La périodicité dans les enseignements scientifiques en France et au Vietnam : une ingénierie didactique d'introduction aux fonctions périodiques par la modélisation, The periodicity in teaching science in France and Vietnam : a didactical engineering for an introduction to periodic functions by modeling

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Sous la direction de Muriel Ney, Alain Birebent
Thèse soutenue le 01 septembre 2011: 243 Ecole Normale Supérieure Ho Chi Minh, Grenoble
L'objet central de l'étude est la modélisation mathématique de phénomènes périodiques dans l'enseignement secondaire, plus particulièrement celle des phénomènes périodiques temporels. L'étude part d'un constat établi en comparant les enseignements secondaires français et vietnamien : soit on évite l'enseignement de la modélisation mathématique en concevant le rapport des mathématiques aux autres disciplines scientifiques comme un rapport d'application (Viêt Nam), soit on préconise la prise en compte de la modélisation mathématique sans donner les moyens aux enseignants de mathématiques de l'enseigner (France). La périodicité est le concept central dans le processus de modélisation des phénomènes cycliques et des phénomènes oscillatoires. Dans la genèse scientifique de ce concept, les fonctions périodiques, notamment les fonctions trigonométriques, se sont constituées progressivement comme modèles de grandeurs variables en général en fonction du temps, qui retournent régulièrement et indéfiniment au même état. A partir d'une enquête épistémologique sur les phénomènes périodiques temporels étudiés par la Physique, nous repérons deux modèles mathématiques, C (mouvements circulaires uniformes) et O (oscillations harmoniques) avec leurs différents registres, graphique et algébrique. Une analyse institutionnelle examine et compare la présence de ces deux modèles dans les enseignements secondaires de mathématiques et de physique, en France et au Viêt Nam. Cette analyse met en évidence la faiblesse de l'articulation entre ces deux modèles et l'absence de technique pour effectuer le passage de l'un des modèles à l'autre, alors qu'il s'agit d'un des enjeux de la modélisation elle-même. Le dispositif expérimental se compose d'un questionnaire aux élèves vietnamiens et d'une ingénierie didactique qui organise, dans un environnement de géométrie dynamique et en articulant les deux modèles C et O, la construction de fonctions périodiques comme modèles de phénomènes de co-variations périodiques.
-Périodicité et fonction périodique
-Modélisation
-Géométrie dynamique
The focus of the study is mathematical modeling of periodic phenomena in secondary education, particularly that of temporal periodic phenomena. The study starts from an observation by comparing the French and Vietnamese secondary education: either they avoid the teaching of mathematical modeling in designing the relationship of mathematics to other scientific disciplines as an applicable connection (Vietnam) or they advocate the consideration of mathematical modeling without empower mathematics teachers to teach it (France). The periodicity is the central concept in the modeling process of cyclical and oscillatory phenomena. In the scientific genesis of this concept, the periodic functions especially trigonometric functions, was established gradually as models of variable quantities which return regularly and indefinitely in the same state over time. From an epistemological investigation of the temporal periodic phenomena studied by physics, we identify two mathematical models, C (uniform circular movement) and O (harmonic oscillations) with their different registers, graphic and algebraic. Institutional analysis examines and compares the presence of these two models in secondary education of mathematics and physics in France and Vietnam. This analysis shows the weakness of the articulation between these two models and the absence of technique to make the transition from one model to another which is one of the stakes of modeling itself. The experimental way consists of a questionnaire to Vietnamese pupils and a didactical engineering that organizes in a dynamic geometrical environment by articulating both models C and O, for the construction of periodic functions as models of phenomena of periodic co-variations.
-Periodicity and periodic function
-Modeling
-Dynamic geometry
Source: http://www.theses.fr/2011GRENS015/document
Publié le : lundi 19 mars 2012
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THÈSE EN COTUTELLE
Pour obtenir les grades de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITÉ DE GRENOBLE
DOCTEUR DU VIETNAM
Spécialité : Ingénierie de la Cognition, de l'interaction, de
l'Apprentissage et de la création
Arrêté ministériel : 7 août 2006

Présentée par
Nga NGUY ỄN TH Ị

Thèse dirigée par Muriel NEY et
codirigée par Alain BIREBENT et Ti ến LÊ V ĂN

préparée au sein du Laboratoire d’Informatique de Grenoble
dans l'École Doctorale Ingénierie pour la Santé, la Cognition et
l'Environnement
La périodicité dans les enseignements
scientifiques en France et au Viêt Nam :
une ingénierie didactique d’introduction
aux fonctions périodiques par la
modélisation
erThèse soutenue publiquement le 1 Septembre 2011,
devant le jury composé de :
M. Alain BIREBENT
Professeur agrégé, Université Pierre Mendès-France, Co-diresteur de thèse
Mme Hoài Châu LÊ TH Ị
Professeur associé, Université Culturelle, Artistique et Touristique de Sai Gon,
Examinatrice
M. Ti ến LÊ V ĂN
Professeur associé, National Collège d'éducation de Ho Chi Minh Ville, Co-
directeur de thèse
Mme Muriel NEY
Chargée de recherche, Laboratoire d’informatique de Grenoble, Directeur de
thèse
M. Chí Thành NGUY ỄN
Enseignant-Chercheur, Université de l'Education, Université Nationale du
Viêt Nam à Ha Noi, Rapporteur
Mme Maggy SCHNEIDER-GILOT
Professeur des universités, Université de Liège, Rapporteur
M. Luc TROUCHE
Professeur des universités, Ecole Normale Supérieure de Lyon, Président
Mme Annie BESSOT
Collaborateur bénévole, Université Joseph Fourier, Invitée

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Abstract

Title: The periodicity in teaching science in France and Vietnam: a didactical engineering for an
introduction to periodic functions by modeling
The focus of the study is mathematical modeling of periodic phenomena in secondary education,
particularly that of temporal periodic phenomena.
The study starts from an observation by comparing the French and Vietnamese secondary
education: either they avoid the teaching of mathematical modeling in designing the relationship
of mathematics to other scientific disciplines as an applicable connection (Vietnam) or they
advocate the consideration of mathematical modeling without empower mathematics teachers to
teach it (France).
The periodicity is the central concept in the modeling process of cyclical and oscillatory
phenomena. In the scientific genesis of this concept, the periodic functions especially
trigonometric functions, was established gradually as models of variable quantities which return
regularly and indefinitely in the same state over time.
From an epistemological investigation of the temporal periodic phenomena studied by physics,
we identify two mathematical models, C (uniform circular movement) and O (harmonic
oscillations) with their different registers, graphic and algebraic. Institutional analysis examines
and compares the presence of these two models in secondary education of mathematics and
physics in France and Vietnam. This analysis shows the weakness of the articulation between
these two models and the absence of technique to make the transition from one model to another
which is one of the stakes of modeling itself.
The experimental way consists of a questionnaire to Vietnamese pupils and a didactical
engineering that organizes in a dynamic geometrical environment by articulating both models C
and O, for the construction of periodic functions as models of phenomena of periodic co-
variations.
Keywords: periodicity and periodic function, modeling, dynamic geometry
 






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A la mémoire de mon père

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REMERCIEMENTS

Voilà, mes 3 ans de thèse s’achèvent avec plein de souvenirs …

Mes remerciements les plus vifs s’adressent à mes directeurs de thèse sans lesquels ce travail n’aurait pas abouti. Je
remercie tout particulièrement Alain Birebent pour son encadrement, ses multiples idées, la disponibilité qu’il a eue
pour moi. Merci également à Muriel Ney, tant pour ses conseils et encouragements que pour les fructueuses
discussions scientifiques que nous avons eues ensemble. Je remercie chaleureusement Lê V ăn Ti ến qui m’a apporté
de précieux conseils pour les expérimentations au Vi ệt Nam et qui m’a aidée à perfectionner les traductions en
vietnamien.
J'ai bénéficié en France d'une direction scientifique collégiale à laquelle Claude Comiti et Annie Bessot ont participé
activement. Je souhaite leur dire ma très grande reconnaissance pour leur enthousiasme et leur disponibilité durant
les trois années de ma thèse, pour toutes leurs idées et leur aide à la rédaction du manuscrit en français.
J’exprime ma profonde gratitude à Lê Th ị Hoài Châu, Nguy ễn Chí Thành, Maggy Schneider-Gilot et Luc Trouche
pour avoir accepté d’être membres de mon jury et notamment aux rapporteurs Maggy Schneider-Gilot et Nguy ễn
Chí Thành pour leurs commentaires constructifs sur le manuscrit.
Mon projet de thèse s'est inscrit dans la réalisation du projet MIRA « Modélisation mathématique de phénomènes
variables dans l'enseignement à l'aide de la géométrie dynamique ». J’ai donc eu la chance et le plaisir de collaborer
avec de nombreuses personnes engagées dans ce projet MIRA que je tiens à remercier ici : Sophie Soury-Lavergne –
responsable française de ce projet franco-vietnamien, Colette Laborde, Bernard Genevès, Lê Th ị Hoài Châu et Lê
Thái B ảo Thiên Trung. Je remercie également la société CABRILOG qui m’a fourni le logiciel Cabri II Plus pour
effectuer mes expérimentations en France et au Vi ệt Nam.
Je souhaite ici remercier tous les membres des équipes DIAM et MeTAH du laboratoire LIG pour la chaleureuse
ambiance de travail et pour l’aide que chacun a toujours été prêt à m’accorder. Je pense en particulier à Sophie,
Colette, Jean-François, Zilora, Joris, Bernard, H ương, Celso, Claire, José-Louis, Henry, Jacky, Hamid, Marie-
Caroline et Péricles.
J’ai reçu une aide précieuse de collègues physiciens en France – Claire Wajeman, Jean-Claude Guillaud et Daniel
Lacroix. Merci aussi aux professeurs vietnamiens qui ont gentiment accepté de répondre à mes questions, parfois
naives – Nguyen Tran Trac et Tran Van Hao.
Je remercie vivement les élèves français - Ana, Cicera, Marine, Margherita - et les élèves vietnamiens du lycée
Tr ường Chinh de Ho Chi Minh ville pour avoir accepté de participer à l'expérimentation de l'ingénierie didactique.
Je n'oublie pas pour autant les élèves des lycées Nguy ễn Chí Thanh et Nguy ễn H ữu C ầu de Ho Chi Minh ville qui
ont répondu avec attention au questionnaire qui leur a été présenté.
J’adresse mes remerciements à mes collèges du département de mathématique et informatique de l’Université de
Pédagogie de Ho Chi Minh ville. Merci à H ương, Trung, D ũng pour leurs soutiens dans l’organisation des
expérimentations au Vi ệt Nam.
Je garde un souvenir reconnaissant pour mes amies qui m’ont apporté de bons moments en France quand j’étais loin
de ma famille. Je pense particulièrement à Ng ọc, H ương, Phước, Báu, Serge, Bernadette, Emile, Thanh H ương,
Raquel, la famille de monsieur Đức et de madame S ơn.
Je tiens à remercier l’Agence Universitaire de la Francophonie (AUF) par m'avoir fait bénéficier d'une bourse
d’étude qui m’a aidée financièrement à réaliser cette thèse.
J’exprime ma plus profonde gratitude à ma mère, à mes beaux parents et à toute ma famille, pour m’avoir
encouragée et soutenue moralement dans mon projet de thèse et durant les années passées à le réaliser. Sans leur
aide, ce projet n’aurait pas pu aboutir. Je leur serai toujours redevable de tous les efforts qu’ils ont fournis à mon
égard.
Enfin, un immense merci à mon mari, Duy Tr ọng, et à ma fille, Minh Ng ọc, qui ont été soumis à rude épreuve
pendant ces trois années et qui ont supporté avec patience ces longs moments d’absence.

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TABLE DES MATIERES 

Introduction……………………………………………………………………………………………………………………13 
I. Des rapports différents à la modélisation ........................................................................... 14 
I.1. Au Viêt Nam ........................................................................................................................ 14 
I.2. En France ............................................................................................................................. 15 
II. Le choix de la périodicité et des fonctions périodiques ...................................................... 17 
III. Questionnement initial et méthodologie de recherche ..................................................... 18 
III.1. Enquête épistémologique ................................................................................................. 18 
III.2. Etude institutionnelle ........................................................................................................ 19 
III.3. Questionnaire élèves ......................................................................................................... 19 
III.4. Ingénierie didactique......................................................................................................... 20 
IV. Organigramme de la thèse ................................................................................................ 20 
Chapitre  1.  Enquête  épistémologique  sur  la  modélisation  mathématique  de 
phénomènes périodique temporels ……………………………………………………………………………23 
I. Introduction ........................................................................................................................ 23 
II. Le temps et la périodicité ................................................................................................... 25 
II.1. Le temps en physique ......................................................................................................... 25 
II.2. La représentation du temps ............................................................................................... 26 
II.3. La mesure du temps ........................................................................................................... 27 
III. Des phénomènes périodiques temporels .......................................................................... 28 
III.1. Les mouvements oscillatoires et le modèle O .................................................................. 30 
III.1.1. Les fonctions périodiques en mathématiques ........................................................... 30 
III.1.2. Les  sinusoïdales en mathématiques .......................................................... 31 
III.1.3. Les fonctions sinusoïdales dans la théorie du signal ................................................. 33 
III.1.4. Les  sinusoïdales en Physique des phénomènes périodiques temporels ... 35 
III.1.5. Le mouvement oscillatoire harmonique .................................................................... 39 
III.1.6. Le pendule – exemple du mouvement oscillatoire harmonique ............................... 41 
III.2. Les mouvements circulaires et le modèle C ...................................................................... 43 
III.3. L’articulation entre les deux modèles C et O  46 
IV. Modélisation mathématique de phénomènes physiques.................................................. 48 
IV.1. Ce qu’en disent les physiciens .......................................................................................... 48 
IV.2. Le processus de modélisation de phénomènes physiques ............................................... 50 

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V. Conclusion .........................................................................................................................54 
Chapitre 2. Analyse institutionnelle comparative France ‐ Viêt Nam………………..57 
Partie A. Institutions d’enseignement des mathématiques ....................................................59 
I. Le collège ............................................................................................................................59 
I.1. Institution française ............................................................................................................ 59 
I.2.  vietnamienne ..................................................................................................... 62 
I.3. Comparaison France ‐ Viêt Nam et conclusion pour le collège .......................................... 65 
II. Le lycée ..............................................................................................................................67 
II.1. Institution française ........................................................................................................... 67 
II.1.1. Parties du programme pouvant impliquer la notion de périodicité ........................... 67 
II.1.2. Analyse de manuels (collection Déclic 2004 et 2005) ................................................ 68 
II.1.3. Praxéologies ponctuelles liées à la périodicité ........................................................... 76 
II.1.4. Conclusion sur l’institution française .......................................................................... 78 
II.2. Institution vietnamienne .................................................................................................... 79 
II.2.1. Parties du programme pouvant impliquer la notion de périodicité ........................... 79 
II.2.2. Analyse de manuels  81 
II.2.3. Praxéologies liées à la périodicité ............................................................................... 87 
II.2.4. Conclusion sur l’institution vietnamienne .................................................................. 97 
III. Comparaison France – Viêt Nam et conclusion pour l’enseignement des mathématiques .98 
Partie B. Institutions d’enseignement de la physique ........................................................... 103 
I. Institutions françaises ....................................................................................................... 103 
I.1. Le collège ........................................................................................................................... 103 
I.1.1. Les programmes ......................................................................................................... 103 
I.1.2. Les manuels ................................................................................................................ 103 
I.2. Le lycée .............................................................................................................................. 111 
I.2.1. Les programmes  111 
I.2.2. Les manuels  113 
I.3. Conclusion ......................................................................................................................... 117 
II. Institutions vietnamiennes ............................................................................................... 118 
II.1. Le collège .......................................................................................................................... 118 
II.2. Le lycée ............................................................................................................................. 119 
II.2.1. Le mouvement circulaire uniforme en classe 10 ...................................................... 119 
II.2.2. Notion de périodicité dans le manuel Physique de classe 12 .................................. 120 

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II.3. Conclusion ........................................................................................................................ 126 
III. Comparaison France – Viêt Nam et conclusion pour la physique..................................... 126 
Partie C. Modélisation des phénomènes périodiques dans l’enseignement mathématique . 129 
I. Manuels français ............................................................................................................... 129 
II.  vietnamiens ....................................................................................................... 130 
II.1. Manuel élémentaire ......................................................................................................... 130 
II.2. Manuel avancé ................................................................................................................. 131 
III. Conclusion  …..133 
Chapitre 3. Questionnaire pour l'élève…………………………………………………………..135 
I. Objectif de l’expérimentation ........................................................................................... 135 
II. Forme de  ............................................................................................ 136 
III. Présentation des exercices composant le questionnaire ................................................. 136 
IV. Analyse a priori du questionnaire ................................................................................... 139 
IV.1. Construction du  ....................................................................................... 139 
IV.2. Les variables et le choix de leurs valeurs ........................................................................ 140 
IV.3. Analyse détaillée du questionnaire ................................................................................ 142 
V. Analyse a posteriori des résultats obtenus ...................................................................... 162 
V.1. Conditions de l’expérimentation ..................................................................................... 162 
V.2. Analyse des résultats obtenus ......................................................................................... 162 
V.2.1. Présentation synthétique des résultats .................................................................... 162 
V.2.2. Analyse détaillée des productions des élèves .......................................................... 165 
V.2.3. Conclusion ................................................................................................................. 181 
Chapitre 4. Ingénierie didactique……………………………………………………………………185 
Partie A. Présentation de l'ingénierie didactique……………………………………………………………….187  
I. Les principaux choix de l’ingénierie didactique ................................................................. 187 
I.1. Favoriser une modélisation intermédiaire géométrique .................................................. 187 
I.2. Travailler dans un environnement de géométrie dynamique .......................................... 187 
I.3. Passer d’une conception dynamique des fonctions à une conception statique .............. 188 
I.4. Se centrer sur la modélisation de phénomènes périodiques ........................................... 189 
I.5. Un problème de la périodicité : celui de la coïncidence de deux phénomènes périodiques
 ................................................................................................................................................. 189 
I.6. Prendre en compte les contraintes des institutions d’enseignement, françaises et 
vietnamiennes ......................................................................................................................... 191 
I.7. Une situation de départ issue de problèmes habituels .................................................... 191 

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II. Contraintes et ressources instrumentales de la géométrie dynamique ............................. 193 
II.1. Eléments d’analyse instrumentale ................................................................................... 193 
II.2. Le déplacement ................................................................................................................ 195 
II.3. Le report de mesure ......................................................................................................... 197 
III. Processus de conception de l’ingénierie didactique ......................................................... 199 
III.1. Expérimentation 1 au Viêt Nam (décembre 2009)  199 
III.2.  2 en France (juillet 2010) .................................................................... 201 
III.3. Expérimentation 3 au Viêt Nam (Septembre 2010) ....................................................... 206 
IV. Conditions de l’expérimentation finale et du recueil des données .................................. 208 
Partie B. Etude de la séance 1…………………………………………………………………………………………….211 
I. Analyse a priori et prévision du déroulement  211 
I.1. Présentation et analyse de la situation d’initiation à Cabri .............................................. 211 
I.2. Situations 0 et 1 : analyse a priori et prévision du rôle de l’enseignant ........................... 213 
I.2.1. Situation 0 : notion « point pilote un autre point » ................................................... 213 
I.2.2.  1 : construction d’un modèle intermédiaire  216 
I.3. Situation 2 : analyse a priori et prévision du rôle de l’enseignant ................................... 220 
I.3.1. Analyse a priori de la situation 2 ................................................................................ 220 
I.3.2. Déroulement prévu et rôle de l’enseignant .............................................................. 223 
II. Déroulement effectif et analyse a posteriori de la séance 1 ............................................. 224 
II.1. Quelques constats sur la situation d’initiation à Cabri .................................................... 225 
II.2. Situation 0 ........................................................................................................................ 225 
II.3.  1  227 
II.4. Situation 2  232 
III. Conclusion de l’étude de la séance 1 ............................................................................... 235 
Partie C. Etude de la séance 2…………………………………………………………………………………………….239 
I. Analyse a priori du problème mathématique central de la séance .................................... 240 
I.1. Présentation du problème mathématique ....................................................................... 240 
I.2. Analyse a priori du problème ............................................................................................ 240 
II. Analyse de la phase 1 (entrée dans le jeu) ........................................................................ 247 
II.1. Les choix des valeurs des variables dans cette phase ..................................................... 247 
II.2. Les stratégies possibles .................................................................................................... 247 
II.3. Les  attendues .................................................................................................. 251 
II.4. Déroulement prévu et rôle de l’enseignant .................................................................... 252 

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