Baccalauréat C Dijon juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Dijon juin 1980 \ EXERCICE 1 3 POINTS 1. Soit f la fonction numérique de la variable réellex, définie par f (x)= log ? ? ?tan x2 ? ? ? où log désigne la fonction logarithme népérien. Déterminer l'ensemble de définition de f , ainsi que la fonction dérivée pre- mière f ?. 2. À l'aide d'une intégration par parties, déterminer la valeur exacte du réel I = ∫ pi 3 pi 6 1 cos2 t ·sin t dt . EXERCICE 2 3 POINTS E désigne un espace affine associé à un espace vectoriel V de dimension 3, rapporté au repère ( O, ??ı , ??? , ??k ) . Soit f l'application affine de E dans E qui, à tout point M de coordonnées (x ; y ; z) associe le point M ? dont les coordonnées (x? ; y ? ; z ?) sont : ? ? ? x? = ?x+ z y ? = ?2x+ y + z+2 z ? = z+4. 1. Démontrer que l'endomorphisme ? associé à f est involutif ; le déterminer. 2. Quel est l ?ensemble des points invariants par f ? 3. Soit g la symétrie affine d'endomorphisme associe ? qui laisse invariant le point A de coordonnées(0 ; 1 ; 2).

• équivalence des propositions p1


• antécédents par f0


• repère orthonormé direct


• privé de zéro


• représenterles points


• affixe

Sujets

• Affixe

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1980
• Nombre de lectures: 36
• Langue: Français

Extrait

[Baccalauréat C Dijon juin 1980\

E X E R C IC E 1 3 P O IN TS 1.Soitfla fonction numérique de la variable réellex, définie par x f(x)=log ¯ tan ¯ 2 où log désigne la fonction logarithme népérien. Déterminer l’ensemble de définition def, ainsi que la fonction dérivée pre ′ mièref. 2.À l’aide d’une intégration par parties, déterminer la valeur exacte du réel Z π 1 3 I=dt. π 2 cost∙sint 6

E X E R C IC E 2 3 P O IN TS E désigne un espace affine associé à un espace vectoriel V de dimension 3, rapporté ³ ´ −→−→ −→ au repèreO,ı,,k. Soitfl’application affine deEdansEqui, à tout pointMde coordonnées (x;y;z) ¡ ¢ ′ ′′ ′ associe le pointMdont les coordonnéesx;y;zsont :  ′ x= −x+z  ′ y= −2x+y+z+2  ′ z=z+4. 1.Démontrer que l’endomorphismeϕassocié àfest involutif ; le déterminer. 2.Quel est l ?ensemble des points invariants parf? 3.Soitgla symétrie affine d’endomorphisme associeϕqui laisse invariant le −→−→ −→ point A de coordonnées(0 ; 1 ; 2). Soittla translation de vecteur 2ı+4+4k. Vérifier quef=t◦g=g◦t.

P R O B L È M E 13 P O IN TS 2 Dans tout le problème, (a,b) est un couple donné, élément deR−{(0, 0)}.On dé signe par : ³ ´ −→−→ PO,un plan affine euclidien rapporté au repère orthonormé directı,. ⋆ Pl’ensemble P privé de l’origine O. ⋆ Ciliser les nol’ensemble des nombres complexes privé de zéro (on pourra ut tationsρetθpour désigner respectivement le module et un argument d’un ⋆ élément deC. ⋆ A le point dePd’affixe 1. ¡ ¢ ′⋆′ Pour tout couple de pointsM,MdeP, d’affixe respectivezetz, on associe le ′ ′ point d’affixez z, notéMΔM. ⋆ On définit ainsi une loi de composition interne dansP. Partie A

Le baccalauréat de 1980

A. P. M. E. P.

′⋆ 1.Soient Q et Qles points dePd’affixe respective µ ¶ π π5π5π ′ z=cos+i sinetz=2 cos+.i sin 3 36 6 ′ ′ Représenter les points Q, Qet QΔQ . ¡ ¢ ⋆ ⋆ 2.Démontrer que (P,Δ) est un groupe commutatif isomorphe àC,×. Quel est son élément neutre ? ⋆ 3.On appellefl’application deRdansPqui, à tout réelt, associe le point a,b at M(cosd’affixe eb t+i sinb t). ⋆ Démontrer quef a,b est un homomorphisme de (R,+) dans (P,Δ). ′ Le point Qatil des antécédents parf 0,b ? Lorsqueaest non nul, Q atil des antécédents parf a,b ? En déduire que l’applicationf a,b n’est pas surjective. Pour quelles valeurs de a l’applicationfestelle surjective ? a,b 4.On appelleC a,b l’image deRparf a,b . Reconnaître les ensemblesC 0,b etC a, 0 . ¡ ¢ ⋆ Démontrer queC a,b ,Δest un sousgroupe de (P,Δ). Partie B Dans cette partie seulement,aest un réel strictement positif,bun réel quelconque. ¡ ¢ Soitu q la suite arithmétique de premier termeu 0 =0, de raisonr, réel stricte q∈N ment négatif. ¡ ¢ Pour tout entier naturelq, on désigne parM q le pointf a,b u q , dont l’affixe est notéez q . π 1.On donne, dans cette questions seulement,a=1,b=1,r= −. Représenter 4 les pointsM 0 ,M 1 ,M 2 ,M 3 ,M 4 et construire les segments £ ¤ M q ,M q+1 ,q∈{0, 1, 2, 3}. On prendra 10 cm pour unité de longueur. q aqr ¯ ¯ 2.Vérifier quez q =zet quez q+1 −z q =e | z 1 −1 | . 1 n−1 X −−−−−−→ que la suite (v n général) dvverge En déduire n∈N e terme n = ° M q M q+1 ° con q=0 vers

(1−cosbr) ar L(r)=1+2 e. ar2 (1−e ) Quelle est la limiteLdeL(r) lorsquertend vers 0 ? Partie C Dans cette partie, on cherche l’ensembleSdes similitudes directesSde centre a,b O qui laissentC a,b globalement invariant, c’estàdire telles queS(C a,b )=C a,b . Étant donné un élémentSdeS a,b , on notekson rapport,ϕune détermination de la mesure de son angle, en radian.

1.SoitMun point quelconque de P, démontrer queS(M)=S(A)ΔM. 2.SoitMun élément deC a,b . On considère les trois propositions : P 1 :S(M) appartient àC a,b P 2 :S(A) appartient àC a,b

Dijon

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juin 1980

Le baccalauréat de 1980

P 3 : il existe une réelTet un élémentλdeZtels que ½ aT e=k bT=ϕ+2λπ.

A. P. M. E. P.

Démontrer l’équivalence des propositions P 1 et P 2 , puis des propositions P 2 et P 3 . ′ 3.En déduire queS a,b est égal à l’ensembleSdes similitudes de centre O, de a,b aT rapport e, dont une détermination de la mesure de l’angle estbT, lorsque TdécritR.

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