Baccalauréat C Étranger Groupe I bis juin

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat C Étranger Groupe I bis juin 1979 \ EXERCICE 1 4 points On donne une suite (qn ) n?N d'entiers naturels, croissante et dont le premier terme q0 est supérieur ou égal à 2. On construit la suite (un )n?N : u0 = 1 q0 u1 = 1 q0 + 1 q0q1 · · · = · · · un = 1 q0 + 1 q0q1 +·· ·+ 1 q0q1 · · ·qn 1. Montrer que la suite (un )n?N est croissante et peut être majorée par une suite convergente (ne dépendant par exemple que de q0). En déduire que la suite (un )n?N a une limite, qui appartient à l'intervalle ]0 ; 1] de R . 2. Montrer que si, pour tout entier n supérieur ou égal à l'entier k, qn = qk ' la limite de la suite (un )n?N est un rationnel. EXERCICE 2 4 points 1. Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, tracer la courbe C définie par l'équation : 2ay = x2 a réel positif donné. 2. Calculer la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbe C au point M1 d'abscisse x1. Quelle relation doivent vérifier les abscisses x1 et x2 de deux points M1 et M2 de C pour que les tangentes à C en ces points soient orthogonales ? 3.

• q0q1 ·


• point m1 d'abscisse x1


• automorphisme orthogonal de l'espace euclidien

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 1979
• Nombre de lectures: 26

Extrait

[Baccalauréat C Étranger Groupe I bis juin 1979\

E X E R C IC E 1 4points ¡ ¢ On donne une suiteq n d’entiers naturels, croissante et dont le premier terme n∈N q 0 est supérieur ou égal à 2. it la suit: On construe (u n ) n∈N 1 u 0 = q 0 1 1 u 1 = + q 0 q 0 q 1 ∙ ∙ ∙= ∙∙ ∙ 1 11 u n = ++ ∙ ∙ ∙ + q 0 q 0 q 1 q 0 q 1 ∙ ∙ ∙q n 1.Montrer que la suite (u n ) estcroissante et peut être majorée par une suite n∈N convergente (ne dépendant par exemple que deq 0 ). ient à l’intervalle ]0 ; 1] En déduire que la suite (u n ) n∈N a une limite, qui appart deR. 2.r k, qn = qk ’ laMontrer que si, pour tout entier n supérieur ou égal à l’entie limite de la suite (u n un rationnel.) est n∈N

E X E R C IC E points2 4 1.Dans le plan affine euclidien rapporté à un repère orthonormé, tracer la courbe Cdéfinie par l’équation :

2 2a y=x aréel positif donné. 2.Calculer la pente (ou coefficient directeur) de la tangente à la courbeCau pointM 1 d’abscissex 1 . Quelle relation doivent vérifier les abscissesx 1 etx 2 de deux pointsM 1 etM 2 deCpour que les tangentes àCen ces points soient orthogonales ? 3.Démontrer que la droiteM 1 M 2 déterminée par deux points deCainsi associés passe par un point fixe qu’on placera sur la figure. Déterminer l’ensemble décrit par l’intersection des tangentes àCenM 1 et M 2 .

P R O B L È M E

Partie A Cdésignant le corps des nombres complexes, on pose : 2π2π j=cos+i sin. 3 3 2 On vérifiera que 1+j+j=0. SoitFl’application polynôme deCdansC:

¡ ¢ 2 2 z−7→F(z)=z(z+1)z−j+(j−4). 9

12 points

Terminale C

A. P. M. E. P.

1.Déterminer les coefficients complexesaetbde façon que l’applicationσde CdansC:z7−→σ(z)==a z+bvérifie les deux conditions : ½ ¡¢ 2 σj=0 σ(0)= −1. 2 Comparer alorsσ(−.1) et j 2.On considère l’applicationsdeCdansC, dépendant du paramètre complexe m: z7→−s(z)=m z−1. Peuton déterminermde façon que∀z∈C)F[s(z)]=F(z) ? (On admet que deux applications polynômes sont égales si et seulement si les polynômes ordonnés ont les mêmes coefficients). Comparer au résultat de 1. 3.Soitrl’application deCdansC:z7−→r(z)=jz−1. Déterminer l’unique complexez 0 invariant parr. 1 2 2 Vérifierz= −j . 0 3 Calculerr◦r◦r. Vérifier que, pour toutz, dansCmuni de sa structure d’espace ¡ ¢ 2 affine réel,z 0 est l’isobarycentre du tripletz,r(z),r(z) . 4.Pourλcomplexe, développer et ordonnerF ( z 0 +λ). En déduire que l’équationF(z)=0 admet trois racines complexes, préciser cellesci et les situer sur une figure du plan complexe. Partie B Soit E un plan vectoriel réel (espace vectoriel de dimension 2 surR). Un endomor phismefde E est dit ternaire sif0f0f=Id E , application identique de E. 2 33 4 (Dans la suite on noteraf◦f◦f=f◦f=f,f◦f=f, etc.)

1.On suppose dans cette question quefest un endomorphisme ternaire de E, ³ ´ −→ −→−→ etuun vecteur non nul de E tel que le système (u,f u) soit lié. Montrer ³ ´ −→−→ quef u=u. En déduire qu’on peut trouver une base de E dans laquelle la matrice defsoit µ ¶ 1h de la formeA=,h,kétant deux réels. 0k ¡ ¢ 3 Démontrer quefest nécessairement l’application identique.On calculeraA. 2.On suppose dans cette question quefest un endomorphisme de E, et que, ³ ´ −→−→−→−→ pour tout vecteurunon nul de E, le système (u,f u) est libre. Soituun ³ ´ −→−→ vecteur non nul de E, etv=f u; alors il existe deux réelsp,qtels que la µ ¶ ³ ´ −→−→ 0p matrice defdans la baseu;vsoitB=. 1q Calculerpetqde façon quefsoit ternaire. p,qayant les valeurs trouvées, etπdésignant un plan affine attaché à E, dé montrer, analytiquement ou par tout autre procédé, que toute application af finegdeπdansπadmettantfcomme endomorphisme associé admet un point invariant unique et vérifieg◦g◦g=Id π . 3.Plus généralement, soitFl’endomorphisme de E dont la matrice, dans une µ ¶ ³ ´ −→−→ 1−1 baseu;vde E, est :C=oùθest un réel donné appartenant à 1 2cosθ l’intervalle ]0 ;π[. On définit sur E une forme bilinéaire symétriqueΦpar :

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Terminale C

³ ´ −→−→ Φu,u=1,

³ ´ −→−→ Φv,v=1,

³ ´ −→−→ Φu,v=cosθ

A. P. M. E. P.

Montrer queΦest un produit scalaire sur E, et queFest un automorphisme orthogonal de l’espace euclidien (E,Φ) ? ³ ´ −→ −→−→ E étant supposé orienté par la baseu;v, déterminer le vecteurwde E de ³ ´ −→−→ façon queu;wsoit une base directe et orthonormée relativement àΦ. Former la matrice deFdans cette nouvelle base. Quelle est la nature deFdans (E,Φ) ?À quelle condition,nétant un entier n donné supérieur ou égal à 3, atonF=Id E ?

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