Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004

Description

Niveau: Secondaire, Lycée

• redaction

Durée : 4 heures Baccalauréat S Antilles-Guyane juin 2004 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. EXERCICE 1 4 points Commun à tous les candidats On définit les suites (an) et (bn) par a0 = 1, b0 = 7 et ? ? ? ? ? ? ? an+1 = 1 3 (2an +bn ) bn+1 = 1 3 (an +2bn ) Soit D une droitemunie d'un repère ( O ; ??ı ) . Pour tout n ?N, on considère les points An et Bn d'abscisses respectives an et bn . 1. Placez les points A0, B0, A1, B1, A2 et B2. 2. Soit (un ) la suite définie par un = bn?an pour tout n ?N. Démontrez que (un ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimez un en fonction de n. 3. Comparez an et bn . Étudiez le sens de variation des suites (an) et (bn ). Inter- prétez géométriquement ces résultats.

• barycentre du système de points


• barycentre du systèmedepoints


• lemême milieu


• milieu de segment


• e?i π


• bn d'abscisses respectives


• points commun

Sujets

• Redaction

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 juin 2004
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Extrait

Durée : 4 heures

Baccalauréat S AntillesGuyane juin 2004

L’utilisation d’une calculatrice est autorisée. Du papier millimétré est mis à la disposition des candidats. Le candidat doit traiter tous les exercices. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

E XERCICE 14 points Commun à tous les candidats  1   a n+1 =(2a n +b n ) 3 On définit les suites (a n ) et (b n ) para 0 =1,b 0 =7 et 1   b n+1 = ( a n +2b n ) 3   −→ Soit D une droite munie d’un repèreO ;ı. Pour toutn∈N, on considère les points A n etB n d’abscisses respectivesa n etb n .

1.Placez les points A 0 , B 0 , A 1 , B 1 , A 2 et B 2 . 2.Soit (u n ) la suite définie paru n =b n −a n pour toutn∈N. Démontrez que (u n ) est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimezu n en fonction den. 3.Compareza n etb n . Étudiez le sens de variation des suites (a n ) et (b n ). Inter prétez géométriquement ces résultats. 4.Démontrez que les suites (a n ) et (b n ) sont adjacentes. 5.Soit (v n ) la suite définie parv=a n +b n pour toutn∈N. Démontrez que (v n ) est une suite constante. En déduire que les segments [A n B n ] ont tous le même milieu I. 6.Justifiez que les suites (a n ) et (b n ) sont convergentes et calculez leur limite. Interprétez géométriquement ce résultat.

E XERCICE 27 points Commun à tous les candidats But de l’exercice :approcher ln(1+a) par un polynôme de degré 5 lorsqueaappar tient à l’intervalle [0 ;+ ∞[. Soita∈[0 ;+ ∞[.   k a a 1 (t−a) ∗ On noteI 0 (a)=dtet pourk∈N, on poseI k (a)=dt. k+1 0 1+t 0 (1+t) 1.CalculezI 0 (a) en fonction dea. 2.À l’aide d’une intégration par parties, exprimezI 1 (a) en fonction dea 3.À l’aide d’une intégration par parties, démontrez que

k+1k+1 (−1)a ∗ I k+1 (a)= +I k (a) pourtoutk∈N. k+1 1 1 1 1 5 4 3 2 4.SoitPle polynôme défini surRparP(x)=x−x+x−x+x. 5 4 3 2 Démontrez en calculantI 2 (a),I 3 (a) etI 4 (a), queI 5 (a)=ln(1+a)−P(a).  a 5 5.SoitJ(a)=(t−a) dt. CalculezJ(a). 0

Baccalauréat S

5 (t−a) 5 6. a.Démontrez que pour toutt∈[0 ;a],  (t−a) . 6 (1+t) b.Démontrez que pour touta∈[0 ;+ ∞[,J(a)  I 5 (a)  0. 6 a 7.En déduire que pour touta∈[0 ;+ ∞[, | ln(1+a)−P(a) |  . 6 8.Déterminez, en justifiant votre réponse, un intervalle sur lequelP(a) est une −3 valeur approchée de ln(1+a) à 10près.

E XERCICE 34 points Commun à tous les candidats Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Chaque réponse juste rapporte 1point. Une absence de réponse n’est pas sanctionnée. Il sera retiré0,5point par ré- ponse fausse. On ne demande pas de justifier. La note finale de l’exercice ne peut être inférieure à zéro. On posez= − 2+2+i 2−2. 2 1.La forme algébrique dezest :

  A : 22B2: 2−2i 2C : 2+2+i 2−2D2: 2+2i 2 2 2.zs’écrit sous forme exponentielle :

π π3π3π i−i i−i 4 44 4 A :4e B: 4eC :4e D: 4e 3.zs’écrit sous forme exponentielle : 7π π5π3π i ii i A :2e B: 2eC :2e D: 2e 8 8 88 2+2 2−2 4.les cosinus et sinus de :et sont 2 2 7π5π3π π A :B :C :D : 8 8 88

E XERCICE 45 points Pour les candidats n ’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui de [CD].

1. a.Soit G 1 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ; (B, 1) ; (C,−(D, 1)}.1) ; −−→−→ Exprimez IG 1 en fonction de CD . Placez I, J et G 1 sur la figure (voir feuille annexe). b.Soit G 2 le barycentre du système de points pondérés {(A, 1) ;(B, 1) ;(D, 2)}. Démontrez que G 2 est le milieu du segment [ID]. Placez G 2 . c.Démontrez que IG 1 DJ est un parallélogramme. En déduire la position de G 2 par rapport aux points G 1 et J. 2.Soitmun réel. On noteG m le barycentre du système de points pondérés {(A(, 1) ;B(, 1) ;C,m− 2) ; (D,m)}.

a.Précisez l’ensembleEdes valeurs dempour lesquelles le barycentreG m existe. Dans les questions qui suivent, on suppose que le réelmappartient à l’ensembleE.

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Baccalauréat S

b.Démontrez queG m , appartient au plan (ICD). −−→ c.Démontrez que le vecteurmJG m est constant. d.En déduire l’ensembleFdes pointsG m lorsquemdécrit l’ensembleE.

E XERCICE 45 points Pour les candidats ayant suivi l’enseignement de spécialité Dans le plan orienté, on considère un carré direct ABCD de centre O. SoitPun point du segment [BC] distinct de B. On noteQl’intersection de (AP) avec (CD). La perpendiculaireδà (AP) passant par A coupe (BC) enRet (CD) enS.

1.Faire une figure. π 2.Soitrla rotation de centre A et d’angle. 2 a.Précisez, en justifiant votre réponse, l’image de la droite (BC) par la rota tionr. b.Déterminez les images deRet dePparr. c.Quelle est la nature de chacun des triangles ARQet AP S.

3.On noteNle milieu du segment [P S] etMcelui du segment [Q R]. Soitsla π1 similitude de centre A, d’angleet de rapport. 4 2 a.Déterminez les images respectives deRet dePpars. b.Quel est le lieu géométrique du pointNquandPdécrit le segment [BC] privé de B? c.Démontrez que les pointsM, B,Net D sont alignés.

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