Propriétés spectrales des opérateurs de Toeplitz

De
Publié par

Sous la direction de Elizabeth Strouse
Thèse soutenue le 20 mai 2010: Bordeaux 1
La première partie de la thèse réunit des résultats classiques sur l’espace de Hardy, les espaces modèles et l’espace de Bergman. Puis sur cette base, nous exposons des travaux relatifs aux opérateurs de Toeplitz, en particulier, nous présentons la description du spectre et du spectre essentiel de ces opérateurs sur l’espace de Hardy et de Bergman. La première partie de notre recherche tire son inspiration de deux faits établis pour un opérateur de Toeplitz T. Premièrement, sur l’espace de Hardy, la norme de T, la norme essentielle de T et la norme infinie du symbole de T sont égales. Nous étudions ce cas d’égalité sur l’espace de Bergman pour les opérateurs de Toeplitz à symbole quasihomogène et radial. Deuxièmement, sur l’espace de hardy, le spectre et le spectre essentiel sont fortement liés à l’image du symbole de T. Nous étudions le cas d’égalité entre le spectre et l’image essentielle du symbole pour les symboles quasihomogènes et radials. Pour répondre à ces deux questions, nous utilisons la transformée de Berezin, les coefficients de Mellin et la moyenne du symbole. La dernière partie de la thèse s’interesse au théorème de Szegö qui donne un lien entre les valeurs propres d’une suite de matrices de Toeplitz de taille n, et le symbole de cette suite de matrice. Nous donnons un résultat du même type sur l’espace de Bergman pour les symboles harmoniques sur le disque et continus sur le cercle. Enfin, nous étudions une généralisation de ce théorème en compressant l’opérateur de Toeplitz sur une suite d’espaces modèles de dimension finie.
-Opérateur de Toeplitz
-Espace de Bergman
-Spectre
-Spectre essentiel
-Quasi-homogène
-Radial
-Image essentielle
-Transformée de Berezin
-Coefficient de Mellin
-Théorème de Szegö
This thesis deals with the spectral properties of the Toeplitz operators in relation to their associated symbol. In the first part, we give some classical results about Hardy space, model spaces and Bergman space. Afterwards, we expose some results about Toeplitz operator on the Hardy space. In particular, we discuss their spectrum and essential spectrum. Our work is inspired from two facts which have been proved on the Hardy space. First, considering a Toeplitz operator T, the norm, essential norm, spectral radius of T and the supremum of its symbol are equal. Secondly, on the Hardy space, spectrum, essential spectrum and essential range are strongly related. We answer the question of the equality between the norms, the spectral radius and the supremum of the symbol and between spectrum and essential range on the Bergman space. We look at these two properties on the Bergman space when the symbol is radial or quasihomogeneous. We answer these questions using the Berezin transform, the Mellin coefficients and the mean value of the symbol. The last part deals with the classical Szegö theorem which underline a link between the eigenvalues of a Toeplitz matrix sequence and its symbol. We give a result of the same type on Bergman space considering harmonic symbol wich have a continuous extension. We give a generalization, considering the sequence of the compressions of a Toeplitz operator on a sequence of model spaces.
-Toeplitz operator
-Bergman space
-Spectrum
-Essential spectrum
-Essential range
-Berezin transform
-Mellin coefficient
-Szegö theorem
Source: http://www.theses.fr/2010BOR14027/document
Publié le : vendredi 28 octobre 2011
Lecture(s) : 68
Tags :
Nombre de pages : 116
Voir plus Voir moins

°
N d’ordre : 4027
THÈSE
présentée à
L’UNIVERSITÉBORDEAUX1
ÉCOLE DOCTORALE DE MATHÉMATIQUES ET INFORMATIQUE
par M Benoit BARUSSEAU
POUR OBTENIR LE GRADE DE
DOCTEUR
SPÉCIALITÉ : Mathématiques pures
*****************************
PROPRIÉTÉS SPECTRALES DES OPÉRATEURS
DE TOEPLITZ
*****************************
Soutenue le : 20 mai 2010
Après avis de :
Wing Suet LI Professeur, Georgia Institute of Technology Rapporteur
Rao NAGISETTY Professeur, Université de Toledo Rapporteur
Devant la commission d’examen formée de :
R. DEVILLE Professeur, Université Bordeaux 1 Examinateur
S. KUPIN Professeur, Université Bordeaux 1 Examinateur
W.S. LI Professeur, Georgia Institute of Technology Rapporteur
R. NAGISETTY Professeur, Université de Toledo Rapporteur
S. SERRA CAPIZZANO Professeur, Université de l’Insubrie Président du jury
E. STROUSE Maître de conférences HDR, Université Bordeaux 1 Directeur de thèse
- 2010 -Remerciements
Je souhaite tout d’abord remercier ma directrice de thèse Elizabeth
STROUSE pour m’avoir permis de réaliser cette thèse. Je la remercie pour ses
nombreuses lectures et relectures de mes travaux ; je sais qu’elles furent attentives
et bienveillantes malgré son activité débordante au sein de l’université.
C’est avec plaisir que j’ai échangé avec Rao Nagisetty. Je le remercie pour
l’interet qu’il a porté à ma thèse ainsi que pour sa lecture minutieuse et fruc-
tueuse en remarques.
Ma gratitude va également à Stefano Serra Capizzano qui s’est rendu dispo-
nible pour assister à ma soutenance et pour présider le jury. Je le remercie égale-
ment pour avoir pris le temps de commenter abondamment le dernier chapitre de
cette thèse.
Merci à Wing Suet Li et Rao Nagisetty pour avoir accepté d’être les rappor-
teurs de ma thèse ainsi qu’à Robert Deville et Stanislas Kupin pour avoir accepté
de faire partie du jury.
Je profite de cette page pour remercier tendrement ma famille : ma maman,
mes frères et ma soeur qui m’ont accompagnés moralement tout au long ces
quatre années.
Bien sûr, je remercie ma femme pour son soutien. Sans son calme et sa ten-
dresse ces quatre années n’auraient pas été aussi douces.Tabledes matières
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Espaces de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Espaces de Hilbert possédant un noyau reproduisant. . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.1 Fonctions holomorphes, harmoniques et sous-harmoniques. [1] . . . . 7
1.1.2 Espaces à noyau reproduisant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2 Espaces de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
21.2.2 L’espace de Hardy H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Fonctions intérieures, produits de Blaschke, noyau reproduisant. . . . . . 15
2 Espaces modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.1 Résultats classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Espaces modèles de dimension finie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Opérateurs de Toeplitz, Matrices de Toeplitz. . . . . . . . . . . . . . . 27
3.1 Opérateur de multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2 Opérateur de Toeplitz sur l’espace de Hardy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.1 Définitions et existence de symbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3 Spectre et spectre essentiel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 Opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Bergman. . . . . . . . . . . . 43
4.1 Espace de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Opérateurs de Toeplitz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.1 Premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4.2.2 Etude et résultats généraux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.2.3 Le cas des symboles harmoniques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3.1 Norme d’opérateur et norme du symbole. . . . . . . . . . . . . . 48
4.2.3.2 Spectre et spectre essentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
5 Opérateurs de Toeplitz à symbole quasihomogène. Relations entre
norme, coefficients de Mellin et transformée de Berezin. . . . . . . . . 53
5.1 Opérateurs de Toeplitz à symboles quasihomogènes et radials. . . . . . . 53
5.1.1 Définitions et motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.2 Résultats antérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 Lien avec le cas radial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 Norme dans le cas quasihomogène. CaskT k=kFk . . . . . . . . . . . . 60F ∞
5.3.1 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
12 Table des matières
5.3.2 Conditions suffisantes : quelques cas simples. . . . . . . . . . . . . . . 61
5.3.3 Conditions équivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.3.3.1 Quelques Outils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.3.3.2 Preuve du théorème 5.16. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
6 Contre-exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.1 Idée de la construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2 Construction et démonstrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.1 Démonstration de la deuxième inégalité. . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2.2 Preuve de la première inégalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
7 Spectre des opérateurs de Toeplitz à symboles quasihomogènes et
radials. Maximalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1 Description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.1 Shift à poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7.1.2 Spectre des opérateurs de Toeplitz à symboles quasihomogènes. . . 79
7.1.3 Une autre approche : les shift à poids opératoriel . . . . . . . . . . . . 81
7.2 Simplification de maxρ (F). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82j
7.3 Maximalité du spectre dans le cas quasihomogène. . . . . . . . . . . . . . . 84
7.4 Application : le cas radial réel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.4.1 Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
7.4.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8 Matrices de Toeplitz tronquées. Théorème de Szegö. . . . . . . . . 89
8.1 Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2 Matrices circulantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
8.2.2 Matrices Cesàro circulantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.3 Application à l’espace de Bergman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
8.4 Théorème de Szegö sur des suites d’espaces modèles. . . . . . . . . . . . . 99
8.4.1 Motivations et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
n8.4.2 Quelques résultats supplémentaires sur K . . . . . . . . . . . . . . . 100B
8.4.2.1 Résultat de type Szegö. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
8.4.3 L’espace M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1031
8.5 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Introduction
Cette thèse est dédiée à l’étude du spectre de certains opérateurs sur des espaces
de fonctions analytiques.
Notre thèse commence par l’étude des opérateurs de Toeplitz sur l’espace de
Hardy. Notre but a été de comparer sur d’autres espaces, quelques propriétés des
opérateurs de Toeplitz établies sur l’espace de Hardy du cercle. La première pro-
priété du spectre d’un opérateur de Toeplitz sur l’espace de Hardy à symbole
borné est que le rayon spectral est la norme infinie du symbole. Concernant la
géométrie du spectre et du spectre essentiel, le fait que l’opérateur de Toeplitz
soit la compression de l’opérateur de multiplication sur l’espace de Hardy laisse
soupçonner un lien fort entre ces spectres et l’image essentielle du symbole associé
à cet opérateur. Cependant, il n’y a pas de description générale du spectre ou du
spectre essentiel d’un opérateur de Toeplitz. On sait que si le symbole de l’opéra-
teur de Toeplitz est borné, le spectre et le spectre essentiel sont connexes. On sait
également que si le symbole est continu alors le spectre essentiel est l’image essen-
tielle du cercle par ce symbole. Certaines propriétés analogues sont établies avec
des méthodes similaires sur l’espace de Bergman pour des symboles harmoniques.
L’espace de Bergman ne se réduit pourtant pas aux fonctions harmoniques. Nous
étudions les fonctions quasihomogènes et radiales ; ces fonctions, simples à mani-
puler, permettent la construction d’exemples et de contre-exemples. Enfin sur
l’espace de Hardy, le théorème de Szegö classique établit un lien entre le spectre
des compressions d’un opérateur de Toeplitz T sur des sous-espaces de polynômesf
et le symbole f. Nous établissons un théorème de ce type pour des compressions
sur d’autre espaces de dimension finie.
Le chapitre 1 est consacré à la présentation de l’espace de Hardy du cercle,
2H (T). Nous y redonnons les résultats fondamentaux, en particulier le lien avec
les fonctions holomorphes sur le disque. Dans le deuxième chapitre, nous donnons
la construction des espaces modèles qui sont les sous-espaces stables par l’adjoint
de la multiplication par z. Cette construction, fortement liée à la structure de
l’espace de Hardy, nous sera utile au chapitre 7. Au chapitre 3, nous présentons
les propriétés classiques des opérateurs de Toeplitz T et nous décrivons leurs spe-f
ctres et spectres essentiels quand f est continu ou continu par morceaux.
La suite est dévolue aux opérateurs de Toeplitz sur l’espace de Bergman
2L (D) des fonctions holomorphes et de carré intégrable sur D. Ces opérateursa
sont définis par :
2 2T : L (D) L (D)f a a
2L (D)ag P (fg)
2∞ L (D) 2 2aoù f∈L (D) et P est la projection orthogonale de L (D) sur L (D).a
34 Introduction
Le chapitre 4 est alors l’occasion de présenter l’espace de Bergman ainsi que
de montrer quelques points communs et différences entre les opérateurs de Toe-
plitz sur les espaces de Hardy et de Bergman.
La suite de cette thèse, contient le résultat de nos recherches. Nous répondons
en particulier à des questions inspirées de deux résultats établis sur l’espace de
Hardy.
∞Premièrement, pour tout f∈L (T), le rayon spectral r(T ) vérifie l’égalitéf
r(T )=kT k=kT k =kfk . (∗)f f f e ∞
Deuxièmement, si f est continue à valeurs réelles alors
f(T)=σ(T ). (∗∗)f
Nous essayons de trouver pour certaines classes de fonctions deD des conditions
pour avoir (∗) et l’égalité analogue à (∗∗) suivante :
f(D)=σ(T ). (∗∗∗)f
2Soit f∈L (D) tel que pour tout 06r<1 et 06θ<2π,
iθ imθf(re )=e f(r)p.p.
∗Sim=0 alors f est dite radiale ; pour m∈Z , f est dite quasihomogène.
Aux chapitres 5, 6 et 7, nous étudions les égalités (∗ ) et (∗∗∗ ) sur l’espace
de Bergman dans le cas des symboles f radials ou quasihomogènes. Nous mon-
trons entre autre, au théorème 5.16, que pour des symboles quasihomogènes et
radials, l’équation (∗) est vraie si et seulement si l’une des assertions équivalentes
suivantes est vraie :
˜ ˜a) limsup |f(z)|=kfk , où f est la transformée de Berezin de f (défini-z→∂D ∞
tion 4.6), R 1

Soyez le premier à déposer un commentaire !

17/1000 caractères maximum.