Analyse numérique et splines 2006 Génie Informatique Université de Technologie de Belfort Montbéliard

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Examen du Supérieur Université de Technologie de Belfort Montbéliard. Sujet de Analyse numérique et splines 2006. Retrouvez le corrigé Analyse numérique et splines 2006 sur Bankexam.fr.

Sujets

• 2006

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• Publié par: bankexam
• Publié le: 27 janvier 2008
• Nombre de lectures: 31
• Langue: Français

Extrait

MT44

Durée : deux heure(s)

Examen final du 28 juin 2008

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Printemps 2006

On rédigera les deux exercices sur deux copies différentes. On pourra admettre tout résultat intermédiaire afin de poursuivre la résolution d’un exercice.

Exercice 1(Formules de quadrature et méthode de Gauss). ∗ Soientn∈N,aetbdeux réels deR=R∪ {+∞} ∪ {−∞}, tels quea < b,rune fonction continue sur(a, b)etwune fonction positive sur(a, b). On posef=rwet on suppose quefest intégrable sur (a, b). Dans cet exercice, on étudie la formule de quadrature  n  b r(x)w(x)dx≈W i r(x i ),(1) a i=0 où(x i )s sontn+1réels deux à deux distincts de(a, b)et(W i )s sontn+1réels quelconques. 0≤i≤n0≤i≤n ∗ (1) Justifiersommairement pourquoi la formule de quadrature (1) est d’ordrep∈N(c’estàdire exacte pour tous les polynômes de degrés inférieur ou égal àp) si et seulement si :  n b  j j ∀j∈ {0, ..., p}, xw(x)dx=W i x .(2) i a i=0 (2) Pourquoi(2) est équivalent à     1 1...1W 0 I 0 x 0 x 1 .... x n W 1 I 1 2 22 x x ....x I 0 1 n W 2 = 2 ,(3)         . . .. . p pp x x ....x n W n I p 0 1 où  b j ∀j∈ {0, ..., p}, I j =x w(x)dx?(4) a

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(3) Pourtoute la suite, on fera l’hypothèse que p= 2n+ 1.(5) De combien d’équations disposeton? (4) Pourtoute la suite, on fera l’hypothèse que −x a= 0, b= +∞, w(x) =e .(6) (a) CalculerI 0 etI 1 défini par (4). (b) Quedevient (3) sin= 0etp= 1? (c) Endéduire les valeurs dex 0 et deW 0 sin= 0. (5) (a)Montrer que les(I j )définis par (4) vérifient ∀p≥1, I p =pI p−1 ,(7a) I 0 = 1.(7b) (b) Endéduire que ∀p≥0, I p =p!(8) (6) Danstoute cette question, on supposera que n= 1, p= 3.(9) (a) Montrerque (3) est équivalent à     1 1W 0 1 =,(10a) x 0 x 1 W 1 1     2 2 x xW 0 2 0 1 =.(10b) 3 3 x xW 1 6 0 1   1 1 (b) Calculerl’inverse de la matriceet en déduire que x 0 x 1  −x 0 x 1 +x 0 +x 1 = 2, .(11) 2 2 −x x(x+x+x x 0 10 x 1 ) +x 0 + 11 0 = 6. (c) Onposes=x 0 +x 1 etp=x 0 x 1 . Calculersetpgrâce à (11) et en déduire quex 0 etx 1 sont solutions de 2 x−4x+ 2 = 0.(12) (d) Endéduire finalement les valeurs dex 0 et dex 1 , puis deW 0 et deW 1 . (7) Peutongénéraliser les calculs des questions 4c et 6 pournquelconque ? Commentorganiseriez vous les calculs? (8) (a)Déterminer les premiers polynômes de LaguerreL 0 ,L 1 etL 2 . (b) Endéduire les pointsx i des formules de GaussLaguerre pourn= 0etn= 1; comparez avec les résultats des questions 4c et 6 et commentez!

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UV MT44 : examen final du 28 juin 2008

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Exercice 2(Courbes de Bézier).   −→−→ Le planPest rapporté au repère orthonormé directO, i, j. Soitaun réel positif. (1)Approche géométrique de l’étude d’une Bézier On donne les points de contrôle P 0 (0,0) ;P 1 (0, a) ;P 2 (a,0) ;P 3 (0,0). On note(Γ a )la courbe de Bézier de points de contrôle(P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ). On rappelle que pour touttde[0,1], pourietkvérifiant0≤i≤k≤3, les polynômes de Bernstein vérifient : k k−1k−1 B(t) =tB(t) + (1−t)B(t). i i i+1 (a) En déduire la construction géométrique du pointB(t= 1/2)de la courbe cubique(Γ a ) considérée, de paramètret= 1/2, obtenu comme barycentre de barycentres successifs des points(P 0 , P 1 , P 2 , P 3 )dotés des poids convenables, correspondant à la valeur det considérée. (b) Combiencoûte la détermination deB(t= 1/2), en nombre de calculs de barycentres de deux points? (2)Etude de la courbe de Bézier(Γ a ). (a) Déterminer la courbe de Bézier(Γ a ), de points de contrôle(P 0 , P 1 , P 2 , P 3 ), où(Γ a )est considéré comme l’ensemble des pointsB(t)de coordonnées(x(t), y(t)). (b) Etudierla fonctiont∈[0,1]→(x(t), y(t))pouraquelconque. (c) Onfixe pour cette seule sousquestiona= 4. Fournir une allure de la courbe représentative (Γ 4 ).

(3)Utilisation de la courbe(Γ a ) La courbe étudiée précédemment est en fait utilisée dans un problème de chaudronnerie industrielle, dans lequel on doit déterminer l’aire de la boucle de courbe obtenue à la question 2 à des fins d’évaluation d’échanges gazeux. Conventions et notations •On suppose disposer, pouradonné, d’un vecteurTde valeurs réelles detcomprises entre 0et1à pashconstant, des vecteurs de coordonnées associées(X, Y)des pointsB(t)de la courbe(Γ a )antérieure. Ainsi de façon préciseXetYcomportentNcolonnes (N >1) et l’on a : 1 ∀i∈ {1, ..., N}t= (i−1)∗hetB(t)est de coordonnées(X(i), Y(i))sachant queh=. N−1 •Pour un vecteurVdeNcolonnes, on notedV=dif f(V)le vecteur deN−1colonnes, défini par : ∀i∈ {1, ..., N−1}dV(i) =V(i+ 1)−V(i). •Pour un vecteurVde tailleN, on noteV i,j le sousvecteur extrait deV, constitué des valeurs deVd’indices compris entreietj, pour1≤i≤j≤N.

(a) Si levecteurTest à pas constanth, les vecteursXetYsontils en général à pas constant ?

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(b) Quereprésente le vecteurdXgéométriquement ? t (c) Montrerque le produit matricieldX∗(Y 1,N−1 )fournit une valeur approchée par méthode des rectangles de l’aire interne à la boucle de la courbe(Γ a ). Que peuton dire du produit t matricieldX∗(Y 2,N )? (d) Enthéorie des courbes paramétriques, un théorème établit que l’aireAinterne à la boucle de(Γ a )est donnée par :  1 A=(ydx−xdy). 2 Γ a Justifier ce résultat.

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