint-type. When c∗ < 0; weobtain (i) a convergence to the unique solution of the associated stationary problem whereaswhen c∗ ≥ 0; we obtain (ii) a behavior of Hamilton-Jacobi–type (or ergodic-type) happen.In thethird part, devoted to the study for subquadratic Hamiltonians, we prove that a behavior of(i)-type happens when the unique ergodic constant c∗; of the ergodic problem associated withblow-up boundary condition, is non-positve and when c∗ > 0 and 3/2 < m ≤ 2; we obtain abehavior of (ii)-type. But when c∗ = 0 ou c∗ > 0 et 1 < m ≤ 3/2; we prove that for some domains,the function u(x; t)+c∗t is unbounded from below where u is the solution of the studied viscousHamilton-Jacobi, thus providing us with a result of non-convergence.
Source: http://www.theses.fr/2010TOUR4007/document
Publié le : lundi 31 octobre 2011
Lecture(s) : 52
Nombre de pages : 156
Voir plus Voir moins

UNIVERSITÉ FRANÇOIS-RABELAIS
TOURS
ÉCOLE DOCTORALE SANTÉ, SCIENCES ET TECHNOLOGIES
LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUE THEORIQUE
THÈSE présentée par :
Thierry Wilfried TABET TCHAMBA
soutenue le : 17 Juin 2010
pour obtenir le grade de :
Docteur de l’Université François-Rabelais
Discipline :Mathématiques
Comportement asymptotique des solutions du problème de
Cauchy-Dirichlet généralisé pour des équations de
Hamilton-Jacobi visqueuses.
THÈSE dirigée par :
M.BARLES Guy Professeur, Université François-Rabelais, Tours
M.LEY Olivier INSA de Rennes
RAPPORTEURS :
M.ISHII Hitoshi Professeur, Université de Waseda, Japon
M.SOUPLET Philippe Université Paris XIII
JURY :
M.BARLES Guy Professeur, Université François-Rabelais, Tours
M.DOSSACOSSY Marcel Université de Yaoundé 1, Cameroun
M.ISHII Hitoshi Professeur, Université de Waseda, Japon
M.KAVIAN Otared Université de Versailles Saint-Quentin
M.LEY Olivier Professeur, INSA de Rennes
M.NOVAGA Matteo Université de Padova, Italie
M.QUITTNER Pavol Professeur, Université Comenius, Slovaquie
M.SOUPLET Philippe Université Paris XIIIComportement asymptotique des solutions du
problème de Cauchy-Dirichlet généralisé pour des
équations de Hamilton-Jacobi visqueuses
Résumé
Cettethèse,constituéedetroisgrandesparties,apourobjetl’étudegénéraleducompor-
tement, en temps grands, de l’unique solution du problème de Cauchy-Dirichlet généralisé
pour des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses de type sur et sous quadratiques.
Après un bref rappel des notions de base de la théorie sur les solutions de viscosité qui
constitue le cadre de ce travail, la première partie établit des résultats sur l’existence glo-
bale en temps et l’unicité de la solution de viscosité dudit problème de Cauchy-Dirichlet.
La deuxième partie s’intéresse au comportement de cette solution pour des Hamilto-
niens sur-quadratiques. Sous des hypothèses très générales, nous prouvons que le compor-
tement de la solution dépend du signe de l’unique constante ergodique c du problème
ergodique associé à des conditions aux limites de type contrainte d’état. Lorsque c < 0;
nous obtenons (i) une convergence vers l’unique solution du problème stationaire associé
tandis que lorsque c 0; nous obtenons (ii) un comportement de type Hamilton-Jacobi
se produit.
Dans la troisième partie, consacrée à l’étude pour des Hamiltoniens sous-quadratiques,
nous montrons qu’il se produit un comportement de type (i) lorsque l’unique constante er-
godiquec ; du problème ergodique associé à des conditions aux limites de type explosives,
3est strictement négative et lorsque c > 0 et <m 2; un comportement de type (ii) se 2
produit où m représente l’exposant du terme en gradient. Mais lorsque c = 0 ou c > 0
3et 1 < m ; nous prouvons que pour certains domaines, la fonction u(x;t) +c t n’est2
pas minorée où u est la solution des équations de Hamilton-Jacobi visqueuses étudiées,
produisant ainsi un résultat de non-convergence.
Mots clés. Comportement asymptotique, Equations de Hamilton-Jacobi visqueuse, Pro-
blèmes de Cauchy Dirichlet généralisé, Problème ergodique, Problème de contraintes
d’état, Principe du maximum fort, Estimations de type Hölder et Lipschitz, Solutions
de viscosité.
iiiLarge time behavior of solutions of a generalized
Cauchy-Dirichlet problem for Viscous Hamilton-Jacobi
equations
Abstract
The main goal of this thesis is the general study of the large time behavior of the
unique solution of the generalized Cauchy-Dirichlet problem for viscous Hamilton-Jacobi
equations of sub-and superquadratic types. This work splits into three parts.
After a brief review of basic concepts of the theory on the viscosity solutions which is
the framework of this work, the first part mainly provides results on the global in time
existence and the uniqueness of the viscosity solution of the above mentioned Cauchy-
Dirichlet problem.
The second part studies the large time behavior of that solution for superquadratic
Hamiltonians. Under rather general assumtions, we prove that the behavior of the solu-
tion depends on the the sign of the unique ergodic constant c of the ergodic problem
associated with boundary condition of state constraint-type. When c < 0; we obtain (i)
a convergence to the unique solution of the associated stationary problem whereas when
c 0; we obtain (ii) a behavior of Hamilton-Jacobi–type (or ergodic-type) happen.
In the third part, devoted to the study for subquadratic Hamiltonians, we prove that a
behavior of (i)-type happens when the unique ergodic constant c ; of the ergodic problem
3associated with blow-up boundary condition, is non-positve and when c > 0 and < 2
3m 2; we obtain a behavior of (ii)-type. But when c = 0 ou c > 0 et 1 < m ; we 2
prove that for some domains, the function u(x;t) +c t is unbounded from below where u
is the solution of the studied viscous Hamilton-Jacobi, thus providing us with a result of
non-convergence.
Keywords : Large time behavior, Viscous Hamilton-Jacobi equations, Generalized Cau-
chy Dirichlet problems, Ergodic problem, State constraints problem, Strong maximum
principle, Hölder and Lipschitz estimates, Viscosity solutions.
iiiivTable des matières
1 Introduction Générale 1
1 Présentation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Approche par les solutions classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Résolution de l’équation de H-J visqueuse . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Approche par les solutions de viscosité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Le problème de Cauchy-Dirichlet généralisé . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Le stationnaire “limite” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Notion d’ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Le problème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Comportement pour des temps grands . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2 A Viscous Hamilton-Jacobi Equation 21
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2 The Viscosity Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2 Stability Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Boundary Conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 Generalized Dirichlet Boundary Conditions . . . . . . . . 34
2.3.2 State Constraints . . . . . . . . . . 40
3 The Model Equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1 Basic statements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.2 Uniqueness Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2.1 The subquadratic Hamiltonians . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.2 The superquadratic . . . . . . . . . . . . . . 54
3.2.3 Discontinuities and boundary conditions . . . . . . . . . . 65
3.3 Existence Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 LargeTimeBehaviorofSolutionsofViscousHamilton-JacobiEquations
with Superquadratic Hamiltonians 73
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
vvi Table des matières
2 Preliminaries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.1 Comparison and existence results for a nonlinear parabolic problem. 79
2.2 Principle for a stationary problem . . . . . . . . . . . . 81
2.3 The Strong Maximum Principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2.4 When is the stationary Dirichlet problem solvable? . . . . . . . . . 84
3 The stationary ergodic problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4 Large time convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.1 The case where the initial data is smooth . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.1.1 The case where either > 0 or the ergodic constant is
non-positive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
4.1.2 The case where the ergodic constant is non-negative . . . 98
4.1.3 The case where the ergodict is zero . . . . . . . . 101
4.2 The general case : the initial data is continuous . . . . . . . . . . . 102
4 On the Large Time Behavior of Solutions of the Dirichlet problem for
Subquadratic Viscous Hamilton-Jacobi Equations 105
1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2 On the Stationary Ergodic and Dirichlet Problems . . . . . . . . . . . . . . 109
3 Asymptotic Behavior for the Parabolic Problem . . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1 Convergence to the Solution of the Stationary Dirichlet Problem . . 116
u(x;t)
3.2 Convergence of . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
t
3.3 Conv to the Stationary Ergodic Problem . . . . . . . . . . . 118
4 The Non-Convergence Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
5 Appendix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
Bibliographie 138Chapitre 1
Introduction Générale
Contents
1 Présentation générale du problème . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Approche par les solutions classiques. . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1 Résolution de l’équation de H-J visqueuse . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 Approche par les solutions de viscosité . . . . . . . . . . . . . 7
3.1 Le problème de Cauchy-Dirichlet généralisé . . . . . . . . . . . 7
3.2 Le problème stationnaire “limite” . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2.1 Notion d’ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.2.2 Le problème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 Comportement pour des temps grands . . . . . . . . . . . . . . 17
16
2 1. Présentation générale du problème
1 Présentation générale du problème
Ce travail présente les résultats obtenus à la suite de l’étude systématique du com-
portement asymptotique, pour t! +1; de l’unique solution de viscosité du problème
de Cauchy-Dirichlet pour l’équation de Hamilton-Jacobi (H-J) avec terme de diffusion
suivante :
@u mu +jDuj =f dans
(0; +1): (1.1.1)
@t
La solution u de (1.1.1), souvent appelée “équation de Hamilton-Jacobi visqueuse", est
une fonction à valeur réelle définie sur
[0;T ]; Du représente le gradient de u et u
2représente le laplacien de u; c’est à dire la trace de la matrice hessienne D u de u:
A l’équation (1.1.1), nous associons la donnée initiale (Cauchy) suivante :
u(; 0) =u () sur
(1.1.2)0
et la donnée au bord (Dirichlet) suivante :
u =g sur @
(0; +1): (1.1.3)
Afin d’étudier ledit comportement, nous imposons des hypothèses très générales sur les
données du problème (1.1.1)–(1.1.3) en l’occurence : (i) l’ensemble
est un ouvert borné
Net régulier deR ; (ii) le paramètrem est un réel strictement supérieur à 1; (iii) le second
membre f est une fonction continue sur
[0; +1); (iv) la condition initiale u est0
une fonction continue sur ; (v) la condition au bord g est une fonction continue sur
@
[0; +1):
L’équationnon-linéaireauxdérivéespartielles(1.1.1)intervientenphysique,oùelleest
connue sous le nom de l’équation Kardan-Parisi-Zhang (KPZ) déterministe généralisée,
notamment dans l’étude des modèles liés à la croissance des surfaces. Nous renvoyons le
lecteur aux travaux de Kardan, Parisi & Zhang [KPZ86] et de Krug & Spohn [KS88] pour
de plus amples informations dans cette direction.
De prime abord, il est légitime de se poser la question de savoir si le problème (1.1.1)–
(1.1.3) est bien posé. Barles et Da Lio [BDL04] apporte une réponse positive à ce sujet
en montrant l’existence et l’unicité d’une solution de viscosité continue de (1.1.1)–(1.1.3)
sous les hypothèses (i), (iv), (v), m> 0 et dans le cas f = 0: Dans le chapitre 2 de cette
thèse, nous montrerons que ce résultat d’existence et d’unicité reste valable même lorsque
f = 0 en considérant un opérateur plus général que le Laplacien. Plusieurs travaux pré-
cédant [BDL04] ont étudié l’existence de solutions régulières pour (1.1.1)–(1.1.3), menant
à des résultats d’existence (pour des temps courts) et d’unicité sous d’hypothèses plus
restrictives sur les donnéesf;u etg: Ceci est clairement détaillé dans le livre de Quittner0
& Souplet [QS07].
Ensuite, il est naturel de penser que la solution u(x;t) du problème (1.1.1)–(1.1.3),
lorsqu’elle existe, va se comporter de la manière suivante :
u(x;t) =u(x) +o (1) pour tout x2
(1.1.4)t

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.

Diffusez cette publication

Vous aimerez aussi