Etudes sur les équations de Ramanujan-Nagell et de Nagell-Ljunggren ou semblables

De
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Sous la direction de Yuri Bilu
Thèse soutenue le 03 juillet 2009: Bordeaux 1
Dans cette thèse, on étudie deux types d’équations diophantiennes. Une première partie de notre étude porte sur la résolution des équations dites de Ramanujan-Nagell Cx2+ b2mD = yn. Une deuxième partie porte sur les équations dites de Ngell-Ljunggren xp+ypx+y = pezq incluant le cas diagonal p = q. Les nouveaux réesultats obtenus seront appliqués aux équations de la forme xp + yp = Bzq. L’équation de Catalan-Fermat (cas B = 1) fera l’objet d’un traitement à part.
-Nagell-Ljunggren
-Ramanujan-Nagell
-Formes linéaires en deux logarithmes
-Nombres de Lucas
-Nombres de Lehmer
-Diviseurs primitifs
-Théorie du corps de classe
-Idéaux de Mihailescu généralisés
-Nombres de classes
-Idéal de Stickelberger
-Entiers de Jacobi
In this thesis, we study two types of diophantine equations. A ?rst part of our study is about the resolution of the Ramanujan-Nagell equations Cx2 + b2mD = yn. A second part of our study is about the Nagell-Ljungren equations xp+yp x+y = pezq including the diagonal case p = q. Our new results will be applied to the diophantine equations of the form xp + yp = Bzq. The Fermat-Catalan equation (case B = 1) will be the subject of a special study.
-Nagell-Ljunggren
-Ramanujan-Nagell
-Linear forms in two logarithms
-Lucas numbers
-Lehmers numbers
-Primitive divisors
-Class ?eld theory
-Generalized Mihailescu ideals
-Class number
-Stickelberger ideal
-Jacobi integers
Source: http://www.theses.fr/2009BOR13819/document
Publié le : mercredi 26 octobre 2011
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num´ero d’ordre : 3819
THESE
pour l’obtention du Grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE BORDEAUX I
sp´ecialit´e : Math´ematiques Pures
soutenue le 3 juillet 2009 par
Dupuy Benjamin
Directeur de th`ese : Y. Bilu
ETUDES SUR LES EQUATIONS DE
RAMANUJAN-NAGELL ET DE NAGELL-LJUNGGREN OU
SEMBLABLES
composition du jury
D. Benois Universit´e de Bordeaux examinateur
Y. Bilu Universit´e de Bordeaux examinateur
Y. Bugeaud Universit´e de Strasbourg rapporteur
H. Cohen Universit´e de Bordeaux examinateur
F. Luca Universit´e nationale autonome rapporteur
de Mexico
N. Ratazzi Universit´e Paris Sud examinateur
−2009−A la m´emoire de ma m`ere1” Passant, sous ce tombeau repose Diophante.
Ces quelques vers trac´es par une main savante
Vont te faire connaˆıtre a` quel agˆ e il est mort.
Des jours assez nombreux que lui compta le sort,
Le sixi`eme marqua le temps de son enfance;
Le douzi`eme fut pris par son adolescence.
Des sept parts de sa vie, une encore s’´ecoula,
Puis s’´etant mari´e, sa femme lui donna
Cinq ans apr`es un fils qui, du destin s´ev`ere
Re¸cut de jours h´elas, deux fois moins que son p`ere.
De quatre ans, dans les pleurs, celui-ci surv´ecut.
Dis, tu sais compter, a` quel agˆ e il mourut.”
1Extrait d’Eutrope, publi´e en 369 dans ”L’Abr´eg´e de l’Histoire Romaine”, traduit en alexandrins par
Emile Fourrey (R´ecr´eations Math´ematiques, 1899).Remerciements
Tout d’abord, je tiens a` exprimer ma plus profonde gratitude a` mon directeur de Th`ese
Yuri Bilu, pour ses encouragements, ses conseils, sa disponibilit´e et sa gentillesse.
Je remercie le professeur Florian Luca pour les discussions que l’on a eu. Elles ont
grandement contribu´e a` am´eliorer les r´esultats du chapitre 3 et du chapitre 5, ainsi qu’`a
simplifier les d´emonstrations de ce dernier.
Merci a` Ga¨elle, qui, malgr´e une ´epreuve personnelle tr`es difficile, m’a toujours soutenu
de facon¸ ind´efectible. Je suis ´egalement tr`es reconnaissant envers mes parents Mireille,
Lucien et ma soeur Delphine pour tout ce qu’ils ont fait pour moi.
Enfin, qu’il me soit permis de rendre ici un dernier hommage a` ma m`ere, d´ec´ed´ee
quelques semaines apr`es la soutenance de cette th`ese. Elle fut non seulement une m`ere
fantastique, mais aussi un tr`es brillant professeur. Je d´edie cette th`ese `a sa m´emoire.Table des mati`eres
px −1 q1 A class number criterion for the equation =py 17
x−1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 The cyclotomic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3 Binomial power series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4 A special unit of the cyclotomic field . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.5 An analytic expression for μ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6 The case q6≡ 1 modp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7 The case q≡ 1 modp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2 q1.8 On the equation 1+x+x = 3y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2 Th´eor`emes de factorisation, th´eor`eme de Steiner, th´eor`emes de Gan-
noukh, application diophantienne 31
2.0.1 Quelques lemmes pr´eliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.0.2 Premi`ere factorisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.0.3 Un th´eor`eme de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.0.4 Un th´eor`eme de Lehmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
a2.0.5 Interpr´etation de h (p) pour e de la forme 2 . . . . . . . . . . . . . 42e
−2.1 Sur certains facteurs premiers de h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45p
2.1.1 Un th´eor`eme de Steiner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2 Une application diophantienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
−2.2.1 Une majoration de h(K ) en termes de t et p. . . . . . . . . . . . 49p
−2.2.2 Un nouveau crit`ere pour q-h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51p
2.2.3 Autre preuve de la proposition (2.2.6) si p = 1+2q, q premier. . . . 52
p−1 q2.2.4 Application `a 1+x+...+x =py . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 2m n3 Etude de l’´equation CX +b D =Y 55
3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.2 Paires de Lucas et de Lehmer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
93.2.1 D´efinitions et notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.2.2 Quelques r´esultats classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.2.3 Nombres de Lucas ou de Lehmer sans diviseur primitif. . . . . . . . 70
3.3 D´emonstration du th´eor`eme (3.1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3.1 Cas C = 1,n = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.2 Cas C > 1,n = 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.3.3 Cas C = 1,n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3.4 Cas C > 1,n = 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
2 33.4.1 R´esolution de l’´equation de Mordell x =y +k. . . . . . . . . . . . 80
2 n3.4.2 R´n de l’´n de Lebesgue X +1 =Y , n> 1, Y > 0. . 81
2 n3.4.3 R´esolution de 2x +19 =y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2 n3.4.4 R´n de 2x +1 =y ,n> 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
02 m n3.4.5 R´esolution de x +2 =y ,n> 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
2 2m n3.4.6 R´n de l’´equation de Brown 2x +3 =y . . . . . . . . . . 85
2 m n3.5 Sur l’´equation x +3 =y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5.1 Etude d’un cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.5.2 D´emonstration du corollaire (3.1.2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
3.6 R´esolution compl`ete de l’´equation d’Aigner
(corollaire (3.1.6)). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.7 Applications s´equentielles du th´eor`eme (3.1.1). . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.1 D´emonstration du th´eor`eme (3.1.7). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.7.2 Application : r´esolution de l’´equation (3.4). . . . . . . . . . . . . . . 94
3.7.3 D´emonstration de la proposition (3.1.8). . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.8 D´emonstration du corollaire (3.1.9). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.9 D´ation du corollaire (3.1.12). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.10 D´emonstration du th´eor`eme (3.1.14) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.11 D´ation du th´eor`eme (3.1.15). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.12 D´emonstration du th´eor`eme (3.1.17). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.13 D´ation du th´eor`eme (3.1.20) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.14 Calculs g´en´eraux et preuve du th´eor`eme (3.1.23). . . . . . . . . . . . . . . 106
3.14.1 Un cas particulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4 L’id´eal de Stickelberger de Q(ζ). 111
4.1 Quelques notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.2 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.2.1 El´ements de Kummer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
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