Cours d]analyse numérique SMI%S4

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• Publié par: avidemic
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Cours danalyse numérique SMI-S4

Introduction

Lobjet de lanalyse numérique est de concevoir et détudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels, et dont on cherche à calculer la solution à laide dun ordinateur. Exemples de problèmes à résoudre: - Systèmes linéaires ou non linéaires. - Optimisation. - Equations di¤érentielles ou aux dérivées partielles. etc. . .

Références pour le cours: (1) P. G. Ciarlet Introduction à lanalyse numérique matricielle et à loptimisation. (2) A. Quarteroni Méthodes numériques pour le calcul scientique. (3) M. Sibony & J. Cl. Mardon Analyse numérique 1: Systèmes linéaires et non linéaires. Analyse numérique 2: Approximations et équations di¤érentielles.

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1 Résolution de systèmes linéaires Objectifs: On note par M N ( R ) lensemble des matrices carrées dordre N . Soit A 2 M N ( R ) une matrice inversible et b 2 R N . On cherche à résoudre le système linéaire: trouver x 2 R N , tel que Ax = b . Nous allons voir deux types de méthodes: - Méthodes directes, - Méthodes itératives. Selon le type et la taille dune matrice, on utilise une méthode directe ou une méthode itérative.

1.1 Quelques rappels dalgèbre linéaire 1.1.1 Matrices - La transpose  e , dune matrice A = ( a i;j ) 1  i;j  N ; est une matrice A T = ( a i 0 ;j ) 1  i;j  N , avec a i 0 ;j = a j;i pour 1  i; j  N: On a evidemment les propriétés suivantes: ( A T ) T = A ; ( A + B ) T = A T + B T ; ( AB ) T = B T A T ; ( A ) T = A T ; 8  2 R ; det( A T ) = det( A ) : Si A est inversible ( A T )  1 = ( A  1 ) T : - La matrice adjointe de A est A  = A T on a alors les propriétés: : ( A  )  = A ; ( A + B )  = A  + B  ; ( AB )  = B  A  ; ( A )  = A  ; 8  2 C ; det( A  ) = det( A ); Si A est inversible ( A  )  1 = ( A  1 )  : - Une matrice A 2 M N ( R ) est syme  trique si A T = A: - Une matrice A 2 M N ( C ) est hermitienne si A  = A: - Une matrice A 2 M N ( R ) est orthogonale si A T A = AA T = I N : (cest à dire A T = A  1 ) - Une matrice A 2 M N ( C ) est unitaire si A  A = AA  = I N : (cest à dire A  = A  1 ). On dit que A est normale si A  A = AA  : N - Si A = ( a i;j ) 1  i;j  N la trace de A est dénie par tr ( A ) = P a i;i : i =1

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