Modélisation des propriétés mécaniques anisotropes aléatoires et impacts sur la propagation des ondes élastiques, Modelling of random anisotropic mechanical properties and impacts on elastic waves propagation

De
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Sous la direction de Didier Clouteau
Thèse soutenue le 19 février 2011: Ecole centrale Paris
L’objectif de ce travail de thèse est de prendre en compte à la fois l’hétérogénéité, l’anisotropie et des incertitudes dans la simulation 3D de la propagation d’ondes élastiques. Pour ce faire, dans un premier temps, on modélise le champ de propriétés mécaniques, ici le champ de tenseur d’élasticité, par un modèle de champ stochastique 3D des matrices définie-positives. La construction de ce modèle de champ est essentiellement fondée sur celle de Soize [2008]. Notre modèle conserve ainsi les propriétés principales du modèle de Soize comme le paramétrage minimal contrôlant l’amplitude de la fluctuation et la taille caractéristique de la variabilités patiale, le comportement local a priori arbitrairement anisotrope (anisotropie triclinique) et les propriétés mathématiques fondamentales. De plus, un nouveau paramètre est introduit dans ce modèle pour imposer un niveau d’anisotropie moyen souhaité. Dans un deuxième temps, on effectue des adaptations du code de calcul d’éléments finis spectraux, à savoir le code parallèle SPEC3D, afin d’une part de générer les réalisations du champ stochastique du tenseur d’élasticité et d’autre part de prendre en compte l’anisotropie dans la résolution numérique du problème élastodynamique. Des études paramétriques utilisant SPEC3D sont ensuite réalisées mettant en évidence les influences de l’anisotropie et des paramètres d’hétérogénéité sur la propagation d’ondes sismiques. En particulier, elles démontrent une dépendance directe entre la longueur de corrélation du champ de propriétés et le temps caractéristique d’apparition de la diffusion. Ce régime se manifeste par l’équipartition d’énergie entre les mouvements irrotationnels et rotationnels.
-Ondes élastiques
-Anisotropie triclinique
-Hétérogénéité aléatoire
The aim of this thesis is to take into account the heterogeneity, the anisotropy and the uncertainties within 3D numerical simulation of elastic waves propagation. Firstly, the elasticity tensor field is modeled by means of a stochastic tensor-valued field. Its construction is generalized from the model of Soize [2008]. Hence, our model preserves principle properties of the former : a small set of parameters controlling the whole dispersion and the characteristic size of spatial variability, a local behavior being a priori arbitrary anisotropic (triclinic anisotropy) andothers essential mathematical properties. Moreover, a new parameter is added in order to impose a desired anisotropy mean level. Secondly, we carry out adaptations of an existing spectral finite elements-based elastic waves simulation software, namely the SPEC3D parallel computing code. On the one hand a sample generator of the elasticity random field model is implemented and on the other hand anisotropic material behavior is introduced in the elastodynamic solver. Finally, numerical parametric studies are performed using SPEC3D highlighting influences of heterogeneity and anisotropy on elastic waves behavior. In particular, it is observed that the characteristic time beyond which a multiple scattering pattern can be approximated by a diffusion regime directly depends on the correlation length of elasticity tensor field model. This time is detected by an energy equipartition between rotational and irrotational movements.
-Elastic waves propagation
-Triclinic anisotropy
-Random heterogeneity
Source: http://www.theses.fr/2011ECAP0006/document
Publié le : dimanche 6 novembre 2011
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°

École Centrale des Arts et Manufactures
"École Centrale Paris"
Mod´elisation des propri´et´es
m´ecaniques anisotropes al´eatoires et
impacts sur la propagation des ondes
´elastiques.
`THESE
enregistr´ee sous n 2011ECAP0006 et soutenue publiquement le 19 janvier 2011
pour l’obtention du
GRADE DE DOCTEUR
(sp´ecialit´e m´ecanique et g´enie civil)
par
TA Quang Anh.
Composition du jury
Pr´esident : M. Jean-Pierre Vilotte (IPG Paris)
Rapporteurs : M. Geert Lombaert (K.U. Leuven, Belgique)
´M. Eric Savin (ONERA)
Examinateurs : M. Christophe Desceliers (Universit´e Paris Est)
M. Jean-Fran¸cois Semblat (LCPC)
´Invit´e : M. R´egis Cottereau (Ecole Centrale Paris)
´Directeur: M. Didier Clouteau (Ecole Centrale Paris)
Laboratoire de M´ecanique des Sols, Structures et Mat´eriaux — CNRS U.M.R. 8579
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Misenpageaveclaclassethloria.
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Remerciements
Cemémoiredethèse,fruitd’unpeuplusdetroisannéesdetravailpersonnel,n’auraitjamais
aboutisansl’aideetlacollaborationdenombreusespersonnes.Lathèseaétésoutenue,c’estle
momentdemettreparécritmesgratitudesenverscespersonnesquim’ontsoutenues.
Je tiens à remercier tout d’abord et profondément mon directeur de thèse Didier Clouteau
pour m’avoir donné l’occasion de travailler avec lui à partir d’un petit projet d’initiation de re
cherche puis en stage de fin d’étude du Master 2 jusqu’à la fin de ce travail de thèse. C’est une
chance pour moi de témoigner de ses qualités scientifiques et humaines : ses idées novatrices
etéruditesm’ontparfoislaissédanslaperplexitémaislereculm’apermisd’apprécierlaperti
nence que ses connaisances ont apporté à mon travail; son soutient permanent, sa disponibilité
et sa patience infinie m’ont permis de surmonter les moments difficiles de la thèse. Dans notre
équipe OMHA du laboratoire MSSMat, je suis également très reconnaissant envers Maarten
Arnst et Régis Cottereau : l’un pour son encadrement très pédagogique lors de mes premiers
projetsderechercheetpourm’avoirbeaucoupencouragéàcommencercettethèse;l’autrepour
sescollaborationsetsesconseilstrèsconstructifs.
Je remercie vivement Jean Pierre Villote d’une part pour m’avoir accordé l’utilisation et
l’adaptationducodeSPEC3Dinitialementdéveloppéparsonéquipeàl’IPGP(j’enprofitepour
remercier Elise Delavaud, Gëtano Festa et Paul Coupillard pour avoir facilité l’intégration de
montravaildanslelogicielàtraversleursprécieusesexplications)etd’autrepartpourl’honneur
qu’ilnousafaitdeprésiderlejurydemasoutenance.Messincèresremerciementssontdestinés
à Éric Savin et Geert Lombaert pour avoir accepté la tâche fastidieuse d’être rapporteur de
mon manuscrit de thèse. J’exprime toute ma gratitude à Jean François Semblat et à Christophe
Descelierspouravoirbienvouluparticiperaujury.
Mes sentiments de reconnaissance vont également à Jean Marie Fleureau et à Hachmi Ben
Dhia qui m’ont accueilli au sein du laboratoire MSSMat de l’ECP. Je tiens aussi à remercier
Anne Sophie Mounronval l’ingénieur de calcul scientifique du labo de son aide indispensables
pourcetravailconsidérablementorientéenumérique.Jevaisgardercommesouvenirses"appels
à l’ordre" lors de mes utilisations excessives des resources informatiques. Je remercie particu
lièrementSalmaBougacha,JessicaPhilippon,AmélieFauetdenouveauRégisCottereaupour
avoir lu et corrigé la thèse, que ce soient des croquis barbares ou des expressions étranges que
j’ai parfois inventés. Je me suis dit que si un jour vous aviez à traduire votre thèse en vietna
mien, je m’engage à m’en occuper volontiers! J’en profite pour saluer tous les collègues de
travail que j’ai l’occasion de côtoyer : Réza Taherzadeh, Hugo Bajas, Nadia Elkhodja, Alex
Nietoferro, Cédric Zacardi, Fernando Lopez Caballero, Mohamed Torkhani, Biyu Tian, Thành
ÐôVu...˜
ÀtouslesamisdemapromotionPFIEVenFrance,jesouhaitequ’ilstrouventicilamarque
demareconnaissance.
À mon petit Quang Thuy, à ma femme Anh Ðào et à mes parents Quang Ngoc et Thanh. .
Châu,jedédiecemémoiredethèsecommeunpetitmorceaud’unimmensemerci.
i
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011ii
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Résumé
L’objectif de ce travail de thèse est de prendre en compte à la fois l’hétérogénéité, l’ani
sotropie et des incertitudes dans la simulation 3D de la propagation d’ondes élastiques. Pour
ce faire, dans un premier temps, on modélise le champ de propriétés mécaniques, ici le champ
detenseurd’élasticité,parunmodèledechampstochastique3Ddesmatricesdéfinie positives.
La construction de ce modèle de champ est essentiellement fondée sur celle de Soize [2008].
Notre modèle conserve ainsi les propriétés principales du modèle de Soize comme le paramé
trageminimalcontrôlantl’amplitudedelafluctuationetlataillecaractéristiquedelavariabilité
spatiale,lecomportementlocalaprioriarbitrairementanisotrope(anisotropietriclinique)etles
propriétés mathématiques fondamentales. De plus, un nouveau paramètre est introduit dans ce
modèle pour imposer un niveau d’anisotropie moyen souhaité. Dans un deuxième temps, on
effectuedesadaptationsducodedecalculd’élémentsfinisspectraux,àsavoirlecodeparallèle
SPEC3D, afin d’une part de générer les réalisations du champ stochastique du tenseur d’élasti
citéetd’autrepartdeprendreencomptel’anisotropiedanslarésolutionnumériqueduproblème
élastodynamique. Des études paramétriques utilisant SPEC3D sont ensuite réalisées mettant en
évidence les influences de l’anisotropie et des paramètres d’hétérogénéité sur la propagation
d’ondes sismiques. En particulier, elles démontrent une dépendance directe entre la longueur
de corrélation du champ de propriétés et le temps caractéristique d’apparition de la diffusion.
Ce régime se manifeste par l’équipartition d’énergie entre les mouvements irrotationnels et ro
tationnels.
Mots clés : ondes élastiques, anisotropie triclinique, hétérogénéité aléatoire, variabilité spa
tiale, champ stochastique, diffraction multiple, diffusion, simulation numérique 3D, éléments
finisspectraux,calculparallèle.
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tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Résumé
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tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Abstract
The aim of this thesis is to take into account the heterogeneity, the anisotropy and the un
certainties within 3D numerical simulation of elastic waves propagation. Firstly, the elasticity
tensor field is modeled by means of a stochastic tensor valued field. Its construction is genera
lized from the model of Soize [2008]. Hence, our model preserves principle properties of the
former:asmallsetofparameterscontrollingthewholedispersionandthecharacteristicsizeof
spatialvariability,alocalbehaviorbeingaprioriarbitraryanisotropic(triclinicanisotropy)and
othersessentialmathematicalproperties.Moreover,anewparameterisaddedinordertoimpose
a desired anisotropy mean level. Secondly, we carry out adaptations of an existing spectral fi
niteelements basedelasticwavessimulationsoftware,namelythe S PEC3D parallelcomputing
code. On the one hand a sample generator of the elasticity random field model is implemented
and on the other hand anisotropic material behavior is introduced in the elastodynamic solver.
Finally, numerical parametric studies are performed using SPEC3D highlighting influences of
heterogeneityandanisotropyonelasticwavesbehavior.Inparticular,itisobservedthatthecha
racteristic time beyond which a multiple scattering pattern can be approximated by a diffusion
regime directly depends on the correlation length of elasticity tensor field model. This time is
detectedbyanenergyequipartitionbetweenrotationalandirrotationalmovements.
Keywords : elastic waves propagation, triclinic anisotropy, random heterogeneity, spatial va
riability,stochasticfield,multiplescattering,diffusion,3Dnumericalsimulation,spectralfinite
elements,parallelcomputing.
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tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Abstract
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tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Tabledesmatières
Résumé iii
Abstract v
Introduction 1
1 Approchesphénoménologiques 9
1.1 Facteurscaractéristiquesd’échelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2 Étudesdesondessismiquesfondéessurl’homogénéisation . . . . . . . . . . . 12
1.3 Étudesdesondessurlathéoriedeladiffractionsimple . . . 13
1.4 Étudesdesondessismiquesfondéessurlathéoriedeladifmultiple . . 13
1.4.1 Diffractionmultiplesansconsidérationdelaconversiondesmodes . . 14
1.4.2 Difavecconversiondemodes . . . . . . . . . . . . . 15
1.5 Bilanduchapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Tenseurd’élasticitéetlapropagationd’ondes 17
2.1 Tenseurd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.1 Formematricielledutenseurd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.2 Quantificationdel’anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Ondesenmilieuanisotropehomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.1 Comportementélastodynamiquelinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.2.2 Visualisationdesmodespropresd’ondevolumique . . . . . . . . . . . 23
2.2.3 Effets de l’anisotropie sur le comportement élastodynamique d’un es
pacehomogèneinfini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.2.4 Illustrationdesmodesd’ondevolumiquepartypedesymétrie. . . . . . 26
2.3 OndedeRayleighdansdesmilieuxanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.1 Casdesmatériauxisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3.2 Casdesanisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3.2.1 FormulationdeStroh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2.2 OndedeRayleighetImpédanceacoustiqueàlasurface. . . 43
vii
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011Tabledesmatières
2.3.3 Illustrationdesondesdesurface. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.4 Bilanduchapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3 Modélisationdechampsstochastiquesdespropriétésélastiques. 75
3.1 Tenseurd’élasticitéaléatoireàniveaud’anisotropiecontrôlable . . . . . . . . . 76
3.1.1 Élémentsmathématiquessurletenseurd’élasticitéC . . . . . . . . . . 76
3.1.2 Introductiondel’incertitudedansletenseurd’élasticitéC . . . . . . . 78
3.1.2.1 Principe du maximum d’entropie. Modèle de Soize pour les
matricesdéfinies positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.2.1.a Entropieprobabiliste . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.1.2.1.b Maximumd’entropiepourlesmatricesdéfinies positives. 81
3.1.2.2 Construction de la loi de probabilité deC par l’approche de
maximisationd’entropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3.1.2.3 NoyauG:Loidedistributionetschémademiseenoeuvre . 89
3.1.2.4 Modules d’élasticité : Loi de distribution et schéma de mise
enoeuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.1.2.5 PropriétésdelavariableC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.2 Champstochastiquedetenseurd’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1 Processusstochastiqued’unevariablescalaire . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1.1 Processusstochastique:Notionsdebasesetstructuredecor-
rélation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1.1.a Notionsdebases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.2.1.1.b Structuredecorrélation . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.2.1.2 Simulationparreprésentationspectraledeprocessusstochas
tiquesstationnaires,Gaussiensetunivariables . . . . . . . . 105
3.2.2 Extension à la simulation de champ stochastique tridimensionnel mul
tivariable:champdutenseurC(x;δ,δ ;‘) . . . . . . . . . . . . . . . 107G
3.2.2.1 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.2.2.2 Propriétésduchamp{C(x;δ,δ ;‘)|x∈Ω} . . . . . . . . 111G
3.3 Formulationvariationnellestochastique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.1 Modèledéterministeenélasto visco dynamique . . . . . . . . . . . . . 112
3.3.2stochastiqueen . . . . . . . . . . . . . 114
3.4 Bilanduchapitre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4 Simulationsnumériques 119
4.1 Brèvezoologiedesméthodesnumériquesenélastodynamique. . . . . . . . . . 119
4.2 Élémentfinisspectraux:milieuisotrope,homogèneparélément . . . . . . . . 123
4.2.1 Formevariationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
viii
tel-00589052, version 1 - 27 Apr 2011

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