Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie décembre 1992

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
Durée : 4 heures [ Baccalauréat C Nouvelle-Calédonie décembre 1992 \ EXERCICE 1 4 points On donne, dans le plan, un quadrilatère convexe ABCD. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E. Soit F le point tel que : ???DF =??BE . 1. Comparer les distances BD et EF, puis les aires des triangles ABD et AEF. 2. Montrer que le quadrilatère ABCD et le triangle AFC ont même aire. 3. Démontrer l'égalité : ???AC ???AF =???AC ????BD . En déduire l'aire du quadrilatère ABCD à l'aide d'une expression faisant inter- venir les vecteurs ???AC et ???BD . EXERCICE 2 4 points Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé direct ( A, ??u , ??v ) , soit ABCD un pa- rallélogramme tel que ???AB =???DC =??u . On note E le point d'affixe : 1+ 1p3 i. Soit F l'image de C par la similitude directe f de centre B, de rapport 12 , et d'angle pi 3 . A B CD ?? u ?? v 1. Vérifier que (???AB , ??AE ) = pi 6 et montrer que le triangle BCF est rectangle en F. Faire une figure soignée. 2. On note t la translation de vecteur ??u et g la similitude directe de centre E qui transforme A en B.

• t1 res- pectivement


• triangle bcf


• repère orthonormé direct


• translation de vecteur ??u


• courbe représentative


• solution unique dans l'intervalle


• ???ac ????bd


• angle pi


• aire du triangle abd

Sujets

• Graphe d'une fonction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 décembre 1992
• Nombre de lectures: 51
• Langue: Français

Extrait

Durée : 4 heures

[Baccalauréat C NouvelleCalédonie décembre 1992\

E X E R C IC E 1 4points On donne, dans le plan, un quadrilatère convexe ABCD. Les diagonales [AC] et [BD] se coupent en E. −→→− Soit F le point tel que : DF=BE .

1.Comparer les distances BD et EF, puis les aires des triangles ABD et AEF. 2.Montrer que le quadrilatère ABCD et le triangle AFC ont même aire. −−→→−→−→ 3.Démontrer l’égalité : AC∧AF=AC∧BD . En déduire l’aire du quadrilatère ABCD à l’aide d’une expression faisant inter −→−→ venir les vecteurs ACet BD .

E X E R C IC E points2 4 ³ ´ −→−→ Dans le plan, rapporté à un repère orthonormé directA,u,v, soit ABCD un pa −→−→−→ rallélogramme tel que AB=DC=u. 1 On note E le point d’affixe : 1+i. 3 1 Soit F l’image de C par la similitude directefde centre B, de rapport, et d’angle 2 π . 3

−→ v

A

−→ u

B

³ D ´ C −−→→ π 1.AEAB ,Vérifier que=et montrer que le triangle BCF est rectangle en F. 6 Faire une figure soignée. −→ 2.On note t la translation de vecteuruetgla similitude directe de centre E qui transforme A en B. Montrer queg=f◦t: on pourra, pour cela, soit utiliser les transformations vectorielles associées àgetf◦t, soit déterminer leurs expressions analytiques complexes. 3.Montrer quegtransforme D en F. En déduire la nature et les angles du triangle EDF.

P R O B L È M E 12 points Le but de ce problème est d’étudier certaines fonctionsf k de la variable réellex définies sur l’intervalle [0 ;+∞[ par

Baccalauréat C

A. P. M. E. P.

−x f k (x)=xe+k x oùkest un réel donné quelconque, et de construire leurs courbes représentatives C. k

Partie A

1.Étude def k a.Déterminer selon les valeurs du réelk, limf k . x→+∞ Montrer que la droiteD k d’équationy=k xest asymptote en+∞à la courbeC k ? Préciser la position deC k par rapport àD k . ′ ′′ b.Calculerf(x) etf(x). k k ′ Donner selon les valeurs du réelk, limf(x). k x→+∞ Donner le sens de variations def k . 2.Donner les tableaux de variations def 0 etf 1 . ³ ´ −→−→ 3.Le plan est rapporté au repère orthonormalO,ı,. Pour le dessin, on choisit pour unité 5 cm. a.Donner les coefficients directeurs des tangentes à l’origineT 0 etT 1 res pectivement àC 0 etC 1 . b.Construire les tangentesT 0 etT 1 les asymptotesD 0 ,D 1 et les courbesC 0 etC 1 . Z a 4.Pour toutade [0 ;+∞[, on poseF(a)=f 0 d(x). 0 a.À l’aide d’une intégration par parties, calculerF(a). b.Déterminer limF(a). x→+∞ Partie B 1 Le but de cette partie est d’étudier la fonctionf k obtenue pourk= −, c’estàdire 2 la fonctionf 1 définie sur l’intervalle [0 ;+∞[ par − 2 1 −x f 1 (x)=xe−x. − 2 2 1. a.Calculerf 1 (x). Montrer que l’équation − 2 1 −x (1−x)e− =0 2 admet une solution unique dans l’intervalle [0 ;+∞[. On noteαcette solution (que l’on ne demande pas de calculer). b.Vérifier l’encadrement : 0 6 α 6 0, 5. · ¸ 1 2.Soithla fonction définie sur l’intervalle I=0 ;par 2 1 x h(x)=1−e . 2 a.Montrer queαest l’unique solution sur I de l’équationh(x)=x. b.Déduire des variations dehque pour tout élémentxde I,h(x) appartient encore à I.

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Baccalauréat C

c.Prouver que pour tout élémentxde I on a

En déduire l’inégalité

′ −0, 83 6 h(x) 6 0.

|h(x)−α| 6 0, 83|x−α|.

A. P. M. E. P.

3.Soit (u n ) la suite d’éléments de I, définie paru 0 =0 etu n+1 =h ( u n ) pour tout ndeN. a.Montrer que pour tout entiern, positif ou nul, on a

| u n+1 −α | 6 0, 83 | u n −α | .

b.En déduire que pour tout entiern, positif ou nul, on a

1 n | u n −α | 6 .(0, 83) 2 c.Déterminer la limite de la suite (u n ). ¯ ¯ −2 d.Préciser un entierptel que :u p −α<10 . Calculeru p à l’aide de votre calculatrice (on donnera la partie entière et les deux premières décimales). 4.Donner le tableau de variations de la fonctionf. 1 − 2 Construire l’asymptoteD 1 , la tangenteT 1 , et la courbeC 1 . − −− 2 22

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