Baccalaureat 2004 mathematiques specialite scientifique antilles

Description

Durée:4heuresBaccalauréatSAntilles-Guyanejuin2004L’utilisation d’unecalculatriceestautorisée.Dupapier millimétré estmis àladisposition descandidats.Lecandidatdoittraitertouslesexercices.La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entrerontpourunepartimportantedansl’appréciation descopies.EXERCICE1 4pointsCommunàtouslescandidats1 a = (2a +b )n+1 n n3Ondéfinitlessuites(a )et(b )par a =1, b =7etn n 0 0 1 b = (a +2b )n+1 n n3 →−SoitDunedroitemunied’unrepère O; ı .Pourtoutn∈N,onconsidèrelespointsA et B d’abscissesrespectives a et b .n n n n1. PlacezlespointsA ,B,A,B,A etB .0 0 1 1 2 22. Soit(u )lasuitedéfinieparu =b −a pourtoutn∈N.Démontrezque(u )n n n n nestunesuite géométriquedontonpréciseralaraisonetlepremierterme.Exprimez u enfonctionden.n3. Comparez a et b . Étudiez le sens de variation des suites a et b . Inter-( ) ( )n n n nprétezgéométriquement cesrésultats.4. Démontrezquelessuites(a )et(b )sontadjacentes.n n5. Soit (v )lasuitedéfinieparv = a +b pour tout n ∈N. Démontrez que (v )n n n nestunesuiteconstante.Endéduirequelessegments[A B ]onttouslemêmen nmilieu I.6. Justifiez que les suites a et b sont convergentes et calculez leur limite.( ) ( )n nInterprétezgéométriquement cerésultat.EXERCICE2 7pointsCommunàtouslescandidatsButdel’exercice:approcherln(1+a)parunpolynômededegré5lorsque a appar-tientàl’intervalle [0; +∞[.Soit a∈[0; +∞[. ka a1 (t−a)∗Onnote I (a)= dt etpour k ∈N ,onposeI (a)= dt.0 k ...

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Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S AntillesGuyane juin 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E XERCICE 14 points Commun à tous les candidats  1   a n+1 =(2a n +b n ) 3 On définit les suites (a n ) et (b n ) para 0 =1,b 0 =7 et 1   b n+1 = ( a n +2b n ) 3   −→ Soit D une droite munie d’un repèreO ;ı. Pour toutn∈N, on considère les points A n etB n d’abscisses respectivesa n etb n .

1.Placez les points A 0 , B 0 , A 1 , B 1 , A 2 et B 2 . 2.Soit (u n ) la suite définie paru n =b n −a n pour toutn∈N. Démontrez que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimezu n en fonction den. 3.Compareza n etb n . Étudiez le sens de variation des suites (a n ) et (b n ). Inter prétez géométriquement ces résultats. 4.Démontrez que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. 5.Soit (v n ) la suite définie parv=a n +b n pour toutn∈N. Démontrez que (v n ) est une suite constante. En déduire que les segments [A n B n ] ont tous le même milieu I. 6.Justifiez que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

E XERCICE 27 points Commun à tous les candidats But de l’exercice :approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsqueaappar tient à l’intervalle [0 ;+ ∞[. Soita∈[0 ;+ ∞[.   k a a 1 (t−a) ∗ On noteI 0 (a)=dtet pourk∈N, on poseI k (a)=dt. k+1 0 1+t 0 (1+t) 1.CalculezI 0 (a) en fonction dea. 2.À l’aide d’une intégration par parties, exprimezI 1 (a) en fonction dea 3.À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

k+1k+1 (−1)a ∗ I k+1 (a)= +I k (atout) pourk∈N. k+1 1 1 1 1 5 4 3 2 4.SoitPle polynôme défini surRparP(x)=x−x+x−x+x. 5 4 3 2 Démontrez en calculantI 2 (a),I 3 (a) etI 4 (a), queI 5 (a)=ln(1+a)−P(a).  a 5 5.SoitJ(a)=(t−a) dt. CalculezJ(a). 0