Estimateurs fonctionnels récursifs et leurs applications à la prévision, Recursive functional estimators with application to nonparametric prediction

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Sous la direction de Delphine Blanke
Thèse soutenue le 06 décembre 2010: Avignon
Nous nous intéressons dans cette thèse aux méthodes d’estimation non paramétriques par noyaux récursifs ainsi qu’à leurs applications à la prévision. Nous introduisons dans un premier chapitre une famille d’estimateurs récursifs de la densité indexée par un paramètre ℓ ∈ [0, 1]. Leur comportement asymptotique en fonction de ℓ va nous amener à introduire des critères de comparaison basés sur les biais, variance et erreur quadratique asymptotiques. Pour ces critères, nous comparons les estimateurs entre eux et aussi comparons notre famille à l’estimateur non récursif de la densité de Parzen-Rosenblatt. Ensuite, nous définissons à partir de notre famille d’estimateurs de la densité, une famille d’estimateurs récursifs à noyau de la fonction de régression. Nous étudions ses propriétés asymptotiques en fonction du paramètre ℓ. Nous utilisons enfin les résultats obtenus sur l’estimation de la régression pour construire un prédicteur non paramétrique par noyau. Nous obtenons ainsi une famille de prédicteurs non paramétriques qui permettent de réduire considérablement le temps de calcul. Des exemples d’application sont donnés pour valider la performance de nos estimateurs
-Estimateurs récursifs à noyau
-Fonction de densité
-Fonction régression
-Prédicteurs non paramétriques
The aim of this thesis is to study methods of nonparametric estimation based on recursive kernel and their applications to forecasting. We introduce in the first chapter a family of recursive density estimators indexed by a parameter ℓ ∈ [0, 1]. We study their asymptotic behavior according to ℓ, and then we introduce criteria of comparison based on bias, variance and asymptotic quadratic error. For these criteria, we compare our estimators in terms of ℓ, and also compare our family to the non-recursive density estimator of Parzen-Rosenblatt. As for density, we define a family of recursive kernel estimators of regression function. We study its asymptotic properties according to the parameter ℓ. Finally, results of regression estimation are applied to define a family of nonparametric predictors that reduce considerably the computing time and examples of application are given to validate the performance of our methods
-Recursive kernel estimators
-Density funtion
-Regression function
-Nonparametric predictors
Source: http://www.theses.fr/2010AVIG0407/document
Publié le : jeudi 27 octobre 2011
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´ACADEMIE D’AIX-MARSEILLE
´UNIVERSITE D’AVIGNON ET DES PAYS DE VAUCLUSE
`THESE DE DOCTORAT
pr´esent´ee `a l’Universit´e d’Avignon et des Pays de Vaucluse
pour l’obtention du grade de Docteur
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
Option : Statistiques
Estimateurs fonctionnels r´ecursifs et leurs
applications `a la pr´evision
par
Aboubacar AMIRI
Soutenue publiquement le 6 d´ecembre 2010 devant un jury compos´e de :
M. A. Berlinet Professeur, Universit´e de Montpellier 2 Rapporteur
lleM .D. Blanke Professeur, Universit´e d’Avignon Directrice
M. D. Bosq Professeur, Universit´e Paris 6 Examinateur
meM .V. Maume-Deschamps Professeur, Universit´e Lyon 1 Examinatrice
M. P. Sarda Professeur, Universit´e Toulouse 3 Rapporteur
M. R. Senoussi Directeur de recherche, INRA Avignon Examinateur
´Ecole Doctorale ED 536 Sciences et Agrosciences
Laboratoire d’Analyse Non Lin´eaire et G´eom´etrie (EA 2151)
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011ii
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011Remerciements
Tout au long de mon parcours universitaire, et particuli`erement ces trois derni`eres
ann´ees, j’ai eu la chance de rencontrer des personnes formidables, sur qui j’ai pu compter
et qui m’ont aid´e `a r´ealiser ce travail. Je tiens `a les saluer et les remercier.
Jevoudrais,entoutpremierlieu,exprimermaprofondereconnaissance`amadirectrice
deth`ese,leprofesseurDelphineBlanke,d’avoiraccept´edem’initier`alarechercheetdiriger
ce travail. Comme tous ceux qui ont eu la chance d’ˆetre sous sa direction, j’ai pu constater
`a quel point elle est attachante, attentionn´ee et profond´ement gentille. Elle restera pour
moi un mod`ele, pour ses grandes comp´etences scientifiques, pour son exigence de la clart´e,
safranchiseetsesqualit´eshumaines.Jeluiadressemesremerciementslespluschaleureux,
d’avoir accept´e de me prendre sous son ail, pour tout ce qu’elle m’a appris et pour ses
encouragements. J’esp`ere dans l’avenir pouvoir transmettre ne serait-ce-qu’une partie de
tout ce qu’elle m’a appris, la meilleure fa¸con selon moi de lui rendre homage.
Je suis tr`es honor´e que les professeurs Alain Berlinet et Pascal Sarda aient accept´e de
rapporter cette th`ese. Je les remercie vivement pour le travail que cela leur a demand´e.
Leurs remarques pertinentes et leurs commentaires pr´ecieux m’ont permis de pr´eciser et
d’am´elioreruncertainnombredepoints.Les´echangesquenousavonspuavoiravecPascal
Sarda, lors de mon s´ejour en Allemagne, ainsi que lors de mon passage `a Toulouse ont ´et´e
particuli`erement enrichissants.
JeremerciechaleureusementlesprofesseursDenisBosqetV´eroniqueMaume-Deschamps,
ainsi que Rachid Senoussi deme fairel’honneur defaire partiede mon jury et d’avoir ainsi
accept´e de juger mon travail. Je suis particuli`erement sensible `a la pr´esence de monsieur
Bosq dans mon jury, qui m’a donn´e le goutˆ de la statistique non param´etrique lors de mon
passage `a Paris 6. Merci `a V´eronique Maume-Deschamps et Rachid Senoussi pour leurs
accueilschaleureux`al’ISFAet`al’INRA,ainsiquepourlesmultiples´echangesconstructifs
que j’ai eus avec l’une comme avec l’autre. J’adresse `a travers eux un salut aux´equipes de
l’ISFA (du plot 1 au plot 4) et du laboratoire BioSp pour leur chaleur et bonne humeur.
J’exprime mes remerciements sinc`eres `a Messieurs Philippe Bolle (Universit´e d’Avi-
iii
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011gnon),DenisAllard(INRAAvignon),AloisKneip(Universit´edeBonn)etPaulDeheuvels
(Universit´e Paris 6), d’avoir mis `a ma disposition les moyens mat´eriels, qui m’ont permis
de mener ce travail dans des bonnes conditions. Mes remerciements vont´egalement `a l’en-
droitdesprofesseursetmaˆıtresdeconf´erencesduLANLG,d’avoirfacilit´emoninstallation
auseindeleur´equipe.Jen’oubliepasnonpluslesprofesseursetmaˆıtresdeconf´erencesdu
LSTA d’avoir assur´e ma formation en Master, et d’avoir ´et´e pour moi des interlocuteurs
concern´es.
Je mesure la chance que j’ai eue d’ˆetre enseignant pendant 2 ans dans le d´epartement
STID de l’IUT d’Avignon et d’avoir ainsi fait parti d’une ´equipe aussi sympathique et
dynamique. Un´enormemerci `atous mesancienscoll`eguesnotamment Edith Gabriel pour
ses conseils et ses efforts permanents pour que je me sente bien au sein de l’´equipe.
Cette th`ese est financ´ee par le minist`ere fran¸cais des affaires ´etrang`eres, je tiens donc
`a remercier le service de coop´eration et d’action culturelle de l’ambassade de France `a
´Moroni d’avoir soutenu mon projet, ainsi qu’`a Egide d’avoir remarquablement facilit´e
mon installation en France.
`A mes amis et coll`egues qui m’ont soutenus et avec qui nous avons partag´e des mo-
ments inoubliables. Merci donc aux jeunes docteurs, pass´es ou `a venir, notamment : Ama-
dou, Ang´elique, Aur´elie, Boris, C´eline, Claire, Clara, Fran¸cois-Xavier, Kaouthar, Mehdi,
Mouna, Mohammed, Olivier, V´eronique, Walid.
Je salue la communaut´e comorienne d’Avignon, avec une pens´ee particuli`ere `a Abdal-
lah et sa femme, de m’avoir ouvert leur portes, sans oublier Samia, Asmahane, Ahmada
et les autres.
Que mes chers parents enfin, situ´es `a 10.000 kilom`etres d’ici, pour toute la curiosit´e `a
laquelle ils n’ont eu de cesse pour m’´eveiller, pour toute leur volont´e de vouloir me pousser
le plus loins possible dans mes ´etudes, pour tout ce qu’ils m’ont apport´e et que je ne
saurais leur rendre trouvent ici un bien modeste part de ma profonde reconnaissance!
Et enfin, un petit clin d’oeil `a Faou, qui a la lourde tache de supporter toujours mes
caprices. Merci pour ton soutien et ta patience.
iv
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011`A Mohamed, mon petit fr`ere disparu brusquement en 2002.
v
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011vi
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011R´esum´e
Nous nous int´eressons dans cette th`ese aux m´ethodes d’estimation non param´etriques
parnoyauxr´ecursifsainsiqu’`aleursapplications`alapr´evision.Nousintroduisonsdansun
premierchapitreunefamilled’estimateursr´ecursifsdeladensit´eindex´eeparunparam`etre
ℓ∈ [0,1]. Leur comportement asymptotique en fonction deℓ va nous amener `a introduire
des crit`eres de comparaison bas´es sur les biais, variance et erreur quadratique asympto-
tiques. Pour ces crit`eres, nous comparons les estimateurs entre eux et aussi comparons
notre famille `a l’estimateur non r´ecursif de la densit´e de Parzen-Rosenblatt. Ensuite, nous
d´efinissons `a partir de notre famille d’estimateurs de la densit´e, une famille d’estimateurs
r´ecursifs `a noyau de la fonction de r´egression. Nous ´etudions ses propri´et´es asymptotiques
enfonctionduparam`etreℓ.Nousutilisonsenfinlesr´esultatsobtenussurl’estimationdela
r´egressionpourconstruireunpr´edicteurnonparam´etriqueparnoyau.Nousobtenonsainsi
une famille de pr´edicteurs non param´etriques qui permettent de r´eduire consid´erablement
le temps de calcul. Des exemples d’application sont donn´es pour valider la performance
de nos estimateurs.
Abstract
The aim of this thesis is to study methods of nonparametric estimation based on
recursive kernel and their applications to forecasting. We introduce in the first chapter
a family of recursive density estimators indexed by a parameter ℓ ∈ [0,1]. We study
their asymptotic behavior according to ℓ, and then we introduce criteria of comparison
basedonbias,varianceandasymptoticquadraticerror.Forthesecriteria,wecompareour
estimatorsintermsofℓ,andalsocompareourfamilytothenon-recursivedensityestimator
of Parzen-Rosenblatt. As for density, we define a family of recursive kernel estimators of
regression function. We study its asymptotic properties according to the parameter ℓ.
Finally, results of regression estimation are applied to define a family of nonparametric
predictors that reduce considerably the computing time and examples of application are
given to validate the performance of our methods.
vii
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011viii
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011Lexique
Abr´eviations
p.s. presque surˆ ement.
i.i.d ind´ependantes et identiquement distribu´ees.
G.F.M. G´eom´etriquement Fortement M´elangeant.
E.Q.M. Erreur Quadratique Moyenne.
M.B. Mouvement Brownien.
B.C. Biais au Carr´e.
L.L.I. Loi du Logarithme It´er´e.
ix
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011Notations
1 Indicatrice sur A.A
◦A Int´erieur de l’ensemble A.
cA Compl´ementaire de A.
dλ Mesure de Lebesgue deR .d
σ(X) σ-alg`ebre des ´ev´enements engendr´es par X.
c(f) Ensemble de points de continuit´e de f.
f∗g Produit de convolution de f et g.
lim (resp.lim) Limite sup´erieure (resp. Limite inf´erieure).
k.k Norme infinie (ou norme sup).

k.k Norme L .22
⌊x⌋ partie enti`ere d’un r´eel x.
+ + +lnlnx est ´egale `a ln ln x avec ln x := lnmax(x,e).
+x est ´egale `a max(x,0).
Cste constante positive dont la connaissance de la valeur
exacte n’est pas importante.
x
tel-00565221, version 2 - 22 Apr 2011

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