Baccalauréat S Pondichéry mai

Description

Niveau: Secondaire, Lycée
[ Baccalauréat S Pondichéry mai 2001 \ EXERCICE 1 4 points 1. On pose, pour tout entier naturel n non nul, In = 1 n! ∫1 0 (1? x)ne?xdx. a. À l'aide d'une intégration par parties, calculer I1. b. Prouver que, pour tout entier naturel n non nul, 06 In 6 1 n! ∫1 0 e?xdx. En déduire lim n?+∞ In . c. Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na- turel n non nul, on a : In+1 = 1 (n+1)! ? In 2. On considère la suite réelle (an), définie sur N? par a1 = 0 et, pour tout entier naturel n non nul, an+1 = an + (?1)n+1 (n+1)! . a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n non nul, an = 1 e + (?1)n In . b. En déduire lim n?+∞ an . EXERCICE 2 4 points On considère l'application f qui à tout nombre complexe z différent de 1, associe le nombre complexe f (z)= 2? iz 1? z . L'exercice étudie quelques propriétés de f .

• points d'affixes respectives


• réels ?


• encadrement de ? d'amplitude


• distance om de l'origine


• repère orthonormal direct

Informations

• Publié par: apmep
• Publié le: 01 mai 2001
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Extrait

[Baccalauréat S Pondichéry mai 2001\

E X E R C IC E 1 1.On pose, pour tout entier naturelnnon nul, Z 1 1 n−x I n =(1−x) ed x. n! 0

a.À l’aide d’une intégration par parties, calculer I 1 . b.Prouver que, pour tout entier naturelnnon nul, Z 1 1 −x 0 6 I n 6 ed x. n! 0

4 points

En déduirelimI n . n→+∞ c.Montrer, en utilisant une intégration par parties que pour tout entier na turelnnon nul, on a : 1 I n+1 = −I n (n+1)! ∗ 2.On considère la suite réelle (a n ), définie surNpara 1 =0 et, pour tout entier naturelnnon nul, n+1 (−1) a n+1 =a n +. (n+1)! a.Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturelnnon nul, 1 n a n = +(−1)I n . e b.En déduirelima n . n→+∞

E X E R C IC E points2 4 On considère l’applicationfqui à tout nombre complexezdifférent de 1, associe le nombre complexe 2−iz f(z)=. 1−z L’exercice étudie quelques propriétés def. ³ ´ −→−→ Le plan est rapporté à un repère orthonormal directO,u,vd’unité graphique 2 cm, dans lequel seront représentés les ensembles trouvés aux questions1et2. A est le point d’affixe 1 et B celui d’affixe−2i. 1.On posez=x+iyavecxetyréels. Écriref(z) sous forme algébrique. En déduire l’ensemble des pointsMd’affixe ztels quef(z) soit un réel et représenter cet ensemble. ′ 2.On posez=f(z). ′ a.Vérifier que i n’a pas d’antécédent parfet exprimer, pourzdifférent de ′ i,zen fonction dez. ′ ′′ b.Mest le point d’affixez(zdifférent de 1) etMcelui d’affixez(zdiffé rent de i). ′ MC Montrer que OM=où C et D sont les points d’affixes respectives 2 ′ MD et i.

Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

c.Montrer que, lorsque le pointMdécrit le cercle de centre O et de rayon ′ 1 privé du point A, son imageMappartient à une droite fixe que l’on définira géométriquement. d.Montrer que, siMest un point de l’axe des réels, différent de O et de A, ′ alorsMappartient à la droite (CD).

E X E R C IC E 2 ( S P É C IA L IT É )

2 1.On considère l’équation (1) d’inconnue (n,m) élément deZ:

4 points

11n−24m=1. a.tion admetJustifier, à l’aide de l’énoncé d’un théorème, que cette équa au moins une solution. b.En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer une solution particulière de l’équation (1). c.Déterminer l’ensemble des solutions de l’équation (1). 11 24 2.recherche du P.G.C.D. de 10−1 et 10−1. 11 24 a.Justifier que 9 divise 10−1 et 10−1. b.(n,m) désignant un couple quelconque d’entiers naturels solutions de (1), montrer que l’on peut écrire ¡ ¢¡ ¢ 11n24m 10−1−10 10−1=9. 11 11n c.Montrer que 10−1 divise 10−1. ¡ ¢ n n−1n−2 0 (on rappelle l’égalitéa−1=(a−1)a+a+ ∙ ∙ ∙ +a, valable pour tout entier naturelnnon nul). Déduire de la question précédente l’existence de deux entiersNetMtels que : ¡ ¢¡ ¢ 11 24 10−1N−10−1M=9. 24 11 d.Montrer que tout diviseur commun à 10−1 et 10−1 divise 9. 24 11 e.Déduire des questions précédentes le P.G.C.D. de 10−1 et 10−1.

P R O B L È M E 12 points Dans tout le problème, (C) désigne la courbe d’équationy=lnxreprésentant la fonction logarithme népérien dans le plan rapporté à un repère orthonormal d’ori gine O et d’unité graphique 4 cm. Question préliminaire: Tracer avec soin mais sans étude de la fonction, la courbe (C) et la droite (D) d’équationy=x. Partie A 1. a.Déterminer une équation de la tangente (Δ) à (C) au point I d’abscisse 1. b.Étudier les variations de la fonctionfdéfinie sur l’intervalle ]0 ;+∞[ par

f(x)=x−1−lnx. c.En déduire la position de (C) par rapport àΔ. 2. a.Déduire de la question précédente la valeur minimale prise parx−lnx sur l’intervalle ]0 ;+∞[.

Pondichéry

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Baccalauréat S

A. P. M. E. P.

b.MetNsont les points de même abscissexdes courbes (C) et (D) res pectivement. Déterminer la plus petite valeur (exprimée en cm) prise par la distance M Nlorsquexdécrit l’intervalle ]0 ;+∞[. Partie B 1.SoitMle point d’abscissexde la courbe (C). Exprimer la distance OMde l’origine àMen fonction dex. 2 2.Étude de la fonction auxiliaire u définie sur]0 ;+∞[par u(x)=x+lnx. a.Justifier les limites deu(x) en 0 et en+∞ainsi que le sens de variations deu. b.Montrer qu’il existe un réelαet un seul tel queu(α)=0. Montrer queαest compris entre 0,5 et 1 puis donner un encadrement de −2 αd’amplitude 10. c.Déterminer le signe deu(x) suivant la valeur dex. 2 2 3.définie surÉtude de la fonction g]0 ;+∞[par g(x)=x+(lnx) . 2 ′ ′ Calculerg(x) et vérifier queg(x)=u(x). x En déduire le tableau de variations deg. 4.Déduire des questions précédentes la valeur exacte de la plus courtedistance de l’origine aux points de la courbe (C) et en donner une valeur approchée (exprimée en cm) en utilisant pourαla valeur centrale de l’encadrement trouvé à la question2 b. 5.A étant le point d’abscisseαde (C), démontrer que la tangente en A est per pendiculaire à la droite (OA). Partie C Étude d’une suite 1.Montrer que le réelαdéfini dansla partie Best solution de l’équation h(x)=x, oùhest la fonction définie sur ]0 ;+∞[ par 1 ¡ ¢ 2 h(x)=x−x+lnx. 4 £ ¤ ′ 1 2. a.Calculerh(x.) et étudier son signe sur l’intervalle; 1 2 ¡£ ¤¢£ ¤ 1 1 b.Prouver queh; 1⊂; 1. 2 2 £ ¤ ′′ 1 c.Calculerh(x) et étudier son signe sur l’intervalle.; 1 2 £ ¤ 1 d.En déduire que, pour toutxappartenant à l’intervalle; 1, on a 2 ′ 0 6 h(x) 6 0, 3. 3.On définit la suite (u n ) par :u 0 =1 et, pour tout entier natureln,

u n+1 =h(u n ). 1 a.Montrer que, pour tout entier natureln, 6 u n 6 1, et que la suite (u n ) 2 est décroissante. b. Attention, cette question n’est plus au nouveau programme du bacca lauréat S. En utilisant l’inégalité des accroissements finis, montrer que l’on a pour 1 n tout entier natureln,|u n+1 −α| 6 0, 3|u n −α|puis que|u n −α| 6 (0, 3). 2 c.En déduire que la suite (u n ) converge versα. d.une valeur approchée deDéterm oitαà iner un entiern 0 tel queu n 0 s −5 10 prèset indiquer la valeur deu n donnée par la calculatrice (avec 5 0 décimales).

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