Estimation des propriétés poromécaniques effectives des argilites : apport des méthodes d'homogénéisation, Estimate of the effective poromecanical proprerties of porous rocks : contribution of the methods of homogenization

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Sous la direction de Albert Giraud, Dashnor Hoxha
Thèse soutenue le 06 décembre 2006: INPL
Cette thèse apporte une contribution à l'analyse des effets d'anisotropie dans la détermination des propriétés poroélastiques des roches poreuses. Après une étude bibliographique, l'influence de la forme et de la distribution en orientation des pores sur l'anisotropie des roches a été étudiée. Le schéma d'estimation pris en compte est celui de Mori-Tanaka. En utilisant la solution analytique d'une inclusion sphérique isolée dans une matrice isotrope transverse infinie, l'estimation des coefficients poroélastiques effectifs des matériaux hétérogènes de type roches-composites a été réalisée. Par la suite, on s'intéresse à la prise en compte des inclusions sphéroidales dont l'orientation ne coincide pas avec l'axe d'orthotropie de révolution de la matrice. On propose une approche d'intégration numérique basée sur la fonction de Green. L'intégration numérique sur la sphère unité est réalisée à l'aide d'une méthode de Gauss dont la précision est discutée. L'outil numérique développé est appliqué à une roche poreuse en considérant un schéma d'homogénéisation en deux étapes et différentes fonctions de distribution d'orientation. Les résultats obtenus mettent en évidence les influences respectives des anisotropies de matrice et de l'espace poreux.
-Homogénéisation
-Inclusion ellipsoïdale aplatie
-Tenseur de Hill
-Isotrope transverse
-Tenseur de Biot
-Anisotropie
-Poromécanique
-Roche poreuse
This thesis contributes to the analysis of the anisotropic effects in the determination of the poroelastic properties of the porous rocks. After a bibliographical study, the influence of the form and distribution in orientation of the pores on the anisotropy of the rocks were studied. The homogenization scheme in this thesis is that of Mori-Tanaka. The estimate of the effective coefficients poroelastic of heterogeneous materials of type rocks-like composites characterized by a transverse isotropic matrix containing solid mineral inclusions of roughly spherical form was carried out in using the analytical solution of a spherical inclusion isolated in an infinite transverse isotropic matrix. Thereafter, we are interested in the taking into account of spheroidal inclusions of which orientation does not coincid with the orthogonal axis of revolution of the matrix. We propose a numerical approach of integration based on the Green function. Numerical integrate on the unit sphere is carried out using a method of Gauss of which the precision is discussed. The developed numerical tool is applied to a porous rock by considering a homogenization scheme in two stages and various functions of distribution of orientation. Respective influences of pore space anisotropy and matrix anisotropy are clearly distinguished and analyzed.
Source: http://www.theses.fr/2006INPL089N/document
Publié le : lundi 24 octobre 2011
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INSTITUT NATIONAL POLYTECHNIQUE DE LORRAINE
Ecole Nationale Sup¶erieure de G¶eologie de Nancy
Laboratoire Environnement, G¶eom¶ecanique et Ouvrages
Ecole Doctorale RP2E
THESE
Pr¶esent¶ee µa l’I.N.P.L.
en vue de l’obtention du titre de
DOCTEUR DE L’INPL
en G¶enie Civil - Hydrosystµemes - G¶eotechnique
par
HUYNH Quoc Vu
Estimation des propri¶et¶es porom¶ecaniques efiectives des
argilites : apport des m¶ethodes d’homog¶en¶eisation
Soutenue publiquement le 06 d¶ecembre 2006
devant la Commission d’Examen
A. MOLINARI Professeur, Universit¶e de Metz Pr¶esident
D. KONDO Universit¶e des Sciences et Technologie de Lille Rapporteur
L. DORMIEUX Professeur, Ecole Nationale des Ponts et Chauss¶ees Rapporteur
F. HOMAND Institut National Polytechnique de Lorraine Examinateur
K. SU Ing¶enieur de Recherche, HDR, Andra
A. GIRAUD Professeur, Universit¶e de Metz Directeur de thµese
D. HOXHA Dr. HDR, Institut National Polytechnique de Lorraine Co-Directeur de thµese


A ma famille,
A mon père, à ma mère,
A la mémoire de ma grand-mère 4Remerciements
Je suis µa la fln d’un pas important de mon parcours scientiflque, c’est le moment ouµ je peux
exprimer mes remerciements µa toutes les personnes qui m’ont aid¶e pendant trois ann¶ees de thµese.
Ce sont les gens sans qui ce travail n’aurait pas pu avoir lieu.
Je tiens tout d’abord µa remercier sincµerement et profond¶ement mon directeur de thµese, le Pr.
Albert Giraud qui m’a donn¶e beaucoup de connaissances et de conseils e–caces dans les domaines
du calcul num¶erique et de l’homog¶en¶eisation. Je n’oublierai sans doute jamais nos nombreuses
discussions scientiflques si enrichissantes pour moi, ainsi que les corrections et critiques de mon
manuscrit. Je voudrais lui exprimer toute ma reconnaissance. Je tiens ¶egalement µa remercier vi-
vement mon co-directeur, Monsieur Dashnor Hoxha (HDR d’INPL, chercheur au LaEGO) pour
m’avoir donn¶e le gout^ de la recherche et pour les connaissances, la conflance et les conseils qu’il
m’a apport¶e. C’est lui, avec son caractµere, qui m’a tout simplement appris µa ^etre un scientiflque.
Je lui exprime ma gratitude profonde.
Je voudrais adresser mes remerciements au Pr. Franc»oise Homand, directrice du LaEGO, qui
m’a accueilli au sein de son¶equipe de recherche, m’a donn¶e des conseils et a accept¶e de faire partie
de mon jury.
Je tiens ensuite µa exprimer ma sincµere reconnaissance au Pr. Alain Molinari qui m’a fait l’hon-
neurd’accepter de pr¶esider lejuryde ma thµese.Je souhaiterais remercier trµes vivement les Pr.Luc
Dormieux et Djim¶edo Kondo pour avoir accept¶e la lourde t^ache de rapporteurs, ainsi que pour
leurs remarques, qui ont contribu¶e µa l’am¶elioration de mon manuscrit. Un grand remerciement est
destin¶e µa Monsieur Kun Su (HDR, ing¶enieur de recherche de l’ANDRA) pour le temps qu’il a
consacr¶e µa parcourir le manuscrit et pour sa disponibilit¶e.
J’exprime ma reconnaissance µa l’INPL pour le soutien flnancier qui m’a ¶et¶e apport¶e durant ce
travail.
Je remercie l’ensemble du personnel du LaEGO. Je tiens tout particuliµerement µa remercier
Cosmin et Phi, mes deux collµegues de l’¶equipe "mod¶elisation num¶erique". Je n’oublierais jamais
nosdiscussions,leursdisponibilit¶e,leurbonnehumeuretsurtout,l’amiti¶equ’ilsm’ontprouv¶eedans
plusieurs situations. Je vous souhaite, mes deux vrais amis, une grande r¶eussite sur le chemin de la
recherche. Un merci aussi particulier µa Elie pour son soutien dans le domaine de la g¶eologie, pour
ses conseils de "savoir-vivre"et pour son amiti¶e. Un grand merci µa mes amis qui m’ont apport¶e du
bonheur et de nombreux moment de d¶etentes : Fabrice, "mon flls"Jon, S¶ebastien, Sergey "danse",
Sergey "foot", Vincent, Dragan, Richard, Laurent, Mohamad, J¶erome, J-B, Frank, Tatiana...
Jen’oubliepaslesamisvietnamiensquiontpartag¶edesmomentsdi–cilesdelaviequotidienne
µa Nancy : Diep, Linh, Tung, Hung, Yen,... Un remerciement sp¶ecial adress¶e µa Phuong Anh pour
5toute l’aide qu’elle m’a apport¶e.
On garde le meilleur pour la fln, je dois beaucoup µa ma famille, µa mes parents et ma soeur.
Ma reconnaissance la plus sincµere est destin¶ee µa mes parents, merci de m’avoir soutenu, rassur¶e et
motiv¶e durant toutes ces ann¶ees d’¶etudes. Merci µa ma soeur, Uyen, qui m’a fait conflance et m’a
soutenu sans condition.
6Table des matiµeres
Introduction g¶en¶erale 11
Chapitre I Homog¶en¶eisation du comportement poro¶elastique lin¶eaire 15
I.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
I.2 Approche d’homog¶en¶eisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.2.1 Introduction µa la microm¶ecanique des mat¶eriaux . . . . . . . . . . . . . . . 16
I.2.2 M¶ethodologie de l’homog¶en¶eisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.3 Homog¶en¶eisation des milieux lin¶eaires ¶elastiques µa l’¶etat initial naturel . . . . . . . 17
I.3.1 L’¶etape de repr¶esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3.2 L’¶etape de localisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3.3 L’¶etape d’homog¶en¶eisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.3.4 Application au mat¶eriau poreux sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.4 Homog¶en¶eisation des milieux lin¶eaires ¶elastiques µa l’¶etat non naturel . . . . . . . . 25
I.4.1 Th¶eorµeme de Levin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4.2 Application au mat¶eriau poreux satur¶e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
I.5 M¶ethodes d’estimation classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.5.1 Problµeme de l’inclusion d’Eshelby. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I.5.2 Problµeme de l’inhomog¶en¶eit¶e d’Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
I.5.3 Le sch¶ema dilu¶e ou le sch¶ema d’Eshelby . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
I.5.4 Le sch¶ema de Mori-Tanaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
I.5.5 Le sch¶ema autocoherent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
I.5.6 Sch¶ema Ponte Castaneda et Willis (PCW)[66]. . . . . . . . . . . . . . . . . 40
I.6 Quelques outils pour la description de la g¶eom¶etrie des inclusions . . . . . . . . . . 41
I.6.1 Systµemes de coordonn¶ees d¶eflnissant l’orientation de l’inclusion . . . . . . . 41
I.6.2 Fonction de distribution en orientation (ODF) de pores . . . . . . . . . . . 44
I.7 Applications aux roches poreuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.7.1 Propri¶et¶es des constituants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.7.2 L’in uence du sch¶ema d’homog¶en¶eisation sur les propri¶et¶es poro¶elastiques . 49
I.7.3 L’efiet de la morphologie de pores sur les propri¶et¶es poro¶elastiques . . . . . 52
I.7.4 Une mod¶elisation de la d¶econnexion de l’espace poreux. . . . . . . . . . . . 55
7Table des matiµeres
I.8 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Chapitre II Efiet de l’anisotropie de la matrice sur le comportement macrosco-
pique 61
II.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
II.2 Tenseur de Hill pour une inclusion sph¶erique dans un milieu isotrope transverse . . 62
II.2.1 Calcul de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
II.2.2 Validation des r¶esultats obtenus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.3 D¶etermination des propri¶et¶es porom¶ecaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
II.3.1 Tenseur de Biot du milieu poreux isotrope transverse. . . . . . . . . . . . . 67
II.3.2 Sch¶ema d’homog¶en¶eisation et propri¶et¶es efiectives . . . . . . . . . . . . . . 68
II.3.3 Efiet de la g¶eom¶etrie du pore sur les propri¶et¶es poro¶elastiques . . . . . . . . 70
II.4 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
Chapitre III Matrice isotrope transverse et inclusions µa orientations arbitraires 77
III.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.2 Tenseur de Hill pour une inclusion ellipso˜‡dale aplatie orient¶ee arbitrairement dans
un milieu isotrope transverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.2.1 Solution du tenseur de Hill dans le repµere interm¶ediaire . . . . . . . . . . . 79
III.2.2 Tenseur de Hill dans le repµere global . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
III.3 Distributions des inclusions ellipso‡dales dans une matrice isotrope transverse . . . 86˜
III.3.1 Distribution isotrope des inclusions ellipso˜‡dales . . . . . . . . . . . . . . . . 87
III.3.2 Distribution d’orientation (ODF) des inclusions ellipso˜‡dales . . . . . . . . . 90
III.4 Application µa l’estimation des propri¶et¶es poro¶elastiques efiectives d’une roche poreuse 91
III.4.1 Sch¶emas d’homog¶en¶eisation et les propri¶et¶es poro¶elastiques efiectives . . . . 91
III.4.2 Unsch¶emad’homog¶en¶eisationµadeux¶etapespourl’estimationdespropri¶et¶es
poro¶elastiques efiectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
III.5 R¶esultats et discussions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
III.6 Conclusions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Conclusion g¶en¶erale et perspectives 103
Bibliographie 107
Annexe A Composantes des tenseurs d’Eshelby dans un milieu isotrope 115
A.1 Inclusion sph¶erique dans un milieu isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
A.2 Inclusion "penny shape"dans un milieu isotrope [61] . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A.3 Inclusion ellipsoidale dans un milieu isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Annexe B Constantes ¶elastiques de la matrice isotrope transverse 119
8Annexe C Fonction de Green du mat¶eriau isotrope transverse [64] 121
C.1 Force appliqu¶ee parallµele au plan isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
C.2 Force normale appliqu¶ee au plan isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Annexe D Expression du tenseur g 125
Annexe E Calcul int¶egral I 127
9Table des matiµeres
10

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