Nuclear many-body continuum states and their boundary conditions in a collective-coordinate representation [Elektronische Ressource] : resonances and phase shifts in fermionic molecular dynamics / von Alberto Cribeiro Santalla

Description

Nuclear Many-Body Continuum Statesand their Boundary Conditionsin a Collective-Coordinate RepresentationResonances and Phase Shifts in FermionicMolecularDynamicsVom Fachbereich Physikder Technischen Universit¨at Darmstadtzur Erlangung des Gradeseines Doktors der Naturwissenschaften(Dr. rer. nat.)genehmigte Dissertation vonLic. Alberto Cribeiro Santallaaus Nar´onDarmstadt 2005D17Referent: Prof. Dr. H. Feldmeier1. Korreferent: Prof. Dr. R. Roth2. Korreferent: Prof. Dr. K. LangankeTag der Einreichung: 24.5.2005Tag der Pru¨fung: 11.7.2005All truths are easy to understand once they are discovered;the point is to discover them.Galileo GalileiiiiivContentsContents vZusammenfassung 1Introduction 31 Schematic Model 71.1 Statement of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.1 Physical situations and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Eigenvalue problem with boundary conditions . . . . . . . . . . . . 81.2 Gamov Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Characterization of a decay process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Boundary conditions for the decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Boundary conditions in a grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.1 One-dimensional grid in coordinate space . . . . . . . . . . . . . . . 141.3.2 Spherical plane wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.

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• Physik

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• Publié le: 01 janvier 2005
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Extrait

Nuclear Many-Body Continuum States and their Boundary Conditions in a Collective-Coordinate Representation

Resonances and Phase Shifts in Fermionic Molecular Dynamics

Vom Fachbereich Physik derTechnischenUniversita¨tDarmstadt

zur Erlangung des Grades eines Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)

genehmigte Dissertation von Lic. Alberto Cribeiro Santalla ausNaro´n

Darmstadt 2005 D17

Referent:

1. Korreferent:

2. Korreferent:

Tag der Einreichung:

TagderPr¨ufung:

Prof.

Prof.

Prof.

Dr.

Dr.

Dr.

24.5.2005

11.7.2005

H.

R.

K.

Feldmeier

Roth

Langanke

All

truths

are

easy

iii

to

understand once the point

they is to

are discovered; discover them.

Galileo

Galilei

iv

Contents Zusammenfassung

Contents

Introduction 1 Schematic Model 1.1 Statement of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Physical situations and boundary conditions . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Eigenvalue problem with boundary conditions . . . . . . . . . . . . 1.2 Gamov Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Characterization of a decay process . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Boundary conditions for the decay . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Boundary conditions in a grid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 One-dimensional grid in coordinate space . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Spherical plane wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Coulomb wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Boundary conditions in a general basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Set of gaussians spanning a Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1 Formulation of the problem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Relative distance representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.1 Formal definition of a relative distance . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.2 Operators in a restricted Hilbert space . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.3 Discrete form of the representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.4 Implementation of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6.5 Limitations of the representation and possible improvements . . . . 1.7 Boundary conditions in the discrete relative distance representation . . . . 1.7.1 Coulomb wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7.2 Free spherical wave . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

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Contents

2 Microscopic Model 2.1 The nuclear model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Variational principle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 Hartree-Fock approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Fermionic Molecular Dynamics representation . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Nucleon-nucleon interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Multi-configuration calculations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Collective-coordinate representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Decomposition of operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Commutation relations and eigenrepresentation . . . . . . . . . . . 2.2.3 Collective-coordinate representation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 Relative wave function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 The relative velocity operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.6 Implementation of derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Formulation of boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Asymptotic Coulomb waves in 8  . . . . . . . . . . . . . . . . .Be . 2.4.2 Loosely bound neutron in 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .He Summary and Outlook Bibliography

vi

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Zusammenfassung

ZielderKernstrukturtheorieistes,dievielfa¨ltigenPh¨anomene,diemaninAtomkernenund niederenergetischen Kernreaktionen beobachtet, in einem einheitlichen mikroskopischen Modell zu beschreiben. Ausgehend von realistischen Nukleon-Nukleon(NN)-Wechselwir- kungen, die die Daten der NN-Streuung und des Deuterons exakt beschreiben, versucht mandasquantenmechanischeVielteilchenproblemimabinitioSinnezul¨osen. In der vorliegenden Arbeit werden in einem mikroskopischen Modell nukleare Reso- nanzen und Streuphasen elastischer Streuung berechnet. Als Wechselwirkung zwischen denNukleonenwerdensowohlpha¨nomenologischealsaucheffektiveWechselwirkungen basierend auf realistischen NN-Wechselwirkungen verwendet. Ein Problem solcher mikro- skopischer Modelle besteht darin, dass man die asymptotischen ein- und auslaufenden Streuzusta¨ndemitZust¨andenbeschreibt,indenendieRelativbewegungunddieintrinsis- chenFreiheitsgradedergestreutenKernefaktorisieren,wa¨hrendmanimWechselwirkungs- bereich wegen der Ununterscheidbarkeit der Nukleonen antisymmetrisierte Produkte von Einteilchenzust¨andenbenutzt.ImRaumdertotalantisymmetrischenZust¨andef¨urunun- terscheidbare Teilchen kann man jedoch nicht die Nukleonen aus Kern 1 von denen aus Kern 2 unterscheiden, sodass es keinen Operator gibt, der den Abstandsvektor~r 12 zwischen Kern1undKern2misst.ManhatalsokeineDarstellungf¨urdieRelativkoordinater~ 12 wie im asymptotischen Bereich, wo die Antisymmetrisierung der Teilchen zwischen den beiden Kernen keine Rolle mehr spielt. Aus diesem Grund wird eine Darstellung entwickelt, die es erlaubt, die asymptotischen Streuzusta¨ndemitdenmikroskopischenProduktzust¨denzuverkn¨upfen.Dazuwirdein an Operator ∼ B= 1 A P i<j ( ∼ ~x(i)− ∼ ~x(jschbetriglicez¨uclehThie-vnre))in2e¨fegtrhured,mmys tauschungistunddieGro¨ßedesSystemsmisst.SeineEigenzust¨andeindemverwendeten Vielteilchen-Hilbert-Raum bilden eine Darstellung des Relativabstands, die im asympto- tischenBereichindiegew¨unschteFaktorisierungrelativ-intrinsisch¨ubergeht.DerWinkel- anteil der Relativbewegung wird durch explizite Drehimpulsprojektion des Vielteilchensys- temsberu¨cksichtigt.SolcheineBeschreibungermo¨glichtes,dieRandbedingungenunddie Vielteilchen-Schr¨odinger-GleichungineinemmodifiziertenEigenwertproblemzusammen- zufassen. Die Darstellung und ihre Anwendung in der Formulierung der Randbedingungen wer- den zuerst in einem schematischen Modell untersucht. Die Definition eines Abstandsmaßes wird durch den Operator ∼ BAbstandaelativend,reovrmna¨rhcse-kt,ng¨abhmbneeiin ten Hilbertraum realisiert, der von einer diskreten, nicht orthogonalen Basis aufgespannt

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Zusammenfassung

wird.DarausfolgteinediskreteDarstellungbezu¨glichdesrelativenAbstandes.DieEigen- vektorendiesesOperatorsprojiziereninnerhalbdesHilbertraumsaufZust¨andemitgut lokalisiertem Abstand, dessen Wert durch den entsprechenden Eigenwert gegeben ist. Die Ableitungenbezu¨glichdesRelativabstandswerdendurchPotenzendesKommutatorsvon B Dadurchmit dem Hamiltonian erzeugt. wird die Formulierung der Randbedingungen ∼ durch die Gleichsetzung mehrerer Ableitungen der asymptotischen Coulombwellenfunk- tionenmitdenentsprechendenAusdr¨uckenderkollektivenKoordinatendarstellungdes mikroskopischenModellsermo¨glicht. Zun¨hstwirddieGu¨ltigkeitdieserMethodedurchVergleichmitanderenMetho-ac dengezeigt.Dafu¨rwerdendieselbeneffektivenNN-WechselwirkungenundVielteilchen- zusta¨ndewiebeidenanderenMethodenverwendet.SchließlichwerdenmitdieserMethode Resonanzen und Streuphasen mit einer realistischen Wechselwirkung in einer mikroskopi- schen, antisymmetrischen Beschreibung des Systems berechnet. Das asymptotische Ver- haltenvonStreulo¨sungenmitein-undauslaufendenWellenundvonGamovzusta¨ndenmit reinauslaufendenWellenwirdfu¨rSystememitundohneCoulombabstoßunguntersucht. Der Vorteil der vorgeschlagenen Methode ist, dass sie keine exakte Faktorisierung vonRelativanteil,Winkelabha¨ngigkeitderRelativkoordinate,Schwerpunktsbewegungund deninternenFreiheitsgradenderFragmenteerfordert.Außerdemermo¨glichtdieseMe- thodeeineVerbesserungdesModellraumsdurchverbesserteEinteilchenzusta¨ndeunddurch Ber¨ucksichtigungvonPolarisationseffektenindenVielteilchenkonfigurationen.DieMetho- de kann auch erweitert werden, um wichtige Probleme in der nuklearen Astrophysik, wie gekoppelteKan¨ale(,,coupledchannels”)undKernreaktionenderArtA(a,b)B,behandeln zuko¨nnen.Einezus¨atzlicheEigenschaftderkollektivenKoordinatendarstellungistdie Berechnung effektiver Kern-Kern Potentiale aus der NN-Wechselwirkung.

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