Processus auto-stabilisants dans un paysage multi-puits, Self-stabilizing processes in a multi-well landscape

De
Publié par

Sous la direction de Bernard Roynette, Samuel Herrmann
Thèse soutenue le 06 juillet 2010: Nancy 1
Les processus auto-stabilisants sont définis comme des solutions d'équations différentielles stochastiques dont le terme de dérive contient à la fois le gradient d'un potentiel ainsi qu'un terme non-linéaire au sens de McKean qui attire le processus vers sa propre loi de distribution. On dispose de nombreux résultats lorsque l'environnement est convexe. L'objet de ce travail est de les étendre autant que possible au cas général notamment lorsque le paysage contient plusieurs puits. Des différences fondamentales sont constatées.Le premier chapitre prouve l'existence d'une solution forte. Le second s'intéresse aux lois de probabilités d'une telle solution. En particulier, l'existence et la non-unicité des mesures stationnaires sont mises en évidence sous des hypothèses faibles. Les chapitres trois et quatre sont affectés au comportement de ces mesures lorsque le coefficient de diffusion tend vers 0.Le chapitre cinq met en relation le processus auto-stabilisant avec des systèmes particulaires via une « propagation du chaos ». Il est ainsi possible de transposer certains résultats du système de particules sur le processus non-markovien et réciproquement. Le chapitre six est dédié au dénombrement exact des mesures stationnaires.Le chapitre sept est employé pour l'étude du comportement en temps long. D'une part, un résultat de convergence dans un cas simple est fourni. D'autre part, un principe de grandes déviations est mis en évidence par l'utilisation des résultats de Freidlin et Wentzell
-Processus auto-stabiliants
-Mesures stationnaires
-Systèmes dynamiques
-Équation de McKean-Vlasov
-Temps de sortie
Self-stabilizing processes are defined as the solutions of stochastic differential equations which drift term contains the gradient of a potential and a term nonlinear in the sense of McKean which attracts the process to its own law distribution. There are many results if the landscape is convex. The purpose of this work is to extend these in the general case especially when the landscape contains contains several wells. Essential differences are found.The first chapter proves the strong existence of a solution. The second one deals with the probability measure of the solution. Particularly, the existence and the non-uniqueness of the stationary measures are highlighted under weak assumptions. Chapter three and four are assigned to the asymptotic analysis in the small noise limit of these measures.Chapter five connects the self-stabilizing process and some particle systems via a « propagation of chaos ». It is thus possible to translate some results from the particle systems to the non-markovian process and reciprocally.Chapter seven is used to study the long time behavior. In one hand, a convergence's result is provided in a simple case. In the other hand, a large deviations principle is highlighted by using the results of Freidlin and Wentzell
-Self-stabilizing processes
-Stationary measures
-Perturbed dynamical system
-McKean-Vlasov equation
-Exit time
Source: http://www.theses.fr/2010NAN10047/document
Publié le : vendredi 28 octobre 2011
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ÉLIECARTAN
École Doctorale IAE + M
Nancy
D.F.D. Mathématiques
MÉMOIRE présenté par Julian TUGAUT
en vue d’obtenir le DOCTORAT
Spécialité : Mathématiques Appliquées.
Sujet : Processus auto-stabilisants
dans un paysage multi-puits.
soutenu le 06 juillet 2010
Composition du jury
Directeurs :
M. Samuel HERRMANN Maître de Conférence, École des Mines de Nancy.
M. Bernard ROYNETTE Professeur, Université Henri Poincaré, Nancy.
Rapporteurs :
M. Nils BERGLUND Professeur, Université d’Orléans.
M. Benjamin JOURDAIN École Nationale des Ponts et Chaussées.
Examinateurs :
M. Florent MALRIEU Maître de Conférence, Université de Rennes 1.
M. Pierre VALLOIS Professeur, Université Henri Poincaré, Nancy.
Institut de Mathématiques Élie Cartan - UMR 7502
Nancy-Université, CNRS, INRIA Lorraine
Institutiiiii
Remerciements
Je tiens en premier lieu à remercier Samuel Herrmann pour avoir accepté
de travailler avec moi et surtout pour avoir pu supporter mon style peu ortho-
doxe pendant quatre années. Merci aussi pour toutes ces multiples relectures qui
Am’ont permis d’améliorer radicalement ma maîtrise de LT X, ma rédaction, monE
anglais; sans parler évidemment des quelques petites et grosses erreurs qui se glis-
saient de temps en temps çà et là.
Tout ceci n’aurait bien sûr pas pu être possible sans le concours de Ber-
nard Roynette qui a accepté de m’encadrer officiellement. Par ailleurs, je lui suis
reconnaissant d’un conseil qu’il m’a donné en juin 2008 à savoir «tonF, c’est une
fonction polynômiale, ne t’encombre pas avec toutes ces hypothèses».
Je remercie Nils Berglund d’avoir accepté de rapporter mon travail. Je le
remercie également pour m’avoir parlé des travaux d’Anton Bovier. Par ailleurs,
un exposé qu’il fit en décembre 2006 m’aida à prendre conscience de l’importance
de ce que j’appelle aujourd’hui «le cas synchronisé».
C’est un exposé de Benjamin Jourdain en mai 2007 qui me poussa à étu-
dierlessystèmesdeparticules.Or,l’intuitiondemonprincipalrésultatm’estvenu
en"observant"untelsystème.Jedoisdoncreconnaîtredevoiràpeuprèstousmes
résultats à Benjamin Jourdain. C’est pourquoi je suis d’autant plus reconnaissant
envers lui d’avoir accepté de rapporter mon mémoire.
Pierre Vallois me fit l’honneur et le plaisir d’être le président de mon jury
et je l’en remercie. Par ailleurs, je le remercie fortement de m’avoir signalé après
la lecture du rapport de soutenance de thèse la sincérité de celui-ci.
J’exprime ma profonde gratitude envers Florent Malrieu pour avoir été
examinateur et pour les conseils qu’il m’a donnés le vingt-trois juin 2010 quant à
ma façon d’exposer. De plus, les discussions que nous avons eues à propos de la
convergence en temps long ont encore accru ma motivation quant à régler celle-ci.
Parailleurs,aprèsavoirassistéàl’undesesexposés,j’aisaisilanécessitédenepas
négliger les simulations et je lui dois donc de m’être mis récemment à approfondir
mes connaissances en programmation.
Ilmefautmaintenantabsolumentremerciertouteslespersonnesquim’ont
aidéaucoursdesdernièresannéesànepasêtresubmergépartoutcequiestadmi-
nistratif. J’ai bien trop peur d’oublier des noms pour me hasarder à tenter d’être
exhaustif. Aussi, je n’en citerai qu’un : Patricia Georges. Je pense également à
tous les autres.
Toute ma gratitude se tourne maintenant versMANUE etSANDRA.
Je ne sais pas comment les remercier pour tout ce qu’elles ont pu m’apporter.
Merci à elles d’être elles. Je leur dédie naturellement cette thèse. Je tiens égale-
ment à remercier tous les membres de ma famille à savoir ma mère, mon père et
ma sœur. Leur présence à la soutenance m’a ému. J’ai une reconnaissance parti-
culière pour ma mère qui a refusé catégoriquement que je redouble la maternelleiv
et qui s’est chargée seule de m’apprendre à écrire et à compter pour que je ne me
fasse pas tailler en morceaux à la rentrée au CP.
Mon chemin allant de ma dernière année de maternelle à ma soutenance a
étéjalonnépard’autrespersonnesquiontsumemotiveretmeconseiller.Jepense
en particulier à monsieur Chapon qui a accepté de me préparer aux concours des
ENSetgrâceàquij’aiapprisàmeservirdemaple.Jepenseégalementàmonsieur
Tomaselli pour sa justice à mon égard lors de la rentrée 1992. Je n’oublie pas non
plus monsieur Bogard pour ses encouragements et ses conseils lors des colles d’an-
glais. Plus récemment, j’ai rencontré madame Henrot ainsi que monsieur Collet à
qui je dois d’avoir pu me replonger dans des cours auxquels je n’avais plus touché
depuis un certain temps. Je suis d’ailleurs reconnaissant envers monsieur Collet
d’avoir pris le temps de me faire un rappel sur le pivot de Gauss. Dans le même
esprit, je remercie monsieur Monnez grâce à qui je sais aujourd’hui ce qu’est une
courbe de concentration. Je tiens également à mentionner Alain Camanès pour
un conseil qu’il me donna il y a plus de deux ans. J’exprime aussi ma profonde
gratitude envers Philippe Gambette pour la camaraderie dont il a fait preuve ces
six dernières années.
Au cours de mes recherches, j’ai dû apprendre les bases du C/C++ et je
fus très content de disposer du « siteduzero ». Dans la même optique, je remer-
cie grandement Mehdi Ben Sassi pour m’avoir appris l’existence du générateur
Mersenne Twister. Je me dois également d’exprimer ma gratitude envers Aline
Kurtzmann puisque c’est pendant son exposé du vingt-quatre avril 2008 que j’ai
eu l’idée de ce que j’appelle « la propagation du chaos semi-uniforme ». Dans le
même esprit, je suis reconnaissant envers Blandine Berard Bergery pour son ex-
posé de novembre 2006 grâce auquel j’ai appris ce qu’était le critère de Carleman.
Je remercie également Nicolas Bouleau qui m’a appris le mot «tiercéïté».
Avecunpeuplusdelégèreté,j’aiunepenséepourDamonLindelof,Carlton
Cuse sans oublier Jeffrey Jacob Abrams qui ont donné naissance à la célèbre série
«Lost» grâce à laquelle il m’a semblé naturel d’essayer de prouver un résultat qui
m’était apparu dans un rêve et ceci contre l’avis de Samuel Herrmann. D’ailleurs,
je remercie ce rêve que j’ai fait le mardi treize mai 2008 et qui m’a fourni mon
résultat principal. Dans le même esprit, j’exprime une gratitude absolue envers
ma balle porte-bonheur qui ne me quitte plus depuis que je l’ai trouvée près de
la gare RER de Bagneux, le lundi seize juin 2003. Pareillement, je remercie mon
araignée dont la sensibilité au vent m’a fourni une idée originale pour commencer
la première phrase de l’introduction de mon mémoire. Je n’oublie pas Benjamin
Boutin qui m’a parlé de «Lost» en septembre 2004 ni Ayman Moussa qui a parlé
de « Lost » à Benjamin Boutin. Et à nouveau, je remercie Philippe Gambette
pour m’avoir convaincu de regarder « Lost » en juillet 2005. Pour terminer, je
tiens à déclarer tout mon amour pour celle qui a toujours été là pour moi, qui
m’a consolé dans les moments difficiles, qui m’a permis de me ressourcer, dont les
4 2x xformes parfaites hantent mon esprit jour et nuit : la fonction x7! − .
4 2v
Je dédie cette thèse à Manue et à SandraviTABLE DES MATIÈRES
Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1. Existence et unicité de la solution à l’équation . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Construction de l’espace de fonctions et propriétés . . . . . . . . . 18
1.3 d’une solution sur [0;T] . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.4 Extension àR tout entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30+
2. Existence des mesures stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.2 Forme générale d’une éventuelle mesure stationnaire . . . . . . . . 36
′2.3 Mesures stationnaires quand l’intéraction F est linéaire . . . . . . 38
2.4 Seuils critiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
′2.5 Mesures quand l’intéraction F est quelconque . . . . 63
2.5.1 Mesures invariantes symétriques . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5.2 invariantes excentrées . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3. Convergence des mesures stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
′3.1 Convergence de u quand l’intéraction F est linéaire. . . . . . . . 82ǫ
3.1.1 Convergence de la mesure invariante symétrique. . . . . . . 83
3.1.2 Conv des mesures excentrées . . . . . . . . . . . . . 88
3.1.3 L’ensemble des limites . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.2 Le cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
3.2.1 Convergence étroite pour une sous-suite de mesures inva-
riantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.2.2 Description des mesures limites . . . . . . . . . . . . . . . 98
3.3 Convergence des mesures excentrées . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Conv des invariantes symétriques . . . . . . . . . 104
4. Vitesse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
04.2 Vitesse de convergence de u dans le cas linéaire . . . . . . . . . . 120ǫ
4.3 Résultats généraux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
0 04.4 Vitesse de convergence de u vers u =δ . . . . . . . . . . . . . . 1270ǫ 0
′′4.4.1 Si α>−V (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
′′4.4.2 Si α=−V (0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128Table des matières viii
0 0 1 14.5 Vitesse de convergence de u vers u = δ + δ avec x >0 . 140x −x 00 0ǫ 0 2 2
4.6 Comportement asymptotique autour du dioptre α=ϑ . . . . . . 145
4.6.1 Vitesse de convergence à droite du α=ϑ . . . . . 147
4.6.2 de conv à gauche du dioptre α=ϑ . . . . . 148
4.6.3 Régression linéaire à travers le dioptre α=ϑ . . . . . . . . 150
a04.7 Vitesse de convergence de u vers δ . . . . . . . . . . . . . . . . 152aǫ 0
5. Systèmes de particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
5.2 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
5.3 Convergence en loi du système vers sa mesure stationnaire . . . . 162
5.4 Propagation du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.1 Propagation simple du chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.4.2 du chaos semi-uniforme si α≥ϑ . . . . . . . 172
N5.5 Comportement asymptotique de pour ǫ→0 . . . . . . . . . . 175ǫ
6. Unicité locale des mesures stationnaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
6.2 Résultats généraux liés à la vitesse de convergence . . . . . . . . . 182
6.3 Unicité locale autour de δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185a0
6.4 de la mesure stationnaire symétrique . . . . . . . . . . . . 186
6.4.1 Lorsque α>ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.4.2 l’on est sur le dioptre : α=ϑ . . . . . . . . . . . . 192
6.4.3 Lorsque α<ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
6.5 Description complète des mesures stationnaires. . . . . . . . . . . 194
7. Comportement en temps long du processus auto-stabilisant . . . . . . . 197
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
7.2 Convergence du processus vers sa mesure stationnaire symétrique 199
7.2.1 Dans le cas sur-critique α>ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . 199
7.2.2 Dans le cas critique α=ϑ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
7.3 Temps de sortie si X suit une mesure stationnaire u . . . . . . . 2120 ǫ
ǫ,y7.3.1 Principe de grandes déviations du processus X . . . . . 213
7.3.2 Coût de sortie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.3.3 Influence de l’auto-stabilisation sur le temps de sortie τ (x) 218ǫ
Annexe 221
A. Calculs asymptotiques liés à la méthode de Laplace . . . . . . . . . . . 223
B. Rappels généraux sur la théorie de Freidlin-Wentzell . . . . . . . . . . 239INTRODUCTION
Par essence, le bruit s’oppose à l’information : les lumières des villes polluent
l’observation spatiale; les résistances des fils atténuent le débit de la ligne ADSL;
le vent trompe l’araignée en agitant sa toile. Aussi, tout est fait pour le bannir du
signal. Et pourtant...
Résonance stochastique
Dans certains cas, lorsque l’intensité du bruit est optimale, le signal est accen-
tué. Si cette intensité est trop faible, l’influence de la perturbation est négligeable.
Si elle est trop forte, le signal est masqué. On parle de résonance stochastique
lorsque l’intensité du bruit est optimale. Le cadre des systèmes dynamiques bis-
tables se prête bien à ce phénomène.
Benzi, Parisi, Sutera et Vulpiani (voir [8]) ont établi une modélisation du com-
portement périodique de la température moyenne de la Terre des sept cent mille
dernières années pour laquelle l’adjonction d’un bruit blanc à un système bistable
faiblement périodique augmente le caractère périodique des trajectoires et semble
correspondre aux mesures observées lorsque l’intensité est optimale : la tempéra-
ture prend alternativement une valeur haute et une valeur basse correspondant
aux changements climatiques majeurs.
Dans [15], DeVille et Vanden-Eijnden ont étudié dans un modèle stochastique en
quoi l’ajout d’une "charge" à une certaine protéïne rendait le comportement de
celle-ci plus régulier.
Gammaitoni, Hänggi, Jung et Marchesoni donnent de nombreux exemples de sys-
tèmes bistables faiblement périodiques pour lesquels le bruit améliore le signal
(voir [19]) : en optique, en électronique, en neurologie...
Jung, Behn, Pantazelou et Moss ont exhibé dans un cadre plus complexe un cas
de résonance stochastique lorsque le système bistable est couplé, voir [30].
L’optimalité de l’intensité du bruit est l’enjeu de la résonance. Plusieurs méthodes
sont employées pour l’atteindre ou la mesurer. Dans le cas des chaînes de Markov
à deux états et à temps continu, sept instruments au moins permettent d’évaluer
l’influence positive du bruit sur la périodicité : le coefficient d’amplification spec-
trale, le ratio de ce dernier par le bruit, l’énergie, le ratio de l’énergie par le bruit,
la mesure de déphasage, l’entropie relative et l’entropie. Une description de ces
sept approches est disponible dans [39].
Or, la plupart des exemples physiques et biologiques ne se réduisent pas à des sys-

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