Contribution à la formulation symétrique du couplage équations intégrales - éléments finis : application à la géotechnique, Contributing to the symmetric formulation of the coupling integral equations - finite elements : application to the geotechnics

De
Publié par

Sous la direction de Guy Bonnet
Thèse soutenue le 17 septembre 2010: Paris Est
Un des outils numériques les plus utilisés en ingénierie est la méthode des éléments finis, qui peut être mise en o euvre grâce à l'utilisation de nombreux codes de calcul. Toutefois, une difficulté apparaît lors de l'utilisation de la méthode des éléments finis, spécialement en géotechnique, lorsque la structure étudiée est en interaction avec un domaine de dimensions infinies. L'usage courant en ingénierie est alors de réaliser les calculs sur des domaines bornés, mais la définition de la frontière de tels domaines bornés pose de sérieux problèmes. Pour traiter convenablement les problèmes comportant des frontières à l'infini, l'utilisation d'éléments discrets infinis est maintenant souvent délaissée au profit de la méthode des équations intégrales ou méthode des éléments de frontière qui permet de résoudre un système d'équations aux dérivées partielles linéaire dans un domaine infini en ne maillant que la frontière du domaine à distance finie. La mise en oeuvre du couplage entre la méthode des éléments finis et la méthode des éléments de frontière apparaît donc comme particulièrement intéressante car elle permet de bénéficier de la flexibilité des codes de calcul par éléments finis tout en permettant de représenter les domaines infinis à l'aide de la méthode des éléments de frontière. La méthode est basée sur la construction de la matrice de raideur du domaine infini grâce à l'utilisation de la méthode des équations intégrales. Il suffit alors d'assembler la matrice de raideur du domaine infini avec la matrice de raideur du domaine fini représenté par éléments finis. L'utilisation de la méthode la plus simple de traitement des équations intégrales, dite méthode de « collocation » conduit à une matrice de raideur non-symétrique. Par ailleurs, la méthode dite «Singular Galerkin» conduit à une formulation symétrique, mais au prix du calcul d'intégrales hypersingulières. La thèse porte sur une nouvelle formulation permettant d'obtenir une matrice de raideur symétrique sans intégrales hypersingulières, dans le cas de problèmes plans. Quelques applications numériques sont abordées pour des problèmes courants rencontrés en géotechnique
-Équations intégrales
-Éléments finis
-Géotechnique
-Formulation symétrique
-Valeurs propres
-Matrice de raideur
One of the most used numerical tools in engineering is the finite element method, which can be implemented through the use of many computer codes. However, a difficulty arises when using the finite element method, especially in geotechnical engineering, where the structure is studied in interaction with a field of infinite dimensions. The commonly used in engineering is then performming the calculations on bounded domains, but the definition of the border of the domain also poses serious problems. To properly solve the problems which have the boundary at infinity, the use of discrete elements infinite is now often neglected in favor of the integral equations method or boundary element method, which allows to solve a linear partial differential equations system in an infinite domain by the discretization of the only boundary of the domain at finite distance. The implementation of coupling between the finite element method and boundary element method is therefore particularly interesting because it allows to benefit the flexibility of computer codes by the finite element method, while the infinite domains is represented by the help of the integral equations method. It is sufficient to assemble the stiffness matrix of infinite domain with the stiffness matrix of finite domain represented by finite elements. Using the simplest method of treatment of integral equations, known as method of collocation leads to a non-symmetric stiffness matrix. Furthermore, a method known “Galerkin Singular” leads to a symmetric formulation, but it is at the cost of computing hypersingular integrals. The thesis focuses on a new formulation to obtain a symmetric stiffness matrix without full hypersingular, in the case of plane problems. Some numerical applications are discussed for common problems encountered in geotechnical engineering
-Integral equations
-Finite elements
-Geotechnics
-Symmetric formulation
-Eigenvalues
-Stiffness matrix
Source: http://www.theses.fr/2010PEST1081/document
Publié le : lundi 31 octobre 2011
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Ecole Doctorale ”Sciences, Ingenierie´ et Environnement”
Laboratoire de Modelisation´ et Simulation Multi Echelle MSME (CNRS, UMR 8208)
Equipe de Mecanique´
These` de Doctorat present´ ee´ pour obtenir le grade de
Docteur de l’Universite´ Paris Est
Specialit´ e´ : Mecanique´
Present´ ee´ et soutenue publiquement le 17 Septembre 2010 par
Minh Tuan NGUYEN
CONTRIBUTION A LA FORMULATION SYMETRIQUE
DU COUPLAGE EQUATION INTEGRALE - ELEMENTS FINIS.
APPLICATION A LA GEOTECHNIQUE.
Directeurs de these`
Guy BONNET et Duc Chinh PHAM
Jury :
F.Z. QIANG Universite´ d’Evry
A. CORFDIR Universite´ Paris Est. Ecole des Ponts ParisTech
D.H. NGUYEN Universite´ de Liege,` Belgique
Q.S. Ecole Polytechnique
D.C. PHAM Institut de Mecanique,´ Hanoi,Vietnam
´G. BONNET Universite Paris Est
1
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Remerciements
Ce travail a et´ e´ realis´ e´ dans le Laboratoire de Modelisation´ et Simulation Multi Echelle MSME (CNRS,
URM 8208) de l’Universite´ Paris Est Marne la Vallee,´ dirige´ par Monsieur Christian SOIZE.
Je voudrais adresser mes premiers remerciements a` mon directeur de these,` Monsieur Guy BONNET. Je
tiens sincerement` a` lui exprimer toute ma reconnaissance pour tous les conseils et suggestions qu’il m’a
apportes´ lors de la direction de ma these.`
J’exprime eg´ alement ma reconnaissance a` Monsieur Duc Chinh PHAM pour sa participation a` la di
rection de ma these.` Je tiens a` remercier Messieurs Dang Hung NGUYEN et Zhi Qiang FENG d’avoir
accepte´ de rapporter sur mon memoire´ de these,` ce qui n’est pas un travail si facile.
Je remercie Monsieur Quoc Son NGUYEN d’avoir examine´ ce travail et de m’avoir fait l’honneur de
presider´ le jury de cette these.`
Je remercie eg´ alement Monsieur Alain CORFDIR d’avoir et´ e´ membre du jury et d’avoir examine´ mon
travail tout au long de ma these.`
Je voudrais adresser mes remerciements a` tous les membres du Laboratoire de Modelisation´ et Simula
tion Multi Echelle MSME (CNRS, URM 8208) de l’Universite´ Paris Est Marne la Vallee,´ pour leurs
conseils, leurs competences´ ou leur amitie´ ; ils m’ont et´ e´ d’un grand secours dans les moments parfois
difficiles rencontres´ tout au long de ma these.`
Je tiens eg´ alement a` exprimer du fond du coeur, ma reconnaissance a` mes parents, les membres de
ma famille et mes amis, qui m’offrent toujours un appui par leur soutien et leurs encouragements. En
particulier, a` ma femme Thien Huong et a` ma fille Ngoc Le : apres` les separations´ de longue haleine,
nous retrouvons le goutˆ veritable´ de la vie familiale. Merci de m’avoir soutenu, encourage.´ Merci aussi
pour toute la patience et l’amour qu’elles m’ont apportes.´
Enfin, les remerciements ci dessus ne sont qu’une petite partie des mots que je veux exprimer, je garde
le reste dans mon coeur.
2
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Table des matier` es
Introduction 11
´1 Equation integrale, el´ ements´ de frontier` e et couplage avec les el´ ements´ finis 14
1.1 Gen´ eralit´ es´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
´1.1.1 Equation integrale´ pour un operateur´ scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.1.2 Operateur´ de l’elasticit´ e´ lineaire´ et probleme` aux limites . . . . . . . . . . . . . 15
´ ` ´ ´ ´ ´ ´1.2 Theoreme de reciprocite et solution elementaire pour l’elastostatique . . . . . . . . . . . 16
1.2.1 Theor´ eme` de reciprocit´ e´ de Maxwell Betti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2.2 Solutions el´ ementaires´ de l’elasticit´ e´ lineaire´ isotrope . . . . . . . . . . . . . . . 17
´ ´1.3 Formules de representation integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.1 Probleme` interieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
´1.3.2 Equation integrale´ regularis´ ee´ en deplacement´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Probleme` exterieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4 Methode´ des el´ ements´ de frontiere` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.1 Principe de la methode´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.4.2 Discretisation´ des inconnues, construction et resolution´ numerique´ du probleme`
discretis´ e´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.5 Couplage el´ ements´ finis el´ ements´ de frontiere` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.1 Position du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.5.2 Procedure´ de couplage a` l’aide du logiciel CESAR LCPC . . . . . . . . . . . . 28
2 Couplage el´ ement´ finis el´ ements´ de frontier` e et fonctions de Green modifiees´ 29
2.1 Resultats´ anterieurs´ sur la validite´ de l’equation´ integrale´ pour le probleme` plan exterieur´ 30
2.2 Formulation ener´ getique´ et construction de la matrice de raideur de frontiere` . . . . . . . 31
2.3 Mise en oeuvre pour un demi plan par tenseur de Green classique . . . . . . . . . . . . 33
2.3.1 Solutions el´ ementaires´ de Green pour un demi plan . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.3.2 Construction des matrices[H] et[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.3 Calcul des integrales´ el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.3.4 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 43
2.4 Analyse de la non positivite´ de la matrice de raideur et construction des fonctions de
Green modifiees´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.1 Discussion sur la non positivite´ de la matrice de raideur a` partir de solutions
physiques pour l’equation´ de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.4.2 Obtention d’une solution physique par un choix convenable de solution singuliere` 45
2.4.3 Fonctions de Green et tenseur de Green modifies´ pour quelques problemes` plans 46
2.4.4 Verification´ de la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . 48
2.5 Mise en oeuvre pour un demi plan par fonctions de Green ”modifiees”´ . . . . . . . . . . 49
2.5.1 Fonctions de Green ”modifiees”´ pour un demi plan . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.2 Construction des matrices[H];[G] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.5.3 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 50
2.6 Mise en oeuvre pour un plan entier avec le tenseur de Green modifie´ . . . . . . . . . . . 50
´2.6.1 Tenseur de Green modifie pour un plan entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.2 Calcul des integrales´ el´ ementaires´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.6.3 Test sur la positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . 52
2.7 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.1 Massif soumis a` une pression uniforme en surface . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.7.2 Cavite´ circulaire soumise a` une pression uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3 Couplage el´ ement´ finis el´ ements´ de frontier` e par formulation ener´ getique´ symetrique´ 69
3.1 Formulation ener´ getique´ symetrique´ - cas de l’elasticit´ e´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1 Formulation de l’apport d’ener´ gie induit par un champ de deplacement´ . . . . . 70
3.1.2 Discretisation´ de l’apport d’ener´ gie et construction de la matrice de raideur . . . 72
3.2 Mise en oeuvre de la formulation ener´ getique´ symetrique´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.1 Fonctions de Green ”modifiees”´ pour un plan entier . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.2 Construction des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2.3 Test de positivite´ de la matrice de raideur d’un modele` simple . . . . . . . . . . 87
3.3 Exemples d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.3.1 Comportement elastique´ lineaire´ isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.3.2 elastoplastique´ de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
Conclusion et perspectives 93
A Mise en oeuvre du progiciel CESAR LCPC 95
4
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011B Quelques formules utilisees´ dans le calcul des integrales´ 97
´ ´References 98
5
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Table des figures
1.1 Domaine d’etude´ › et domaine auxiliaire(E) servant a` definir´ U(x,y). . . . . . . . . . . 17
1.2 Demi plan : notations geometriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19´ ´
1.3 Voisinage d’exclusionv (x) et notations utilisees´ pour le passage a` la limite. . . . . . . 21"
1.4 Domaine› pour le passage a` la limiter¡!1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22R
1.5 Maillage des el´ ements´ finis el´ ements´ de frontier` e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1 Geom´ etrie´ du probleme` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Geom´ etrie´ du probleme` et notations pour la solution analytique. . . . . . . . . . . . . . 53
2.3 Chargement sur une fondation superficielle. Maillage des el´ ements´ finis utilise´ pour les
calculs numeriques.´ Les el´ ements´ de frontier` e sont appliques´ sur les bords verticaux et
sur le bord horizontal inferieur´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.4 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Contrainte verticale
au droit de l’axe de symetrie´ en fonction de la distance a` la surface. Influence de la
dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.5 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de
la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.6 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal relatif des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.7 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Contrainte verticale
au droit de l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une
dimension caracteristique´ (a=120m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.8 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastique´ . Deplacement´ verti
cal relatif sur la surface. Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une dimen
sion caracteristique´ (a=120m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
6
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.9 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Contrainte
verticale au droit de l’axe de symetrie´ en fonction de la distance a` la surface. Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.10 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deplacement´
vertical des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence
de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.11 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deplacement´
vertical relatif des points de la surface en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Influence de la dimension caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.12 Chargement sur une fondation superficielle souple sur sol elastoplastique´ . Deformation´
plastique sur l’axe de symetrie´ en fonction de la profondeur. Influence de la dimension
caracteristique´ a sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.13 Maillage utilise´ pour les calculs numeriques´ dans le cas d’une cavite´ circulaire. . . . . . 61
2.14 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Contrainte radiale en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de la dimension caracteristique´ a
sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.15 Cas d’une cavite circulaire sous pression dans un sol elastique. Deplacement radial en´ ´ ´
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Influence de la dimension caracteristique´ a
sur la reponse´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.16 Cas d’une cavite circulaire sous pression dans un sol elastique. Contrainte radiale en´ ´
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et
la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
2.17 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Calcul de la contrainte
radiale. Ecart relatif par rapport au modele` theorique´ pour une dimension caracteristique´
(a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.18 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ relatif en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et
la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.19 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ relatif en
fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele` theorique´
pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.20 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte radiale
en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´
et la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
7
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20112.21 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte ra
diale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.22 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´
radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution
theorique´ et la solution numerique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.23 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´ ra
dial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ pour une dimension caracteristique´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.24 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deformation´ plas
tique en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Contrainte radiale en fonction de
la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les resultats´
numeriques (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88´
3.2 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ sur la contrainte radiale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Com
paraison entre les resultats numeriques (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88´ ´
3.3 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Deplacement´ radial en fonction de
la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les resultats´
numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastique´ . Ecart relatif par rapport au modele`
theorique´ sur le deplacement´ radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ . Com
paraison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.5 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Contrainte radiale en fonc
tion de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les
resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.6 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Ecart relatif par rapport au
modele` theorique´ sur la contrainte radiale en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Comparaison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deplacement´ radial en fonc
tion de la distance a` l’axe de symetrie´ . Comparaison entre la solution theorique´ et les
resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.8 Cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Ecart relatif par rapport au
modele` theorique´ sur le deplacement´ radial en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ .
Comparaison entre les resultats´ numeriques´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 20113.9 Cas d’une cavite´ circulaire sous pression dans un sol elastoplastique´ . Deformation´ plas
tique en fonction de la distance a` l’axe de symetrie´ (a=100m). . . . . . . . . . . . . . . 92
9
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011Liste des tableaux
2.1 Matrice de raideur pour un domaine ouvert carre´ plan elastique´ et ses valeurs propres. . 43
2.2 Matrice de raideur pour l’equation de Laplace dans un domaine carre plan et ses valeurs´ ´
propres, pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.3 Matrice de raideur pour l’equation´ de Laplace dans un domaine carre´ plan et ses valeurs
propres, pour une longueur caracteristique´ a=1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.4 Matrice de raideur pour un domaine elastique´ carre´ plan non ferme´ et ses valeurs
propres, pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.5 Matrice de raideur pour un domaine elastique´ carre´ plan ferme´ et ses valeurs propres,
pour une longueur caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.1 Domaine plan carre´ elastique´ . Matrice de raideur obtenue par formulation symetrique´
et ses valeurs propres pour une distance caracteristique´ a=100. . . . . . . . . . . . . . 87
10
tel-00607258, version 1 - 8 Jul 2011

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