[BaccalauréatES2001\L’intégraledeseptembre2000àjuin2001PourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleusAntilles-Guyaneseptembre2000 ..................... 3Franceseptembre2000 ............................... 7Polynésieseptembre2000............................10AmériqueduSudnovembre2000 ................... 12Nouvelle-Calédoniedécembre2000 .................16Pondichérymars2001 ...............................20AmériqueduNordjuin2001 .........................23Antilles-Guyanejuin2001 ........................... 27Asiejuin2001 ........................................30Centresétrangersjuin2001 ..........................34Francejuin2001 .....................................37Libanjuin2001 .......................................40Polynésiejuin2001 .................................. 442[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2000\EXERCICE 1 5pointsCommunàtouslescandidatsDans une entreprise de conception de logiciels pour l’informatique, 20% des em-ployésontundiplôme engestiondesaffaires.70%desdiplômés engestiondesaf-faires ont des postes de cadre, alors que seulement 15% de ceux qui n’ont pas cediplômeoccupentcespostes.Le comité d’entreprise organise en fin d’année une loterie pour tout le personnel.Chaqueemployéreçoitunbilletdeloterieetunseul.Touslesbilletssontplacésdansuneurneetonentireuntotalementauhasard.L’employégagnantsevoitalorsoffrirunvoyage.1. a. Construireunarbredeprobabilitédécrivantcettesituation.b. Calculerlaprobabilitédesévènementssuivants:G ...
[BaccalauréatES2001\
L’intégraledeseptembre2000
àjuin2001
Pourunaccèsdirectcliquezsurlesliensbleus
Antilles-Guyaneseptembre2000 ..................... 3
Franceseptembre2000 ............................... 7
Polynésieseptembre2000............................10
AmériqueduSudnovembre2000 ................... 12
Nouvelle-Calédoniedécembre2000 .................16
Pondichérymars2001 ...............................20
AmériqueduNordjuin2001 .........................23
Antilles-Guyanejuin2001 ........................... 27
Asiejuin2001 ........................................30
Centresétrangersjuin2001 ..........................34
Francejuin2001 .....................................37
Libanjuin2001 .......................................40
Polynésiejuin2001 .................................. 442[BaccalauréatESAntilles–Guyaneseptembre2000\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Dans une entreprise de conception de logiciels pour l’informatique, 20% des em-
ployésontundiplôme engestiondesaffaires.70%desdiplômés engestiondesaf-
faires ont des postes de cadre, alors que seulement 15% de ceux qui n’ont pas ce
diplômeoccupentcespostes.
Le comité d’entreprise organise en fin d’année une loterie pour tout le personnel.
Chaqueemployéreçoitunbilletdeloterieetunseul.
Touslesbilletssontplacésdansuneurneetonentireuntotalementauhasard.
L’employégagnantsevoitalorsoffrirunvoyage.
1. a. Construireunarbredeprobabilitédécrivantcettesituation.
b. Calculerlaprobabilitédesévènementssuivants:
G:«L’employégagnantaundiplômedegestiondesaffaires».
C:«L’employégagnantestuncadredel’entreprise».
2. Sachantquel’employé gagnantestundiplôméengestiondesaffaires,quelle
estlaprobabilitéquecesoituncadre?
3. Quelle est la probabilitéque l’employé gagnantsoit un cadresil’on sait qu’il
n’estpasdiplôméengestiondesaffaires?
4. Calculerlaprobabilitédesévènementssuivants:
«L’employégagnantestcadreetdiplôméengestiondesaffaires»
«L’employégagnantestcadreetnondiplôméengestiondesaffaires».
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire
Danscetexercice,lesrésultatsnumériquespourrontêtreobtenusàl’aidedelacalcu-
latriceetserontarrondisà2chiffresaprèslavirgule.
Le tableau suivant donne le bénéfice, en millions de francs (MF), obtenu chaque
annéeparuneentreprisepourlesannées1995à1999.
Année 1995 1996 1997 1998 1999
Rangdel’année x 1 2 3 4 5i
Bénéfice y 10 9 12 8 11i
1. Calculerlecoefficientdecorrélationlinéaireentre x et y.Quepeut-onendé-
duirequantàlapertinenced’unajustementaffinepourcettesériestatistique
àdeuxvariables?
2. Onconsidèreensuitelasériez deseffectifscumuléscroissantsdelasérie y .i i
a. Recopieretcompléterletableausuivant:
Année 1995 1996 1997 1998 1999
Rangdel’année x 1 2 3 4 5i
Bénéficecumulé z 10 19i
b. Calculerlecoefficientdecorrélationlinéaireentrex etz.
c. Donneruneéquationdeladroitederégressiondez enx.
d. À l’aide des résultats précédents, montrer qu’il est possible de calculer
uneestimationdubénéficecumulépourl’année2000,puisdubénéfice
pourl’année2000,arrondiàuneunitéprès.BaccalauréatES L’intégrale2001ES
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
Uneusineproduitdesappareilsménagerscomportantdescomposantsélectriques
etdespiècesmécaniques.Cesappareilspeuventêtredéfectueux.Cesdéfautspeuvent
avoirdeuxorigines,défautd’originemécanique,défautd’origineélectrique.
Cesdeuxdéfautssontindépendantsetpeuventêtresimultanéssurunmêmeappa-
reil.
Un suivi statistique de la production journalière permet d’attribuer une valeur de
probabilitéauxévènementssuivants:
• Laprobabilité,pourunappareiltiréauhasarddanslaproductionjournalière,
−3d’êtredéfectueuxestde1,5×10 .
• Pourunappareilprisauhasardparmiceuxquisontdéfectueux,laprobabilité
pour quel’une des originesdelapanne soit dueauxcomposants électriques
estégaleà0,7.
• Laprobabilité,pourunappareilprisauhasardparmiceuxquiontundéfaut
électrique,d’avoiraussiundéfautmécaniqueestde0,8.
OndésigneparDl’évènement «L’appareilestdéfectueux».
OndésigneparEl’évènement«L’appareilprésenteundéfautélectrique».
OndésigneparMl’évènement «L’appareilprésenteundéfautmécanique».
Lesrésultatsnumériquesserontdonnésaveccinqchiffresaprèslavirgule.
1. Calculer la probabilité de l’évènement : «L’appareil ne présente aucun dé-
faut».
2. Construireunarbrepondéréreprésentantcettesituation.
3. Calculerlesprobabilitéssuivantes:
a. P(E ∩M);
b. P(E);
c. P(M).
PROBLÈME 10points
PartieA
Soit f la fonction numérique définie sur ]0 ; +∞[ dont une courbe représentative
(C)estdonnéeenannexedansunrepèreorthogonal.
Danstoutleproblèmeonsecontenterad’étudierlesfonctionssur]0;5].
1. Aumoyend’unelecturegraphiqueetenutilisantletableaudevaleurs,donner
lesignede f sur]0;5].
2. OnnoteF laprimitivede f sur]0; +∞[quiprendlavaleur0pour x=1.
LacourbedeF estdonnéeenannexe.
Calculer,enunitéd’aire,lavaleurexactedel’airedudomaineA comprisentre
lacourbe(C),l’axedesabscissesetlesdroitesd’équationsrespectivesx=1et
x =e.
PartieB
Onadmetquelafonction f estdéfiniesur]0;+∞[par:
1+ln(x)
f(x)= .
x
1. Calculerlalimitede f enzéroparvaleurssupérieures.
Quepeut-onendéduirepourlacourbe(C)?
Antilles-Guyane 4 septembre2000BaccalauréatES L’intégrale2001ES
2. Calculerladérivéede f etétudierlesignedecettedérivée.
Dresserletableaudesvariationsde f sur]0;5].
3. Calculeruneprimitivedelafonction f sur]0; +∞[.
Donnerl’expressiondeF.
PartieC
Une entreprise qui fabrique des ustensiles de cuisine sait qu’elle peut en produire
jusqu’à5 000parjour etquesonbénéfice,expriméenmilliers defrancs, estdonné
par:
1+ln(q)
B(q)=10×
q
oùq estlenombred’unitésproduites,enmilliers.
Déduiredel’étudedelapartieB:
1. Lenombreminimald’unitésàproduirepourquel’entrepriseatteigneleseuil
derentabilité(bénéficepositif);
2. Lenombreexactd’unitésàproduirepourquel’entrepriseobtienneunbéné-
ficemaximum,ainsiquelavaleurdecebénéfice.
Antilles-Guyane 5 septembre2000BaccalauréatES L’intégrale2001ES
Annexeduproblème
2 Courbedelafonction f
1
0
-1 0 1 2 3 4 5 6
-1
-2
1
x 1 e
e
2
f(x) 0 1
e
Courbedelafonction F
3
2
1
0
-1 0 1 2 3 4 5 6
-1
1
x 1 e
e
1 3
F(x) − 0
2 2
Antilles-Guyane 6 septembre2000[BaccalauréatESFranceseptembre2000\
EXERCICE 1 5points
Communàtouslescandidats
Uneusinefabriquedesmoteursélectriquespourl’industriespatiale.Ceux-cidoivent
êtretrèsfiablesetperformants;pourcelailspassentdescontrôlestrèssévères.
Chaquemoteuresttestéenfindefabrication.Siletestestpositif,lemoteurestache-
minéchezleclient;siletestestnégatif,lemoteurretourneenusineoùilestréparé
puis testé une seconde fois. Si, cette fois, le test est positif, le moteur part chez le
clientmais,siletestestnégatif,lemoteurestdéfinitivementécartéetdétruit.
Uneétudestatistique apermisdemontrerqueletestestpositif pour85%desmo-
teurs neufs sortis directement des chaines de fabrication mais que, parmi les mo-
teursrévisés,seulement65%d’entreeuxpassentlesecondtestavecsuccès.
Saufaviscontraire,ondonneralesvaleursdécimalesexactesdesprobabilitésdeman-
dées.
1. Onchoisitunmoteurauhasarddanslachainedefabrication.
a. Construireunarbredeprobabilitéillustrantlesdifférentscasquipeuvent
seprésenterpourcemoteur.
Faireapparaîtresurchaquebranchelesprobabilitéscorrespondantes.
b. Donnerlaprobabilitépour quelepremier test enfindefabricationsoit
positifpourcemoteur.
c. Calculer la probabilité pour que ce moteur doive être révisé et soit en-
suiteacheminéchezleclient.
d. Calculer laprobabilitépour quecemoteur soitfinalement écartéetdé-
truit.
e. Calculerlaprobabilitépourquecemoteursoitenvoyéchezleclient.
2. La fabrication d’un moteur revient à 60 000 francs auxquels il faut rajouter
10 000francssilemoteurestrévisé.Unmoteurestfacturéauclientlasomme
de t francs (t nombre réel positif). Soit X la variable aléatoire qui, à chaque
moteur fabriqué, associe le gain (éventuellement négatif que réalise l’entre-
prisesurcemoteur.
a. Déterminer en fonction de t les troisvaleurs que peut prendre X et dé-
terminerlaloideprobabilitédeX.
(Onrappelle que le bénéfice est la différence entre le prixde vente et le
prixderevient.)
b. Calculer enfonction de t l’espérance mathématique de X etendéduire
lavaleur de t àpartir delaquelle l’entreprise fera un bénéficepositif en
vendantungrandnombredemoteurs(arrondiraufrancprès).
EXERCICE 2 5points
Enseignementobligatoire
meM Xdécided’ouvrir unpland’épargne.Letauxmensueldecelui-ci estde0,4%,
erlesintérêtssontcapitaliséstouslesmois.Elleverse10000Fle1 janvier2000.Puis,
ertouslespremiersdechaquemoisàpartirdu1 février2000, elleverse600 Fsurce
plan.
Soit u la somme qui se trouve sur son plan après n mois d’ouverture. Ainsi u =n 0
10000etu =10640.1
1. Calculeru etu .2 3
Écrireunerelationentreu etu .n+1 nBaccalauréatES L’intégrale2001ES
2. Ondéfinitlasuite(v )tellequepourtoutn deN,onaitv =u +150 000.n n n
Montrer que (v ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et len
premierterme.
Endéduirel’expressiondev puisdeu enfonctionden.n n
3. Calculer le temps nécessaire pour économiser la somme de 100 000 F sur ce
plan.
Enquelleannéecelaseproduira-t-il?
EXERCICE 2 5points
Enseignementdespécialité
Leconseilmunicipal d’unestation touristique demontagne adécidédefaireéqui-
perune falaiseafindecréerunsited’escalade.L’équipement doitsefairedepuisle
pied de la falaise. Deux entreprises spécialisées dans ce genre de chantier ont été
contactéesetontenvoyédesdevis.Onseproposed’étudierceux-ci.
Devisdel’entrepriseA:
Le premier mètre équipé coûte 100 F, puis chaque mètre supplémentaire équipé
coûte 20 F de plus que le mètre précédent (100 F pour équiper une falaise de un
mètre,100F+120F=220Fpouréquiperunefalaisededeuxmètres,100F+120F+
140F=360Fpourunefalaisedetroismètres,etc.)
Devisdel’entrepriseB:
Lepremiermètreéquipécoûte50F,puischaquemètresupplémentaireéquipécoûte
5 %deplusquelemètreprécédent(50Fpouréquiperunefalaisedeunmètre,
50F+52,50F=102,50Fpouréquiperunefalaisededeuxmètres,
50F+52,50F+55,125F=157,625 Fpourunefalaisedetroismètres,etc.)
On appelle u le prix du n-ième mètre équipé et S le prix de l’équipement d’unen n
falaiseden mètresdehauteurindiquésparl’entrepriseA.
On appelle v le prix du n-ième mètre équipé et R le prix de l’équipement d’unen n
falaiseden mètresdehauteurindiquésparl’entrepriseB.
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