Baccalauréat blanc TS spécialité Lycée Maupassant Rouen

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat blanc TS spécialité\ Lycée Maupassant Rouen Le sujet comporte 4 pages et une annexe , à rendre avec la copie. EXERCICE 1 : Q. C. M. 4 points Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes (bien que les deux dernières fassent référence au même nombre) et sont notées sur un point chacune. Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n'est demandée. Chaque ré- ponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d'une question, ou bien n'en donner aucune ne rap- porte aucun point. Si, par l'application de ce barème, le total des points de l'exercice est négatif, il est ramené à zéro. 1. On considère trois suites (un ) , (vn) et (wn) ayant, pour tout entier naturel n, les propriétés suivantes : un 6 vn 6 wn , limn?+∞un =?1, et limn?+∞wn = 1. Alors a. lim n?+∞ vn = 0 ; b. La suite (un ) est minorée ; c. Pour tout n de N, on a ?16 vn 6 1. d. On ne sait pas dire si la suite (vn) a une limite ou non.

• figure jointe en annexe


• argument de z


• unique solution


• traces de construction apparentes


• barycentre du système


• repère orthonormal direct


• couple

Sujets

• Couple

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Extrait

[Baccalauréat blanc TS spécialité\ Lycée Maupassant Rouen

Le sujet comporte 4 pages et une annexe , à rendre avec la copie.

E X E R C IC E 1 : Q. C. M.4 points Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes (bien que les deux dernières fassent référence au même nombre) et sont notées sur un point chacune. Pour chaque question, il y a exactement deux propositions correctes. Le candidat doit indiquer sur sa copie les deux propositions vraies. Aucune justification n’est demandée. Chaque ré ponse exacte rapporte 0,5 point, chaque réponse fausse enlève 0,25 point. Donner trois propositions ou plus d’une question, ou bien n’en donner aucune ne rap porte aucun point. Si, par l’application de ce barème, le total des points de l’exercice est négatif, il est ramené à zéro. 1.On considère trois suites (u n ( ) ,v n ) et (w n ) ayant, pour tout entier natureln, les propriétés suivantes : u n 6 v n 6 w n , limu n = −1, etlimw n =1. n→+∞n→+∞ Alors a.limv n =0 ; n→+∞ b.La suite (u n ) est minorée ; c.Pour toutndeN, on a−1 6 v n 6 1. d.On ne sait pas dire si la suite (v n ) a une limite ou non. ¡ ¢ 2.Deux suites (x n ) ety n sont définies pourn>0 par les relations :

1 11 11 1 x n = ++ ∙ ∙ ∙ +ety n ∙ ∙ ∙ += + +. n n+1 2n n+1n+2 2n ¡ ¢ a.Les suites (x n ) ety n sont toutes deux croissantes. 19 37 b.x 3 =ety 3 =. 20 60 ¡ ¢ c.Les suites (x n ) ety n ne sont pas majorées. ¡ ¢ d.Les suites (x n ) ety n sont adjacentes. µ ¶ 1+i 3.Siz= −alors l’argument de5 ,zest : 3−i µ ¶ 1+i a.−5×arg 3−i ¡ p ¢ b.π+arg(1+i)−arg 3−i 4π c. 3 7π d.− 12 µ ¶ 1+i 4.Siz= −alors le module de z est :5 , 3−i |1+i| a. p |3−i| 5 b. 2 |1+i| c.−5× |3−i|

1

5−i d.5 ¯¯ 3+i

E X E R C IC E 2 7points Le but de l’exercice est démontrer que l’équation (E) : 1 x e=, x admet une unique solution dans l’ensembleRdes nombres réels, et de construire une suite qui converge vers cette unique solution. I. Existence et unicité de la solution On notefla fonction définie surRpar : −x f(x)=x−e . 1.Démontrer quexest solution de l’équation (E) si et seulement sif(x)=0. 2.Étude du signe de la fonctionf. a.Étudier le sens de variations de la fonctionfsurR. b.En déduire que l’équation (E) possède une unique solution surR, notée α. · ¸ 1 c.appartientDémontrer queα.à l’intervalle; 1 2 d.Étudier le signe defsur l’intervalle [0 ;α]. II. Deuxième approche On noteg1] par :la fonction définie sur l’intervalle [0; 1+x g(x)=. x 1+e 1.Démontrer que l’équationf(x)=0 est équivalente à l’équationg(x)=x. 2.En déduire queαest l’unique réel vérifiant :g(α)=α. ′ 3.Calculerg(x) et en déduire que la fonctiongest croissante sur l’intervalle [0 ;α]. III. Construction d’une suite de réels ayant pour limite On considérera la suite (u n ) définie par :u 0 =0 et, pour tout entier natureln, par : u n+1 =g ( u n ). 1.Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln: 0 6 u n 6 u n+1 . 2.En déduire que la suite (u n ) est convergente. On noteℓsa limite. 3.Justifier l’égalité :g(ℓ)=ℓ. En déduire la valeur deℓ. 4.À l’aide de la calculatrice, déterminer une valeur approchée deu 4 arrondie à la sixième décimale.

E X E R C IC E 3 ( S P É C IA L IT É )

4 points

Partie A SoitNun entier naturel, impair non premier. 2 2 On suppose queN=a−boùaetbsont deux entiers naturels. 1.Montrer queaetbn’ont pas la même parité. 2.Montrer queNpeut s’écrire comme produit de deux entiers naturelspetq.

2

3.Quelle est la parité depet deq? Partie B On admet que 250 507 n’est pas premier. On se propose de chercher des couples d’entiers naturels (a;b) vérifiant la relation : 2 2 (E)a−250 507=b. 1.SoitXun entier naturel. a.Donner dans un tableau, les restes possibles deXmodulo 9; puis ceux 2 deXmodulo 9. 2 2 b.Sachant quea−250 507=b, déterminer les restes possibles modulo 9 2 2 dea−250 507 ; en déduire lesrestes possibles modulo 9 dea. c.Montrer que les restes possibles modulo 9 deasont 1 et 8. 2.Justifier que si le couple (a;b) vérifie la relation (E), alorsa>501. Montrer qu’il n’existe pas de solution du type (501 ;b). 3.On suppose que le couple (a;b) vérifie la relation (E). a.Démontrer queaest congru à 503 ou à 505 modulo 9. b.Déterminer le plus petit entier naturelktel que le couple (505+9k;b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant. 4.Déduire des questions précédentes une écriture de 250 507 en un produit deux facteurs.

E X E R C IC E 4 5points ³ ´ −→−→ Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal directO,u,v. A, B, C dé signent les points d’affixes respectives p a= −2 3,b=3−3i etc=2i.

1. a.Écrirebsous forme exponentielle. b.Les points A et C sont représentés sur la figure jointe en annexe 1. Construire à la règle et au compas le point B sur ce dessin (laisser les traces de construction apparentes). 2.On désigne par E le barycentre du système {(A; 1);(C; 3)} et par F le bary centre du système {(A; 2);(B; 1)}. 3 3 a.Établir que l’affixeedu point E est égale à− +i. 2 2 b.Déterminer l’affixefdu point F. e−c 3. a.Démontrer que le quotientpeut s’écrireki oùkest un nombre réel e−b à déterminer. En déduire que, dans le triangle ABC, le point E est le pied de la hauteur issue de B. Placer le point E sur le dessin. b.Démontrer que le point F possède une propriété analogue. Placer F sur le dessin. 4.On désigne par H le barycentre du système {(A; 2); (B; 1); (CDémontrer; 6)}. que le point H est le point d’intersection des droites (BE) et (CF). Qu’en déduiton pour le point H ?

3

3 y

2 2 × C

1 1

x A 0 × -4 -3 -2 -1 01 2 3 −4−3−2−21 1

4

-1 −1

-2 −2

-3 −3

-4